初三数学上册二次函数的概念

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九年级上册数学知识点二次函数

九年级上册数学知识点二次函数九年级上册数学知识点的二次函数主要包括以下内容：1. 二次函数的概念：二次函数是一个含有x的二次多项式，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中a、b、c为常数，a不等于0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线。

开口向上的抛物线对应的二次函数的a值为正，开口向下的抛物线对应的二次函数的a值为负。

3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。

顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为f(-b/(2a))。

4. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程为x = -b/(2a)。

5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数的图像与x轴交点的横坐标。

可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得零点。

6. 二次函数的最值：开口向上的二次函数没有最小值，开口向下的二次函数没有最大值。

可以根据顶点和抛物线的开口方向来判断最值的取值范围。

7. 二次函数的平移：对二次函数进行平移操作可以改变函数的顶点和对称轴的位置。

平移时，可以考虑将二次函数的一般式写成完全平方形式，然后对x进行平移。

8. 二次函数与一次函数的关系：二次函数是一次函数的平方。

通过解方程或图像的变化，可以找到一次函数和二次函数之间的关系。

9. 二次函数的应用：二次函数在现实生活中具有广泛应用，如物体的抛射运动、焦点和准线问题、面积最大值和最小值等问题。

应用中需要把问题转化为二次函数，并利用二次函数性质进行求解。

初三数学二次函数知识点总结归纳

初三数学二次函数知识点总结归纳初三数学二次函数知识点总结1二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数.2二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点 3二次函数y=ax2+c的图象与性质(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定.(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y 轴.当a 0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大.当a 0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小.(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c 0时，向上平行移动，当c 0时，向下平行移动.初三二次函数知识点总结1二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

九年级上册数学二次函数知识点

九年级上册数学二次函数知识点一、二次函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。

2. 二次函数的特殊形式。

- 当b = 0时，二次函数为y=ax^2+c，例如y = 3x^2-2。

- 当c = 0时，二次函数为y = ax^2+bx，例如y=x^2+2x。

- 当b = 0且c = 0时，二次函数为y = ax^2，例如y=-x^2。

二、二次函数的图象和性质。

1. 二次函数y = ax^2的图象和性质（a≠0）- 图象：二次函数y = ax^2的图象是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：对称轴为y轴（即直线x = 0）。

- 顶点坐标：顶点坐标为(0,0)。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。

- 当a < 0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小。

2. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。

- 图象：也是一条抛物线。

- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。

九年级二次函数全部知识点

九年级二次函数全部知识点二次函数是数学中的一种重要的函数类型，它在实际生活中有着广泛的应用。

九年级是初中阶段的最后一年，二次函数是九年级数学的重要内容之一。

本文将介绍九年级二次函数的全部知识点，包括定义、图像、性质、解析式等，希望能够帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，并且a ≠ 0。

二次函数中的自变量x是实数，函数值f(x)也是实数。

二次函数的定义域是所有实数集合。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，对称轴是垂直于x轴的一条直线。

当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

三、二次函数的顶点及最值二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其坐标为（h，k），其中h是对称轴的横坐标，k是对称轴与抛物线的交点的纵坐标。

当a > 0时，k为函数的最小值；当a < 0时，k为函数的最大值。

四、二次函数的对称性二次函数的图像关于对称轴是对称的，即对称轴两侧的点关于对称轴上的点有对应关系。

这个对称性质使得我们可以通过观察对称轴两侧的点来了解抛物线的整体形态。

五、二次函数的零点二次函数的零点就是使得函数值等于零的横坐标。

要求二次函数的零点，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。

六、二次函数和一次函数的关系一次函数是二次函数的特例，当a = 0时，二次函数就变成一次函数。

因此，可以说二次函数是一次函数的推广，二次函数的图像也可以视为一次函数图像的变形。

七、二次函数的解析式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数。

根据二次函数的性质，可以通过零点、顶点等信息来确定二次函数的解析式。

八、二次函数的平移和压缩二次函数的平移可以通过改变解析式中的常数来实现，例如改变c可以实现平移，改变a和b可以实现压缩或拉伸。

九年级二次函数知识点

九年级二次函数知识点一、二次函数的定义和表示方式二次函数是指具有以下形式的函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。

