2《质点力学的运动定律、守恒定律》

2 质点力学的运动定律 守恒定律 2.1直线运动中的牛顿运动定律
1. 水平地面上放一物体A ，它与地面间的滑动摩擦系数为μ．现加一恒力F
如图
所示．欲使物体A 有最大加速度，则恒力F
与水平方向夹角θ 应满足 (A) sin θ ＝μ． (B) cos θ ＝μ．
(C) tg θ ＝μ． (D) ctg θ ＝μ． 答案： (C)
参考解答：
按牛顿定律水平方向列方程：
,)sin (cos a m F g m F A A =--μθθ
显然加速度a 可以看作θ 的函数，用高等数学求极值的方法， 令
,0d d =θ
a ，有.μθ=tg
分支程序：
凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
1.一质量为m 的木块，放在木板上，当木板与水平面间的夹角θ由00变化到090的过程中，画出木块与木板之间摩擦力f 随θ变化的曲线（设θ角变化过程中，摩擦系数μ不变）.在图上标出木块开始滑动时，木板与水平面间的夹角θ0 ，并指出θ0与摩擦系数μ的关系．
(A) 图(B)正确，sin θ0 ＝μ． (B) 图(A)正确，tg θ 0＝μ．
答案： (B)
参考解答：
(1) 当θ较小时，木块静止在木板上，静摩擦力;sin θmg f =
(正确画出θ为0到θ 0之间的f －θ 曲线)
(2) 当θ＝θ 0时 (tg θ 0＝μ)，木块开始滑动； (3) 0θθ>时，滑动摩擦力,cos θμmg f =
(正确画出θ为θ 0到90°之间的f －θ曲线) .
2.2曲线运动中的牛顿运动定律
1. 如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨
道是光滑的，在从A 至C 的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？
(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心．
(B) 它的速率均匀增加． (C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心． (D) 它的合外力大小不变． (E) 轨道支持力的大小不断增加． 答案： (E)
参考解答：
根据牛顿定律法向与切向分量公式：
.dt
d ,2
υυ
m
F R
m
F t n ==
.
cos ,sin θθmg F mg N F t n =-=
物体做变速圆周运动，从A 至C 的下滑过程中速度增大，法向加速度增大。

由轨道支持力提供的向心力增大。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
1.1质点作圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心．这种说法 (A) 正确． (B) 不正确．
答案： (E)
参考解答：
作圆周运动的质点，所受合外力有两个分量，一个是指向圆心的法向分量，另一个是切向分量，只要质点不是作匀速率圆周运动，它的切向分量就不为零，所受合外力就不指向圆心． A
R
2.3动量与动量守恒
1. 用一根细线吊一重物，重物质量为5kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50N ，则
(A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 答案： (D) 参考解答：
由于作用时间短，对上端细线影响可以忽略，突然向下拉力最大值为50 N<70 N(细线能经受的拉力)，下面的线不会断，故两根线都不断。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
1.1用细线把球挂起来，球下系一同样的细线，拉球下细线，逐渐加大力量，哪段细线先断？为什么？如用较大力量突然拉球下细线，哪段细线先断，为什么？
参考解答：
拉球下细线逐渐加大力量时，上面那段细线先断；突然拉球下细线时，下面那段细线先断。

因为，两种情况都应引起系统动量改变，但前一种情况作用时间长，冲量较大(t F ∆⋅
），引起系统动量变化大，故细线和球同时被拉下；后一种情况由于作用时间短，故冲力很大，冲力大于绳子张力，故细线立即被拉断．
2.4角动量与角动量守恒
1. 一质点作匀速率圆周运动时，
(A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变． (B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变． (C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变． (D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变． 答案： (C) 参考解答：
动量是矢量，方向与速度方向相同；角动量也是矢量，方向与角速度ω方向相同。

