初中数学：勾股定理的多种证明 (1)

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勾股定理的十六种的证明方法

勾股定理的十六种的证明方法【证法1】（课本的证明）做g 个全等的宜角三角形，设它们的两条直角边长分别为注、b ,斜边长为6再做三牛边长分别为已、氐C 的正方形，把它们®上图那样拼成两个正方形*从图上可以看到，这两个正方形的边长都是& + b-所以面枳相筹•即整理得/+护二口f 证法21 （邹元治证明）以包、b 为直角边，以亡为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2 •把这四个宜角三角形拼成如图所示形状，使乩E. B 三点在一条直线上，B. F 、 C 三点在一条直线上，C 、S D 三点在一条直线上.二ZAHE 二 ZBEF. T ZAEH - ZAHE 二 90° , 二 ZAEH 」 -ZBEF 二 90\ :• ZHEF = 180=90〃二 9' 0\ 二四边形EFGH 是一个边长为亡的正方形. 它的面积等于 T Rt i GDH 空 Rt 2 HAE, 二 ZHGD ZEHA. T ZHGD ZGHD - 9(r 二 ZEHA ZGHD 二 90\ 又丁 ZGHE二 ZDHA QO° 亠％『二T RtMJAE 空抵扣澱,-ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于W-(fl +i) ' = 4x—di■ a ♦2【证法3】（赵爽证明〉以弘b为直角边Cb>a），以C为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角图所示形状-T RMDAH■wr*AMjn*4UU.二ZHDA 二■ / ZHAD +/. ZEAB +二ABCD是一个边长为C的正方形，它的面积等于c\ ■ / EF = FG =GH =HE 二b—a ,ZHEF = 90° —A EFGH是一个边长为b—自的正方形，它的面积等于0•由）1 ” 4x jait证法4] （1876年美国JS统Carfield证明）以窝、b为直角边，以C为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的使g. B三点在一条直线上.积尊于2 ,把这两个直角三角形拼成如图亦示形状,T RtAEAD 丝Rt A CBE.:、ZADE 二ZBEL■ : ZAED + ZADE 二90° ,:.ZAED + ZBEC 二90\/. ZDEC 二180° 一90〃二90〃・ /・卫§£提一个等©直角三角形，三角形的面积等于2 •把这H个直角三角形拼成如丝Rt A ABE,ZEAB.ZRAD =90〃，DB它的而积等于2.又丁ZDAE 二90% ZEBC 二:・ AD/ZBC・L &1+护二2 X —abA ABCD是一个直角梯形，它的面积等于朮口 +疔-:2 2 2,d十b'八t 证法5】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形，段它们的两条直角边长分别为罕b ，斜边长为s 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E. F 在一条亘线上•过C 作AC 的延长銭交DF 于点P.