一般常用的表示方式有标准形式、顶点形式和描点法。

标准形式：y = ax^2 + bx + c，常用于确定二次函数的参数和特征。

顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h,k)为函数的顶点坐标。

描点法：通过确定函数的一些特定点求得二次函数的表达式。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向：- 当a>0时，二次函数开口向上；- 当a<0时，二次函数开口向下。

2. 对称轴：对称轴是二次函数图像的镜像轴，其方程为x = -b/(2a)。

3. 零点：零点是指使二次函数取值为0的x的值，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。

4. 最值：- 当a>0时，二次函数有最小值，最小值为函数的顶点值；- 当a<0时，二次函数有最大值，最大值为函数的顶点值。

三、二次函数的性质1. 函数增减性：- 当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；- 当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。

2. 函数的最值：- 当a>0时，函数的最小值为顶点值；- 当a<0时，函数的最大值为顶点值。

3. 零点与因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解或求根公式求得，形式为(x - x1)(x - x2) = 0。

4. 判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac可用于判断二次函数的零点个数和开口方向。

- 当Δ > 0时，有两个不相等的实根，函数图像与x轴相交于两点；- 当Δ = 0时，有两个相等的实根，函数图像与x轴相切于一个点；- 当Δ < 0时，无实根，函数图像与x轴无交点。

四、二次函数的应用1. 抛物线运动：二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹，如抛体自由落体运动的轨迹等。

2. 最值问题：对于一些实际问题，二次函数可以用来求解最值问题，例如求解最大面积、最小花费等。

人教版九年级上册数学二次函数知识点总结

二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用2-32二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

初三数学二次函数的定义和表达式知识点

初三数学二次函数二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

我们把形如y=ax+bx+c(其中a，b，c是常数，a0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

一般的，形如y=ax+bx+c(a0)的函数叫二次函数。

自变量(通常为x)和因变量(通常为y)。

右边是整式，且自变量的最高次数是2。

注意，变量不同于未知数，不能说二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

未知数只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，变量可在一定范围内任意取值。

在方程中适用未知数的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别。

初三数学二次函数知识点总结及经典习题

《二次函数》学问点总结一. 二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数.这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二. 二次函数的图像和性质y=a(x-h)2x=h0）y 随x 的增大而减小最小值y =0a ＜0向下直线x=h（h ，0）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =0 ④y=a(x-h)2+ka ＞0向上直线x=h（h ，k ）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小当x=h 时，y 有最小值，即最小值y =k a ＜0向下直线x=h（h ，k ）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =k ⑤ y=ax 2+b x+c 可化为： y=a(x+)2ab 2+a ＞0向上直线x=-a b 2（-ab 2，ab ac 442-） ①当x ＞-a b 2时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小当x=-ab 2时，y 有最小值，最小值y =ab ac 442-a ＜0向下直线x=-a b 2（-ab 2，ab ac 442-）①当x ＞-ab 2时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而增大当x=-ab 2时，y 有最大值，即 y 最大值=ab ac 442-三. 二次函数图象的平移 1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要驾驭了顶点是如何平移的，就驾驭了二次函数图像间的平移. 四.二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中．五．二次函数解析式的三种表示方法但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化，将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式，把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式.六．二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a【a确定抛物线的开口方向，|a|确定抛物线开口的大小】⑴当0a>时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，a的值越小，开口越大；⑵当0a<时，抛物线开口向下，a的值越大，开口越大，a的值越大，开口越大．注：|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大抛物线的形态一样，即|a|一样.2.一次项系数b【由a和对称轴共同确定】对称轴在y轴的左侧，a，b同号；对称轴在y轴的右侧，a，b异号.（左同右异 b为0时，对称轴为y轴）3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线及y轴的交点在x轴上方，即抛物线及y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线及y轴的交点为坐标原点，即抛物线及y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线及y轴的交点在x轴下方，即抛物线及y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c确定了抛物线及y轴交点的位置．七．二次函数图象（抛物线）及x轴交点状况的推断：y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）1.△=b²-4ac＞0⇔抛物线及x轴有两个交点2.△=b²-4ac=0⇔抛物线及x轴有一个交点3.△=b²-4ac＜0⇔抛物线及x轴没有交点①当0y>；a>时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0②当0y<．a<时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0八.二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象及x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进展推断）.2.二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c ＜0的解.九.二次函数的应用二次函数应用☆☆二次函数抛物线简洁的图形变换☆☆（1）顶点式【ky+=2)(（a≠0）】-hxa（2）一般式【c+=2（a≠0）】y+bxax①平移：如将二次函数c=2向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n+bxaxy+＞0）个单位，得到n c bm am x b am ax n c m x b m x a -+-+--=-+-+-=222)2()()(y ②对称注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再依据须要进展求解.二次函数对应练习试题一.选择题1.二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2.把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A.22(1)y x =-+B.22(1)y x =--C.221y x =-+D.221y x =-- 3.函数2y kx k =-和在同始终角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及局部图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（）A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.方程的正根的个数为（）A.0个B.1个C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),及y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++ 二．填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______.10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，假如y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满意上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）.12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知直线3y kx =-+过点C ，则这条直线及两坐标轴所围成的三角形面积为 .13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= .14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14). 三．解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且及y 轴的交点为(0,52-).(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x 在什么范围内改变时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上上升度h （米）和时间t （秒）符合关系式（0<t ≤2），其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，推断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-及坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线及x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。

