小学奥数：定义新运算.专项练习及答案解析
最新小学四年级奥数__定义新运算图文百度文库
20XX最新小学四年级奥数__定义新运算图文百度文库一、拓展提优试题1．有白棋子和黑棋子共2014个，按照如图的规律从左到右排成一行，其中黑棋子的个数是．○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○…2．100只老虎和100只狐狸分别为100组，每组两只动物，老虎总说真话，狐狸总说假话．当问及“组内另一只动物是狐狸吗？”结果这200只动物中恰有128只回答“是”，其它的都回答“不是”．那么同组2只动物都是狐狸的共有组．3．在一个停车场，共有24辆车，其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子，那么三轮摩托车有辆．4．两数相除，商是12，余数是3，被除数最小是．5．4名工人3小时可以生产零件108个，现在要在8小时内生产504个零件，需增加工人名．6．一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上二位乘客，第三站上三位乘客，依次下去，多少站以后，车上坐满乘客？7．六个人传球，每两人之间至多传一次，那么这六个人最多共进行15次传球．8．小东和小荣同时从甲地出发到乙地，小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米，小荣到达乙地后立即返回，若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距米．9．一列火车身长90米，火车以每分钟160米的速度通过山洞，用了3分钟，山洞长390米．10．甲、乙、丙三校合办画展，参展的画中，有41幅不是甲校的，有38幅不是乙校的，甲、乙两校参展的画共43幅，那么，丙校参展的画有幅．11．一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米．这捆电线原来有多少米？12．（15分）水果店用三种水果搭配果篮，每个果篮里有2个哈密瓜，4个火龙果，10个猕猴桃，店里现有的火龙果的数量比哈密瓜的3倍多10个，猕猴桃的数量是火龙果的2倍，当用完所有的哈密瓜后，还剩130个火龙果．问：（1）水果店原有多少个火龙果？（2）用完所有的哈密瓜后，还剩多少个猕猴桃？13．如图，一个大正方形被分成四个相同的小长方形和一个小正方形，若一个小长方形的周长是28，则大正方形的面积是．14．围棋24元一副，象棋18元一副，用300元恰好可以购买两种棋子共14副，其中象棋有副．15．甲、乙二人从同一天开始工作，公司规定：甲每工作3天后休息1天，乙每工作7天后连续休息3天，则在开始的前1000天中，甲、乙同一天休息的日子有天．．16．（8分）2015年1月1日是星期四，那么2015年6月1日是星期．17．（8分）如图所示，东东用35米长的栅栏在墙边围出一块梯形的地用来养猪，那么，这块养猪场的面积是平方米．18．洋洋从家出发去学校，若每分钟走60米，则它6：53到达学校，若每分钟走75米，则她6：45到达学校，洋洋从家里出发的时刻是．19．甲、乙、丙、丁四人参加了一次考试，甲、乙的成绩比丙、丁的成绩和高17分，甲比乙低4分，丙比丁高5分．四人中最高分比最低分高分．20．如图是长方形，将它分成7部分，至少要画条直线．21．将1～11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于18．22．已知x，y是大于0的自然数，且x+y＝150，若x是3的倍数，y是5的倍数，则（x，y）的不同取值有对．23．将一张长11厘米，宽7厘米的长方形纸沿直线剪开，每次必须剪出正方形，这样最多能剪出个正方形．24．把50颗巧克力分给4个小朋友，每个小朋友分得的巧克力的颗数各不相同．分得最多的小朋友至少可以得颗巧克力．25．少先队员计划做一些幸运星送给幼儿园的小朋友．如果每人做10个，还差6个没完成计划；如果其中4人各做8个，其余每人各做12个，就正好完成计划．问一共计划做颗幸运星．26．空心圆和实心圆排成一行如下图所示：○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●…在前200个圆中有个空心圆．27．一次乐器比赛的规则规定：初赛分四轮依次进行，四轮得分的平均分不低于96分的才能进入决赛，小光前三轮的得分依次是95、97、94．那么，他要进入决赛，第四轮的得分至少是分．28．只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，如：2，3，5，7等．那么，比40大并且比50小的质数是，小于100的最大的质数是．29．如图，BC＝3BE，AC＝4CD，三角形ABC的面积是三角形ADE面积的倍．30．甲，乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果，甲先取1块，乙接着取2块，然后甲再取4块，乙接着取8块，…，如此继续．当包裹中的糖果少于应取的块数时，则取走包裹中所有糖果，若甲共取了90块糖果，则最初包裹中有块糖果．31．（8分）传说，能在三叶草中找到四叶草的人，都是幸运之人．一天，佳佳在大森林中摘取三叶草，当她摘到第一颗四叶草时，发现摘到的草刚好共有100片叶子，那么，她已经有颗三叶草．32．小胖用两个秒表测一列火车的车速．他发现这列火车通过一座660米的大桥需要40秒，以同样的速度从他身边开过需要10秒，请你根据小胖提供的数据算出火车的车身长是米．33．一条大河，河中间（主航道）水的流速为每小时10千米，沿岸边水的流速为每小时8千米．一条船在河中间顺流而下，10小时行驶360千米，这条船沿岸边返回原地需要小时．34．（7分）用1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字组成两个不同的四位数（每个数字只用一次）使他们的差最小，那么这个差是．35．（7分）棱长都是1厘米的63个白色小正方体和1个黑色小正方体，可以拼成一个大正方体，问：一共可以拼成种不同的含有64个小正方体的大正方体．36．定义运算：A△B＝2A+B，已知（3△2）△x＝20，x＝．37．给出3、3、8、8，请你按“24点”的游戏规则，写出一个得数等于24的等式，．38．一个两位数除723，余数是30，满足条件的两位数共有个，分别是．39．粮店里有6袋面粉，分别重15、16、18、19、20、31千克，食堂分两次买走了其中5袋，已知第一次买走得重量是第二次的两倍，剩下的一袋重量为千克．40．在一个长方形内，任意画一条直线，长方形被分成两部分（如图），如果画三条互不重合的直线，那么长方形至少被分成部分，最多被分成部分．【参考答案】一、拓展提优试题1．【分析】根据每9个棋子是一个循环，用2014除以9，用得到的商乘以一个循环中黑棋子的个数，再根据余数的情况判断最后需加上几个黑棋子即可．解：2014÷9＝223…7，循环了223次后，还剩7个，里面有4个黑棋子，223×6+4＝1338+4＝1342（个）答：其中黑棋子的个数是1342个．故答案为：1342．【点评】答此类问题的关键是找出每几个数或每几个图形是一个循环．2．解：128÷2＝64（组）100﹣64＝36（组）36÷2＝18（组）答：那么同组2只动物都是狐狸的共有18组．故答案为：18．3．解：假设24辆全是4个轮子的汽车，则三轮车有：（24×4﹣86）÷（4﹣3），＝10÷1，＝10（辆），答：三轮车有10辆．故答案为：10．4．解：除数最小为：3+1＝412×4+3＝48+3＝51故答案为：51．5．解：504÷8÷（108÷3÷4）﹣4，＝504÷8÷9﹣4，＝63÷9﹣4，＝7﹣4，＝3（名），答：需增加3名，故应填：3．6．解：设第n站以后车上坐满了乘客，可得：[1+1+（n﹣1）×1]×n÷2＝78[2+n﹣1]×n÷2＝78，[1+n]×n÷2＝78，（1+n）×n＝156，由于12×13＝156，即n＝12．答：12站以后，车上坐满乘客．7．解：一个图形中，如果有K个奇点，那么这个图形会用笔画出来．为了让这个图形用一笔画出来，则要使它只存在2个奇点．上面的图形共有6个奇点，6×5÷2＝15条线．最少可以去掉2条线（剩下13条线），使6个奇点变成2个奇点，就可以用一笔画出来了．所以6人两两传球，但每两人之间最多只能传一次，最多就能传13次．故答案为：13．8．【分析】两人从出发到相遇用了10分钟，也就是二人相遇时都行了10分钟，行了两个单程，因此先求出两人的速度和，再乘上相遇时间，再除以2，解决问题．解：（50+60）×10÷2＝110×10÷2＝1100÷2＝550（米）答：甲、乙两地相距550米．故答案为：550．【点评】此题根据关系式：速度和×相遇时间＝路程，进而解决问题．9．解：160×3﹣90，＝480﹣90，＝390（米），答：山洞长390米．故答案为：390．10．【分析】41幅不是甲校的，就是乙校和丙校的，38幅不是乙校的，就是甲校和丙校，其中丙校的数量同时包含在41与38中，所以41+38＝79（幅）是甲校、乙校和丙校的2倍的总和，减去甲乙两校一共展出的数量，得出丙校的2倍，再除以2就是丙校参展的画的数量．解：（41+38﹣43）÷2＝（79﹣43）÷2＝36÷2＝18（幅）答：丙校参展的画有 18幅．故答案为：18．【点评】解决本题的关键是明确其丙校的数量同时包含在41与38中，所以，41与38的和是甲校、乙校和丙校的2倍的总和，减去甲乙两校一共展出的数量，再除以2就是丙校参展的画的数量．11．解：[（15+7﹣10）×2+3]×2＝[12×2+3]×2＝[24+3]×2＝27×2＝54（米）答：这捆电线原来长54米．12．【分析】（1）所有的果篮用掉2个哈密瓜，4个火龙果，8个猕猴桃．当哈密瓜全部用完时，用掉火龙果的数量是哈密瓜的2倍，依题意，可画出线段图帮助理解：剩下的130个对应着箭头部分，然后列式解答；（2）先求出水果店原有的猕猴桃，即370×2＝740（个）；再求用完所有的哈密瓜后，还剩下的猕猴桃数即可．解：（1）（130﹣10）÷2＝120÷2＝60（个）60×6+10＝360+10＝370（个）答：水果店原有370个火龙果．（2）370×2＝740（个）740﹣60×10＝740﹣600＝140（个）答：还剩140个猕猴桃．【点评】此题属于比较难的题目，解答的关键在于画出线段图来理解，找出数量关系式，列式解答．13．【分析】一个小长方形的周长是28，也就是小长方形的长和宽的和是28÷2＝14，也就是大正方形的边长，然后根据正方形的面积公式，解决问题．解：28÷2＝1414×14＝196答：大正方形的面积是196．故答案为：196．【点评】根据长方形的长和宽与正方形边长之间的关系，先求出小长方形的长和宽的和，即求出了大正方形的边长．14．【分析】假设全是围棋，那么就有24×14＝336元，这就比已知的300元多出了336﹣300＝36元，因为一副围棋比一副象棋多24﹣18＝6元，由此即可求得象棋的数量．解：假设全是围棋，则象棋就有：（24×14﹣300）÷（24﹣18）＝36÷6＝6（副）；答：其中象棋有6副．故答案为：6．【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答．15．【分析】甲的休息天数为4的倍数，即4，8，12，…1000；乙的休息日为：8，9，10，18，19，20，…，那么甲只要在4的倍数天休息就行了，每三个数中有一个数是4的倍数，那么也就是说，乙每工作10天才会有1天与喜羊羊的重合，那么以10为周期，共有1000÷10＝100个周期，每一周期有一天重合，那么100周期共有100天重合解：甲的休息天数为4的倍数，即4，8，12，…1000；乙的休息日为：8，9，10，18，19，20，…，那么乙只要在4的倍数天休息就行了，每三个数中有一个数是4的倍数，那么也就是说，乙每工作10天才会有1天与喜羊羊的重合，那么以10为周期，共有1000÷10＝100个周期每一周期有一天重合，那么100周期共有100天重合．故答案为：100．【点评】本题主要考查了公约数与公倍数问题．关键是乙每工作10天才会有1天与甲的重合．16．解：因为2015÷4＝503…3，所以2015年是平年，2月有28天，（31×3+30+28）÷7＝151÷7＝21（个）…4（天）因为2015年1月1日是星期四，4+4﹣7＝1所以2015年6月1日是星期一．故答案为：一．17．解：（35﹣7）×7÷2＝28×7÷2＝98（平方米）答：这块养猪场的面积是 98平方米．故答案为：98．18．