质点力学习题.ppt
01 力学：第一章 质点运动学-课堂练习及部分习题解答
xM h2 = x h1 − h2 dxM h1 dx vM = = dt h1 − h2 dt
h2
x
· x
M
M
x
《学习指导》第1章·典型例题3
Zhang Shihui
题. 距河岸(看成直线)500m处有一艘静止的船，船上的探 照灯以转速为n=1r/min转动。当光束与岸边成60°角时， 光束沿岸边移动的速度的大小是多少？ 解：首先建立 p 的运动方程 x(t)
Zhang Shihui
题. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其 加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比， 即 dv dt = − kv 2。式中k为常数，试求电艇在关闭发动 机后行驶x距离时的速度。 dv dv dx 2 解：已知 = − kv ⇒ = − kv 2 dt dx dt
《学习指导》第1章·典型例题7
Zhang Shihui
题. 物体悬挂在弹簧上作竖直振动，加速度为a=-ky，k为 常数，y是以平衡位置为原点测得的坐标，假定振动的物 体在坐标y0处的速度为v0，求速度v和坐标y的函数关系。
dv dv dy dv 解： 由 a = = −ky ⇒ = − ky ⇒ v = − ky dt dy dt dy
《学习指导》第1章·典型例题2
Zhang Shihui
题. 灯距地面高度为h1，一只鸵鸟身高为h2，在灯下以匀 速率v沿水平直线行走，如图所示，则它的头顶在地上的 影子M点沿地面移动的速度为多少？ 解：建立如图所示的坐 标系，鸵鸟坐标为x， M点的坐标为xM
dx dxM = v, vM = =? dt dt
α h
O
vp
x
θ P
《学习指导》第1章·习作题1
力学习题课PPT课件
1．如图，两小球质量相等，均为m，开始时外力使劲度 系数为k的弹簧压缩某一距离x，然后释放，将小球m1投 射出去，并于静止的小球m2发生弹性碰撞，碰后m2沿半 径为R的圆轨道上升，达到A点恰与圆环脱离，A与竖直
线所成角q = 60°，忽略一切摩擦力。试求弹簧被压缩的
距离x等于多少？
解: 过程I，发射m1，机械能守恒。 kx2 2 mu120 2
过程III，泥球-板向下运动，泥球-板-弹簧-地球机械 能守恒，弹性势能零点在原长处、重力势能零点在 板的平衡位置。
1 2
k x02
1 2
(m
M
)u 2
1 2
k ( x0
x)2
(m
M
)gx
m
四式联立有，x mg (1 1
2kh )
h
f M
k
(M m)g
G10
3．一质量为m的子弹，水平射入悬挂着的静止砂袋中， 如图所示．砂袋质量为M，悬线长为l．为使砂袋能在竖 直平面内完成整个圆周运动，子弹至少应以多大的速度 射入？
解: 过程I，子弹-砂袋发生完全非弹性碰撞，动量守恒。
mu0 (m M )u1
过程II，轨道运动，遵循牛顿运动定律和机械能守 恒。以最低点为势能零点，在最高点有，
m M g N m M u 2
R
1 2
m
M
u12
2m
M
gR
1 2
m
M
u
2
m
NG O l M
mgR(1
c osq
)
1 2
mu 2
6.质点力学习题课
v = u − v′ = u − 2gl (1− cosϕ)
以地面为参考系，对系统（小球与地球） 以地面为参考系，对系统（小球与地球）应用功能 原理， 原理，则摆线对小球作的总功为
1 2 1 2 A = mv − mu + mgl (1 − cosϕ) 2 2 = − mu 2 gl (1 − cosϕ )
(2 )
= acosωti + bsinωtj × − mωasinωti + mωbcosωtj 2 2 = mωab cos ωtk − (− m ω ab sin ω t k )
(
L = r × mv
)(
)
= mωabk
i a cosωt
j k bsinωt 0
−ωa sinωt ωbcosωt 0
2 2
[
(
)
](
(
)
)
t 的时间内， t r 在 >0 的时间内，当 = 2时， ⋅ a = 0 υ ⋅ a = 2 i − 2 tj ⋅ − 2 j = 4 t 所以， t 的时间内， 所以，在 > 0 的时间内， ⋅ a ≠ 0. υ
[
](
)
)
(
)
(
)(
牛顿定律部分
牛顿定律部分
1.如图所示，用一斜向上的力F (与水平成300 角)，将一重为G 的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F都不能使 木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数µ的大小为：
υ 船，岸 = ui + Vj V = V0 x
t
x=
∫ y = ∫ vdt = ∫
0 t
udt = ut
t
《工程力学 》课件第14章
14.2.3 点的加速度
同直角坐标法求速度的方法一样， 动点的加速度在直角 坐标轴上的投影为
ax
lim vx Δt0 t
dv x dt
d2x dt 2
ay
lim v y Δt0 t
dv y dt
d2 y dt 2
（14-19）
即动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应的速度
投影对时间的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导
当点M沿已知轨迹运动时， 弧坐标s是时间t的单值连续函
数， 即
s f (t)
（14-1）
上式称为动点沿已知轨迹的运动方程。当函数已知时，任一瞬 时点在轨迹上的位置即可确定。
图14-1
例14-1 点M沿已知曲线轨迹运动，如图14-2所示。其运 动方程为s=t2-2t-1(s的单位为cm，t的单位为s)。试求当t=0、1、 2、3s时，点的弧坐标s以及0～3s内动点所走过的路程。
如图14-4所示，动点M沿已知轨迹运动。以动点M为坐标 原点， 以轨迹上M点的切线和法线为坐标轴，并规定切线坐标 轴（切向轴）τ以指向弧坐标正的方向为正向，法线坐标轴 （法向轴）n以指向轨迹曲率中心为正向。 此正交坐标系称为 自然坐标系，简称自然轴系。可见, 自然轴系随动点M沿已知 轨迹运动。
图14-4图
a an 4R 2
其方向沿MO且指向O，可知套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。
14.2 直角坐标法求点的速度和加速度
14.2.1 点的运动方程
设一动点M相对于直角坐标系Oxy作平面曲线运动，如图 14-8所示，某瞬时它的位置可用直角坐标系的两个坐标x、y确 定。点运动时，两个坐标x、y都是时间t的单值连续函数，即
数。 有了加速度的两个投影，即可求得加速度a的大小和方向
经典力学习题课1-质点运动学
y
v
a’τ
θ
θ
v0
g
θ0 o
题1.3图
ds dy
θ dx
x
【解】设驱动力与阻力所产生的加速度为a’，火箭的
加速度为 ar ar ' gr
其切向分量和法向分量分别为
a a ' g sin , an g cos
因为火箭的速率恒定，故有
a
dv dt
0
（1）
即有
a
a ' g sin 0, an
法向加速度 an a2 a2
得到 an
bv02
b2 y2 v02
(8)
3
Q
an
v2
(b2 y2 v02 ) 2 bv02
(9)
题1.5 一细杆绕o端点在平面内以匀角速旋转， 角速度为ω。在杆上套有一小环（可看作质点） 相对于杆作匀速运动，速率为u。时间t＝0时小 环位于端点o处。求小环的运动轨迹及在任意时 刻小环的速度和加速度。
v2
g cos
（2）
式中ρ是火箭所在处的曲率半径。
Q ds , cos dx
d
ds
d d ds 1 dx ds dx cos
代入（2）式得
d g
dx v2
