高中数学史集黄金分割素材
黄金分割比的数学故事
黄金分割比的数学故事
黄金分割比的数学故事可以追溯到古希腊的数学家和哲学家毕达哥拉斯。
据说有一天，毕达哥拉斯走在街上，听到铁匠打铁时发出的有规律的、悦耳的敲击声。
他驻足倾听，伴随着铁锤的敲击，他发现敲击声与间隔产生的规律性的节奏恰好形成一个比例，这个比例可以用数学方程表达出来。
回到家后，他用一根被分成两段的绳子演示，绳子较短的那段与较长的那段之比等于较长的那段和整个绳子长度之比，符合这个比例的事物就显得较为美好。
这就是后来人们所称的“黄金分割比”或“黄金比率”，其数值约为0.618或1.618。
黄金分割比在艺术、建筑、自然等多个领域都有广泛的应用。
例如，在艺术创作中，按照黄金分割比来设计作品可以使作品更加美观和和谐；在建筑设计中，黄金分割比也被广泛应用，如古希腊的帕台农神庙和现代的建筑设计；在自然界中，黄金分割比也出现在许多生物和植物的形态中，如螺旋形的贝壳和植物的叶子排列等。
此外，关于黄金分割比还有一个著名的故事与断臂维纳斯有关。
断臂维纳斯的设计就充分遵守了黄金分割法则，成为最伟大的艺术作品之一。
她的身材比例符合黄金分割比，
从而创造出了一种独特的美感。
这些故事都表明了黄金分割比在数学、艺术和自然界中的广泛应用和重要性。
黄金分割知识点
黄金分割知识点【篇一：黄金分割知识点】黄金分割数：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
黄金分割:黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
黄金分割线:黄金分割线是一种古老的数学方法。
黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。
后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。
黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。
黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。
（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。
（5）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。
理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809 （2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618黄金分割点:无限不循环小数a，ba:b=(a+b):a黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。
我们所熟悉的黄金分割,在数学中的比例关系
我们所熟悉的黄金分割,在数学中的比例关系示例文章篇一：《黄金分割：数学里的奇妙比例》我呀，最近在数学的世界里发现了一个超级神奇的东西，那就是黄金分割。
你们知道吗？这可真是一个超级有趣的比例关系呢。
我先给你们讲个故事吧。
我们班有个画画特别厉害的同学叫小明。
有一次啊，他在画一幅风景画，画里面有个小房子。
我就发现啊，他画房子的时候，窗户的位置、门的大小，好像都有那么点特别的规律。
我就问他：“小明，你怎么画得这么好看呢？感觉每个部分都恰到好处。
”小明就特别神秘地跟我说：“这呀，和黄金分割有关呢。
”我当时就愣住了，黄金分割？这是什么神奇的东西呀？后来啊，我就自己去研究这个黄金分割了。
原来啊，黄金分割的比例大概是1:0.618。
这个数字可不得了。
你看我们的身体，很多地方都和这个比例有关系呢。
比如说，我们的肚脐呀，把人的身体大致分成上下两部分，这个比例就接近黄金分割比例。
这就好像是大自然给我们的一个完美设计一样。
如果把我们的身体比作一个艺术品，那这个黄金分割就像是艺术家精心构思的比例，让我们看起来协调又舒服。
这就好比是建房子的时候，每一块砖的摆放都有它的道理，这样房子才牢固又好看。
再看看我们周围的东西。
像我们教室里的黑板，长方形的黑板如果长和宽的比例接近黄金分割，看着就特别顺眼。
要是这个比例不对呢？就感觉这个黑板有点怪怪的，不是太长就是太宽了。
这就像穿衣服，如果衣服的大小不合适，要么太大像个麻袋，要么太小勒得慌。
我就想啊，这黄金分割是不是像一个隐藏在世界各个角落的小秘密呢？我还发现啊，在建筑里黄金分割也无处不在。
就拿埃及的金字塔来说吧。
金字塔那么宏伟壮观，它的底面边长和金字塔的高度之间的比例，就接近黄金分割呢。
我就想象啊，古代的埃及人是不是也知道这个神奇的比例关系呢？他们是不是就像我们班的小明一样，是隐藏的数学高手呢？如果没有这个黄金分割比例，金字塔还会有那种震撼人心的美吗？这就像做菜一样，如果没有放合适的调料，这道菜的味道肯定就不对了。
黄金分割
黄金分割（黄金比例）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。
这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。
据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。
[2]外文名golden section提出者毕达哥拉斯提出时间公元前5世纪应用学科数学建筑绘图记载著作《几何原本》数学定义把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。
其比值是（√5-1）：2，近似值为0.618，通常用希腊字母Ф表示这个值。
[1]附：黄金分割数前面的32位为：0.6180339887 4989484820 458683436565特殊的数列设一个数列，它的最前面两个数是1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····这个数列为“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。
由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，而黄金分割是无理数，所以只是不断逼近黄金分割。
[5]黄金三角形所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2而被称为黄金三角形。
黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
由五角形的顶角是36度可得出黄金分割的数值为2sin18度（即2*sin(π/10)）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。
【高中数学】黄金分割的发现历史