【分析】6时53分﹣6时45分＝8分钟，设从家到学校若每分钟走60米，x分钟到学校，则若每分钟走75米，x﹣8分钟到学校，因为从家到学校的距离一定，根据“速度×时间＝路程”列方程解答即可．解：设从家到学校若每分钟走60米，x分钟到学校，6时53分﹣6时45分＝8分钟60x＝（x﹣8）×7560x＝75x﹣60015x＝600x＝40；6时53分﹣40分＝6时13分；答：洋洋从家里出发的时刻是6：13．故答案为：6：13．【点评】此题考查列方程解应用题，本题关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．19．解：设乙得了x分，则甲得了x﹣4分，丙得了y分，则丁得了y﹣5分，所以（x+x﹣4）﹣（y+y﹣5）＝17，整理，可得：2x﹣2y+1＝17，所以2x﹣2y＝16，所以x﹣y＝8，所以乙比丙得分高；因为x﹣y＝8，所以（x﹣4）﹣（y﹣5）＝9，所以甲比丁得分高，所以乙得分最高，丁得分最低，所以四人中最高分比最低分高：x﹣（y﹣5）＝x﹣y+5＝8+5＝13（分）答：四人中最高分比最低分高13分．故答案为：13．20．【分析】两条直线把正方形分成4部分，第三条直线与前两条直线相交多出3部分，共分成7部分；第四条直线与前3条直线相交，又多出4部分．共11部分，第五条直线与前4条直线相交，又多出5部分，如下图所示．解：1+1+2+3＝7答：在一个长方形上画上3条直线，最多能把长方形分成7部分．故答案为：3．【点评】此题考查了图形的拆拼．使直线间相互交叉，交点越多，则分割的空间越多．每多第几条直线，就加几个部分．21．解：设中间的圆圈中的数是A；根据题意可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+A+A+A+A＝18×5，66+4A＝90，4A＝24，A＝6；那么每条线段剩下的两个数的和是：18﹣6＝12；又因为，1+11＝12，2+10＝12，3+9＝12，4+8＝12，5+7＝12；分别放到每条线段剩下的两个圆圈中；由以上可得：．22．【分析】首先根据5的整除特性可知尾数是0或者5，那么150和5的倍数差依然是尾数是0或者5的数字枚举即可．解：根据5的整除特性可知尾数是0或者5．那么150减去这个数字尾数还是0或者5．可以找到尾数是0或者5的数字是3的倍数．30，60，90，120，15，45，75，105，135共9个数字满足条件．对应的数字就有9对．故答案为：9．【点评】本题是考察数的整除特性，关键在于找到尾数是0或5的数字是3的倍数，枚举即可解决问题．23．解：根据题干分析可得：答：一共可以剪出6个正方形．故答案为：6．24．解：因为要使每个小朋友分得的巧克力的颗数各不相同，第一次先分给这4个小朋友的巧克力数依次为：1、2、3、4，从这里可以看出最后那个人是分得鲜花最多的人；那么还剩下50﹣（1+2+3+4）＝40颗巧克力；如果这40颗巧克力全给最后这个人，那么他最多可分得4+40＝44颗，要想让他分得的巧克力数少，那么剩下的40颗朵，可以再分给每个人10，由此可得出这时每个人的巧克力数为：11、12、13、14，答：分得最多的小朋友至少可以得14颗巧克力；故答案为：14．25．解：[（12﹣8）×4+6]÷（12﹣10），＝[16+6]÷2，＝22÷2，＝11（人）；10×11+6＝116（个）；答：一共计划做116颗幸运星．故答案为：116．26．解：200÷9＝22…2，所以22×3+1＝67（个），答：前200个圆中有67个空心圆．故答案为：67．27．【分析】要想四轮得分的平均分不低于96分，总分应该达到96×4＝384分，用这一分数减去小光前三轮的得分即可解答．解：96×4﹣95﹣97﹣94，＝384﹣95﹣97﹣94，＝98（分）；答：第四轮的得分至少是98分．【点评】本题主要考查简单规划问题，熟练掌握平均数的定义与求法是解答本题的关键．28．【分析】根据质数的概念：指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没其它约数的数；然后列举出比40大并且比50小的质数；求小于100的最大的质数，应从100以内的最大数找起：99、98是合数；进而得出结论．解：比40大比50小的质数有：41、43、47；小于100的最大质数是97；故答案为：41、43、47，97．【点评】解答此题的关键：根据质数的定义，并结合题意，进行例举即可．29．解：因为BC＝3BE，AC＝4CD，则BC：BE＝3：1，AC：CD＝4：1，所以S△ABE ＝S△ABC，S△ACE＝S△ABC，S△ADE＝S△ACE＝S△ABC＝S△ABC，三角形ABC的面积是三角形ADE面积的2倍．故答案为：2．30．【分析】通过题意，甲取1块，乙取2块，甲取4块，乙取8块， (1)20，2＝21，4＝22，8＝23…，可以看出，甲取的块数是20+22+24+26+28+…，相应的乙取得块数是21+23+25+27+29+…，我们看一看90是甲取了几次，乙相应的取了多少次，把两者总数加起来，即可得解．解：甲取的糖果数是20+22+24+…+22n＝90，因为1+4+16+64+5＝90，所以甲共取了5次，4次完整的，最后的5块是包裹中的糖果少于应取的块数，说明乙取了4次完整的数，即乙取了21+23+25+27＝2+8+32+128＝170（块），90+170＝260（块），答：最初包裹中有 260块糖果．故答案为：260．【点评】判断出甲乙取得次数是解决此题的关键．31．解：（100﹣4）÷3＝96÷3＝32（棵）答：她已经有了32棵三叶草．故答案为：32．32．解：根据分析可得，660÷（40﹣10），＝660÷30，＝22（米）；22×10＝220（米）；答：火车的车身长是 220米．故答案为：220．33．解：船的静水速度为：360÷10﹣10，＝36﹣10，＝26（千米/时）；返回原地需要：360÷（26﹣8），＝360÷18，＝20（小时）；答：这条船沿岸边返回原地需要20小时．故答案为：20．34．【分析】设这两个数为a，b．，且a＜b．千位最小差只能是1．为了让差尽量小，只能使a其它位数最大，b的其它位数最小．所以要尽量使a的百位大于b的百位，a的十位大于b的十位，a的个位大于b的个位．因此分别是8和1，7和2，6和3，剩下的4，5分给千位．据此解答．解：设这两个数为a，b．，且a＜b．千位最小差只能是1．根据以上分析，应为：5123﹣4876＝247故答案为：247．35．【分析】一共64个，4×4×4，①把黑色正方体放在顶点处，1种；②把黑色正方体放在棱中间，任选一个，2种；③把正方体放在每个面的中间4个，任选一个，4种；④把黑色正方体放在里面，从外边看不到，8种；然后把几种情况的种数相加即可．解：①把黑色正方体放在顶点处，1种；②把黑色正方体放在棱中间，任选一个，2种；③把正方体放在每个面的中间4个，任选一个，4种；④把黑色正方体放在里面，从外边看不到，8种；共：1+2+4+8＝15（种）；答：一共可以拼成15种不同的含有64个小正方体的大正方体．故答案为：15．36．解：（3△2）△x＝20，（2×3+2）△x＝20，8△x＝20，2×8+x＝20，16+x＝20，x＝20﹣16，x＝4；故答案为：4．37．解：8÷（3﹣8÷3），＝8÷（3﹣），＝8÷，＝24．故答案为：8÷（3﹣8÷3）．38．解：723﹣30＝693，693＝3×3×7×11，所以一个两位数除723，除数大于30的两位数因数有：11×3＝33，11×7＝77，3×3×7＝63，11×3×3＝99，共4个；故答案为：33、63、77、99．39．解：15+16+18+19+20+31＝119（千克），食堂共买走的总量是：119﹣20＝99（千克），99÷3＝33（千克），第二次买走得重量是：15+18＝33（千克），第一次买走得重量是：16+31+19＝66（千克）；答：剩下的一袋重量为20千克．故答案为：20．40．【分析】三条线不重合，不相交时，把长方形分成的部分最少；三条线不重合，但在长方形内两两相交，有3个交点，把长方形分成的部分最多，如下图所示，因此得解．解：由分析可得：故答案为：4，7．【点评】认真分析题意，找出规律是解决此题的关键，线的交点越多，图形被分的部分越多．。
小学六年级奥数系列讲座：定义新运算(含答案解析)
定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26 5*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=263△(4△6)＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19练习2：1．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。
2．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。
求30△（5△3）。
3．设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。
定义新运算练习题(含解析)
定义新运算练习题1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。
2．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。
3．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。
4.如果2△3＝2＋3＋4＝9，5△4＝5＋6＋7＋8＝26，照这样计算，求9△5。
5．定义一种新运算：3△2＝3＋33＝36，5△4＝5＋55＋555＋5555＝6170，那么7△4的结果是。
6．定义新运算：若2※3＝2＋3＋4，5※4＝5＋6＋7＋8，求2※（3※2）的值。
7.规定：符号“△”为选择两数中较大的数，“○”为选择两数中较小的数．例如5△2＝5，3○6＝3，求[（8○3）△5]×（4○7）。
附加题：8.2▽4＝8，5▽3＝13，3▽5＝11，9▽7＝25．按此规律计算，求10▽12。
定义新运算-解析1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。
【分析】根据规定a*b＝30×a＋20×b，计算3*8时，a＝3，b＝8。
运用新定义计算。
【解答】a*b＝30×a＋20×b3*8＝30×3＋20×8＝2502．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。
【分析】△的运算是两数和与两数差的乘积；据此解答即可。
【解答】6.2△3.8＝（6.2＋3.8）×（6.2﹣3.8）＝10×2.4＝243．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。
【分析】根据a△b＝2.5a﹣b，把4△5改写为2.5×4﹣5，算出结果，再用这个结果的2.5倍减6，即是（4△5）△6的结果。
小学奥数 定义新运算 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
【奥数专题】精编人教版小学数学五年级上册 定义新运算(试题)含答案与解析
经典奥数：定义新运算（专项试题）一．选择题（共6小题）1．对于两个数a、b．定义一种运算“*”，a*b＝3a+2b．则3*5＝（）A．19B．15C．6D．52．假设a#g＝（a+g）÷（a÷g），如果x#（5#1）＝6，那么x是（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.43．假设A※B表示A的3倍减去B的2倍，即A※B＝3A﹣2B．已知x※（4※1）＝7，那么x※4＝（）A．7B．9C．19D．364．如果规定符号“☆”为选择两数中的较大数，“△”为选择两数中的较小数，例如：4☆6＝6，4△6＝4，那么[（8△4）☆6]×（4☆8）＝（）A．48B．24C．325．将2020年2月2日记成20200202，这个数字从左往右、从右往左读都样，我们称这样的数为“世纪吉祥数”。
从2000年到2099年这样的“世纪吉祥数”有（）个。
A．15B．12C．9D．36．如果：a*b＝a×（b+3），则5*2＝5×（2+3）＝25．同理可得：4*8＝（）A．32B．56C．44二．填空题（共6小题）7．如果规定：符号*表示选择两个数中较大的数，#表示选择两个数中较小的数，例如3*8＝8，3#8＝3，则4.5#5.4＝，（3.6*15.6）÷（1.2#1.8）＝。
8．根据运算定律，填一填。