（3）
将（3）式积分，考虑初始条件，当t＝0时，x＝0，
θ＝ θ0。可得
0
g v2
x
又因为
tan
dy , dy dx dx
(2r&& r&&)r 0
dt
Q &r& 0,&& 0 ar r&2rr 0 2r&&r 0
质点力学习题与参考解答
【郑重说明】《理论力学》课程的习题及解答方面的参考书很多，学习者可以通过各种形式阅读与学习，按照学院对教学工作的要求，为了满足学习者使用不同媒体学习的实际需要，通过各种渠道收集、整理了部分习题及参考解答，仅供学习者学习时参考。
由于理论力学的题目解答比较灵活，技巧性也比较强，下面这些解答不一定是最好的方法，也可能会存在不够完善的地方，希望阅读时注意之。
学习理论力学课程更重要的是对物理概念的掌握与理解，学习处理问题的思想与方法，仅盲目的做题目或者阅读现成的答案，很难达到理想的结果。
质点动力学思考题与习题及参考解答思考题(1) 有一质量为m 的珠子, 沿一根置于水平面内的铁丝滑动, 采用自然坐标法描述. 珠子受重力g m W=, 铁丝施与的约束力b Nb n Nn t Nt Ne F e F e F F ++=.t Nt e F 即为滑动摩擦力f F, 设动摩擦因数为μ. 试判断下列各式正误: (1) mg F f μ=； (2) Nb f F F μ= （3）Nn f F F μ=；(4) 22Nb Nnf F F F +=μ(2) 用极坐标系描述单摆的运动. 某甲如思考题(2图(a)规定θ角正向, 得到动力学方程θθsin mg ml -= ； 某乙如思考题(2图(b)规定θ角正向, 则得到θθsin mg ml += . 你认为谁的做法正确?(a) (b)思考题(2图(3) 质量为m 的质点, 由静止开始自高处自由落下. 设空气阻力f F与速度成正比, 比例系数为k . 某甲建立竖直向上的坐标如思考题(3图(a), 得到方程为y k mg y m+-=. 某乙建立竖直向下的坐标如思考题(3图(b), 得到方程为y k mg y m-=.他们列出的方程对吗?(a) (b)思考题(3(4)有人认为: 用极坐标系讨论质点的平面运动时, 如果0≡r F , 则沿径向动量守恒,==rm p r 常量；若0≡θF , 则沿横向动量守恒. 这种看法对吗? (5) 试判断以下二论断是否正确:(1) 若质点对固定点O 的角动量守恒, 则对过O 点的任意固定轴的角动量守恒. (2) 若质点对固定轴的角动量守恒, 则对该轴上任一固定点的角动量守恒.(6) 一质点动量守恒, 它对空间任一固定点的角动量是否守恒? 如质点对空间某一固定点角动量守恒, 该质点动量是否守恒?(7) 当质点做匀速直线运动时, 其动量是否守恒? 角动量是否守恒?(8) 在固定的直角坐标系Oxyz 中, 质量为m 的质点的速度k v j v i v v z y x++=, 所受合力为k F j F i F F z y x ++=. 能否将质点的动能定理r F mv d )21(d 2⋅=向x 轴方向投影而得出分量方程x F mv x x d )21(d 2= 该方程是否正确?思考题解答(1) 仅(4)式正确.(2) 甲正确. 乙错在角度不可以定义为从动线指向定线.(3) 乙的方程正确. 甲错在空气阻力亦应为yk -，y 取负值，y k -取正值. (4) 仅对固定方向才有动量守恒的分量形式. 径向和横向均不是空间固定方向. (5) (1)对；(2)错. (6) 一质点动量守恒，则对空间任一固定点角动量守恒. 质点对空间某一固定点角动量守恒，其动量不一定守恒.(7) 质点作匀速直线运动时，其动量和角动量均守恒.(8) 动能定理是标量方程，不可能投影而得出分量方程. 但xF mv x d )21(d 2=是正确的. 仿照动能定理的导出，用x t v x d d =乘牛顿第二定律的x 分量方程x xF t v m=d d 即可证明.质点动力学习题及参考解答【1】研究自由电子在沿x 轴的振荡电场中的运动. 已知电场强度i t E E)cos(0ϕω+=,ϕω,,0E 为常量. 电子电量为e -, 质量为m . 初始时, 即当0=t 时i x r00=, i v v 00=. 忽略重力及阻力, 求电子的运动学方程.【解】力为时间的函数，积分两次可得)cos(200ϕωω+++=t m eE t V X x ，其中ϕωcos 2000m eE x X -=，ϕωsin 00m eE v V +=.【2】 以很大的初速度0v自地球表面竖直上抛一质点, 设地球无自转并忽略空气阻力, 求质点能达到的最大高度. 已知地球半径为R , 地球表面处重力加速度为g .【解】以地心O 为原点，建立x 轴经抛出点竖直向上. 质点受万有引力沿x 轴负方向. 所以2x GMm xm -= . 因为2R GMmmg =，故g R GM 2=. 故有22x g R x -= . 做变换)2(d d d d d d d d 2x x x x x t x x x x ===，则x x g R x d )2(d 222-= . 积分并用0=t 时R x =，0v x = 定积分常数，得到 )11()(212202R x g R v x -=- . 质点达最大高度时H R x +=，0=x，可求出 1220)21(2--=Rg v g v H .三点讨论：(1)令∞=H ，对应Rg v 20=为第二宇宙速度.(2)若Rg v 220<<，则回到重力场模型所得结果. (3)题中不考虑地球自转及空气阻力，均不大合理，试进一步讨论之.【3】 将质量为m 的质点竖直上抛, 设空气阻力与速度平方成正比, 其大小22gv mk F R =.如上抛初速度为0v , 试证该质点落回抛出点时的速率2201v k v v +=.【解】质点运动微分方程为（Oy 轴竖直向上）；上升阶段22y g mk mg y m--=，下降阶段22y g mk mg ym +-=. 【4】向电场强度为E 、磁感应强度为B 的均匀稳定电磁场中入射一电子. 已知B E⊥, 电子初速0v 与E 和B 均垂直, 如题4图所示. 试求电子的运动规律. 设电子电量为e -.题4图【解】令m eB=ω，电子运动微分方程为y xω-=， （1） m eEx y-= ω， （2）0=z . （3）对（2）式求导，利用（1）式得02=+y yω，解出)sin(αω+=t A y . 0=t 时0=y 故0=α，由t A y ωωcos = ，且0=t 时m eBv Ee y0+-= ，故B Bv E A 0+-=，则t B Bv E y ωsin 0+-= . 积分得)cos 1()(20t m eB eB Bv E m y -+-=. 代入（1）式积分可得t m eB eB Bv E m t B E x sin )(20--=.【5】 旋轮线如题5图所示, 可理解为一半径为a 的圆轮在直线上做无滑滚动时轮缘上一点P 的轨迹, 其参数方程为)sin (ϕϕ+=a x , )cos 1(ϕ-=a y . 在重力场中, 设y 轴竖直向上, 一质点沿光滑旋轮线滑动, 试证质点运动具有等时性(绕O 点运动周期与振幅无关).题5图【解】(旋轮线是如图圆轮在直线AB 上作无滑滚动时P 点的轨迹，曲线上P 点切线方向即为轮上P 点速度方向. 因无滑，0P 为瞬心，故P 点切线与P P 0垂直，因此可知P 点切线与x 轴夹角为2ϕ. )以曲线最低点(0=ϕ)为自然坐标原点，弧长正方向与t e 一致. 质点运动微分方程为2sinϕmg s m -= .对曲线参数方程求微分，得ϕϕd )cos 1(d +=a x 和ϕϕd sin d a y =，所以ϕϕd 2cos 2d d d 22a y x s =+=，积分并用0=ϕ时0=s 定积分常数，得2sin 4ϕa s =. 代入质点运动微分方程消去ϕ，得到4=+s a gs ，s 作简谐振动而具有等时性. 其解为)cos(0αω+=t A s ，a g40=ω与振幅无关.【6】 一小球质量为m , 系在不可伸长的轻绳之一端, 可在光滑水平桌面上滑动. 