质点力学

s
v=
dt
=
dt ds
= vτ
dv d ɺ a= = (vτ ) = vτ + vτɺ dt dt ds dθ dv v2 ɺ ɺ ɺ = vτ + vθn = vτ + v n= τ + n dt ds dt ρ
dv ˆ v 2 ˆ a= i+ j dt ρ
y
τ'
n'
Q
ˆ a = aτ i + an ˆ j
六个积分常数， 六个积分常数，由 例如
v t = 0 时的x0 , y 0 , z 0 ； 0 x , v 0 y , v 0 z 确定
ɺ dx = a x dt
dx ɺ x= dt
ɺ dx a x = ɺɺ = x dt
ɺ x = ∫ a x dt + c1
ɺ x = ∫ xdt + c 2
二、平面极坐标系
运动学方程式是质点运动学的核心
r = r (t )
⇔
x = x(t ) y = y (t ) z = z (t )
x = x(t ) 若已知 r ，即 y = y (t ) 则可通过求导数求出 z = z (t )
v
ɺ ax = vx v x , v y , v z 则可通过求导数求出 a ，即 ay = vy ɺ 若已知 v ，即 a = v z ɺz
横向速度
vθ = −v x sin θ + v y cos θ
ɺ ɺ = − ( r cos θ − r θɺ sin θ ) sin θ + ( r sin θ + r θɺ cos θ ) cos θ = r θɺ
ɺ ɺ ɺ x r 同理: a x = ɺɺ = ɺɺ cos θ − rθɺ sin θ − rθɺ sin θ − rθɺsin θ − rθɺ 2 cos θ 同理 ɺ ɺ ɺɺ = (ɺɺ − rθ 2 ) cos θ − (rθɺ + 2rθ ) sin θ r
描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数 学表达式称为运动学方程。 学表达式称为运动学方程。 质点的运动学方程确定了点在参考空间中 任一瞬时的位置， 任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示质点运动 的几何性质：轨迹、速度和加速度。 的几何性质：轨迹、速度和加速度。写出质点的 运动学方程是研究质点的运动学的首要任务。 运动学方程是研究质点的运动学的首要任务。
*
∆r ∆t
速度： 速度： = lim v
∆t →0
r ( t + ∆t ) − r ( t ) ∆t
= lim ∆rt = ∆
∆t →0
dr dt
= r (t )
•
方向沿轨道切线方向和运动方向一致。 矢量：方向沿轨道切线方向和运动方向一致。
ˆ ɺ ˆ ɺj ɺ ˆ v = v xiˆ + v y ˆ + vz k = xi + yˆ + zk j
x a x = ɺɺ y a y = ɺɺ a = ɺɺ z z
2 2 2 a = a x + a y + a z = ɺɺ2 + ɺɺ 2 + ɺɺ2 x y z
a 的方向余弦
ɺɺ a x cos(a , i ) = x = a a a y ɺɺ y cos(a , j ) = = a a z cos(a , k ) = a z = ɺɺ a a
τ
n
P
dv aτ = = ɺɺ = v s ɺ dt ɺ v2 s2 an = = ρ ρ
大小
（切向加速度） 切向加速度） （法向加速度） 法向加速度）
2 ɺ a = aτ2 + an = v 2 + (
θ
O
x
v2
ρ
)2
aτ an
是由于速度的量值改变所引起的 是由于速度的方向改变所引起的
补充例题： 补充例题：
∵ x = r cosθ
ɺ ɺ ∴ v x = x = r cos θ − rθɺ sin θ
y = r sin θ
ɺ v y = r sin θ + rθɺ cosθ
v r = v x cos θ + v y sin θ 径向速度 ɺ ɺ ɺ = ( r cos θ − r θɺ sin θ ) cos θ + ( r sin θ + r θɺ cos θ ) sin θ = r