78.6×※+☆×2.4＝78.6×10，※＝，☆＝。
9．如果A△B表示3×A+B，例如2△4表示3×2+4＝10，那么，5△2＝。
10．规定A△B＝5A﹣B，如果X△（5△2）＝1；那X＝。
11．如果1*3＝1+11+111＝123，2*4＝2+22+222+2222＝2468，3*3＝3+33+333＝369，那么5*4＝．12．有这样两种运算◆和■：规定a◆b＝a×b﹣a，a■b＝a÷b+a．则（6◆5）■4＝．三．解答题（共9小题）13．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），按收方由密文→明文（解密），已知加密规则为明文a，b，c对应的密文a+1，2b+4，3c+9，例如明文1，2，3对应的密文为2，8，18，如果接收的密文7，18，15，则解密得到的明文是什么？14．对于实数x、y，定义一种新的运算*，x*y＝ax+by，其中a、b为常数，等式的右边是通常的加法与乘法运算，已知3*2＝7，2*3＝8，则1*1是多少？15．定义一种新运算：a*b＝3a+5ab+kb，其中a和b为任意两个不为0的数，k为常数．比如：2*7＝3×2+5×2×7+7k（1）如果5*2＝7*3，8*5与5*8的值相等吗？请说明理由（2）当k取什么值时，对于任何不同的a和b，都有a*b与b*a，即新运算“*”符合交换律？16．1*5＝1+11+111+1111+11111，2*4＝2+22+222+2222，3*3＝3+33+333，4*2＝4+44，那么（1）7*4＝？（2）210*2＝？17．a和b都是正整数，设a※b表示从a起b个连续正整数的和。
定义新运算题目及答案解析-小学奥数
专题定义新运算知识点1 直接运算型【基础训练】1、【★】设a，b都表示两个不同的数，规定：a△b=2×a＋3×b，表示a的2倍加上b的3倍的和.（1）求4△7的值.（2）求2△3的值.【答案】（1）29；（2）13【解析】（1）找到a与b对应的数，根据定义的新运算，将算式中的a与b换成对应的数，再进行计算，即a=4,b=7，4△7=2×4＋3×7=29；（2）方法同上，即a=2，b=3，2△3=2×2＋3×3=13.2、【★★】设a、b都表示两个不同的数，规定：a▽b=a×b－（a+b）.（1）求5▽6▽7的值.（2）求7▽（5▽4）的值.【答案】107；59【解析】（1）按照从左往右的顺序计算，①先算5▽6=5×6－（5+6）=30－11=19，②再算19▽7=19×7－（19+7）=133－26=107，所以5▽6▽7=107.（2）有括号的要先算括号里面的，①先算5▽4=5×4－（5+4）=20－9=11，②再算7▽11=7×11－（7+11）=77－18=59，所以7▽（5▽4）=59.3、【★★】x,y表示两个数,规定新运算“☆”及“○”如下:x☆y=2×x+3×y，x○y=6×x×y.（1）求10☆2的值.（2）求4○25的值.【答案】26；600【解析】（1）原式=2×10＋3×2=26；（2）原式=6×4×25=600【拓展提升】1、【★★★】规定：a□b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1），其中a、b表示自然数.求1□100的值.【答案】5050【解析】1□100=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=50502、【★★★】已知x、y是任意有理数.我们规定：x☆y=x＋y－1，x○y=x×y－2.（1）求10☆9.（2）求7○8.（3）求4○[（6☆8）☆（3○5）]的值.【答案】18；54；98【解析】（1）10☆9=10＋9－1=18；（2）7○8=7×8－2=54（3）先算小括号里面的6☆8和3○5，6☆8=6＋8－1=13，3○5=3×5－2=13.再计算中括号里面的13☆13=13＋13－1=25.最后计算4○25=4×25－2=98.知识点2 反解未知型【拓展提升】1、【★★★】设x、y都表示两个不同的数，规定：x□y=x×y+2A，已知3□4=16.（1）求常数A是多少？（2）求3□（4□5）【答案】2；76【解析】（1）建立方程，3×4+2A=16，解得A=2.（2）先算括号里面的，①4□5=4×5+2×2=20+4=24，②再算3□24=3×24+2×2=72+4=762、【★★★★】规定：()()()121a b a a a a b ∆=+++++++-，其中a 、b 表示自然数. 已知1465x ∆∆=（）,求x .【答案】x=2【解析】先求1△4=1+2+3+4=10，再算x △10=65，那么x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+…+（x+9）=65,即10x+45=65，解得x=2知识点3 总结规律型【拓展提升】1、【★★★】已知：13123*=⨯⨯，242345*=⨯⨯⨯，4545678*=⨯⨯⨯⨯，…（1）求33*的值.（2）求25*的值.【答案】60；7202、【★★★】已知：12111∇=+，23222222∇=++，444444444444∇=+++，……（1）求73∇的值 。
小学数学奥数测试题定义新运算_人教版
第 1 页2019年小学奥数计算专题——定义新运算1．若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
2．定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b，求值：6△（3△4）.3．设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.4．P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8) . 5．已知a,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .6．M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=.7．“△”是一种新运算，规定：a △b ＝a×c＋b×d(其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d。
如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。
8．对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝2m a b a b⨯+⨯⨯（m 是一个确定的整数）。
如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________。
9．对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y⨯⨯∆+,求2△9。
10． “*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=+++ ，已知 ()()11221212113A *=+=⨯++，求19981999*。
11．[A]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:12．x 为正数,<x>表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .13．定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .14．我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)( 2.25)996••Θ+∆∆+Θ的结果是多少？15．规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
小学数学《定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一） 直接运算型【例1】 （★★）定义运算“⊕”如下：()2a b a b ⊕=+÷（1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008（2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（1）2007⊕2009=(2007+2009)÷2＝2008；2006⊕2008=(2006+2008)÷2＝2007（2）1⊕5⊕9＝（1+5）÷2⊕9＝3⊕9＝（3+9）÷2＝61⊕（5⊕9）＝1⊕（5+9）÷2＝1⊕7＝（1+7）÷2＝4；【例2】 （★★★）n*b 表示n 的3倍减去b 的2倍，例如3*2＝3×3－2×2＝5.根据以上的规定，10*6应等于_____.分析：根据新运算“*”的规定：10*6＝10×3－6×2＝18.[巩固] 设a △b ＝a ×a －2×b ，那么，5△6＝______，5△2＝_____.分析：(1)5△6＝5×5－2×6＝13(2)5△2＝5×5－2×2＝21【例3】 （★★★）我们规定：a c b d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5. 求45 610的值.分析：45 610＝4×10－5×6＝40－30＝10[前铺]如果用|A,B|表示A 与B 中较大数与较小数之差，求：（1）|2+3，2×3|；（2）||3，5|，3|分析：（1）|2+3，2×3|=|5，6|=6-5=1（2）||3，5|，3|=|5-3，3|=|2，3|=3-2=1【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）设m 、n 是两个数，规定：m*n ＝4×n－(m ＋n)÷2，这里“×，＋，一，÷”是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“*”是新的运算符号. 计算：3*(4*6)＝ _____.分析：4*6＝4×6－（4＋6）÷2＝19，3*19＝4×19－（3＋19）÷2＝65.[巩固] 规定：a ▽b ＝（a ＋b ）÷2+2×a ，则3▽（6▽8）是多少？.分析：6▽8＝（6＋8）÷2+2×6＝19，3▽19＝（3＋19）÷2+2×3＝17，所以3▽（6▽8）＝17.【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝(a+b)÷2，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝(a+b-1)÷2.求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)；(2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析:（1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数， 所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以 1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001[巩固] 定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝(a+b)÷3，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝(a+b-1)÷3，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b ＝(a+b-2)÷3.求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891【例6】 （★★★北京市第十一届“迎春杯”赛）如果 3*2=3＋33=362*3=2＋22＋222=2461*4=1＋11＋111＋1111=1234那么4*5=( ).分析：4*5=4＋44＋444＋4444＋44444=49380[巩固]规定： 6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234.求7*5.分析：7*5=7+77+777+7777+77777=86415【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1） 求3！