而动量守恒与角动量守恒都是矢量守恒，是指其大小与方向均保持不变。

如图所示：质点作匀速率圆周运动时，速度方向变化，但
角速度方向不变；另外，质点角动量定理：,v
m r P r L ⨯=⨯=匀
速率圆周运动时：ω2mR R m L ==v ，角动量的大小也不变。

所以一质点作匀速率圆周运动时，它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
1.1 在匀速圆周运动中，质点的动量是否守恒？角动量呢？
(A) 动量不守恒，角动量守恒． (B) 动量守恒，角动量不守恒．
答案： (A) 参考解答：
在匀速圆周运动中，质点受力、动量不守恒，但对于中心轴，质点所受合力矩为零，角动量守恒．
如果继续回答错误的，给出下面的进一步讨论：
1.1.1 一个系统的动量守恒和角动量守恒的条件有何不同？
答：动量守恒定律为：系统所受的合外力为零时，系统的总动量不变。

角动量守恒定律为：对于某定点（或某轴），系统所受的合外力矩为零时，则对同一定点（或同一轴），系统的总角动量不变。

总结上述两定律，可知系统动量守恒的条件是
0=∑i i F 外
角动量守恒的条件是
0=∑i i M 外
要注意的是，系统的合外力为零时，其合外力矩不一定为零；反之，系统的合外力矩为零时，其合外力也不一定为零。

条件不同，所对应的守恒量自然就不相同。

2. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达． (C)同时到达． (D)谁先到达不能确定． 答案： (C)
参考解答：
同时到达。

若重量不等，较轻者先到达．
以滑轮轴为参考点，把小孩, 滑轮和绳看作一系统，合外力矩为零，系统角动量守恒.
设两小孩质量分别是m 1、m 2，当m 1= m 2时， 由 R m R m 2211v v =， 得 21v v =. 同时到达.
若m 1与m 2不等，合外力矩不为零，由角动量定理可以解出：若重量不等，较轻者先到达．
凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
2.1如何理解质点系角动量定理和角动量守恒定律？
参考解答：
在实际物体的运动中，存在大量的旋转运动，即对某一位置的绕行运动。

例如质点作圆周运动和行星绕太阳的运动；原子中电子绕
原子核的运动等。

对于旋转运动，可引入一个称之为角
动量的物理量L。

质点对某一参考点的角动量定义为
v
m r P r L ⨯=⨯=
r
是质点相对于参考点的位置矢量，P 为质点动量。

如图所示，角动量又称动量矩。

圆周运动时，由于v
⊥r ，质点对圆心的角动量大小为
R m m L v vr == )(R r =
质点系角动量（或动量矩）定理（微分形式）：质点系统合外力矩等于系统
总角动量对时间的变化率。

即t
d d L
M =
.
质点系角动量（或动量矩）定理（积分形式）：质点系统合外力矩的冲量矩等于系统总角动量（或总动量矩）的增量。

即⎰∆=2
1
t d t t
L
M
如果质点系统合外力矩等于零，则系统总角动量（或称总动量矩）守恒。

这一结论称为质点系角动量守恒定律。

即使M 不为零，质点系总角动量不守恒，但若M 在某方向的分量为零，则质点系在该方向的角动量仍然守恒。

t 2.5动能定理、功能原理
1. 一个作直线运动的物体，其速度v 与时间t 的关系曲线如图所示．设时刻t 1至t 2间外力作功为W 1 ；时刻t 2至t 3间外力作功为
W 2 ；时刻t 3至t 4间外力作功为W 3 ，则 (A) W 1＞0，W 2＜0，W 3＜0． (B) W 1＞0，W 2＜0，W 3＞0． (C) W 1＝0，W 2＜0，W 3＞0． (D) W 1＝0，W 2＜0，W 3＜0
答案： (C)
参考解答： 根据动能定理：,2
121d 2
12
2v v m m x F W
-
=
=⎰
t 1至t 2间物体速度不变，外力作功W 1=0，t 2至t 3间物体速度减小，外力作功W 2<0，时刻t 3至t 4间物体速度（绝对值）增大，外力作功W 3>0。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
1.1 当重物加速下降时，合外力对它做的功
(A)为正值． (B)为负值． 答案： (A)
参考解答：
根据动能定理：,d k E x F W ∆==⎰ .0,0>∴>∆W E k
2. 对于一个物体系来说，在下列的哪种情况下系统的机械能守恒？
(A) 合外力为0．
(B) 合外力不作功．
(C) 外力和非保守内力都不作功． (D) 外力和保守内力都不作功．
答案： (C) 参考解答： 根据功能原理：))001
11
1
ip n
i ik ip n
i n i n i ik i i E E E E A A +-+=+∑∑
∑∑====（（内非外
其中)(ik i
ip E E +∑表示动能与势能的总和,称为机械能。