性质： 性质： 、不能有两个或两个以上的物 1
体同时占据同一空间。 体同时占据同一空间。 2、不能从空间某一位置突然改 变到另一位置。 变到另一位置。
轨道： 轨道： 运动质点在空间一连串所占据
的点形成。 的点形成。
三、位移、速度和加速度 位移、
位移：质点相对于参照系运动时， 位移：质点相对于参照系运动时，位置 连续变化，在给定时间内， 连续变化，在给定时间内，初位 置指向末位置的矢量。 置指向末位置的矢量。 速度： 速度：位矢的时间变化率叫做质点在时 的瞬时速度。 刻t的瞬时速度。 加速度：速度的时间变化率叫做加速度。 加速度：速度的时间变化率叫做加速度。
t+△t时刻: v(t+△t)
速度增量： v = v(t+△t)-v(t) △ 平均加速度： a= △v △t 瞬时加速度： a =
△v dv i d 2 r ɺɺ lim △t = dt = v = dt 2 = r (t ) △ t →0
ˆ x ˆ yj z ˆ ˆ a = a xi + a y ˆ + a z k = ɺɺi + ɺɺˆ + ɺɺk j
Note: 在极坐标系中，虽然加速度的表达式较直 角坐标系复杂，但对某些问题的处理较直角坐 标系更为方便！
三、自然坐标系
质点沿已知平面轨道曲线运动, 质点沿已知平面轨道曲线运动,速度 v沿轨道切线 方向, 方向,则 v = vτ 将加速度 a 分解为切向分量和法向分 量 a = aττ + an n 分别为切线方向和法线方向的单位矢, 其中 τ , n 分别为切线方向和法线方向的单位矢, τ 与X轴夹角为 θ ，在轨道曲线上选一定点作为弧 坐标的原点， s 坐标的原点，则= s(t) 规定 的正方向指向 增加 τ 方向。 方向。 dr ds dr
x = v x dt + c1 ∫ 通过积分求出 r，即 y = ∫ v y dt + c 2 z = ∫ v z dt + c3 为积分常数， 其中 c1 , c 2 , c3为积分常数，由 t = 0 时质点的初始位置
x0 , y 0 , z 0 确定 若已知 a ，即 a x , a y , a z ，可通过两次积分求得 r ，存在
1 d 2ɺ (r θ ) r dt
（横向加速度） 横向加速度）
（2）方法二 在平面极坐标系中， 径向单位矢， 在平面极坐标系中，r 0 径向单位矢， 0横向单位 θ 0 矢（指向 θ 增加方向），均非恒矢量 r = rr 增加方向），均非恒矢量 ）， ɺ d ɺ ɺ v = r = ( r r 0 ) = r r 0+ r r 0 质点速度 dt
（1）方法一 质点沿平面曲线c运动将 质点沿平面曲线 运动将 为 vx , v y
v 分解
则 v = vxi + v y j
增加方向， 亦可将 v 分解为 v r , vθ ,其中 vθ 垂直矢径 r ，沿θ 增加方向， 其中
0 0 分别为径向、 则 v = vr r + vθ θ 其中 r 0 ，θ 0 分别为径向、横向单位矢
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ɺ ɺ a y = ɺɺ = (ɺɺ − rθɺ 2 ) sin θ + (rθɺ + 2rθɺ) cosθ y r
ɺ ∴ ar = a x cosθ + a y sin θ = ɺɺ − rθ 2 r
ɺ ɺɺ aθ = −a x sin θ + a y cosθ = rθɺ + 2rθ =
（径向加速度） 径向加速度）
理 论 物 理
核反应堆
主 讲 教 师 ： 冉 扬 强
理 论 力 学
傅 科 摆
第一章 质点力学
§1.1 运动的描述方法
一、参考系和坐标系 1、参考系：依据 准则 确定参考系后，讨论物 准则，确定参考系后 确定参考系后， 、参考系：
体运动才有意义；参考系不同，运动规律则不同。 体运动才有意义；参考系不同，运动规律则不同。
2、坐标系：数学工具，用于定量讨论物体的运动， 、坐标系：数学工具，用于定量讨论物体的运动，