，4！，5！；（2） 证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！分析：（1）3！＝3×2×1＝6；4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！）＝7×（6！）＝7！[拓展] 对自然数m ，n （n ≥m ），规定m n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）.例如：24P ＝4×3＝12.34P ＝4×3×2＝24.求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，.分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120.（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720.[总结] 这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二）反求未知数【例8】 （★★★★奥数网题库）假设A*B 表示A 的3倍减去B 的2倍，即A*B ＝3A －2B.已知w*(4*1)＝7，求w*4的值．分析：4*1＝3×4－2×1＝10，所以w*(4*1)＝w*10＝3×w －10×2＝7，所以w ＝9.那么w*4＝ 9*4＝3×9－4×2＝19.[前铺]对于数 a ， b ， c ， d ，规定〈a ， b ， c ，d 〉=2ab-c ＋d.已知〈1，3，5，x 〉=7，求x 的值.分析：＜1，3， 5，x ＞＝2×1×3-5＋x ＝1＋x=7，x=6【例9】（★★★★奥数网题库）对于两个数a、b，a△b表示a＋b－1.计算：（1）（7△8）△6（2）（6△A）△A＝84，求A.分析：（1）7△8＝7＋8－1＝14，14△6＝14＋6－1＝19；（2）6△A＝6＋A－1＝5＋A，（5＋A）△A＝5＋A＋A－1＝2×A＋4＝84，所以A＝40.[拓展]如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？分析：（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，由6a-18=12，解得a=5【例10】（★★★★第八届“祖冲之杯”数学邀请赛）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，A＝5[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837.老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同. 请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ .分析: 由红毛族算式“8×8＝8 ”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8.由“9×3＝3”知“3”是0.“7”是5.于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”.[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，A×B=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=A×B=2008×4=8032[拓展]如果运算器输出的是下面的规律，“？”应填什么呢？分析：通过观察，15÷3=5=4+1，28÷7=4=3+1，60÷15=4=3+1，所以，第四列的？处应填（7+1）×8=64，第五列的？处应填：52÷13-1=4-1=31．（例1）a、b是自然数，规定：a△b＝a×5＋b÷3，求8△9的值.分析：8△9＝8×5＋9÷3＝432．a*b表示a的3倍减去b的一半，例如，1*2=1×3-2÷2=2，根据这个规定，计算：（1）10*6 （2）7*（2*4）.分析：10*6=10×3-6÷2=27，7*（2*4）=7*（2×3-4÷2）=7*4=7×3-4÷2=193．（例5）定：A※B＝B×B＋A，计算（2※3）※（4※1）的值.分析：2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36.4．（例4）如果a◇b＝a×b－（a＋b），已知（3◇4）◇x=19，求x的值.分析：3◇4＝3×4－（3＋4）＝5，5◇x＝19，5×x－（5＋x）＝19，4x-5=19，4x=24，x=6.5．（例12）右下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，A÷B×2=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=A÷B=2008÷4×2=1004。
小学奥数：定义新运算.专项练习及答案解析
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
例题精讲知识点拨教学目标定义新运算由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
定义新运算题目及答案解析-小学奥数
专题定义新运算知识点1直接运算型【基础训练】1、【★】设a, b都表示两个不同的数，规定：a4b=2x让3XR表示a的2倍加上b的3倍的和.(1)求4△ 7的值.(2)求24 3的值.【答案】(1) 29; (2) 13【解析】(1)找到a与b对应的数，根据定义的新运算，将算式中的a与b换成对应的数，再进行计算，即a=4,b=7, 4A 7=2X4+ 3X7=29(2)方法同上，即a=2, b=3, 2A3=2X2+ 3X3=13.2、【设a、b都表示两个不同的数，规定：aVb=aXk (a+b) . (1)求5V6V7的值. (2)求7、( 5V4)的值.【答案】107; 59【解析】(1)按照从左往右的顺序计算，①先算5V6=5X6- (5+6) =30—11=19,②再算19▽ 7=19X7— ( 19+7) =133-26=107,所以5V6V7=107.(2)有括号的要先算括号里面的，①先算5V4=5X4— (5+4) =20 —9=11,②再算7V 11=7X 11 —( 7+11) =77- 18=59,所以7N (5V4) =59.3、x,y表示两个数，规定新运算我"及"C如下:x^ry=2 X x+3 X,yxO y=6 X xX1y)求10^r2 的值.(2)求4。
25的值.【答案】26; 600【解析】(1)原式=2X1计3X2=26 (2)原式=6X 4X25=600【拓展提升】1、【★★★】规定：aD b=a- (a+ 1) + (a+2) +…+ (a+ b—1),其中a、b表示自然数.求1口10的值.【答案】5050【解析】1口100=1+2+3+- + 100= ( 1 + 100) X 100+2=50502、【★★★］已知x、y是任意有理数.我们规定：x☆y=x + y—1, xOy=xX于2. (1)求10^9.(2)求7。
8.(3)求4O：(6^8) ☆ (305)］的值.【答案】18; 54; 98【解析】(1) 10+9=10 + 9—1=18; (2) 708=7X*2=54(3)先算小括号里面的6+8和305, 6^8=6 + 8-1=13, 3。
奥数练习--定义新运算练习有答案
三年级思维训练3--定义新运算一、已知当口大于或等于6时, 规定a△6=3×a+4×6; 当a小于b时, 规定a△6=4×a+3×b, 按此规定计算: (6△4)△35=二、定义新运算符号*为A* B=A×B-A-B, 已知X*5=11, 那么X=三、规定2⊕I= 2 , 2⊕2=2+22=24, 3⊕3=3+33+333=369 ,那么5⊕5=四、通过一种新的运算“△”计算，有以下结果：2△3=2×3×4=244△2=4×5=20那么6△3-7△2等于多少?五、定义f(1)=1, f(2)=1+2=3, f(3)=1+2+3=.6, …, 那么f(100)=六、若记号“贝.贝→京京”代表“贝贝比京京高”，依照下图的记号，最高的是七、如果P↑表示P+1, P↓表示P-1, 则(4↑) ×(3↓)等于1. A. 9↓ B. 1.0↓ C. 11↓ D.12↑ E.13↓八、规定一种运算符号“@”, M@N=(M+N)÷5, 那么X@5=10中X的值是九、在密码学中，直接可以看到的内容是明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码有一种密码, 将英文26个字母a、b、c…、z(不论大小写)依次对1、2、3…、26这26个自然数(见表格)。
当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号y=(x+1)÷2；当明码对10应的序号 x为偶数时，密码对应的序号y=x÷2+13。
按上述规定，请你算出明码“ love”译成密码是什么?十、对于任意自然数, 定义n! =1×2×…×n, 如4!-1×2×3×4. 那么, 1! +2!+3 ! +4 ! +5 !=十一、规定3.☆2=3+33=36, 2☆3=2+22+222=246, 1☆4=1+11+111+1111=1234.如果一位数a、b满足a☆b=49380, 求a和b.十二、规定1※2=1+2=3,2※3=2+3+4=9,5※4=5+6+7+8=26. 如果a※15=165, 那么a=十三、如果A*B=2A+B,若A*2A*3A*4A*5A=570, 那么 A=十四、已知有一个数学符号△使下列等式成立: 2△4=8,5△3=13,3△5=11, 9△7=25, 那么7△3=十五、我们规定: AOB表示A、B中较大的数, A△B表示A、B中较小的数. 则(10△8-6○5)×(1 1013+15△20)=十六、已知“△”表示一种运算符号, 若a△b=(a-b) ÷2, 则3△(6△4)=十七、对于数x、y，定义两种运算“*”及“△”如下：x*y=6x+5y, x△y=3xy, 则(2*3)△4=十八、如果6*2=6+7。
小学数学《定义新运算》练习题(含答案)(1)
小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一） 直接运算型【例1】 （★★奥数网题库）定义运算“⊕”如下：2a b a b +⊕=． （1） 计算2006⊕2008（2） 计算3⊕7⊕11，3⊕（7⊕11）（3） a b b a ⊕=⊕是否成立？（4） ()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕是否成立？分析：（教师先告诉学生2a b +表示（a+b ）÷2） （1）2006⊕2008＝200620082+＝2007； （2）3⊕7⊕11＝372+⊕11＝5⊕11＝5112+＝8 3⊕（7⊕11）＝3⊕7112+＝3⊕9＝392+＝6； （3）因为2a b a b +⊕=，2b a b a +⊕=，又因为22a b b a ++=，所以a b b a ⊕=⊕成立； （4）由（2）的结论，3⊕7⊕11＝8，3⊕（7⊕11）＝6，因为8≠6，所以，()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕不成立.（强调“举反例”时只要有一个就能说明证明不成立）[拓展]两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为ab.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算： （1）(269) 4等于多少？ （2）108（200819）分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0（2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……4，所以 108（200819）=10813=4【例2】 （★★奥数网题库）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25[拓展]定义符号“\”表示求两个自然数相除所得的商的运算，例如：9\2=4，10\3\=3（1） 求：29\8，2008\4，（1320×500）\250；（2） 适用符号“\”和已经学过的运算符号来表示“求两个自然数相除所得余数”的运算.