【高中数学】黄金分割的发现历史由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家奥德修斯首先系统地研究了这个问题，并建立了比例理论。
他认为所谓黄金分割是指将长度为l的线段分成两部分，使一部分与全部的比率等于另一部分与该部分的比率。
计算黄金分割的最简单方法是计算斐波那契序列1，1，2，3，5，8，13，21后两个数字的比率是2/3，3/5，5/8，8/13，13/21近似值。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。
这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。
公元前300年左右，欧几里德撰写了原始几何学，他吸收了奥多斯的研究成果，并进一步系统地讨论了黄金分割，这成为最早关于黄金分割的论文。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利将中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
事实上，中国有关于“黄金分割”的记录。
虽然不早于古希腊，但它是由古代中国数学家独立创造的，后来被引入印度。
经过考证。
欧洲的比例算法起源于中国，并通过印度从阿拉伯传入欧洲，而不是直接从古希腊传入。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。
黄金比例是≈ 1.618:1，与倒数正好相反。
高中数学史集 黄金分割素材
莱奥纳多·达·芬奇(1452-1519)黄金分割（浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）余满龙在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ ）分成两条线段，使其中较大的线段（PC ）是原线段（PQ ）与较小线段（CQ ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。
（如图1）世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。
公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
他发现:在这个几何问题里，若CQ 与PC 之比等于PC 与PQ 之比，那么这一比值就等于0.608…，用式子表示就是: 618.0215=-==PQ PC PC CQ 这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们从 Andros 神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops (公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。
几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论着。
欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C 点分PQ 所成的比PC:CQ 叫做“中外比”。
欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。
如正五边形中，相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。
如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。
文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。
当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达?芬奇等人。
他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。
黄金分割--2019年全国I卷理科数学维纳斯的黄金比例
黄金分割｜2019年全国I卷理科数学维纳斯的黄金比例
下面我们来看看黄金分割在数学上是怎么定义的：
把一条线段分割为两部分，
使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，
则这个比值即为黄金分割。
其比值是（√5 - 1）：2，
近似值为0.618，
通常用希腊字母Ф表示这个值。
图文解析：
如下图，
线段AC：AB = BC：AC =（√5 - 1）/ 2，
则点C 就是线段AB 的黄金分割点。
尺规作图：
如下图，
在Rt△ABD 中，
∠ABD = 90°，AB = 1，BD = 1/2，
则AD = √5/2。
由图易知，
DE = DB = 1/2，
AC = AE =（√5 - 1）/2 ≈0.618。
所以，
点C 就是线段AB 的黄金分割点。
问题解决：
题目（2019 年普通高等学校招生全国统一考试全国I 卷理科数学）
【解析】
答案：B。
在图上标数据：
列出式子计算：
故最接近的答案是175 cm。
知识拓展：
世界名画《蒙娜丽莎》，
就是根据黄金分割的比例来构图的。
黄金分割
§4.2黄金分割
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黄金分割 与生活
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
探索交流
什么是黄
五角星是我们常见的图形. 在图4-4中,度量点C到点 A A,B的距离.段AB分成两条线段AC和BC,
AC BC 与 相等吗 ? AB AC
独立 作业
知识的升华
习题4.3 1,2题. 祝你成功！
2 5 1 2 52 4 5 1
5 1 , 2
AC BC , 点C是线段AB的黄金分割点. AB AC
积累就是知识
请用所学知识回答上面的问题
解 : 1 BC AB AE AB , BC AE, , 点E是AB的黄金分割点; BE BC BE AE
AC BC 如果 或AC 2 AB BC , 那么点C黄金分割线段AB. AB AC 学习一元二次方程之后, 我们可以求得
AC BC AB AC
5 1 2 0.618. 1
例题 解题
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与老师同步探索
2
D
E 1 5 5 1 1 2 BD ; AD 1 , AC AE 2 2 2 2 2
AC BC 如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割 AB AC
(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割 点,AC与AB的比称为黄金比.