它与参考系相固连，是参考系的数学抽象（ 它与参考系相固连，是参考系的数学抽象（代表 与参考系相固连的整个空间）， ），同一参考系可建 与参考系相固连的整个空间），同一参考系可建 立不同的坐标系，对同一参考系不管选用什么坐 立不同的坐标系， 标系，运动规律都相同。 标系，运动规律都相同。
3、质点 、 定义： 定义：具有质量而不计其大小和 形状的合理的抽象模型． 形状的合理的抽象模型． 如何可以把物体看作质点？ 如何可以把物体看作质点？
一个物体如果其大小远小于研究问题中的 有关距离（ 有关距离（r《l）而问题又不涉及物体的转动。 而问题又不涉及物体的转动。
二、运动学方程与轨道
运动方程： 运动方程：
（2）速度
质点从
t → t + ∆t
位置： 位置： P → Q 位矢： 位矢： r (t )
→ r (t + ∆t )
表示质点在 ∆t 内位置变化快慢 的平均值和方向。 的平均值和方向。
位移： 位移： PQ = ∆r = r (t + ∆t ) − r (t ) 起点指向终点
平均速度: 平均速度
v =
ɺ 小 化 起 ） 向 度 vr = r(r大 变 引 的 径 速 ɺ 向 化 起 ） 向 度 vθ = rθ（r方 变 引 的 横 速
加速度
ɺ ar = ɺɺ − rθ 2 r ɺɺ + 2rθ = 1 d (r 2θ ) ɺ ɺɺ aθ = rθ r dt
径 向加速 度 横 向加速 度
（1）位矢
r = op
r (t) = x(t)i + y (t) j + z (t)k
是坐标轴的固定单位矢量。 i 、j 、k 是坐标轴的固定单位矢量。
运动学方程： 运动学方程：
r = r (t )
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
参数方程： 参数方程：
r (t ) 是单值函数、连续函数、二次可微函数
其中： 其中： a x
ɺ x = v x = ɺɺ
ɺ a y = v y = ɺɺ y
ɺ z a z = v z = ɺɺ
ɺɺ + ɺɺ + ɺɺ x y z
2 2 大小： ɺ2 ɺy ɺ2 大小： a = a x + a 2 + a z = v x + v 2 + vz = y
方向： 方向：
ˆ ˆ) = a x , cos(a , ˆ) = a y , cos( a , k ) = a z j cos(a , i a a a
§1.2
速度、 速度、加速度的分量表示式
一、直角坐标系
ɺ j ɺ r = xi + yj + zk 其中 i , j , k 是恒单位矢量 i = ɺ = k = 0
ɺ ɺ ɺ ɺ 1、速度 v = r = xi + yj + zk = vxi + vy j + vz k ɺ vx = x 速率 v = vx 2 + vy 2 + vz 2 ɺ 分量表示式 vy = y v = z z ɺ
r
0
= cosθi + sin θj
θ 0 = − sin θi + cosθj
ɺ 0 = −θɺ sin θi + θɺ cosθj = θɺ(− sin θi r ɺ 0 = − θɺ r 0 θ
ɺ + cos θj ) = θ θ 0
r 0 + rθɺθ 0 = v r r 0 + vθ θ 0 ɺ ∴v = r
ɺ2 + y2 + z2 ɺ ɺ 大小： 大小：v = v + v + v = x
2 x 2 y 2 z
方向余弦： 方向余弦：
cos α =
vy vx v ，cosγ = z ，cosβ = v v v
α，β，γ 分别为 v 与x、y、z轴正方向之间的夹角
（3）加速度 ）
t时刻: v = v(t )
ɺ vx x cos(v, i ) = v = v vy y ɺ = cos(v, j ) = v v 的方向余弦 ɺ cos(v, k ) = vz = z v v
ɺ ɺ ɺ = x2 + y 2 + z 2
v
2、加速度
ɺ x a = v = ɺɺi + ɺɺj + ɺɺk = a x i + a y j + a z k y z