分析：（1）因为29÷8＝3…5，所以29\8=3，同理，2008\4=502，（1320×500）\250=2640（2）因为被除数÷除数=商…余数，所以余数=被除数-除数×商，所以，a 除以b 的余数为a-b ×（a\b ）【例3】 （★★★奥数网题库）我们规定：a c b d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5． 求45 610的值．分析：45 610＝4×10－5×6＝40－30＝10[前铺]如果用|A,B|表示A 与B 中较大数与较小数之差，求：（1）|2+3，2×3|；（2）||3，5|，3|分析：（1）|2+3，2×3|=|5，6|=6-5=1（2）||3，5|，3|=|5-3，3|=|2，3|=3-2=1【例4】 （★★★奥数网题库）定义新的运算a b a b a b ⊕=⨯++，求：（1）62⊕，26⊕（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕（3）这个运算有交换律吗？分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23；1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23（3）由于a b a b a b ⊕=⨯++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.[拓展]定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ），（1） 求5※7，7※5；（2） 求12※（3※4），（12※3）※4；（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b 2+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝a b 12+-． 求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)；(2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析:（先告诉学生a b 2+是一种运算，表示（a+b ）÷2，a b 12+-就表示（a+b-1）÷2） （1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数， 所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （2）因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以 1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001．[巩固] 定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝a b 3+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b ＝a b-23+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891【例6】 （★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定m n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：24P ＝4×3＝12．34P ＝4×3×2＝24．求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，．分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720．[前铺]定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1．求3！，4！，5！；证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！分析：（1）3！＝3×2×1＝6；4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！）＝7×（6！）＝7！[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二）反求未知数【例7】 （★★★★奥数网题库）如果a △b 表示(a-2)×b ，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a △2)△3=12时， a 等于几？分析：（a △2）△3=［（a －2）×2］△3＝（2a －4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，由6a-18=12，解得a=5[前铺]对于两个数a 、b ，a △b 表示a ＋b －1．计算：（1）（7△8）△6（2）（6△A ）△A ＝84，求A ．分析：（1）7△8＝7＋8－1＝14，14△6＝14＋6－1＝19；（2）6△A ＝6＋A －1＝5＋A ，（5＋A ）△A ＝5＋A ＋A －1＝2×A ＋4＝84，所以A ＝40．【例8】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）【例9】 （★★★★奥数网题库）规定：a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b-1），其中a 、b 表示自然数.（1）求1△100的值；（2）已知x △10=75，求x.分析：（1）1△100=1＋2＋3＋……＋100=5050（2）x △10=x ＋x ＋1＋x ＋2＋……＋x ＋9=10×x ＋45=75，10×x=30，所以x=3[拓展] 对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=y mx y x 26+⋅⋅ (其中m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=6121221224m m ⨯⨯==⨯+⨯+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所以 6295429==222911⨯⨯⨯+⨯[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）计算机程序语言【例10】 （★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．分析：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是商减去1，2008÷4＝502，502-1=501，所以C ＝501．【例11】 （★★★★奥数网题库）有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数．装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数减去4；装置D ∶将输入的数乘以3．这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B 就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3．那么输入9，经过A·B·C·D，输出几？分析：输入9经过A 装置以后结果是9＋5＝14，再经过B 装置以后结果是14÷2＝7，经过C 装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D 装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．[拓展]有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数减去4；装置D ∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B 就写成A ·B ，输入1后，经过A ·B ，输出3.经过B ·D ·A ·C ，输出的是100，输入的是几？分析：（方法一）假设输入的是w，那么经过B·D·A·C，变为：w÷2×3+5-4=100，w=66 （方法二）将100反过来经过C之前为：100+4=104，经过C·A之前为104-5=99，经过C·A·D 之前为：99÷3=33，经过C·A·D·B之前为：33×2=66（四）其他常见类型【例12】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）印第安人的古老部落里有这样一些式子：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．这些算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按印第安人的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．分析: 由印第安人的算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得“7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=111．（例2）规定：a▽b＝（a＋b）÷2+2×a，则3▽（6▽8）是多少？.分析：6▽8＝（6＋8）÷2+2×6＝19，3▽19＝（3＋19）÷2+2×3＝17，所以3▽（6▽8）＝17.2．（例6）如果 3*2=3＋33=362*3=2＋22＋222=2461*4=1＋11＋111＋1111=1234那么4*5=( ).分析：4*5=4＋44＋444＋4444＋44444=493803．（例7）对于数 a， b， c， d，规定〈a， b， c，d〉=2ab-c＋d.已知〈1，3，5，x〉=7，求x 的值.分析：＜1，3， 5，x＞＝2×1×3-5＋x＝1＋x=7，x=64．（例9）如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？分析：（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，由6a-18=12，解得a=55．（例10）右下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，10÷5=2，48÷8=6，121÷11=11，5=2+3，9=6+3，14=11+3，所以（A-3）×B=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=（A-3）×B=2005×4=8020。
奥数定义新运算专题
奥数定义新运算专题第1篇：奥数定义新运算专题1、规定a▽b=a×k＋ba×b,且5▽6=6▽5，求2▽1－1▽2的值。
2、若3□4=3＋4＋5＋6=18，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。
（1）计算1995□5（2）若95□x=585,求x（3）若x□3=5973,求x.3、按如下规则：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6……（1）计算5！=？（2）x!=5040，求x=?4、已知：1※6=1×2×3×4×5×6，6※5=6×7×8×9×10，按此规定，计算（2※5）＋（6※4）。
5、若“＋、－、×、÷”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是的数字，试问下面的4个算式，（1）8×7=8（2）7×7×7=6（3）（7＋8＋3）×9=39（4）3×3=3。
第2篇：奥数专题之定义新运算例题[例4]规定自然数a、b在a？b中表示：a？b=a×（a＋1）×…×（a＋b－1）。
计算：2?3＋4?5。
解：2?3＋4?5=2×3×4＋4×5×6×7×8=24＋6720=6744[形成*练习]3?2＋5?4=?[例5]规定数a！b=4×a＋2×b；a～b=2×a＋4×b。