绳的另一端穿过桌面上的小孔, 握在一个人的手中使它向下做匀速运动, 速率为a , 如题【6图所示. 设初始时绳是拉直的, 小球与小孔的距离为R , 其初速度在垂直绳方向上的投影为0v . 试求小球的运动规律及绳的张力.题6图【解】小球运动微分方程为T F r r m -=-)(2θ ， （1） 0)2(=+θθr r m ， （2）a r-= . （3） 由（3）式求出at R r -=，代入（2）式求出)/(0at R t v -=θ，再由（1）式求出3220)(at R R mv F T -=.【7】 一质量为m 的珠子串在一半径为R 的铁丝做成的圆环上, 圆环水平放置. 设珠子的初始速率为0v , 珠子与圆环间动摩擦因数为μ, 求珠子经过多少弧长后停止运动 (根据牛顿第二定律求解).【解】珠子的运动微分方程为2b 2n d d N N F F t v m+-=μ， （1）n 2/N F mv =ρ， （2）mg F N -=b 0， （3）R =ρ（约束方程）. （4）把（2）、（3）、（4）式代入（1）式，作变换sv t v d /)21(d d d 2=，可求出]/)ln[()2/(224020Rg g R v v R s ++=μ.【8】 质量为m 的小球沿光滑的、半长轴为a 、半短轴为b 的椭圆弧滑下, 此椭圆弧在竖直平面内且短轴沿竖直方向. 设小球自长轴端点开始运动时其初速度为零. 求小球达到椭圆弧最低点时对椭圆弧的压力 (根据牛顿第二定律求解). 【解】以椭圆最低点为自然坐标原点O ，弧长正方向指向小球初始位置，θ为切向与水平方向的夹角，小球的运动微分方程为θsin mg vm -= ， （1） θρcos /2mg F mv N -=. （2）Oy 竖直向上，将s y d /d sin =θ代入（1）式得s y g s v v d /d d /d -=，积分可求出小球达最低点时gb v 22=. 由轨道方程22x a a by --=求出当0=x 时0='y ，2/a b y =''，由公式可求出22/32)1(1a b y y ='+''=ρ. 再由（2）式求出0=θ时)/21(/cos 22a b mg mv mg F N +=+=ρθ.【9】 力1F 和2F分别作用在长方体的顶角A 和B 上, 长方体的尺寸和坐标系如题【9图所示. 试计算1F 和2F对原点O 及3个坐标轴的力矩.题9图【解】11bF M x =，11aF M y -=，01=z M ，2222/b a bcF M x +=，2222/b a acF M y +-=，02=z M .【10】 已知质量为0m 的质点做螺旋运动, 其运动学方程为t r x ωcos 0=, t r y ωsin 0=,kt z =,k r ,,0ω为常量. 试求: (1)t 时刻质点对坐标原点的角动量；(2) t 时刻质点对过),,(c b a P 点, 方向余弦为),,(n m l 的轴的角动量.【解】由运动学方程求出→v ，根据定义即可求出→→→→→→++--=⨯=k r m j t t t r km i t t t r km v r m L ωωωωωωω200000000)sin (cos )cos (sin ，)]cos ()sin )([(]cos )()sin ([000000),,(a t r k t r c kt m m t r c kt b t r k l m L n m l -+-----=ωωωωωω)sin cos (00200t br t ar r n m ωωωωω--+.【11】 如题【11图所示, 质量为m 的小球安装在长为l 的细轻杆的A 端, 杆的B 端与轴21O O 垂直地固连. 小球在液体中可绕21O O 轴做定轴转动, 轴承1O 和2O 是光滑的. 转动中小球所受液体阻力与角速度成正比, ωαm F R =,α为常量. 设初始角速度为0ω,试求经多少时间后, 角速度减小为初始值的一半,以及在这段时间内小球所转圈数.(忽略杆的质量及所受阻力.)题 11图【解】由对21O O 轴的角动量定理ωαωm l ml t -=)(d d2，积分可得lt /0e αωω-=，求出α/)2ln (l t =. 将角动量定理化为l /d d θαω-=，积分可以求得αωαωθπ4/)r a d (2/00l l ==（圈）【12】 质量为m 的质点沿椭圆轨道运动, 其运动学方程为kt a x cos =, kt b y sin = (k b a ,,为常量). 用两种方法计算质点所受合力在0=t 到k t 4π=时间内所做的功.【解】(1)由动能定理)(4121212222122b a mk mv mv W -=-=.(2)用曲线积分算⎰⎰+=⋅=→→2121)d d (y ym x x m r d F W ，把轨道参数方程kt b y kt a x sin ,cos ==代入，则曲线积分化为对t 的积分，可得同样结果.【13】 试用动能定理求解7题.【解】珠子的动能定理为sF F mv N N d )21(d 2b 2n 2--=μ，参见3.7提示【14】 有一小球质量为m , 沿如题【14图所示的光滑的水平的对数螺旋线轨道滑动. 螺旋线轨道方程为θa e r r -=0, a 为常数. 已知当极角0=θ时,小球初速为0v . 求轨道对小球的水平约束力N F 的大小. (用角动量及动能定理求解, 图中δ为θe 与v 方向间夹角,a =δtg.)题14图【解】因机械能守恒，小球动能不变，因此0v v =.过O 点作z 轴竖直向上(垂直纸面向外)，质点对z 轴的角动量δcos rmv L z =. 质点所受对z 轴力矩δsin N z rF M -=. 由对z 轴的角动量定理得δδsin )cos (d d0N rF rmv t -=.由于θθθθθ ar ar t r r v a r -=-===-e d d d d 0，θθ r v =. 故a v v r =-=θδtan . 将它代入角动量定理方程，得到N N arF rF rmv -=-=δtan 0 . 而δδsin sin 0v v v r r -=-== ，所以θδδδa N a r mv a r mv ar mv ar mv F e 11tan 1tan sin 2020220222020+=+=+==.【15】 已知质点所受力F 的3个分量为z a y a x a F x 131211++=,z a y a x a F y232221++=, z a y a x a F z 333231++=,系数)3,2,1,(=j i a ij 都是常量. 这些ij a 满足什么条件时与力F相关的势能存在? 在这些条件被满足的条件下, 计算其势能.【解】当0=⨯∇→F 时势能存在，要求311332232112,,a a a a a a ===. 以原点为势能零点，则)222(21132312233222211xz a zy a xy a z a y a x a V +++++-=.【16】 一带有电荷q 的质点在电偶极子的场中所受的力为3c o s 2r pq F r θ=,3sin r pq F θθ=,p 为偶极距, r 为质点到偶极子中心的距离.试证此力场为有势场.【解】)/cos (d d d )d d (d 2r pq r F r F e r e r F r F r r θθθθθ-=+=+⋅=⋅→→→→→，故为有势场 【17】 如题17图所示, 自由质点在Oxy 平面内运动, 静止中心A 和B 均以与距离成正比的力吸引质点M , 比例系数为k . 试证明势能存在并求出质点的势能.v题【17图【解】y ky x kx y ky ky x b x k b x k r F d 2d 2d )(d )]()([d --=--+--+-=⋅→→)](d [22y x k +-=.故势能存在. 以O 为势能零点，则)(22y x k V +=.【18】 试用机械能守恒定律求解8题.【解】根据机械能守恒定律，以椭圆弧最低点为势能零点，mgbmv =221，可知gb v 2=，参见3.8提示.【20】 将质量为m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。