议一议
为什么叫做黄金分割? 其一是满足黄金分割的图形具有和谐美;其二是黄金分 割的应用价值不可估量,故冠以黄金二字.
领悟 黄金分割
其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊 线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段 BC的比例中项,也可写成AC2=AB· BC.
黄金分割比的历史和数学解释
黄金分割比的历史与数学解释一、历史背景黄金分割比是一个古老的数学概念，可以追溯到古希腊时期。
当时，哲学家和数学家毕达哥拉斯学派发现，当一个矩形的长宽比为1:1.618时，这个矩形看起来非常和谐和平衡。
这一比例被认为是美学和艺术的理想比例，被广泛应用于建筑、艺术和设计等领域。
二、定义与公式黄金分割比的定义是，较长的线段与较短线段之比等于较短线段与整体线段之比。
用数学公式表示为：较长的线段/较短的线段= 较短的线段/整体线段。
简化后得到公式：(√5 - 1)/2，近似值为1:1.618。
三、数学性质黄金分割比具有一些特殊的数学性质。
首先，它是一个无理数，即不能表示为两个整数的比值。
其次，它具有递归性质，可以用来构造几何图形和斐波那契数列等复杂的数学结构。
此外，黄金分割比还是一种自相似性结构，可以无限细分下去，从而产生更加复杂和丰富的图案和模式。
四、应用领域黄金分割比在各个领域都有广泛的应用。
在建筑设计领域，许多著名的建筑都采用了黄金分割比来设计，如帕台农神庙、法国的凡尔赛宫等。
在艺术领域，黄金分割比被广泛应用于绘画、雕塑和摄影等艺术形式中，被认为是美学和艺术的理想比例。
在音乐领域，黄金分割比也被用于作曲和音乐理论中，被认为是音乐和谐的比例。
五、文化影响黄金分割比作为一种美学和艺术的理想比例，对人类文化和艺术产生了深远的影响。
它被认为是自然界中普遍存在的比例，如蝴蝶的翅膀、向日葵的花瓣等都呈现出黄金分割比的特点。
在人类文化和艺术中，黄金分割比也常常被用来表现和谐、平衡和美感，成为了许多经典作品的重要组成部分。
总结起来，黄金分割比是一种古老而神奇的数学概念，具有丰富的历史背景和数学性质。
它在各个领域都有广泛的应用，被认为是美学和艺术的理想比例。
同时，黄金分割比也对人类文化和艺术产生了深远的影响，成为了许多经典作品的重要组成部分。
黄金分割资料
黄金分割是一个古老的数学方法。
对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。
什么叫黄金分割把线段AB分成两条线段AC和CB（AC＞CB），且CB比AC的比值等于AC比AB 的比值时,(比值约等于0.618),那么，线段AB被点C分割成黄金比。
点C叫做线段AB的黄金分割点。
“0.618”叫做黄金分割数。
一、形形色色的黄金分割【建筑】早在公元前五世纪，希腊建筑家就知道0.618的比值是协调，平衡的结构。
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。
但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。
古时候的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金数的比来建立，他们认为这样的长方形看来是较美观。
黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。
在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩。
古希腊帕提依神庙由于高和宽的比是0.618，成了举世闻名的完美建筑。
建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、壮丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽。
连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。
高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。
【艺术】1483年左右，达芬奇画的一副未完成的油画，包围着圣杰罗姆躯体的黑线，就是一个黄金分割的矩形，当时达芬奇似乎有意利用这一黄金分割的比值。
“检阅”是法国印象派画家舍勒特的一副油画，它的画杠结构比例也正是0.618的比值。
英国在画家斐拉克曼的名著《希腊的神话和传说》一书中，工绘有96幅美人图。
每一幅画上的美人都妩媚无比婀娜多姿。
如果仔细量一下她们的比例也都也雅典娜相似。
画家们发现，按0.618∶1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。
四川省绵阳中学2020届高三数学复习素材：黄金分割比(8页)