试算：（3～4－3！4）～2！4。
解：（3～4－3！4）～2！4=[（2×3＋4×4）－（4×3＋2×4）]～2！4=2～2！4=（2×2＋4×2）！4=12！4=4×12＋2×4=56。
[形成*练习]3～4＋(3！4～2)！4=?[例6]数a、b，当a≥b时，规定a◎b=3×x＋2×b；当a<b时，规定a◎b=2×x＋3×b，若x◎2=7，试求x的值。
小学五年级奥数题及答案：定义新运算
小学五年级奥数题及答案：定义新运算小学五年级奥数题及答案：定义新运算定义新运算：(高等难度) 规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数.若(A○5+B△3)×(B○5+ A△3)=96，且A、B均为大于0的自然数A×B的所有取值有( )个。
定义新运算答案：共5种;分类讨论，因为题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。
对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。
1) 当A<3，B<3，则(5+B) ×(5+A)=96=6×16=8×12，无解;2) 当3≤A<5，B<3时，则有(5+B)×(5+3)=96，显然无解;3) 当A≥5，B<3时，则有(A+B)×(5+3)=96，则A+B=12.所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。
4) 当A<3，3≤B<5，有(5+3)×(5+A)=96，无解;5) 当3≤A<5，3≤B<5，有(5+3)×(5+3)=96，无解;6) 当A≥5，3≤B<5，有(A+3)×(5+3)=27，则A=9.此时B=3后者B=4。
则他们的乘积有27与36两种;7) 当A<3，B≥5时，有(5+3)×(B+A)=96。
此时A+B=12。
A与B 的乘积有11与20两种;8) 当3≤A<5，B≥5，有(5+3)×(B+3)=96。
此时有B=9.不符;9) 当A≥5，B≥5，有(A+3)×(B+3)=96=8×12。
则A=5,B=9，乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种。
小学六年级奥数题：定义新运算（A）___习题详解
年级 班 姓名 得分一、填空题1.1.规定规定a ☉b =ab b a -,则2☉(5(5☉☉3)3)之值为之值为之值为 . .2.2.规定“规定“※”为一种运算”为一种运算,,对任意两数a ,b ,有a ※b 32b a +=,若6※x 322=,则x = = .5.5.规定新运算规定新运算※:a ※b=3a -2b .若x ※(4※1)=7,1)=7,则则x=4= .7.7.对于数对于数a ,b ,c ,d 规定d c ab d c b a +->=<2,,,.如果7,5,3,1>=<x , 那么x = .8.8.规定规定规定:6:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※7)]= .10.10.假设式子假设式子b a a ´#表示经过计算后表示经过计算后,,a 的值变为原来a 与b 的值的积的值的积,,而式子b a b -#表示经过计算后表示经过计算后,,b 的值为原来a 与b 的值的差的值的差..设开始时a =2,b =2,=2,依依次进行计算b a a ´#,b a b -#,b a a ´#,b a b -#,则计算结束时,a 与b 的和是 . 领跑教育 定义新运算（一）.3.3.设设a ,b ,c ,d 是自然数,定义bc ad d c b a +>=<,,,.则<><><<,3,2,1,4,4,3,2,13, 4, 1, 2>>=<>1,4,3,2, . 4.[A ]表示自然数A 的约数的个数的个数..例如例如,4,4有1,2,4三个约数三个约数,,可以表示成[4]=3.[4]=3.计算计算计算::]7[])22[]18([¸+ .6.6.两个两个两个整数整数a 和b ,a 除以b 的余数记为a ☆b .例如例如,13,13,13☆☆5=3,55=3,5☆☆13=5,1213=5,12☆☆4=0.4=0.根据这样定义的运算根据这样定义的运算根据这样定义的运算,(26,(26,(26☆☆9) 9) ☆☆5= .9. 9.规定规定规定::符号“△”为选择两数中较大数为选择两数中较大数,,“☉”为选择两数中较为选择两数中较小数小数.例如例如:3:3△5=5,35=5,3☉☉5=3.5=3.那么那么那么,[(7,[(7,[(7☉☉3)△5]5]××[5[5☉☉(3△二、解答题11.11.设设a ,b ,c ,d 是自然数,对每两个对每两个数组数组(a ,b ),(c ,d ),我们定义运算※如下我们定义运算※如下:: (a ,b )※(c ,d )= (a +c a+c ,b +d );又定义运算△如下又定义运算△如下:: (a ,b )△(c ,d )= (a c+bd ac+bd ,ad+bc ).试计算((1,2) ※(3,6))(3,6))△△((5,4)※(1,3)).12. 12.羊和狼在一起时羊和狼在一起时羊和狼在一起时,,狼要吃掉羊狼要吃掉羊,,所以关于羊及狼所以关于羊及狼,,我们规定一种运算我们规定一种运算,,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊还是羊,,狼与狼在一起还是狼狼与狼在一起还是狼,,但是狼与羊在一起便只剩下狼了但是狼与羊在一起便只剩下狼了. .小朋友小朋友总是希望羊能战胜狼总是希望羊能战胜狼,,所以我们规定另一种运算所以我们规定另一种运算,,用符号☆表示为羊☆羊羊☆羊==羊;羊☆狼羊☆狼==羊;狼☆羊狼☆羊==羊;狼☆狼狼☆狼==狼运算意思是羊与羊在一起还是羊运算意思是羊与羊在一起还是羊,,狼与狼在一起还是狼狼与狼在一起还是狼,,由于羊能战胜狼由于羊能战胜狼,,当狼与羊在一起时当狼与羊在一起时,,它便被羊赶走而只剩下羊了下羊了. .对羊或狼对羊或狼对羊或狼,,可用上面规定的运算作可用上面规定的运算作混合运算混合运算,混合运算的法则是从左到右混合运算的法则是从左到右,,括号内先算括号内先算..运算的结果是羊运算的结果是羊,,或是狼或是狼..求下式的结果求下式的结果: :羊羊△(狼☆羊狼☆羊))☆羊△(狼△狼).13.22264´´=222´´´表示成()664=f ;33333243´´´´=表示成()5243=g .试求下列的值试求下列的值试求下列的值: :(1)()=128f ; (2))()16(g f =; (3)6)27()(=+g f ;(4) (4)如果如果x , y 分别表示若干个2的数的的数的乘积乘积,试证明试证明::)()()(y f x f y x f +=×.1. 120411.5☉3=15165335=-, 2☉(5(5☉☉3)=23)=2☉☉12041112016121516151621516==-=.2. 8. 依题意依题意,6,6※326x x +=, 14. 14.两个不等的两个不等的两个不等的自然数自然数a 和b ,较大的数除以较小的数较大的数除以较小的数,,余数记为a ☉b ,比如5☉2=1,72=1,7☉☉25=4,625=4,6☉☉8=2.(1)(1)求求19911991☉☉2000,(52000,(5☉☉19)19)☉☉19,(1919,(19☉☉5)5)☉☉5; (2)(2)已知已知1111☉☉x =2,=2,而而x 小于20,20,求求x ;(3)(3)已知已知已知(19(19(19☉☉x )☉19=5,19=5,而而x 小于50,50,求求x .———————————————答———————————————答 案——————————————————————案—————————————————————— 因此322326=+x ,所以x=8.3. 280.;1421343,2,1,4;1032414,3,2,1=´+´>=<=´+´>=<.1443121,4,3,2;1014232,1,4,3=´+´>=<=´+´>=<原式2801014141014,10,14,10=´+´>==<.4. 5.因为23218´=有6)12()11(=+´+个约数,所以所以[18]=6,[18]=6,[18]=6,同样可知同样可知[22]=4,[7]=2.原式52)46(=¸+=.5. 9.因为4※1=101243=´-´,所以x ※(4※1)= x ※10=3x -20.-20.故故3x -20=7,-20=7,解得解得x =9.6. 0.89226+´=,26,26☆☆9=8,9=8,又又428´=,故(26(26☆☆9)9)☆☆4=84=8☆☆4=0.7. 6.因为x x x +=+-´´>=<15312,5,3,1,所以71=+x ,故6=x .8. 86415.7※5=7+77+777+7777+77777=86415.9. 25.原式原式=[3=[3△5]5]××[5[5☉☉7]=57]=5××5=25.10. 14.第第1次计算后次计算后,,422=´=a ;第2次计算后次计算后,,224=-=b ;第3次计算后,824=´=a ;第4次计算后次计算后,,628=-=b .此时1468=+=+b a .11. (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7). 原式原式原式=(4,8)=(4,8)△(6,7)=(4(6,7)=(4××6+86+8××7,47,4××7+87+8××6)=(80,76).12. 12. 原式原式原式==羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.13. (1)()72)128(7==f f ;(2)()())81(342)16(44g g f f ====;(3) (3)因为因为()())8(233636)27(633f f g g ===-=-=-,所以6)27()8(=+g f ;(4) (4)令令,2,2n m y x ==则n y f m x f ==)(,)(.()())()(222)(y f x f n m f f y x f nm n m +=+==×=×+.14. (1)1991☉2000=9;由由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2) (2)我们不知道我们不知道11和x 哪个大哪个大((注意注意,,x ≠11),),即哪个作除数即哪个作除数即哪个作除数,,哪个作哪个作被除数被除数,这样就要分两种情况讨论这样就要分两种情况讨论. .1) x <11,这时x 除11余2, x 整除11-2=9.又x ≥3(因为x 应大于应大于余数余数2),所以x =3或9.2) x >11,这时11除x 余2,2,这说明这说明x 是11的倍数加2,但x <20,所以x =11+2=13.因此因此因此(2)(2)(2)的解为的解为x =3,9,13.(3) (3)这个这个这个方程方程比(2)(2)又要复杂一些又要复杂一些又要复杂一些,,但我们可以用同样的方法来解但我们可以用同样的方法来解. . 用用y 表示19☉x ,不管19作除数还是作除数还是被除数被除数,19☉x 都比19小,所以y 应小于19.方程方程y ☉19=5,说明y 除19余5,所以y 整除19-5=14,由于y ≥6,所以y =7,14.当当y =7时,分两种情况解19☉x =7.1)x <19,此时x 除19余7,x 整除19-7=12由于x ≥8,所以x =12.2) x >19,此时19除x 余7, x 是19的倍数加7,由于x <50,所以x =19+7=26或7219+´=x =45.当当y =14时,分两种情况解19☉x =14.1) x <19,这时x 除19余14, x 整除19-14=5,但x 大于14,这是不可能的这是不可能的. .2)x >19,此时19除x 余14,这就表明x 是19的倍数加14,因为x <50,所以x =19+14=33.总之总之总之,,方程方程((19☉x )☉19=5有四个解有四个解,,x =12,26,33,45.。