习题课-质点力学
d 2s v2 dv v2 v ˆ ˆ ˆ a = 2 τˆ + n = τˆ + n = aττˆ + an n dt R dt R
角加速度
dω β= dt v v
aτ = β R an = ω R
2
3. 运动学两类问题的求解 已知质点的运动方程，求质点的状态 微分 已知质点的运动方程，求质点的状态—微分 已知质点的状态，求质点的运动方程 积分 已知质点的状态，求质点的运动方程—积分 三 注意区分
t1
v v 1 dA = F ⋅ dr = dEk Ek = mv 2
Aab = ∫
rb ra
力的空间积累效应
2 v v F ⋅ dr = Ekb − Eka
uu d L v M= u v dtv v L=r×p
第三定律
v v v v v v Fij + Fji = 0, ri × Fij + rj × Fji = 0
dx 2 v= = 9t − 6t dt
d2x a = 2 = 9 − 12t dt
从上式可见质点开始时沿x 正向运动， 从上式可见质点开始时沿 正向运动，而加 速度在0.75s后反向，所以运动有折返。正确的解 后反向， 速度在 后反向 所以运动有折返。 法是找到运动折返的时刻。 法是找到运动折返的时刻。 dx v=0 即 =0 由 dt x1.5 = xmax t = 1.5s 得 x1 所以 x2 X1.5
dω = 2dt
∫θ
t
θ + 75
dθ = ∫
t +5
t
2tdt
∫
ω
0
d ω = ∫ 2dt
0
75 = (t + 5)2 − t 2
第一章质点运动学及动力学习题
（2）他在东边落地时的速度多大？速度与 水平的夹角多大？
Z3
解: (1) 建立坐标系，由题得
70
x
65cos 22.5 65sin 22.5 t
t
1 2
gt
解得，t=7s，
2
x=420m
(2) 速度 v
xx2
y
2 y
式中 vx v0 cos 22.5, vy v0 sin 22.5 gt
算出这一距离。
Z2
解: (1)位置矢量
；
r xi yj 2ti (19 2t2 ) j
rt 1s 2i 17 j
rt 2s 4i 11 j
1s-2s内平均 速度 v r2s r1s 2i 6 j t
大小 6.32m/s，方向 与x轴约成-71.5°
Z5 一 质 量 mB=0.1kg 的 物 块 B 与 质 量
mA=0.8kg的物体A，用跨过轻滑轮 的细绳连接，如下图所示，滑轮与
绳间的摩擦不计，物体B上另放一
质量为mC=0.1kg的物块C，物体A 放在水平桌面上。它们由静止开始
运动，物块B下降一段距离 h1=50cm后，通过圆环D将物块C卸 去，又下降一段距离h2=30cm，速 度变为零。试求物体A与水平桌面
v vx2 vy2 5m / s
T3 一质点沿x轴运动，它的速度v和时间t的关 系 )质向负如点作下沿( 图x轴所(匀示加，)速在向负直)作0运线-t(1动时，间在内匀t，减1-t速质2 )时直点运间线沿动内x。轴，(
v
O
t1
t2
0-t1 :v方向为负向，大 小为增加；
质点力学习题
2
12.当一列火车以 36km/h 的速率向东行 当一列火车以 驶时,相对与地面匀速竖直下落雨滴 在列 驶时 相对与地面匀速竖直下落雨滴 ,在列 车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成 30°角。(1) 雨滴相对于地面的水平分速 角 有多大？相对于列车的水平分速有多大？ 有多大？相对于列车的水平分速有多大？ (2) 雨滴相对于地面的速率如何？相对于 雨滴相对于地面的速率如何？ 列车的速率如何？ 列车的速率如何？ 解：（1） 根据 v雨对地 = v雨对车 + v车对地 ）
解：（ ）当链条下落x时， 1
摩擦力f = − µN = − µ (L − x )mg / L
l−a
a
摩擦力的功： f = ∫ fdx W
dr (C ) dt
( D)
dx + dy dt dt
2
2
[D]
5.用一根细线吊一重物，重物质量为 5kg， 用一根细线吊一重物， 用一根细线吊一重物 ， 重物下再系一根同样的细线（ 重物下再系一根同样的细线（细线只能经 的拉力）。 ）。现在突然用力向下拉 受 70N 的拉力）。现在突然用力向下拉 一下下面的线。 一下下面的线。设此力最在值为 50N，则 ， (A)下面的线先断。 下面的线先断。 下面的线先断 (B)上面的线先断。 上面的线先断。 上面的线先断 (C)两根线一起断。 两根线一起断。 两根线一起断 (D)两根线都不断。 两根线都不断。 两根线都不断 [D]
(A) 3i + 3 j, (C) − 3i − 3 j, (B) − 3i + 3 j, (D) 3i − 3 j,
[ B ]
4.一运动质点在某瞬时位于矢径 (x,y) 的 一运动质点在某瞬时位于矢径r 一运动质点在某瞬时位于矢径 端点处， 端点处，其速度大小为 dr dr ( B) ( A) dt dt
力学习题-第1章质点运动学(含答案)
第一章质点运动学单元测验题一、选择题1.一质点沿x 轴运动，加速度与位置的关系为a (x )=2x +4x 2(SI 单位).已知质点在x =0处的速度为2m/s ，则质点在x =3m 处的速度为A.42m/s; B.26m/s ; C.94m/s ; D.34m/s .答案：C 解：根据题意：224dv a x x dt ==+，两边同乘dx 有：2(24)dv dx x x dx dt ⋅=+⋅由dx v dt=,上式化为:2(24)v dv x x dx ⋅=+对上式两边积分得到：223423v x x c =++由x =0，v =2m/s ，确定c =2.则当x =3m 时，解得：v =94m/s.2.一质点沿x 轴做直线运动，其速度v 随时间t 的变化关系如图所示.则下列哪个图可表示质点加速度a 随时间t 变化关系？2-•/s m a 2-•/s m a AB C答案：B 解：依据质点在一维运动时，速度-时间曲线的斜率对应加速度可知B 为加速度曲线.3.质点的运动学方程为33(21)t t =++r i j (SI 单位).则t =1s 时质点的速度为(SI单位)A.ji 6+3; B.j i 3+3; C.j i 6+6; D.j i 3+6.答案：A解：根据题意：33(21)t t =++r i j ，微分得：236d t dt ==+r v i j ，()136=+v i j 4.质点运动学方程为：kbt j t a i t a r +sin +cos =ωω，其中a 、b 、ω均为正的常数.问质点作什么运动？A.平面圆周运动；B.平面椭圆运动；C.螺旋运动；D.三维空间的直线运动.答案：C解：把质点的运动分解到三个方向上：cos sin x a t y a t z bt ωω===，，整理可知：222x y a z bt+==，则质点是以z 5.如图所示，在桌面的一边，—小球作斜抛运动，初速度v 0=4.7m/s.已知桌面宽a =2.0m.欲使小球能从桌面的另—边切过，小球的抛射角θ为A.30°;B.38°;C.50°;D.58°.答案：D 解：根据题意，小球沿x 和y 方向的运动方程为：t v x ⋅=θcos 0，201sin 2y v t gt θ=⋅-由x =2.0m 时，y =0，解得：o 58θ=.6.如图，有一半径为R 的定滑轮，沿轮周绕着一根绳子，悬在绳子一端的物体按s =(1/2)bt 2的规律向下运动.若绳子与轮周间没有相对滑动，轮周上一点A 在任一时刻t 的总加速度大为A.2t b a ;B.222/=R t b a ；C.b a =;D.R t b b a /+=22.