九年级二次函数知识点汇总

九年级二次函数知识点汇总二次函数是初中数学中的一种重要的函数形式，它的形式为f(x)=ax^2+bx+c。

在九年级，学生需要掌握二次函数的基本概念、图像、性质以及与实际问题的应用。

下面将对九年级二次函数的知识点进行汇总和总结。

1. 二次函数的基本概念二次函数是一个以x为自变量、以ax^2+bx+c为因变量的函数。

其中，a、b、c是常数，且a不等于0。

a决定了二次函数的开口方向和图像的形态。

当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2. 二次函数的图像二次函数的图像一般为抛物线，其形状和位置与a、b、c的取值有关。

当a>0时，图像在y轴上方有一个最低点，称为顶点；当a<0时，图像在y轴下方有一个最高点，也称为顶点。

顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

3. 二次函数的性质(1) 零点：二次函数与x轴相交的点称为零点。

根据二次函数的图像性质，当抛物线与x轴相切时，有且只有一个零点；当抛物线与x轴有两个交点时，有两个零点；当抛物线与x轴没有交点时，没有零点。

(2) 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程为x=-b/2a。

(3) 最值：对于开口向上的二次函数，最小值等于顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，最大值等于顶点的纵坐标。

(4) 单调性：由于二次函数的图像呈现抛物线的形状，所以二次函数在对称轴两侧的增减性是不同的。

即在对称轴的左侧，二次函数单调递减；在对称轴的右侧，二次函数单调递增。

4. 二次函数的变形九年级数学中，我们还学习了二次函数的变形，包括平移、伸缩和翻折等操作。

这些操作可以通过对a、b、c的取值进行调整来实现。

(1) 平移：当二次函数的形式为f(x)=a(x-h)^2+k时，其中(h,k)为平移的向量，分别表示横坐标和纵坐标的平移量。

平移后的二次函数的图像相对于原图像在平面上左右或上下移动了h个单位和k个单位。

九年级上册知识点二次函数

九年级上册知识点二次函数九年级上册知识点：二次函数一、引言在九年级上册的数学课本中，我们将学习到许多重要的数学知识点，其中包括二次函数。

二次函数是代数学中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

本文将对九年级上册的二次函数进行详细的介绍和解析。

二、二次函数的定义和特点二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

它是一个二次多项式，其中的x^2项是最高次项，而x和常数项分别是一次和零次项。

二次函数的图像形状为抛物线，如果a>0，则抛物线开口向上，称为顶点向上；如果a<0，则抛物线开口向下，称为顶点向下。

顶点坐标可以通过求解二次函数的极值点来获得。

三、二次函数图像的性质1. 对称性二次函数的图像具有对称性。

对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，对于任意的x值，f(x) = f(-x)，即抛物线关于y轴对称。