四川省绵阳中学2020届高三数学复习素材：黄金分割比【黄金分割比】：0.618把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1÷0.618≈1.618或（1-0.618）÷0.618≈0.618 或1÷﹙1+0.618﹚≈0.6185或5开平方根之后减一的差除以二这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
在我们生活中比比皆是。
比例历史毕达哥拉斯由于公元前5世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。
而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...第二位起相邻两数之比，即2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，...的近似值。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利将中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
黄金分割
数学原理中发现出来的一种美丽的形 式。
一般来说，按黄金比例组成的事物都表 现出和谐和均衡。
如果把一个线段分成长短两段，且 全段长：长段长=长段长：短段长 这种分割方式就叫做黄金分割 。 分割线段长的比叫做黄金比例如下图：
若设较短边为1，则：
1 x x 1 x
肚脐刚好就是整个人体的黄金分割 点， 喉头刚好是头顶到肚脐的黄金分割 点， 膝关节是肚脐到脚的黄金分割点，
肘关节是手指到肩部的黄金分割点..
維納斯女神像
蒙娜丽沙亦依 照黄金比例而 画成。
米勒的名画拾穗者亦是依黄金比例而绘成。
黄金比例的纸扇最 美 炎炎夏日，最环保的方法， 是以纸扇搧走暑气。 如果从数学的观点，我们可以黄 金比例(0.618)来设计一把最富美 感的扇子。
若
= 0.618，则 x = 140度
张开角是140度的纸扇最美。
在现代生活中，黄金比例也一直被使用着，例如 国旗、明信片、报纸、邮票等等，其长宽之比均 接近黄金比，据统计黄金比也是被使用最多的比 例。
x
x2 +x- 1＝ 0
x 1 1 x x x2 - x- 1＝ 0
5 1 0.618 2
x ≈ ，这种矩形就叫黄金矩形 黄金矩形的美妙特征：
如果把它分割成一块 正方形和一块矩形时， 这块矩形也会是一个 黄金矩形
利用黄金分割可作出螺旋线来
蜗牛 的外 壳呈 螺旋 线形。
小提琴的柄和 琴身合符黄金 比例。
树木的高和阔 合符黄金比例 是最美丽的。
目錄
古希腊建筑物的门和 窗依黄成金比例建成。 如巴特农女神殿。
多伦多电视塔
埃菲尔铁塔
画家们依照黄金比例绘画完美的面谱。
黄金分割发展简史
黄金分割发展简史
黄金分割是一个源远流长的数学概念，其历史可以追溯到古代希腊文明时期。
在古希腊数学中，黄金分割常常被用来描述美感和对称性，而在现代数学中，它则广泛应用于各个领域，包括艺术、建筑、自然科学以及金融等。
在古希腊文化中，黄金分割被认为是一种理想的比例，可以帮助人们创造出最美丽的艺术品和建筑物。
在希腊神庙的建筑中，黄金分割比例被广泛应用，使得建筑物更加优美和对称。
最著名的例子是帕特农神庙，该神庙的前廊和后廊都采用了黄金分割比例，让整个建筑更加和谐。
在中世纪欧洲，黄金分割的概念被重新发现，并且被广泛应用于建筑、绘画和雕塑等艺术领域。
文艺复兴时期，黄金分割的应用达到了高峰，许多伟大的艺术家和建筑师都使用了这个比例来创造出经典的艺术品和建筑物。
例如，达芬奇的绘画和米开朗基罗的雕塑都使用了黄金分割比例。
随着现代科学的发展，黄金分割被应用于自然科学领域。
许多自然界的现象都可以用黄金分割来描述，例如海龟的壳、植物的枝干和花瓣等。
此外，在数学和物理领域，黄金分割也有着广泛的应用，例如斐波那契数列和黄金矩形等。
在金融领域，黄金分割也被广泛应用。
例如，许多投资者使用黄金
分割比例来预测股票价格的走向。
此外，黄金分割比例还被用来优化投资组合和资产配置。
黄金分割是一个历史悠久、应用广泛的数学概念。
它在各个领域都有着广泛的应用，包括艺术、建筑、自然科学和金融等。
黄金分割比例的美感和对称性使得它成为了人类智慧和创造力的象征，也是人类文明发展的重要组成部分。
数学中的美——黄金分割
数学中的美——黄金分割黄金分割点是分割线段时最能体现审美愉悦的美点，黄金分割比被视为最美丽的几何比率。
让我们走近黄金分割，来感知数学的美，寻找“美”的秘密。
一、 首先让我们从黄金分割比的由来中体会数学的美，我们会被源于历史的美所陶醉。
古希腊的数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前400至公元前347年）发现：如图，将一条线段AB 分割成长短两条线段PA 、PB ，若较短线段PB 与较长线段AP 的长度之比等于较长线段与全线段AB 的长度之比，即PB ：AP ＝AP ：AB ≈0.618（精确值为215-），P 为AB 的黄金分割点。
数学家把这个的数（0.618）叫做“黄金数”。