答案：A 解：已知221bt s =，微分可得速度大小：t b dtds v ⋅==切向加速度大小：b dt dv a ==τ;法向加速度大小：Rt b R v a n 222==总加速度大小：a ==.7.当蒸汽船以15km/h 的速度向正北方向航行时，船上的人观察到船上的烟囱里冒出的烟飘向正东方向.过一会儿，船以24km/h 的速度向正东方向航行，船上的人则观察到烟飘向正西北方向.若在这两次航行期间风速不变，则风速的大小为A.9km/h; B.17.5km/h ; C.26.9km/h ; D.41km/h.答案：B解：地面为静系，船为动系，风为研究对象，则风对地的速度为绝对速度：风v v =船对地的速度为牵连速度：船牵连v v =风对船的速度为相对速度：风对船牵连v v =由绝对速度、牵连速度和相对速度的关系可得v v v =+船风对船，其矢量几何关系如图所示由此几何关系可得：1cos v v θ=船风，o 2145sin v v ctg v θ-=风船船联立解得：o 31θ=，5.17=v km /h .8.一个自由落体在它运动的最后一秒内所通过的路程等于全程的1/3.则物体通过全程所需的时间为A.3s ;B.6-3s ;C.6+3s ;D.6s答案：C解：设自由落体的全程下落时间和下落的高度分别为t 、S t 。
大学物理第2章 质点动力学习题(含解答)
第2章质点动力学习题解答2-1 如图所示，电梯作加速度大小为a 运动。
物体质量为m ，弹簧的弹性系数为k ，•求图示三种情况下物体所受的电梯支持力（图a 、b ）及电梯所受的弹簧对其拉力（图c ）。
解：（a ）ma mg N =- )(a g m N += （b ）ma N mg =- )(a g m N -= （c ）ma mg F =- )(a g m F +=2-2 如图所示，质量为10kg 物体，•所受拉力为变力2132+=t F （SI ），0=t 时物体静止。
该物体与地面的静摩擦系数为20.0=s μ，滑动摩擦系数为10.0=μ，取10=g m/s 2，求1=t s 时，物体的速度和加速度。
解：最大静摩擦力)(20max N mg f s ==μmax f F >，0=t 时物体开始运动。
ma mg F =-μ，1.13.02+=-=t mmgF a μ 1=t s 时，)/(4.12s m a =dtdv a =Θ，adt dv =，⎰⎰+=t v dt t dv 0201.13.0t t v 1.11.03+=1=t s 时，)/(2.1s m v =2-3 一质点质量为2.0kg ，在Oxy 平面内运动，•其所受合力j t i t F ρρρ232+=（SI ），0=t 时，速度j v ρρ20=（SI ），位矢i r ρρ20=。
求：（1）1=t s 时，质点加速度的大小及方向；（2）1=t s 时质点的速度和位矢。
解：j t i t m Fa ρρρρ+==223 223t a x =，00=x v ，20=x ⎰⎰=tv x dt t dv x0223，23t v x =⎰⎰⎰==txtx dt t dt v dx 03202，284+=t xt a y =，20=y v ，00=y⎰⎰=tv y tdt dv y02，222+=t v y⎰⎰⎰+==tyty dt t dt v dy 020)22(，t t y 263+=（1）1=t s 时，)/(232s m j i a ρρρ+=（2）j t i t v ρρρ)22(223++=，1=t s 时，j i v ρρρ2521+= j t t i t r ρρρ)26()28(34+++=，1=t s 时，j i r ρρρ613817+=2-4 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的关系；（2）子弹射入沙土的最大深度。
质点和刚体力学 习题
(3)Q vx = 2t ∴ v=
vy = 12t 3 4t 2 +144t 6
2 2 vx + vy =
dv 1 8t + 864t 5 2 + 216t 4 aτ = = = dt 2 4t 2 + 144t 6 1+ 36t 4
若求法向加速度，应先求曲率半径。 注：若求法向加速度，应先求曲率半径。
得：
9 3tdt = mvt 0 得：vt = 2 (m/ s) 0
0 3
依动能定理： 依动能定理：
1 2 W = mvt 0 2
W = 30.3(J )
的两质点间存在万有引力。 例4、质量分别为 和m的两质点间存在万有引力。 、质量分别为M和 的两质点间存在万有引力 初始时刻质点相距无穷远，然后两质点沿 初始时刻质点相距无穷远， 连线相向运动，当它们的距离为r时的相对速度 连线相向运动，当它们的距离为 时的相对速度 . 的大小为 v M v m v X v2 f O f’ 1 r 为研究对象， 解：以mM为研究对象，系统所受外力为零， 为研究对象 系统所受外力为零， 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。
习题课一 (Exercises Class One)
质点和刚体力学部分
一、思考题
r r dr dr dv dv 1.试 问 与 有 区 ， 与 何 别 又 dt dt dt dt 有 区 ? 何 别
2. 作直线运动的质点，它的运 作直线运动的质点， 与时间t的关系由图 动速度 v与时间 的关系由图 与时间 中曲线表示。 中曲线表示。问： (1) t1时刻的曲线的切线 表示 时刻的曲线的切线AB表示 什么？ 什么？ (2) t1与t2之间曲线的割线的斜 率表示什么？ 率表示什么？ (3) 从t=0到t3时间内质点的位移 到 和路程分别由什么表示？ 和路程分别由什么表示？
第02章 质点动力学习题
dt v0 = 3(m / s ), v 4 = 19(m / s)
1 1 2 2 根据动能定律，有： A = mv 4 − mv 0 = 176( J ) 2 2 dv = 6t − 8 或： a =
A=∫
( 2)
4
(1)
0
dt ( 2) Fdx = ∫ madx
(1)
= ∫ (6t − 8) d (3t − 4t 2 + t 3 ) = 176 ( J )
dv 解：（1） f = − kv = m , dt vm
2
∴ 得： v =
v 1 k ∫0 m dt = ∫v0 v 2 dv t
0
（2）∵ dx = vdt ∴
m + kv0t
∫
x
k dv dv dv 2 ∴− dx = = mv = − Kv , （3) f = m m v dt dx k − x v0 k 积分可得： x = ln , v = v0 e m m v
m kv0 得x = ln( dt 0 m + kv t 0
t
11
7
3.已知氢原子中电子的质量为 已知氢原子中电子的质量为9.11×10-31 kg,它绕原子核 已知氢原子中电子的质量为 × 它绕原子核 运动的平均半径为5.29×10-11 m，角速度为 ，角速度为4.13×1016 × 运动的平均半径为 × × rad/s，则它绕原子核运动的角动量为 1.05×10-34 kg·m2/s 。 ， 分析：
dv dv dx 2 1) F = ma = m =m ⋅ = mkv = mk x dt dx dt
dx dx dx , dt = = 2）根据 v = dt v kx t2 x1 dx 1 x1 两边积分得：∆t = dt = ∫ = ln ∫t1 x0 kx k x0
大学物理第二章习题课
6
作业. 两块并排的木块A和B，质量分别为m1和m2，静止地放置在光滑的水 平面上，一子弹水平地穿过两木块，设子弹穿过两木块所用的时间分别为t1 和t2，木块对子弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度为______， 木块B的速度大小为_______.