小学数学《定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一） 直接运算型【例1】（★★★奥数网题库）两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为ab.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算： （1）(269)4等于多少？（2）108（200819）分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0 （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（200819）=10813=4[前铺]定义运算“⊙”如下：2a ba b +⊕=． （1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008 （2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）2007⊕2009＝200720092+＝2008；2006⊕2008＝200620082+＝2007（2）1⊕5⊕9＝152+⊕9＝3⊕9＝392+＝6 1⊕（5⊕9）＝1⊕592+＝1⊕7＝172+＝4；【例2】 （★★★奥数网题库）定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）， （1） 求5※7，7※5； （2） 求12※（3※4），（12※3）※4；（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.[巩固]定义新的运算a b a b a b ⊕=⨯++，求： （1）62⊕，26⊕（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕（3）这个运算有交换律吗？分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23； 1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23（3）由于a b a b a b ⊕=⨯++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.[拓展]如果a 、b 、c 是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a ＋b ＝b ＋a ，（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：（a ，b ）*（c ，d ）＝（a ×c ＋b ×d ，a ×c －b ×d ）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律．分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律， （2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律． 【例3】 （★★★奥数网题库）我们规定：a cb d ＝ad+bc ，求2516 4021的值． 分析：2516 4021＝25×21+40×16＝525+640＝1165[巩固]我们规定：a cb d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5． 求45610的值．分析：45610＝4×10－5×6＝40－30＝10【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25[巩固] 定义两种运算“⊕”“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b=a+b-1，a ⊗b=a ×b-1，计算：4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）分析：⊕68=6+8-1=13，⊕35=3+5-1=7，137⊕=13+7-1=19，4⊗19=4×19-1=754[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）=75【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝a b3+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b＝a b-23+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891[巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b2+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝a b 12+-． 求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)； (2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析: （教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数，所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001【例6】 （★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；[(1)(1)][(1)1]m m mn m nn n n m m m CP P =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯．求：123456666666,,,,,C C C C C C分析：16C=（16P）÷（11P）=6÷1=6；26C=(6×5)÷（2×1）=15；36C=（6×5×4）÷（3×2×1）=20；46C=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；56C=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；66C=（66P）÷（66P）=1[前铺]对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：24P ＝4×3＝12．34P ＝4×3×2＝24．求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，．分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720．[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二） 反求未知数【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）【例8】（★★★★奥数网题库）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=ymx yx 26+⋅⋅ (其中m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=6121221224m m ⨯⨯==⨯+⨯+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所以6295429==222911⨯⨯⨯+⨯[拓展]x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k=64，k 不是自然数， 所以m=l ，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）计算机程序语言【例9】 （★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____．分析：观察表格可得：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是余数因为1999÷9＝222……1，所以C ＝1．[前铺]下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．分析：运算器输入的A是被除数，B是除数，输出的是商减去1，2008÷4＝502，502-1=501，所以C＝501．【例10】（★★★★奥数网题库）有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3.(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？分析：（1）输入9经过A装置以后结果是9＋5＝14，再经过B装置以后结果是14÷2＝7，经过C装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．（2）最后经过装置C后结果是100，那么输入装置C的数字是100＋4＝104，那么输入A的数字是104－5＝99，输入D的数是99÷3＝33，输入B的数是33×2＝66．所以最开始输入的数是66．[拓展]例题中的装置，输入7，输出的还是7，用尽量少的装置应怎样连接？分析：C·D·A·B（四）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．导游告诉他，部落算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按古老部落的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．分析: 由部落算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得“7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★★★奥数网题库）先阅读下面材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个整数（见下表）：'(1263)32'17(12631)31'8(12632)3xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是正整数，，被整除是正整数，，被除余是正整数，，被除余 将明文转换成密文，如：，即R 变为L ； ，即A 变为S ．按上述方法将明文HAK 译为密文．分析：这是一道非常有意思的题目．明文HAK 对应16、11、18；16217233++=，即H 变为V ；1118123++=，即A 变为S ；1863=，即K 变为Y ，所以将明文HAK 译为VSY ． 1．（例2）规定：A ※B ＝B ×B ＋A ， （1）计算（2※3）※（4※1）， （2）这个运算有交换律吗？分析：（1）2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36．（2）因为B ※A ＝A ×A ＋B ≠ B ×B ＋A ，所以 这个运算不符合交换律 2．（例6）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1） 求3！，4！，5！； （2） 证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！ 分析：（1）3！＝3×2×1＝6； 4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！） ＝7×（6！） ＝7！3．（例7）“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，按此规则，如果n ⊙8＝68，那么n 的值是多少？分析：观察条件可知⊙前面一个数表示相加的开始一个数，⊙后面一个数表示连续相加的个数，所以n⊙8＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（n＋7）＝8×n＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝8×n＋28＝68，所以n＝5．4．（例8）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，所以A＝55．（例10）有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置c：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6.这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A就写成B·A，输入4，结果是35.装置A·C·D连结，输入8，结果是多少？分析：输入8经过A装置以后，结果为8×5＝40，经过C装置以后，结果为40÷4＝10，经过D装置以后，结果成为10－6＝4．所以最终结果为4．。