黄金数不是指用黄金筑就的数，而是指身价与黄金一样贵重的数。
古希腊人最早发现一个长方形，它的长和宽的比等于0.618时，看上去最协调、最好看；古希腊闻名于世的古建筑巴台农神庙，它的高和宽之比恰好是0.618；古希腊人认为，最优美的人体体型应该是肚脐把身长作黄金分割。
保存下来的古希腊雕塑作品“执矛者”、“宙斯”以及爱与美之神“维纳斯”，都是按黄金分割来制作的，无不表现出最美的人体造型。
文艺复兴时期的画家也十分重视黄金分割。
达·芬奇闻名于世的作品《蒙娜丽莎》就是按着黄金分割的比例来构图的。
神密的埃及金字塔的高和底座的边长之比也是0.618。
黄金分割是最完美的分割，这种美学观点长时间统治着西方的建筑界。
着名的巴黎圣母院就是杰出的代表。
它整个结构是按着黄金分割来建造的。
17世纪欧洲着名科学家开普靳曾说过：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。
”二、 通过欣赏生活中含有黄金分割比的图形，我们会为这种直觉美惊喜不已。
1、黄金扇形：如图，把一个圆分成两部分，期中阴影部分的扇形的圆心角为135°,空白部分的扇形的圆心角为225°，而135与225的比值接近黄金比。
因此，阴影部分的扇形就是黄金扇形，如果以135°为圆心角做成的扇子，那它就是外形较美观的扇子。
黄金分割典故
《黄金分割典故》同学们，今天咱们来讲讲黄金分割的典故，可有意思啦！据说呀，在很久很久以前，古希腊的数学家们就在研究各种美的比例。
然后他们发现了这个神奇的黄金分割比例。
就像我们看到的一些漂亮的建筑，比如巴黎的埃菲尔铁塔。
它的造型那么优美，其实就运用了黄金分割的原理。
还有一些著名的画作，人物的构图也符合黄金分割，看起来特别舒服。
我记得有一次参加绘画比赛，老师就跟我们讲了黄金分割，让我们试着用这个比例来构图。
结果画出来的画真的比以前好看多啦。
黄金分割不仅在艺术上有应用，在我们的生活中也能看到呢。
比如拍照的时候，如果把主要的景物放在黄金分割点上，照片就会更好看。
同学们，是不是觉得很神奇呀？《黄金分割典故》黄金分割的典故，那可是充满了神秘和奇妙。
传说古希腊的毕达哥拉斯在散步的时候，经过一个铁匠铺，听到里面打铁的声音很有节奏。
他就进去研究，然后发现了黄金分割。
这就好像我们在学校里，有时候无意中的发现，就能让我们学到新知识。
还有啊，我们常见的五角星，它的每个角之间的比例就接近黄金分割。
每次看到五角星，我就会想起这个神奇的比例。
我家有个花瓶，形状特别好看。
后来我才知道，它的设计就是按照黄金分割来的。
黄金分割真是无处不在，给我们的生活增添了好多美感。
《黄金分割典故》同学们，咱们来聊聊黄金分割的典故。
很久很久以前，人们就对美有着追求和探索。
黄金分割就是在这样的背景下被发现的。
比如说，我们看一些模特走秀，她们的身材比例就很接近黄金分割，所以看起来特别漂亮。
还有我们用的书本，它的长宽比例有时候也符合黄金分割，这样我们看着就会觉得很顺眼。
我曾经做过一个手工，想要做一个漂亮的相框。
我就按照黄金分割的比例来裁剪，最后做出来的相框大家都说好看。
黄金分割真是个神奇的东西，让我们的世界变得更加美丽。
教学资料：黄金分割
教学资料：黄金分割一、什么是黄金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶或∶1，即长段为全段的。
被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为“黄金分割”。
黄金分割比最早是由古代希腊人发现的，早在公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯就发现了在这种分割状态下存在一种和谐的美，后来古希腊美学家柏拉图正式将此称为黄金分割，并一直被认为是最佳比例。
黄金比被广泛用于造型艺术中，具有美学价值，在艺术创作中被广泛运用。
二、黄金矩形黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的倍。
黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。
在很多艺术品以及大自然中都能找到它。
希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达·芬奇的《维特鲁威人》就符合黄金矩形，《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸部也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。
三、黄金分割的美学应用黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。
最早，人们发现长宽之比为1：的矩形很协调，因此古代的建筑大师和雕塑家们就巧妙地利用黄金分割比创造出了雄伟壮观的建筑杰作和令人倾倒的艺术珍品：公元前3000年建造的胡夫大金字塔，其原高度与底部边长约为1：，公元前五世纪建造的庄严肃穆的雅典巴特农神殿，其正面高度与宽度之比也约为1：。