F t1 m1 m2
F t1 F t2 m1 m2 m2
u dt
l
船岸
0
M m 0 狗船
M m
S
狗离岸的距离为 S S0 S
S
L l
S
S0
S
S0
M M
m
l
S l L l(1 m ) M l M m M m 17
17
作业. 有两个自由质点，质量分别为 m1和m2 ，他们之间只有万有引 力作用，开始时，两质点相距为 l ,处于静止状态。求当它们相距 l /2
[ C]
(A) ①、②是正确的。
(B) ②、③是正确的。
(C) 只有②是正确的。
(D) 只有③是正确的。
势能与保守力作功的一般关系： W Δ E p
物体沿闭合路径运动一周时, 保守力对它所作的功等于零。 l F保 d r 0
功不仅与力有关，还与位移有关！
5
2.填空题
教材、作业. 质量为m的小球，用轻绳AB、
L1
Δ
L
质点系的角动量定理（积分形式）：作用于质点组的合
外力矩的冲量矩等于质点组角动量的增量。
4
教材. 对功的概念有以下几种说法：
① 保守力作正功时，系统内相应的势能增加。
② 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。
③ 作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的
理论力学习题-质点动力学基本方程
理论力学习题-质点动力学基本方程.(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--104第9章 质点动力学基本方程一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。
( √ )2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。
( × )3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。
( × )4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。
( √ )5. 凡运动的质点一定受力的作用。
( × )6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。
( × )二、填空题1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。
2．质点动力学的基本方程是∑=i m F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt s d m22∑=nFv m ρ2∑=b F 0。
、 、1053．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b=+，其中0v 为初速度，b 为常数。
则作用于质点上的力=F 2020()mbv b v t -+。
5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。
飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2(1)vP gr+。
三、选择题1．如图所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。
(A) mg(B) )(a g m +(C) )(a g m -(D) 02．如图所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。
(A) 0=+x m cx(B) 0)(=-+s x mcxδ (C) g x m cx s =-+)(δ (D) 0)(=++s x mcxδ 3．在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力R kv =-，坐标选择如图所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段( A )，下降段( A )。
质点力学-前4章-习题课
假设她是从静止下落，也就是初速度 v 0 为 0米/秒，层高 3 米， 7 层楼高度为 18 米。据此我们可以算出美女落到地面的最终速度：
基本概念：
位置矢量、位移、速度与加速度 位矢、位移是矢量，位矢随时间变化的关系称运动方程 速度、加速度是矢量，它具有矢量性
r r(t )
质点做变速运动中各个时刻的速度不一定相同，它具有瞬时性 选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不同的，它具有相对性
平均速度
r （t t ) r(t ) v t
E p E p0 A保 末 F保 dr "0"
Ep2
"0" 末
系统在任意状态时的势能等于系统保守力所做功的负值。
F保 dr
功与能
1 1 2 2 Aab E mv mv A E b a 2 kt 2 k0
A外 A内 E k t E k 0
cos30º 20× 9.8
得
30.6(m)
练习：汽车在半径为200m的圆弧公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方 程为 s = 20t - 0.2t3 求汽车在 t =1s时的加速度。
解：根据加速度的定义
ds vt 20 0.6t 2 dt
dvt at 1.2t dt
vt2 dv an , at R dt
法向单位矢量 ：n
dv d 2 S at dt dt 2
v2 an
直角坐标系
质点力学练习题及详细解答(很好)
质点力学综合（013）条目试题1. 选择题题号：01313001 分值：3分难度系数等级：3一质点在力F = 5m (5 - 2t ) (SI)的作用下，t =0时从静止开始作直线运动，式中m 为质点的质量，t 为时间，则当t = 5 s 时，质点的速率为(A) 50 m ·s -1． . (B) 25 m ·s -1．(C) 0．(D) -50 m ·s -1． ［ ］答案：（C ）题号：01312002 分值：3分难度系数等级：2站在电梯内的一个人，看到用细线连结的质量不同的两个物体跨过电梯内的一个无摩擦的定滑轮而处于“平衡”状态．由此，他断定电梯作加速运动，其加速度为 (A) 大小为g ，方向向上． (B) 大小为g ，方向向下．(C) 大小为g 21，方向向上． (D) 大小为g 21，方向向下． ［ ］答案：（B ）题号：01311003 分值：3分难度系数等级：1设物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑，在下滑过程中，(A) 它的加速度方向永远指向圆心． (B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加． (C) 它受到的合外力大小变化，方向永远指向圆心． (D) 它受到的合外力大小不变．答案：（B ）题号：01312004 分值：3分难度系数等级：2质量相等的两个物体甲和乙，并排静止在光滑水平面上（如图所示）．现用一水平恒力F 作用在物体甲上，同时给物体乙一个与F 同方向的瞬时冲量量I，使两物体沿同一方向运动，则两物体再次达到并排的位置所经过的时间为：(A) I / F ． (B) 2I / F ． (C) 2 F/ I ． (D) F/ I ．［ ］答案：（B ）题号：01313005 分值：3分难度系数等级：3竖直上抛一小球．若空气阻力的大小不变，则球上升到最高点所需用的时间，与从最高点下降到原位置所需用的时间相比(A) 前者长． (B) 前者短．(C) 两者相等． (D) 无法判断其长短． ［ ］答案：（B ）题号：01314006 分值：3分 难度系数等级4一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力为N ．则质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其作的功为(A) )3(21mg N R -． (B) )3(21N mg R -． (C) )(21mg N R -． (D))2(21mg N R -． ［ ］答案：（A ）题号：01314007 分值：3分难度系数等级：4质点的质量为m ，置于光滑球面的顶点A 处(球面固定不动)，如图所示．当它由静止开始下滑到球面上B 点时，它的加速度的大小为俯视图F I A B(A) )cos 1(2θ-=g a ． (B) θsin g a =． (C) g a =． (D) θθ2222sin )cos 1(4g g a +-=． ［ ］答案：（D ）题号：01312008 分值：3分难度系数等级：2在以加速度a 向上运动的电梯内，挂着一根劲度系数为k 、质量不计的弹簧．弹簧下面挂着一质量为M 的物体，物体相对于电梯的速度为零．当电梯的加速度突然变为零后，电梯内的观测者看到物体的最大速度为(A) k M a /． (B) M k a /．(C) k M a /2． (D) k M a /21． ［ ］答案：（A ）题号：01312009 分值：3分难度系数等级：2一质量为m 的质点，自半径为R 的光滑半球形碗口由静止下滑，质点在碗内某处的速率为v ，则质点对该处的压力数值为(A) Rm 2v ． (B) R m 232v ．(C) R m 22v ． (D) Rm 252v ． ［ ］答案：（B ）题号：01313010 分值：3分难度系数等级：3如图示．一质量为m 的小球．由高Ｈ处沿光滑轨道由静止开始滑入环形轨道．若H 足够高，则小球在环最低点时环对它的作用力与小球在环最高点时环对它的作用力之差，恰为小球重量的(A) 2倍． (B) 4倍．(C) 6倍． (D) 8倍．［ ］答案：（C ）题号：01312011 分值：3分难度系数等级：2空中有一气球，下连一绳梯，它们的质量共为M ．在梯上站一质量为m 的人，起始时气球与人均相对于地面静止．