2. 峰值与最小值如果二次函数的开口向上，顶点为最小值点；如果二次函数的开口向下，顶点为最大值点。

3. 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点。

我们可以通过求解f(x) = 0来确定二次函数的零点。

4. 增减性如果二次函数的导数大于零，说明函数增加；如果二次函数的导数小于零，说明函数减少。

四、二次函数的应用二次函数在现实生活中有许多应用，下面我们来介绍其中两个典型的应用场景。

1. 抛物线的运动模拟我们知道，抛物线的运动轨迹可以用二次函数来模拟。

当一个物体被斜抛时，它的运动轨迹形状呈抛物线。

通过建立合适的二次函数模型，我们可以计算出抛物线的参数，从而预测物体的落点或者反向求解初始速度等。

2. 最优化问题二次函数在最优化问题中也有广泛的应用。

例如，我们希望以最小的成本建造一座桥梁，可以通过建立一个二次函数模型来求解最佳的桥梁设计方案。

同样，我们也可以利用二次函数来解决最大化收益或最小化风险的问题。

五、二次函数的解法与技巧在解题过程中，我们有一些常用的技巧和方法可以帮助我们更好地理解和解决二次函数相关的问题。

人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳

人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳知识点1 二次函数的概念和一般形式1.概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

其中， x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

【注意】（1）自变量x的最高次数是2，a≠0，b，c可以为0；（2）含自变量x 的代数式是整式而不是分式或根式。

2.一般式：y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）知识点2 二次函数的图像和性质1.二次函数的图像：是一条平滑的曲线叫做抛物线。

2.二次函数图像的画法：①列表；②描点；③连线。

3.二次函数的解析式（4种形式）（1）y = ax 2（a≠0）（2）y = ax 2+k（a，k是常数，a≠0）（3）y = a（x-h）2（a，h是常数，a≠0）（4）y = a（x-h）2+k（a，k，h是常数，a≠04.二次函数的图像和性质：分别从五种图像（4种特殊+1个一般式）和7个性质（顶点特点、开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、形状和大小等7个方面研究）。

如下图：二次函数的图像与性质a <05.图像平移后的解析式：y = a（x-h）2+k（a，k，h是常数，a≠0）平移规则：左加右减，上加下减。

知识点3 用待定系数法求二次函数的解析式：一般式、顶点式、交点式。

（1）已知抛物线上普通的3点的坐标，一般选用一般式；（2）顶点在原点，可设y = ax 2（3）顶点在x轴上，若抛物线与x轴有一个交点，可设y = a（x-h）2；若抛物线与x轴有两个交点，可设y=a（x-x1）（x-x2）；（4）顶点在y轴上（或对称轴在y轴上），可设y = ax 2+k；（5）已知顶点（h，k），可设顶点式y = a（x-h）2+k知识点4 二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴（直线y=0）交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解。

九年级上册数学二次函数知识点汇总

九年级上册数学二次函数知识点汇总新人教版九年级上二次函数知识点总结知识点一：二次函数的定义一般地，形如y=ax^2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点。

二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质如下：1）二次函数基本形式y=ax^2的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2）y=ax^2+c的图象与性质：上加下减。

3）y=a(x-h)的图象与性质：左加右减。

4）二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质：顶点坐标为(h,k)，开口方向由a的正负决定。

知识点三：二次函数的顶点式与标准式的相互转化二次函数y=a(x-h)^2+k和y=ax^2+bx+c可以通过配方法相互转化。

知识点四：二次函数的平移二次函数图象的平移可以通过改变顶点坐标实现。

具体平移方法如下：向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。

向右（h>0）或向左（h<0）平移|k|个单位。

知识点五：二次函数的解析式求解可以通过配方法、公式法、图像法等方式求解二次函数的解析式。

知识点六：二次函数的应用二次函数在物理、经济、生物等领域中有广泛的应用，如自由落体运动、抛体运动、成本函数、收益函数、生长模型等。

4)根据问题所求，利用函数的性质或图象求解；5)对结果进行检验和解释，看是否符合实际情况。

例如，某物体从高度为h的地方自由落下，经过t秒后落地，求物体的落地速度v。

建立平面直角坐标系，以落下的方向为正方向，设物体在t秒时下落的距离为s，则有s=1/2gt^2（g为重力加速度），又因为物体从高度为h落下，所以s=h-1/2gt^2.将s与t的关系式代入二次函数y=h-1/2gt^2中，得到二次函数y=h-1/2gt^2，利用函数的性质求出y=0时的t即为物体落地时的时间，再利用s=1/2gt^2求出物体落地时的下落距离，最后利用物理公式v=gt求出物体落地时的速度v。