一切外力和所有非保守内
力作功的代数和等于系统机械能的增量。

对于本题外力和非保守内力都不作功，当然有系统的机械能守恒。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
2.1请写出质点系的机械能守恒的条件．
参考解答：
机械能守恒条件：外力对质点系做的功和系统内非保守内力做的功分别为零或其和为零．
2.6 机械能守恒定律
1. 对质点组有以下几种说法：
(1) 质点组总动量的改变与内力无关．
(2) 质点组总动能的改变与内力无关．
(3) 质点组机械能的改变与保守内力无关．
在上述说法中：
(A) 只有(1)是正确的．(B) (1)、(3)是正确的．
(C) (1)、(2)是正确的．(D) (2)、(3)是正确的．
答案：(B)
参考解答：
由质点组动量定理：n个质点组成的力学系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量；和由功能原理：系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量；所以质点组总动量的改变与内力无关，质点组机械能的改变与保守内力无关。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
1.1请分别写出质点系的动量守恒、动能守恒和机械能守恒的条件．
参考解答：
动量守恒条件：质点系所受的合外力为零．
动能守恒条件：外力和内力对质点系的各质点做的功之和为零．
机械能守恒条件：外力对质点系做的功和系统内非保守内力做的功分别为零或其和为零．
2. 关于机械能守恒条件和动量守恒条件有以下几种说法，其中正确的是 (A) 不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同时守恒．
(B) 所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其机械能必然守恒．
(C) 不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然同时守恒．
(D) 外力对一个系统做的功为零，则该系统的机械能和动量必然同时守恒． 答案： (C) 参考解答：
当系统不受外力或所受合外力为零时,系统的总动量保持不变. 这就是动量守恒定律；当外力对系统所作的总功和系统内成对非保守内力的总功之和恒为零时,系统在此过程中机械能守恒。

这一结论称为机械能守恒定律。

所以不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然同时守恒。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
1.1 两质量分别为m 1、m 2的小球，用一劲度系数为k 的轻弹簧相连，放在水平光滑桌面上，如图所示．今以等值反向的力分别作用于两
小球，则两小球和弹簧这系统的
(A) 动量守恒，机械能守恒． (B) 动量守恒，机械能不守恒． (C) 动量不守恒，机械能守恒． (D) 动量不守恒，机械能不守恒．
答案： (B) 参考解答：
以等值反向的力分别作用于两小球，0=∑i i F 外
，合外力为零，系统的动量守
恒；但 ,01≠∑=n
i i A 外
外力对系统作功，机械能不守恒。

m m
2.8 转动惯量
1. 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关． （B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关． （C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置． （D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关． 答案：（C ） 参考解答：
首先明确转动惯量的物理意义，从转动定律与牛顿第二定律的对称关系可以看出，与质量m 是平动惯性大小的量度相对应，转动惯量I 则是刚体转动惯性大小的量度。

从转动惯量的的公式∑=∆=n
i i
i r m I
1
2
可以看出，其大小除了与刚体的形状、
大小和质量分布有关外，还与转轴的位置有关。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。