当人相对于绳梯以速度v 向上爬时，气球的速度为（以向上为正）(A) M m m +-v ． (B) M m M +-v．(C) M m v -. (D) mM m v)(+-．［ ］答案：（A ）题号：01313012 分值：3分难度系数等级：3一质量为60 kg 的人起初站在一条质量为300 kg ，且正以2 m/s 的速率向湖岸驶近的小木船上，湖水是静止的，其阻力不计．现在人相对于船以一水平速率v 沿船的前进方向向河岸跳去，该人起跳后，船速减为原来的一半，v 应为(A) 2 m/s ． (B) 3 m/s ．(C) 5 m/s ． (D) 6 m/s ． ［ ］答案：（D ）题号：01313013 分值：3分难度系数等级：3一船浮于静水中，船长L ，质量为m ，一个质量也为m 的人从船尾走到船头. 不计水和空气的阻力，则在此过程中船将(A) 不动． (B) 后退L ． (C) 后退L 21． (D) 后退L 31． ［ ］答案：（C ）题号：01315014 分值：3分难度系数等级：5质量分别为m 1、m 2的两个物体用一劲度系数为k 的轻弹簧相联，放在水平光滑桌面上，如图所示．当两物体相距x 时，系统由静止释放．已知弹簧的自然长度为x 0，则当物体相距x 0时，m 1的速度大小为 (A)120)(m x x k -． (B)220)(m x x k -．(C)2120)(m m x x k +-． (D))()(211202m m m x x km +-．［ ］答案：（D ）题号：01314015 分值：3分难度系数等级：4一质量为m 的滑块，由静止开始沿着1/4圆弧形光滑的木槽滑下．设木槽的质量也是m ．槽的圆半径为R ，放在光滑水平地面上，如图所示．则滑块离开槽时的速度是(A)Rg 2． (B) Rg 2． (C)Rg ．(D) Rg 21． ［ ］答案：（C ）题号：01311016 分值：3分难度系数等级：1一轻弹簧竖直固定于水平桌面上．如图所示，小球从距离桌面高为h 处以初速度v 0落下，撞击弹簧后跳回到高为h 处时速度仍为v 0，以小球为系统，则在这一整个过程中小球的 (A) 动能不守恒，动量不守恒． (B) 动能守恒，动量不守恒． (C) 机械能不守恒，动量守恒． (D) 机械能守恒，动量守恒．［ ］答案：（A ）题号：01313017 分值：3分难度系数等级：3两质量分别为m 1、m 2的小球，用一劲度系数为k 的轻弹簧相连，放在水平光滑桌面上，如图所示．今以等值反向的力分别作用于两小球，则两小球和弹簧这系统的 (A) 动量守恒，机械能守恒．(B) 动量守恒，机械能不守恒．(C) 动量不守恒，机械能守恒．(D) 动量不守恒，机械能不守恒． ［ ］答案：（B ）题号：01313018 分值：3分难度系数等级：3如图所示，质量分别为m 1和m 2的物体A 和B ，置于光滑桌面上，A 和B 之间连有一轻弹簧．另有质量为m 1和m 2的物体C 和D 分别置于物体A 与B 之上，且物体A 和C 、B 和D 之间的摩擦系数均不为零．首先用外力沿水平方向相向推压A 和B ，使弹簧被压缩．然后撤掉外力，则在A 和B 弹开的过程中，对A 、B 、C 、D 弹簧组成的系统 (A) 动量守恒，机械能守恒． (B) 动量不守恒，机械能守恒． (C) 动量不守恒，机械能不守恒．(D) 动量守恒，机械能不一定守恒． ［ ］答案：（D ）题号：01314019 分值：3分难度系数等级：4一质量为M 的弹簧振子，水平放置且静止在平衡位置，如图所示．一质量为m 的子弹以水平速度v射入振子中，并随之一起运动．如果水平面光滑，此后弹簧的最大势能为(A) 221v m ． (B) )(222m M m +v ．(C) 2222)(v M m m M +． (D) 222v M m ． ［ ］答案：（B ）题号：01312020 分值：3分难度系数等级：2如图所示，置于水平光滑桌面上质量分别为m 1和m 2的物体A 和B 之间夹有一轻弹簧．首先用双手挤压A 和B 使弹簧处于压缩状态，然后撤掉外力，则在A 和B 被弹开的过程中 (A) 系统的动量守恒，机械能不守恒．(B) 系统的动量守恒，机械能守恒．(C) 系统的动量不守恒，机械能守恒．(D) 系统的动量与机械能都不守恒．［ ］答案：（B ）题号：01311021 分值：3分难度系数等级：1在由两个物体组成的系统不受外力作用而发生非弹性碰撞的过程中，系统的 (A) 动能和动量都守恒． (B) 动能和动量都不守恒．(C) 动能不守恒，动量守恒． (D) 动能守恒，动量不守恒. ［ ］答案：（C ）题号：01314022 分值：3分难度系数等级：4两木块A 、B 的质量分别为m 1和m 2，用一个质量不计、劲度系数为k 的弹簧连接起来．把弹簧压缩x 0并用线扎住，放在光滑水平面上，A 紧靠墙壁，如图所示，然后烧断扎线．判断下列说法哪个正确．(A) 弹簧由初态恢复为原长的过程中，以A 、B 、弹簧为系统，动量守恒．(B) 在上述过程中，系统机械能守恒． (C) 当A 离开墙后，整个系统动量守恒，机械能不守恒．1kx，总动量为零．［］(D) A离开墙后，整个系统的总机械能为22答案：（B）题号：01311023分值：3分难度系数等级：1一子弹以水平速度v0射入一静止于光滑水平面上的木块后，随木块一起运动．对于这一过程正确的分析是(A) 子弹、木块组成的系统机械能守恒．(B) 子弹、木块组成的系统水平方向的动量守恒．(C) 子弹所受的冲量等于木块所受的冲量．(D) 子弹动能的减少等于木块动能的增加．［］答案：（B）题号：01311024分值：3分难度系数等级：1两个质量相等、速率也相等的粘土球相向碰撞后粘在一起而停止运动. 在此过程中，由这两个粘土球组成的系统，(A) 动量守恒，动能也守恒．(B) 动量守恒，动能不守恒．(C) 动量不守恒，动能守恒．(D) 动量不守恒，动能也不守恒．［］答案：（B）题号：01313025分值：3分难度系数等级：3物体在恒力F作用下作直线运动，在时间∆t1内速度由0增加到v，在时间∆t2内速度由v增加到2 v，设F在∆t1内作的功是W1，冲量是I1，在∆t2内作的功是W2，冲量是I2．那么，(A) W1 = W2，I2 > I1．(B) W1 = W2，I2 < I1．(C) W1 < W2，I2 = I1．(D) W1 > W2，I2 = I1．［］答案：（C）题号：01312026分值：3分难度系数等级：2一质子轰击一α 粒子时因未对准而发生轨迹偏转．假设附近没有其它带电粒子，则在这一过程中，由此质子和α 粒子组成的系统，(A) 动量守恒，能量不守恒．(B) 能量守恒，动量不守恒．(C) 动量和能量都不守恒．(D) 动量和能量都守恒．［］答案：（D）题号：01312027分值：3分难度系数等级：2有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上，斜面是光滑的，有两个一样的小球分别从这两个斜面的顶点，由静止开始滑下，则(A) 小球到达斜面底端时的动量相等．(B) 小球到达斜面底端时动能相等．(C) 小球和斜面（以及地球）组成的系统，机械能不守恒．(D) 小球和斜面组成的系统水平方向上动量守恒．［］答案：（D）题号：01312028分值：3分难度系数等级：2如图所示，一个小物体，位于光滑的水平桌面上，与一绳的一端相连结，绳的另一端穿过桌面中心的小孔O. 该物体原以角速度ω在半径为R的圆周上绕O旋转，今将绳从小孔缓慢往下拉．则物体(A) 动能不变，动量改变．(B) 动量不变，动能改变．(C)角动量不变，动量不变．(D)角动量不变，动能、动量都改变．［］答案：（D）题号：01313029分值：3分难度系数等级：3一人造地球卫星到地球中心O 的最大距离和最小距离分别是R A 和R B ．设卫星对应的角动量分别是L A 、L B ，动能分别是E KA 、E KB ，则应有(A) L B > L A ，E KA > E KB ．(B) L B > L A ，E KA = E KB ．(C) L B < L A ，E KA = E KB ． (D) L B = L A ，E KA < E KB ． ［ ］答案：（D ）题号：01311030 分值：3分难度系数等级：1假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的 (A) 角动量守恒，动能也守恒． (B) 角动量守恒，动能不守恒． (C) 角动量不守恒，动能守恒．(D) 角动量守恒，动量也守恒． ［ ］答案：（A ）2．判断题题号：01321001 分值：2分难度系数等级：1质量为m 的质点开始时静止，在如图所示合力F 的作用下沿直线运动，已知)/2sin(0T t F F π=，方向与直线平行，在0到T 时间内，力F的冲量大小不为零．答案： 错题号：01324002 分值：2分难度系数等级：4质量为m 的质点开始时静止，在如图所示合力F 的作用下沿直线运动，已知)/2sin(0T t F F π=，方向与直线平行，在T t =时刻,质点又回到了出发点．题号：01321003 分值：2分难度系数等级：1一木块恰好能在倾角 的斜面上以匀速下滑，现在使它以初速率v 0沿这一斜面上滑，当它停止滑动时，会静止在斜面上，不再下滑．答案： 对题号：01323004 分值：2分难度系数等级：3当一质子通过质量较大带电荷为Ze 的原子核附近时，原子核可近似视为静止．质子受到原子核的排斥力的作用，如图所示，它运动的轨道为抛物线． 答案：错题号：01323005 分值：2分难度系数等级：3两个滑冰运动员A 、B 的质量均为m ，以v 0的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为R ，当彼此交错时，各抓住长度等于R 的绳索的一端，然后相对旋转，在抓住绳索之前和抓住之后，两个滑冰运动员各自对绳中心的角动量守恒。
质点力学习题
v
v = v 0e
− µπ