小学奥数题_定义新运算
《小学奥数教程：定义新运算》专项突破（附答案详解）奥校小学数学竞赛教研中心一、单选题1.定义运算※为a※b= ，且3※m=2，那么m的值是（）A. 3B. 6C. 9D. 22.规定“※”为一种运算，对任意两数a，b，有a※b=，若6※x=，则x=（）A. 7B. 8C. 9D. 53.若=ad﹣bc，那么的值为（）A. 8B.C.D.4.假设a*b=3a﹣2b，x*（4*1）=7，那么x*4的值是（）A. 19B. 7C. 9D. 155.规定两组数{a，b}和{c，d}的某种“乘法”⊗为：{a，b}⊗{c，d}={3a﹣c，b+d}，如果，{x，y}⊗{3，2}﹣{3，2}=0，那么{x，y}⊗{y，x}=（）A. {6，2}B. {1，3}C. {3，1}D. {2，3}6.亮亮编制了一个计算程序，当输入任何一个数时，显示屏的结果等于所输入的数与1的和的倒数．若输入0，并将所显示的结果再次输入，最后显示的结果是（）A. 0B.C. 1D.7.如果规定A※B=，如1※2=，那么10※（10※10）的值等于（）A. B. C. D. 38.如果[x]表示数x的整数部分，如[13.5]=13，则当x=6.51时，[x]+[2x]+[3x]等于（）A. 37B. 38C. 39D. 409.定义“A☆B”为A的3倍减去B的2倍，即A☆B=3A﹣2B，已知x☆（4☆1）=7，则x=（）A. 7B. 8C. 9D. 1010.用M、N、P、Q各代表四种简单几何图形（线段、等边三角形、正方形、圆）中的一种。
图1至图4是由M、N、P、Q中两种图形组合而成的（组合用“&”表示），表示P&Q的有①~④4个组合图形可以供选择，其中正确的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题11.若规定：1△2=1+2=3，2△3=2+3+4=9，3△4=3+4+5+6=18，那么4△5=________，按此规律x△3=12，那么x=________。
小学奥数定义新运算练习
定义新运算例1.设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。
试计算：（1）5△6；（2）6△5。
分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。
这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。
5△6=5×3－6×2=36△5=6×3－5×2=8显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的数交换。
练习一1.设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
2.设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。
试计算：（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）3.有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。
已知A▽6=17，求A。
例2.对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。
分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。
6⊕2=6×2＋6＋2=20练习二1.对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。
计算3⊕5。
2.对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。
试算6☆4。
3.对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。
如果5⊕x=29，求x。
例3.如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。
分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。
所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25练习三1.如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：3▽4。
2.如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。
3.如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。
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定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
例题精讲知识点拨教学目标定义新运算由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
6△（3△4）【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【答案】7【巩固】 设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 56552613=⨯-⨯=△52552221=⨯-⨯=△,1321216435=⨯-=△【答案】435【巩固】 P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8) 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 68373*(6*8)3*()3*7522++==== 【答案】5【巩固】 已知a ,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式4[(681)(352)]4[1313]=⊗+-⊕⨯-=⊗⊕4[13131]425=⊗+-=⊗425298=⨯-=【答案】98【巩固】 M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】 原式()()200820102*20092009*20092009200922009=+÷==+÷=⎡⎤⎣⎦【答案】2009【巩固】 规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a <b ，则a ☆b =a ×b 。
那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】希望杯，四年级，二试【解析】 19【答案】19【例 2】 “△”是一种新运算，规定：a △b ＝a ×c ＋b ×d (其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d 。
如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】 1△2＝1×c ＋2×d =5，2△3＝2×c ＋3×d =8，可得c =1,d =26△1000＝6×c ＋1000×d =2006【答案】2006【巩固】 对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝2m a b a b⨯+⨯⨯（m 是一个确定的整数）。
如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 根据1⊗4=2⊗3，得到1423214223m m ⨯+⨯+=⨯⨯⨯⨯，解出m =6。
所以，634113423412⨯+⊗==⨯⨯。
【答案】1112【例 3】 对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y⨯⨯∆+,求2△9。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】北京市 ，迎春杯【解析】 根据定义6=2x y x y x y ⨯⨯∆+ 于是有62922952295⨯⨯∆==+⨯ 【答案】255【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=+++ ，已知 ()()11221212113A *=+=⨯++，求19981999*。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 根据题意得()()()()()()12111,,2116,1211322116A A A A =-=++==++++ ，所以 ()()111120001998199819991998199919981199911998199919992000199819992000399811998199920001998000+*=+=+=⨯++⨯⨯⨯⨯==⨯⨯ 【答案】11998000【例 4】 [A ]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:([18][22])[7]+÷= .【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 因为21823=⨯有(11)(21)6+⨯+=个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式(64)25=+÷=.【答案】5【巩固】 x 为正数,<x >表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 <19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【答案】11【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【答案】42【例 5】 我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)( 2.25)996••Θ+∆∆+Θ的结果是多少？【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 15232531(0.6)(0.625)123353824341119312(0.3)( 2.25)9963412••Θ+∆+===∆+Θ+ 【答案】12【巩固】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30【答案】30【巩固】 我们规定：A ○B 表示A 、B 中较大的数，A △B 表示A 、B 中较小的数。
则()()108651120=-⨯△△○13+15△【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算【关键词】走美杯，3年级，决赛【解析】 根据题目要求计算如下：()()()()108651120=861315=228=56-⨯-⨯+⨯△○○13+15△【答案】56【例 6】如果规定a※b =13×a-b÷8，那么17※24的最后结果是______。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】17※24=13×17-24÷8=221-3=218【答案】218【巩固】若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)= 。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。
42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。
所以有G36G（）（）。