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k为常数。

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定了抛物线的开口方向，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h。

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

三、二次函数图象的平移平移二次函数的步骤为：确定顶点坐标，保持抛物线形状不变，将顶点平移。

具体平移方法为：向右（左）平移h个单位，向上（下）平移k个单位。

平移规律可以概括为“左加右减，上加下减”。

四、二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²+bx+c的比较二次函数y=a(x-h)²+k和y=ax²+bx+c的区别在于表示方式不同，但它们的图象形状相同。

y=a(x-h)²+k更便于确定顶点坐标和对称轴，y=ax²+bx+c更便于确定一次项系数和常数项。

二次函数的特点和与其他函数的关系，如：设函数f(x)为一次函数，g(x)为二次函数，且在同一坐标系内，若f(x)和g(x)的图像均经过点(1,3)，则下列说法正确的是（）A．f(x)和g(x)的图像均经过点(2,6)B．f(x)和g(x)的图像均经过点(3,9)C．f(x)的图像经过点(2,6)，g(x)的图像经过点(2,5)D．f(x)的图像经过点(3,9)，g(x)的图像经过点(2,5)3．考查利用二次函数解决实际问题的能力，题的特点是给出具体的问题场景，需要学生根据题意列出方程并解答，如：一家餐馆销售汉堡，售价为每个3元，每天售出x个汉堡，该餐馆的总收入为y元．若这家餐馆每天的固定成本为32元，每售出一个汉堡的变动成本为1元，求这家餐馆每天售出多少个汉堡时，能收益最大？二次函数的解析式：二次函数的解析式由系数a、b、c决定，其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在y轴的位置，c决定了抛物线与y轴的交点位置。

人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》章节知识点归纳总结

《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。

（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x 的最高次数是2．（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）（2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a 在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y ＝a(x-h)2+k ，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h ＝0时，抛物线y ＝ax 2+k 的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x 轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝ax 2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y 轴，则设y=ax 2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax 2+k4、抛物线的性质：（1）.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a 。

九年级上册数学二次函数知识点笔记

九年级上册数学二次函数知识点笔记1、二次函数的定义一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．2、二次函数的判断方法：①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．3、二次函数y=ax²的图象和性质4、二次函数y=ax²+k的图象和性质5、二次函数y=a(x-h)²的图象和性质6、二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质7、抛物线的平移先将二次函数解析式化为顶点式y=a(x-h)²+k，根据口诀“左加右减，上加下减”，来进行平移运算 .8、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质9、抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系a ：抛物线开口向上，a＞0抛物线开口向下，a＜0b ：抛物线的对称轴是y 轴，则b=0抛物线的对称轴在y轴左侧，则，即a、b同号抛物线的对称轴在y轴右侧，则，即,a、b异号c ：抛物线与y轴的交点为坐标原点，则c=0抛物线与y轴正半轴相交，则c＞0抛物线与y轴负半轴相交，则c＜0另外，c表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c）10、二次函数解析式的表示方法（1）一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）（2）顶点式：y=a(x-h)²+k（a,b,c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标（3）交点式：y=a(x- x1)(x-x2)(a≠0，x1，x2 是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程ax²+bx+c=0 的两个根)。

11、求抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点和对称轴的方法（1）公式法：y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点是，对称轴是直线（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)²+k的形式，得到顶点为(h，k)，对称轴是直线x=h.12、二次函数与一元二次方程的关系13、利用二次函数求最值的应用题若应用题出现“最多、最少、利润最大、利润最小”等字眼.解题方法：对二次函数进行配方，配成顶点式y=a(x-h)²+k，当x＝h时，k为最值。

人教版九年级数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)。

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