例5、与水桶绕自身的铅直轴以角速度ω旋转， 与水桶绕自身的铅直轴以角速度ω旋转， 当水与桶一起转动时，水面的形状如何？ 当水与桶一起转动时，水面的形状如何？ 解：在与桶共转的参考系内液块 受个个三力：重力∆ g ∆m受个个三力：重力 mg，液面 z 对物块的支持力－ 对物块的支持力－N 和惯性离心 A1 ∆mrω2 ω 2r,合力为零，所以有： 力∆mω 合力为零，所以有： r v v 2v z0 N＝∆m( g + ω r ) N ∆mg 水面处处与N垂直， 水面处处与N垂直，设 水面方程为： 水面方程为：
质点力学习题课
习题课的目的是培养一种良好的解题习惯和规范 化解题。解题的一般注意事项如下： 化解题。解题的一般注意事项如下： 在认真复习的基础上解题， ①在认真复习的基础上解题，解题过程中绝不能 对照例题； 对照例题； 搞清题意，分清已知量、未知量， ②搞清题意，分清已知量、未知量，并用适当的 符号来表示，且每一个符号只能代表一个物理量； 符号来表示，且每一个符号只能代表一个物理量； 画出简练正确的示意图，建立坐标系， ③画出简练正确的示意图，建立坐标系，进行受 力分析，搞清各物理量之间的关系； 力分析，搞清各物理量之间的关系； 选用最简便的定律或公式列方程（ ④选用最简便的定律或公式列方程（平时学习一 定要注意各种定律及公式的适用条件和范围）； 定要注意各种定律及公式的适用条件和范围）； 列联立方程，先用字母符号运算， ⑤列联立方程，先用字母符号运算，最后代入原 始数据。并对答案进行讨论。 始数据。并对答案进行讨论。
v v 2 v 提示 : ∆s = ∫ dr = ∫ 2dti − 2tdtj = ∫ 4 + 4t 2 dt
1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
mu Vt V0 M m
例7(书本例2.18)、一质量均
匀分布的柔软细绳铅直地悬挂
o
着，绳的下端刚好触到水平桌
面上，如果把绳的上端放开，
绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重量的
dt
dt 2
v
v
2 x
v
2 y
2
1t2 ,
a 2 (m/s 2 )
a
dv dt
2t 1 t2
2(m s-2 )
an
a 2 a2
2 1 t2
2(m s-2 )
【例2】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加
速度是时间的函数。已知ax=2，ay=36t2 (m/s2)， 当 t=0时质点静止在坐标原点，求：
0
y
t
0 dy 0 vydt
t12t 3dt y 3t 2
0
(2)、消去时间得 y 3x2
r
t
2i
3t
4
j
(3)、v
v
2 x
v
2 y
4t 2
144t 6
a
dv dt
1 2
8t 864t 5 4t 2 144t 6
an
【例2】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。
已知ax=2，ay=36t2 (SI)，当 t=0时质点静止在坐标原点，求： ①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；③此质点在任一时
刻的切向加速度和法向加速度。
x
dx
0
t 0
v x dt
t 2tdt x t 2
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
F v2 M v2 而v2 2gx F 2Mgx/ L
L
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L
所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
证法2：用密舍斯基方程
取主体为桌面上的绳子：m=M x/L ;流动物为dm= M dx/L 。
质点力学习题课
质点运动的问题分成两类： (1)、已知运动方程r(t ),求任一时刻的v、a， 解题方法是求导；
(2)、已知v、a及初始条件r0、v0求运动方程， 解题方法是积分
【例1】已知质点运动方程
r
2ti (4 t 2 ) j
(m)
求：①质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度；
①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；
③质点在任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：(1)、由定义有
ax
dv x dt
vx 0
dv x
t
0 ax dt
t
2dt
0
vx
2t,
同理
vx 0
dv y
t
0 a y dt
t 0
36t
2 dt
v y
12t 3
同理可得
解：在与桶共转的参考系内液块
m受个个三力：重力mg，液面
对物块的支持力－N 和惯性离心
力m2r,合力为零，所以有：
N＝m(
g
2
r)
水面处处与N垂直，设 水面方程为：
z
A1 mr2 r z0 mg N
z z(r)
dz tan m 2r 2r
dr
利用密舍斯基方程：
F
(u
v)
dm
m
dv
dt dt
x
设向下为正方向，有：F mg N, u 2gx,
v 0, dm M dx M 2gx, dv 0.
dt L dt L
dt
则有： (mg N ) ( 2gx 0) dm 0
dt
F 3Mgx/ L 3mg
N
生切向的摩擦力 f
v
Байду номын сангаас
N
ma n
m
v2 R
f
ma
m dv dt
f N
v 2 dv dv dl
R dt dl dt
v dv
R
dl
v v0
0R
A B
R DC
f N
v
v v0e
例5、与水桶绕自身的铅直轴以角速度旋转， 当水与桶一起转动时，水面的形状如何？
u
2 v
v风对人
(v'
)
v风对地。如图所示。
西 v
v u
东
南
故有 cos1 v 600 ,人跑步方向应为南偏西600
u
质点力学习题课
牛顿定律的应用问题也分为两类：
(1)已知系统的受力，求解和物体的加速度 及相互作用力，用隔离体图法求解；
(2)、如受的力是变力F (t )、F (v)、F ( x)， 用牛顿定律的微分形式求解。
质点力学习题课
习题课的目的是培养一种良好的解题习惯和规范 化解题。解题的一般注意事项如下： ①在认真复习的基础上解题，解题过程中绝不能 对照例题； ②搞清题意，分清已知量、未知量，并用适当的 符号来表示，且每一个符号只能代表一个物理量； ③画出简练正确的示意图，建立坐标系，进行受 力分析，搞清各物理量之间的关系； ④选用最简便的定律或公式列方程（平时学习一 定要注意各种定律及公式的适用条件和范围）； ⑤列联立方程，先用字母符号运算，最后代入原 始数据。并对答案进行讨论。
dr
0
mg xdx
la l
Wf
mg (l a)2
2l
例8、（2）链条离开桌面时的速率是多少？
(2)对链条应用功能原理： x
l-a O
W f E
Wf
(1 mv2 mg l ) (0 m ag a )
2
2
l2
a
已求得：W f
mg (l a)2
a 2 a2
a
2 x
a
2 y
a2
.....
【例3】假定某日刮北风，风速大小为 u,一运动 员在风中跑步，他对地的速度大小为 v(v=u/2),
试问他向什么方向跑时，会感到风从他的正右方 吹来？
解：这类题的求解关键是画示意图 北
由题意可知：
v风对地
u,
v人对地
v,
x
三倍。
证法1：取如图坐标，设t 时
o
刻已有x 长的柔绳落至桌面，
随后的dt 时间内将有质量为
dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt的
速率碰到桌面而停止，它的
动量变化率为：
dP
dx
dx dt
x
dt
dt
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
F＝ dP
dx
dx dt
＝－v2
dt
dt
x
例8、一链条总长为L，质量为m。放在桌面上并使其
下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数
为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开
桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条
离开桌面时的速率是多少？
解：(1)建坐标系如图 x
l-a O
f mgx / l
a
Wf
f
mg
g
2
dz rdr g
z
r 2
dz
rdr
z0
0g
z
z0
2
2g
r2
z A1 mr2
r z0
mg N
Z0为中心水面高度。这是抛物线方程，由于轴对称性， 水面为旋转抛物面。
质点力学习题课
动量定理及动量守恒定律的解题方法和步骤：
1.确定研究对象；
2.分析物体受力，正确区分物体系统的内 力和外力；
2l
得v
g l
1
(l 2 a2 ) (l a)2 2
作业： 1-7 2-20 2-28 2-30
3.确定物体系统初、终态的动量，注意动 量的矢量性；
4.根据动量定理或动量守恒定律列方程求 解。
【例6】质量为 m的人站 在质量为 M的车上，开 始时一起以速率 V0沿光 滑水平面向左运动。现在 人以相对车为 u的速率向 右跑，求车的速率 Vt
解：先设定动量的正方向（一般取初始动量的方向），则
系统初始动量为 （M m)V0 人跑动后系统总动量为 MVt m(Vt u)
1
v s .... t
【例1】已知质点运动方程
r
2ti (4 t 2 ) j
(m)
求：①质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ② t=1s时的切向加速度和法向加速度。
(2)、v
dr
2i
2tj,
a
d 2r
2 j
(m / s2 )
【例4】如图所示，在光滑的水平桌面上，固定放
置一半径为 R 的半圆形板壁ABCD。一质量为m的
物块以速度 v0 从Ａ处沿壁射入，物块与板壁之间 的滑动摩擦系数为μ。试求物块沿板壁从D点滑出时