■ / D. E 、F 在一条直线上，且 RtAGEF 全 Rt A EBD, ■ HV—VWWVWMW-V.:・ ZEGF = ZBED,*/ ZEGF 亠 ZGEF 二，：* ZBED + ZGEF 二 9tr ,:.ZBEG 二 1SO 〃—90〃二 9(r ・又 T ・ 4B 二 BE 二 EG 二 GA 二c, g -ABEG 是一个边长为c 的正方形「 ;> ZABC + ZCBE 二 90\* 二 BxAXBOz :・ ZABC = ZEBD.:.ZEBD 十 ZCBE 二 90\即 ZCBD 二 9(r ・又 T ZBDE 二 90〃，ZBCP 二 9(7 , BC 二BD 二比二 a *BDPC 是一亍边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一伞边长为b 的正方形〃设多边形GHCBE 的面积为&则L ■! ■时二5 斗 2 X i 血* r*设它们的两条直角边长分别为旦、b (b>a),斜边长为把它们拼成如图所示的多边形，使臥A. C 三点在一条过点Q 作QP//BC,兗代匚于点F. 过点B 作册丄PQ,垂足为地再过点F 作FX 丄P0垂足为工T ZBCA - 9(r, QpyzBC,二 Z«PC 二 9 化T 创丄F0二 ZBMP 二 90\-BCP 订是一个矩形，即ZMBC 二■ / ZQBM + ZMBA = ZQBA 二 9『, ZMBA 二 ZN1BC 二 9(r,化 ZQBM 二 ZABC,又丁 Z5MP 二 90\ ZBCA 二迅 BQ 二 BA 二 c>二 Rt A B 订Q 旦 Et A BCA.同理可证S1295E -肚虫睡：从而箱问题转化为f 応落疔7梅文灿证明).，/+止_【证法6】(项明达证明〉做两个全等的直角三角形，再做硏个边长为C 的正方形.直线上. ZABC +FC BE在一条直线上，连结 °的?F 肯形护立们拼咸如團斫示形状，使乐C. BF. CD •过 C 作 CL±DE,交;m 于点此交DE 于点L,T AF 二 AC,・AB 二 AD,虫ZFAB 二 ZCAD,代・A 復&望T iFAB 的面积等于空“・乂吐的面积等于矩形ADLM 的面积的一半, 二矩形ADUI 的面积同理可证，矩形MLEB 的面积二戸.T 正方形ADEB 的面积二葩形ADUI 的面积+矩形MLEB 的面积/,护，即护+占V/*E 证法町（利用相似三竟形性质证明）如图，在肚丄A 匹中，设直角边AS 反的长度分别为点C a. b ・斜边AB 的长为Ga 作CD1AB,垂足是D*在i ADC 和iACE 中, V ZADC - ZACB 二 90〃， ZC.AD 二 ZB AC,二 AASC s A A®*AD : AC H AC : AB,艮卩HC ： =4D •一毎- 同理可证FASflS s二 HC*=（川 D + D£）・川占二討$1,即 o'+i ） i 二匚I 【证法9】（畅作玫证明）做两个全等的直角三角形•设它们的两条直角边长分别为吐、b Cb>a\斜边长为亡.再做一个边长为U 的正方形•把它们拼成如图所示的多边形-过丄作AF 丄AG AF 交GT 于F ・・・IF 交 DT 于R.过B 作肝丄左F, 垂足为巴过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为 E, DE 交AF 于乩T ZBAD 二 90〃，ZPAC 二 W,二 ZDAH 二 ZEAC.又■/ ZDHA 二 90〃，ZBCA 二 9「，AD 二 AB 二 C ；二 Rt 业 DHA ◎ Rt 也 BCA.二 DH 二 BC 二 a, AH 二 AC 二 b・由作法可知，PECA 是一个矩形，所以 R T A AFB 丝 RtAgCA.即 PB 二 CA二 b, AP 二 a,从而卩 H 二 b 一au*； Rt i DGT 瓷 Rt i BCA , g 卫與•奉廳2瞬二 Dtr^T?G 二 a™2S5?