这种比例也被严格的应用于艺术创作中，尤其是文艺复兴时期的古典画作中。
如达•芬奇的《维特鲁威人》、达维特的《萨平妇女》和米勒的《拾穗者》的构图，都是按照黄金分割严格安排的；《维纳斯》《大卫》以及《太阳神阿波罗》的塑像，他们的下肢与身高之比也都近乎1：（按照最完美的人体比例，即下肢与身高之比为）。
中国古代画论中所说“丈山尺树，寸马分人”讲了山水画中山、树、马、人的大致比例，其实也是根据黄金分割而来。
古琴的设计“以琴长全体三分损一，又三分益一，而转相增减”，全弦共有十三徽。
2021届高考数学总复习：以黄金分割为背景的三角函数求值
2021届高考数学总复习：以黄金分割为背景的三角函数求值众所周知，5－12≈0.618叫做黄金分割比，黄金分割最早起源于几何学，是古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现的。
黄金分割的定义：把任一线段分割成两段，使大段全段＝小段大段，如图，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。
设此黄金比为x，不妨设全段长为1，则大段长为x，小段长为1－x，故有x1＝1－xx，即x2＋x－1＝0，解得x＝－1±52，其正根为x＝5－12≈0.618 034 0≈0.618为黄金分割比。
【典例】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则m n2cos227°－1＝()A．8 B．4C．2 D．1【解析】由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，m n2cos227°－1＝2sin18°4cos218°2cos227°－1＝2·(2sin18°cos18°)cos54°＝2sin36°sin36°＝2。
故选C。
【答案】 C黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这种“分割”在视觉上给人极大的愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵。
黄金分割比是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐。
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黄金分割
（浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）余满龙
在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ ）分成两条线段，使其
中较大的线段（PC ）是原线段（PQ ）与较小线段（CQ ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。
（如图1）
世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。
公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
他发现:
在这个几何问题里，若CQ 与PC 之比等于PC 与PQ 之比，
那么这一比值就等于…，用式子表示就是:
618.0215=-==PQ PC PC CQ 这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们
从 Andros 神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops (公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。
几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论着。
欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C 点分PQ 所成的比PC:CQ 叫做“中外比”。
欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。
如正五边形中，
Kheops (公元前Q
C P 图1
莱奥纳多·达·芬奇
相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。
如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。
文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。
当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达芬奇等人。
他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。
