第1质点运动学

j
z(t)k
称为运动方程
x x(t ) 运动方程分量式： y y(t )
z z(t)
说明运动服从“叠加原理”
质点的实际运动是各分运动的矢量合成。
5
质点运动时在空间所经历的实际路径叫做运动轨道， 相应的曲线方程称为轨道方程。
在运动方程中，消去 t 即得轨道方程。
例 已知质点在一平面上作圆周运动, 运动函数为
机械运动：一个物体相对于另一个物体的空间位置 随时间发生变化； 或一个物体的某一部分相对于其 另一部分的位置随时间而发生变化的运动。
力学：研究物体机械运动及其规律的学科。
运动学：研究物体在空间的位置随时间的变化规律 以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发生机械运 动的变化原因。
动力学：以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态 发生变化时所遵循规律的学科。
dt
dt
（2） x x5 x1 (6 5 52 ) (6112 ) 0
s x3 x1 x5 x3 8(m)
运动学第一类问题（一维情况）
14
[例3] 如图在离水面高度为 h 的岸边，绞车以恆定的
速率v0收拖缆绳，使船靠岸，求船的速度和加速度。
解：如图建立坐标系，则有
r
xi
hj
解 : 本题的关键是得出 x 与 v 的关系
a dv dv dx v dv 3 6 x2 dt dx dt dx
v
vdv
x
(
3
6
x2
)dx
0
0
1 v2 3x 2x3 2
v
(
6x
4x3
1/2
)
运动学第 二类问题
17
[例6] 一气球以速率 v0 从地面上升,由于风的影响,随着高度的 上升,气球的水平速率按 vx=by 增大,其中b 是正的常数, y 是从 地面算起的高度, x 轴取水平向右的方向.求: (1)气球的运动方 程; (2) 气球飘移的距离与高度的关系.
即沿 + x方向“加速”
思考：物体加速度是正的， 是否物体一定越走越快？
11
1.2.5 运动学两类问题
运动学第一类问题
v 求导 v求导 v
r(t )
v
a
积分 积分
运动学第二类问题
12
[例1]
质点的运动方程：r
(t
2)i
(4t
t
3
)
j(SI求) :
(1)质点
第一秒末的速度和加速度; (2)在 t=1s 秒到 t=3s秒时间
d v dt
d2 r dt2
r
z P1 v (t)
· r (t)
P·2
r(t Δt)
v (t
Δt
)
v (t )
Δv
v(t Δt)
0
y
x
10
a
d
v
dt
在直角系中
a axi ay j azk
ax
dvx dt
,ay
dvy dt
, az
d vz dt
注意: ax 0 的意义 ----- dvx 0,
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[例2] 一质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为已知 ： x=6t-t2 (SI) 求：（1）质点在任意时刻 t 的速度和加速 度；（2）求 t=1 秒到 t=5 秒间质点的位移和路程。
解：（1） 本题是一维情况，用正负表示方向
v dx 6 2t(m / s) , a dv 2(m s2 )
间隔内质点运动的平均速度和平均加速度。
解:（1）
v
dr
i
(4
3t 2 ) j
,
a
dv
6tj
dt
dt
t=1s 时:
v
i
j (m
/
s)
,
a
6
j (m
s2)
(2)
v r
r(t 3) r(t 1)
i 9j
t
31
a
v
v (t
3)
v (t
1)
12 j
t
31
运动学第 一类问题
1
1.1 参考系和坐标系 质点
1.1.1 参考系和坐标系 • 物质的运动具有绝对性 • 描述物质运动具有相对性
参考系：为描述物体的运动而选取的参考物体。 坐标系： 用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。
2
1.1.2 质点
质点:只有质量而没有没有 大小和形状的理想物体。
一个物体能否看作 质点，它的唯一标准是 物体的形状、大小与所 研究的问题是否无关。 如果物体运动范围>>物 体本身线度时，该物体 可视为质点。
3
1.2 质点运动的描述
1.2.1 位置矢量 运动方程
从原点O向质点P所在位置作一矢量来表示质点位 置。该矢量称为位置矢量，简称位矢。
OP
r
xi
yj
zk
在坐标系中各处要配上一 套同步时钟，给出质点运 动到某地点的时刻。
z P(x, y, z)
r
o y
x
4
r (t)
x(t)i
y(t)
解： a dv
dt
v
t
积分： dv adt
v0
0
得： v v0 at
v dx dt
x
积分： dx x0
t
t
vdt
0
0 (v0 at)dt
得：
x
x0
v0t
1 2
at 2
运动学第二类问题
16
[例5] 一质点沿 x 轴运动,其加速度 a 与位置坐标的关 系为 a=3+6x2 (SI) , 如果质点在原点处的速度为零, 试 求其在任意位置 x 处的速度 v 。
8
v d r dt
在直角系中
v
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
v vxi vy j vzk
速率 v v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
注意: vx 0 的意义 ----- dx 0,
即向 + x方向运动
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1.2.4 加速度
加速度：速度对时间的变化率
lim a
Δt0
Δ v Δt
r2 h2 i hj
运动学第一类问题 （须自己建立坐标
v dr d (
r
2
h2
)
i
dt
dt
系，求运动方程）
v0 o
x
r
dr
i
r2 h2 dt
x2 h2 x v0i
h
r
a
dv dt
v0 2 h 2 x3
i
y
15
[例4] 一质点沿 x 轴作匀变速直线运动，加速度为a， 初速度为 v0 ，初始位置为 x0 ，求任一时刻质点的速 度和位置。
Δ
r
Δ
S
d
r
d
S
Δ
r
Δ
r
x
Hale Waihona Puke Baidu
dr dr
7
1.2.3 速度 速率
速度: 位移对时间的变化率 平均速度: v Δ r
Δt
(瞬时)速度
lim
v
Δ r d r r
Δt0 Δ t d t
z
A
r B
r1
r2
o
y
x
方向：沿轨迹的切线方向,指向运动的前方。
大小：速率
v
v
d r
ds
dr
dt dt dt
x R cos t, y R sin t 试求其轨迹方程。
解: 消去t ，即可得其轨道方程
y
R t
0
x
x2 y2 R2
6
1.2.2 位移 路程
位移：描写质点位置 变动的距离和方向
Δ
r
rt
Δ
t
rt
y
P S r 注意: 位移与路程不同
Δr
r(t )
r(t Δ t)
y
z
x
z
Δr r(t Δ t) r(t)