二 ZHDA ・又 T ZDGT 二 90° , ZDHF 二 W fB 三点C二愍空•匹I竺雛屯哪，二DGFH是一亍边故为a的止万形.二GF 二FH 二 a ・TF±AF. TF = GT-GF = b—a ・二TFPB是一个直角梯形，上底TF二b-E下底SP= b,高FP P +(b-G・用数字表示面积的编号(如图九则以C为边长的正方形的面积为G 二S] + Sj + Sj + S 耳 + S 了①** 场+ 昂 + Sq 二挣 + 0-口)」讥+0-13 ) ^--ab―* S, + S, = b*―ab—S,护-S] f 把②代入①，得=5 + 5] + F - S] F S J +S J +Sp-时+男+男-酹+/,-盼+沪二八【证法10] t李钱ffi明)设直角三角形两直角边的长分别为a・b (b>a)，斜边的长为二做三个边长分别为包、b. C 的正方形，把它忙I拼成如S所示形状，使爪E・G三点在一条直线上•用数字表示面积的编号（如图）.T ZTBE 二ZABH 二9tr :・ZTBH 二r 乙ABE.又T ZBTH 二BZBEABE - 人RtAHBT ^ORt, AHBBj 人HT二AE二比:、GH 二GT-HT 二b-a.又T ZGHF + ZBEI 二90\ZDBC + ZBHT 二ZTBH + 二ZGHF 二ZDBC J DB 二ER —ED二b-a>ZHGF 二ZBX 二9 呼，・•、gt A HGF 丝RtA. jBgC 即工二$2.过Q作Q蛆丄AL垂足是乩由ZBAQ二ZBEA二二ZQAM T而AB 二AQ 二0 9Cn 可知ZABER貯避•所以陆Ajj甲.公'Rt •斷以驰玉賤旦陆29迪••又5x2JSSI —細SE百屁卫滋又得QM二A£二a, ZAQM二ZBAE.ZHGF 二 ZBDC 二 90%二Rt A HGF 竺Rt A BDC.即思产h ・过Q 作QNLLAG,垂足是底由ZBAQ 二ZBEA 二9化可知ZABE =ZQAM,而壷B 二AQ 二C.所以Rt AABE 竺肚綁M -又RMHET 空Rt A ABE.所以Rt A HBT 竺班色QM .即况二匹.由 Rt A ABE 竺 Rt A Q. W,又得 QM = AE = a, ZAQM 二 ZEAE.T ZAQM + ZFQM 二 90% ZBAE + ZCAR 二 90% ZAQM = NBAE,二 ZFQM 二ZCAR.又丁 ZQitF 二 ZARC 二 90% QM = AR = a ,二 Rt A q"fF 竺 Rt A ARC.即 $严耳-丁亡 2=$1 +昂 + 爲+ S 斗+ 5； , /二S] + Ssj 二S ・ +S- + S,V ' *二A 易二壬乌二斗二宀 7/ =S\ +S5 + Sm + 斗 + 禺二 S] + rS 斗 + $2 + S j—r在d 磁中「设直珀边BC 二a, AC 二b,斜边AB 二c,如图 C, 径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于Ik E,则ED 二BE 二BC 二 C 在©B 上，所以扛是©B 的切线，由切割线是理，得t 证法12】（利用雾列米定理证明｝在R2ABC 中，设直角边BC 二a. AC 二b,斜边AB 二c （如图）*过点〃&作AD//CB,过点B 作BD>ZCA,则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆，根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有=JD*5C5£Z?,T AB 二 DC 二 c, AD - BC =乩AC 二 BD 二 b,二且0’二占c'+」c',即/吕口： +盼,「以0为圆心a 为半孔比因为ZE 仙二90\点屁;二毘£〉3二｛AS+SE’AS -SD ）-(c + d) (c 一d)二£?