参考解答：
不能．
因为刚体的转动惯量∑∆i i m r 2与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为221
mR ，若按质量全部集中于质心
计算，则对同一轴的转动惯量为零．
2. 一刚体由匀质细杆和匀质球体两部分构成，杆在球体直径的延长线上，如图所示．球体的半径为R ，杆长为2R ，杆和球体的质量均为m ．若杆对通过其中点O 1，与杆垂直的轴的转动惯量为J 1，球体对通过球心O 2的转动惯量为J 2，则整个刚体对通过杆与球体的固结点O 且与杆
垂直的轴的转动惯量为
(A) J ＝J 1＋J 2． (B) J ＝mR 2＋mR 2．
(C) J ＝(J 1＋mR 2)＋(J 2＋mR 2)．
(D) J ＝[J 1＋m (2R )2]＋[J 2＋m (2R )2]． 答案：(C) 参考解答：
根据转动惯量具有叠加性，则整个刚体对通过杆与球体的固结点0且与杆垂直的轴的转动惯量为细杆和球体分别对该轴转动惯量之合。

在某些转轴不通过质心的情况下,为便于计算转动惯量,可借助平行轴定理：2c md I I +=（c I 表示刚体对通过其质心C 的轴线的转动惯量，另一个轴与通过质心的轴平行并且它们之间相距为d ），所以答案(C)正确。

凡选择回答错误的，均给出下面相关资料：
平行轴定理
同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，它们之间无一个简单的一般关系，但若两根轴彼此平行，且其中一根通过刚体的质心，则刚体分别对这两根轴的转动惯量之间有一简单关系。

设m 表示刚体的质量，c I 表示刚体对通过其质心C 的轴线的转动惯量，另一个轴与通过质心的轴平行并且它们之间相距为d ，则此刚体对该轴的转动惯量为：
2
c md
I I +=
这一关系叫做平行轴定理。

2.9 力矩、转动定律
1. 几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体
(A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变． 答案：(D) 参考解答：
根据转动定律：t
I
M
d d ω=，刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体
对同一转轴的转动惯量与刚体所获得的角加速度的乘积。

在应用转动定律时应注意M 是合外力矩，是外力力矩的矢量和，而不是合外力的力矩。

几个力的矢量和为零，有合外力矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不变，也可能改变。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
1.1一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。

当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。

参考解答：
一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。

当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩并不是一定为零。

如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。

当驾驶员用两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个力。

对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致，故合力矩不为零。

2. 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮的转动惯量为I ，绳下端挂一物体．物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为β．若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β将
(A) 不变． (B) 变小． (C) 变大． (D) 如何变化无法判断． 答案：（C ）
参考解答：
对绳下端挂一物体，对物体用牛顿定律列方程：
ma T mg =-
对滑轮，根据转动定律βI M =列方程有： ,)(1βI R ma mg TR =-= 得：
.)(1I
R
ma mg -=
β
将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子， 根据转动定律列方程则有：,2βI mgR =.
2I
mgR =
β
显然有β2>β1。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
2.1 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力
(A) 处处相等． (B) 右边大于左边．
答案：（B ） 参考解答：
绳与轮之间无相对滑动，两物体运动加速度相同。

如m 1和m 2两物体(m 1＜m 2)受力隔离图所示，有：
,111a m T g m =- .111a m g m T -= ,222a m g m T =- .222a m g m T +=
0)()(121212>++-=-a m m g m m T T ， .12T T >∴
3. 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？
(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小．
(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大． (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小． (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大． 答案：(A) 参考解答：
转动定律βI M =所阐述是力矩与角加速度之间具有一一对应的瞬时作用关系。

棒从水平位置由静止开始自由下落摆动到竖直位置的过程中，受重力矩作用，如图所示，当棒摆动到与水平位置成θ角时，对转轴的重力矩2
cos θ
mgl M
=
(l 为棒长)，
棒水平位置时，对给定轴的力矩 (2
mgl M =) 最大，角加速度也最大，棒摆动
到竖直位置时，对给定轴的力矩 (0=M
)
最小，角加速度也最小。