1228年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》的修订本中提出“兔子问题”，导致斐波那契数列：1，1 ，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，它的每一项与后一项比值的极限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。
(即设F 1 =1，F 2 =1，F n = F n-2 + F n-1，n ≥3，则)
1525年丢勒制定了充分吸收黄金分割几何意义的比例法则，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位。
丢勒以为，在所有矩形中，黄金分割的矩形，即短边与长边之比为2
15 的矩形最美观。
因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个
正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是
一个黄金分割形的矩形”，这使人们产生一种
“和谐”的感觉。
后来意大利伟大画家达·芬奇(1452-1519)(如右图)把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。
这一命名一直延用至今。
欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（J ．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商
高定理”）；另外一个就是黄金分割。
前面那个可以比着金矿，而后面那一个可以比着珍贵的钻石矿。
希腊数学家把这个几何问题里的点C称为把线段黄金分割（Golden
section）。
C点叫“黄金分割点”。
可以证明，PC=
21
5-PQ，这个数
21
5-≈以往的数学家称为“黄金分割数”（Golden number）简称“黄金数”，“黄
金数”倒数
21
5+叫“黄金比”，顶角为36°的等腰三角形叫“黄金三角形”。
古时候的希腊人认为一个人有完美的（或理想的）体型是肚脐那一点把头到脚“黄金分割”。
因此一些艺术家画的人像以及古代雕塑像，大多数是以这个为比例。
人体相关各部分之间是符合黄金分割率的，在躯干部分，乳房位置的上下长度比；咽喉至头顶和至肚脐之比；膝盖至脚后跟和至肚脐之比等，都是黄金分割数的近似数。
如果人体上述部分比例均符合黄金律的话，就显得协调匀称。
古希腊断臂维纳斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼达，其体型结构比例完全符合黄金律，美妙绝伦。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，据说毕达哥拉斯学派是一个秘密团体，为了保证了学派不被外人流入，他们以一个比较难画的几何图形——正五角星作为学派的会章，而画正五角星就是以黄金分割作依据的。
意大利数学家帕奇欧里(1445～1514)，首先把“中外比”称为“神圣比例”，并专门为此着书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行黄金分割数有许多有趣的性质，它的实际应用也很广泛。
最着名的例子是优选学中的黄金分割法或法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广，取得很大成绩。
黄金分割是普遍存在的自然现象。
如作正五边形或正五角星时涉及到
黄金分割；舞台上的报幕员和独唱演员，通常不站在舞台前沿的中点而是在舞台宽度黄金分割点的位置时最美观，音响效果最佳；日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为，你会因此比例协调而赏心悦目。
甚至连火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守比值。
在音乐会上，二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的处。
最有趣的是，在消费领域中也可妙用这个“黄金数”，获得“物美价廉”的效果。
据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以，即为挑选商品的首选价格。
科学家和艺术家普遍认为，黄金分割律是建筑艺术必须遵循的规律。
在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩；而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。
古代雅典的巴特农神殿，当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。