+, =/【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在吐黒照中，设直角边EC = a, AC二b,斜边託二切点C. 分W?D7E> F （如圏人设©0的半径为r.T AE 二AF, BF 二BD, CD = CE,二MC+ BC-AB二{AE+CE}+[SD +CD)—(討戸+EF)二CE + CD 二工 + 工=2丫,即a +二2r,r* a + b 二2F + f ・A ~ (2r + c) \gp ■”2aif = 4 (r* +rc) +c*又T Sg 厂匚沪Sae+Sse 二2 2 -（4 + 0 + 亡）严—{2r + C + c丿r/, 4 (宀n： )=4£sr,*・》4卜’+临）=2胡'「■ /+ 即+2 口& 二2e 占+（；'』【证法14】（利用反证法证明）如图，在§1卫匸中「设直角边AG阮的长度分别为已、点C作CD丄AE.垂足是D.假设/十护乂蔦即假设也'+證2厂护「则由二AJ*.』5 二M （a + AD）二A B• A D + AB• BDb・斜边啊的长为G过可知-心5扭-M,或者在AAK和1ACB中,肋・ED•即AD： AC^AC： AB•或者BD： BC?^BC：AB.丁ZA 二ZA,二若AD： AC^AC： AB,则ZADCH ZACE.在・AC咀和・A他中，T ZB 二ZE>二若BD： BC T^BC：AB X贝JZCDB^ZACB.C又T ZACB 二9Cr ,二Z： ADCH9 （r, ZCDEHgcr这与作法CD丄AB矛盾•所以「e +恥' *曲谢假设不能成立作吐丄Age的内切圆00,设直角三角形两直角边的长分别为已*，斜边的长为⑺作边长是a 吒的正方形ABCD*把正方形ABB 划分咸上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的积为（》疔二/+护+滋•把正方形.〈BCD 划分成上方右图所示的几个部分「则正方形ABCD 的 (a + 4 X —ab + T 面积为， 2 二2如i ・小十护十2aij = 2ab 十F, ［证法祐】（陈杰证明）设直甬三角形两直角边的长分别为a. b b 的正方形<b>a ）.把它们拼成如图所示形状，图）. 在EH - b 上截取ED - a,连结加、DC,. 则 AD 二 B T EH = EH + HM = b 十 a , ED = 二 DM 二 EM-ED 二（b + 切一 a 二 ZAED 三 9 少，CM 二 a. :・R t A A 鲍\ AE 二 b, A ZEAD V ZADE ZADE :.ZAX 二作AB/7DC, CB?/DA,则期5是一个边长为c 的正方激 '：ZBAF + ZFAD 二 ZDAE + ZFAD 二 9（r, ZMDC T D T= AD = c. ZAX+ ZMDC 二1SO\ ZMDC 二 ZADE - ZEAD A ZBAF 二ZD. \E, 连结FB,在厶ABF 和i ADE 中,（b>aX 斜边的长为B 做两亍边长分别为包、砌积的縄用傲点在一条宜线上•用数字表 E 、 B b b E —b a, J MD G 1 二 90J 90\gs)+T 十 £十占 ■ os+ls 十 34 ■ • 8 •心 + •JS+GSHFSH—SHTSf EK 扌s+r s *+=・£:•叶・• ・「r i> ・law :抵八・u II % + qb aa ab a b方2 ab bb aA C Bb E。