凡选择(C)、(D)回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
3.1 如图所示，一匀质细杆AB ，长为l ，质量为m ．A 端挂在一光滑的固定水平轴上，细杆可以在竖直平面内自由摆动．杆从水平位置由静止释放开始下摆，当下摆θ角时，杆的
(A) 角速度从大到小. (B) 角速度从小到大． 答案：(B) 参考解答：
由机械能守恒定律：
,2
1sin 22ωθI l mg =
2
31ml
I =
代入上式，
,3121s i n 2
2
2ωθml l mg
⋅=
,sin 32
l
g θ
ω
=
,
sin 3l
g θ
ω=
显然有：细杆可以在竖直平面内自由摆动．杆从水平位置由静止释放开始下摆，当下摆θ角时，杆的角速度从小到大。

选择(B)回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
转动定律βI M =所阐述是力矩与角加速度之间具有一一对应的瞬时作用关系。

棒水平位置时，对给定轴的力矩(2
mgl M
=)最大，角加速
度也最大，棒摆动到竖直位置时，对给定轴的力矩(0=M )
最小，角加速度也最小。

2.10 刚体角动量、角动量守恒定律
1. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是
(A) 刚体不受外力矩的作用． (B) 刚体所受合外力矩为零． (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零． (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变．
答案：(B)
参考解答：
刚体的角动量定理（微分形式）：t
L
M d d
=
刚体所受的对某给定轴的合外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率。

刚体的角动量守恒定律：如果合外力矩0=M ，则 0
d d =t
L
.
即当刚体所受的合外力矩等于零时，刚体的角动量保持不变。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
定轴转动刚体的角动量定理的内容是：
定轴转动刚体所受外力对轴的冲量矩等于转动刚体对轴的角动量的增量．
刚体的角动量定理（积分形式）：0)(d 2
1
ωωI I t M t
t -=⎰，
刚体的角动量定理（微分形式）：t
L
M d d
=
角动量守恒的条件是：刚体所受对轴的合外力矩等于零．
2. 光滑的水平桌面上有长为2l 、质量为m 的匀质细杆，可绕通过其中点O 且垂直于桌面的竖直固定轴自由转动，转动惯量为231
ml ，起初杆
静止．有一质量为m 的小球在桌面上正对着杆的一端，在垂直于杆长的方向上，以速率v 运动，如图所示．当小球与杆端发生碰撞后，就与杆粘在一起随杆转动．则这一系统碰撞后的转动角速度是 (A)
2
43l
v ． (B)
l
1312v ． (C)
l
43v ． (D)
l
2v ．
答案：(C) 参考解答：
将细杆和小球作为系统，由于碰撞过程中冲力远大于小球的重力（该问题中仅小球的重力产生外力矩），故可认为角动量守恒。

碰撞前系统角动量：m v l ，碰撞后瞬间系统角动量：ω
)3
1(2
2
ml ml
+，
根据角动量守恒定律有：ω
)31(2
2
ml ml
l
m +=v ，.43l
v =
ω
凡选择(A)回答错误的，给出下面的进一步讨论：
你的错误分析：
错误的角动量守恒定律：ω)31(2
2
ml ml m +=v ，解出.432
l
v =
ω
正确的角动量守恒定律：ω
)3
1(
2
2
ml ml
l
m +=v
凡选择(B)回答错误的，给出下面的进一步讨论：
你的错误分析： 转动惯量错误的写成：,12
12
ml
角动量守恒定律：ω
)12
1(
2
2
ml ml
l m +=v ，解出.
1312l
v =
ω
正确的转动惯量：
.3
12
ml
凡选择(D)回答错误的，给出下面的进一步讨论：
你的错误分析：
错误的动量守恒定律：v v '
+=)(m m m ，且.ωl ='v
解出.2l v =ω
应该是角动量守恒定律：ω
)121(
2
2
ml ml
l
m +=v ，。