证明勾股定理的多种方法

证明勾股定理的多种方法1. 几何证明：假设有一个直角三角形，其中两条边长分别为a和b，斜边长为c。

根据直角三角形的定义，可以得知两条直角边构成一条直角。

根据勾股定理，a^2 + b^2 = c^2，即通过几何构造证明了勾股定理。

2. 代数证明：假设有一个直角三角形，其中两条边长分别为a和b，斜边长为c。

根据勾股定理，a^2 + b^2 = c^2。

就是要证明等式成立。

我们可以假设a = m^2 - n^2，b = 2mn，c = m^2+ n^2，其中m和n为任意正整数。

将a、b、c代入勾股定理的等式中，可以得到(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2。

将等式展开后，可以得到m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 =m^4 + 2m^2n^2 + n^4。

整理后，可以看出等式两边相等，证明了勾股定理。

3. 数学归纳法证明：假设存在一个正整数n，使得勾股定理对所有小于n的正整数都成立。

我们要证明勾股定理对n+1也成立。

假设有三个正整数a、b和c，使得a^2 + b^2 = c^2。

在等式两边同时乘以k，可以得到(k*a)^2 + (k*b)^2 = (k*c)^2。

由于a、b和c都是正整数，所以k*a、k*b和k*c也都是正整数。

因此，勾股定理对于所有小于n+1的正整数也成立。

据此可以得出，勾股定理对于所有正整数都成立。

以上是勾股定理的三种常见证明方法，每一种方法都能够清晰地证明勾股定理的正确性。

证明勾股定理的多种方法

证明勾股定理的多种方法勾股定理是数学中一条重要的几何定理，它是数学中的基础知识之一。

勾股定理的形式可以简洁地表达为：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

本文将探索并介绍证明勾股定理的多种方法。

方法一：几何证明最常见的证明勾股定理的方法之一是几何证明。

该方法利用了直角三角形的特性，根据三角形的几何关系和平行线的性质，从而得出勾股定理的结论。

以直角三角形ABC为例，其中∠C为直角，假设∠A=α，∠B=β，边长分别为a, b, c。

根据正弦定理和余弦定理，可以推导出以下关系式：sinα = a / c，sinβ = b / c，cosα = b / c，cosβ = a / c由此可得：sin²α + cos²α = a² / c² + b² / c² = (a² + b²) / c²根据三角恒等式sin²α + cos²α = 1，可得：(a² + b²) / c² = 1即 a² + b² = c²，从而证明了勾股定理。

方法二：代数证明除了几何证明外，勾股定理还可以通过代数方法进行证明。

假设直角三角形的边长分别为a, b, c，且∠C为直角。

根据勾股定理，我们有：a² + b² = c²我们可以将其转化为代数方程组，从而进行证明。

构造方程组如下：x² + y² = 1²(x+c)² + y² = a²x² + (y+c)² = b²解方程组可得：x = (a² - b² + c²) / (2c)y = ±√(a² - x²)因此，可得到：a² + b² = (a² - b² + c²)² / (4c²) + (a² - (a² - b² + c²)² / (4c²) = c² · [(a² + b²) / (4c²) + (a² + b² - 2ab)/(4c²)]将a² + b² = c²带入上式，得到：c² = (c² · [(c² + 2ab) / (4c²)])化简后可得：c² = (c² + 2ab) / 4即 a² + b² = c²，从而证明了勾股定理。

勾股定理的500种证明方法

勾股定理的500种证明方法1.几何推导：这是最著名的证明方法。

它通过将直角三角形切割、旋转、重新拼合，利用几何图形的性质，推导出勾股定理。

2. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。

则根据勾股定理，我们有c² = a² + b²。

我们可以将这个等式写成(a + b)² = c² + 2ab。

将c² = a² + b²代入，得到(a + b)² = a² + b² + 2ab。

再进一步化简，得到a² + 2ab + b² = a² + b² +2ab。

最后，化简为a² + b² = a² + b²。

我们可以发现，等式两边完全相等，从而验证了勾股定理。

3.数学归纳法证明：我们首先证明直角三角形边长为3,4,5时，满足勾股定理。

然后，假设对于边长小于n的所有直角三角形，都满足勾股定理。

接下来，我们考虑直角三角形边长为n的情况。

我们可以将这个三角形切割成由三个直角子三角形组成的形状。

根据归纳假设，这三个子三角形满足勾股定理。

我们可以对这些子三角形应用基本的代数运算和性质，进一步证明整个直角三角形也满足勾股定理。

4.平行四边形法证明：将一个直角三角形内切于正方形中，然后根据正方形的性质和等式关系，利用平行四边形的性质推导出勾股定理。

5.反证法证明：假设存在一个直角三角形，它的三条边无法满足勾股定理。

然后，通过对无法满足定理的条件进行分析，得出矛盾，从而证明了勾股定理的正确性。

6.数学几何方法：通过利用数学几何的原理和定理，如相似三角形、垂直直角等，推导出勾股定理的等式。

7.三角函数法证明：将三角函数引入到勾股定理的等式中，然后根据三角函数的性质，推导出等式成立。

以上仅为部分常见的证明勾股定理的方法，实际上有无数种证明方法可供选择。

初中数学勾股定理的多种证明

勾股定理的证明方法1做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即a的平方加b 的平方，加4乘以二分之一ab等于c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a 的平方加b的平方等于c的平方。

勾股定理的证明方法2以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o.∴∠HEF=180o―90o=90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GH D=90o,∴∠EHA+∠GHD=90o.又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于a+b的平方。

∴a加b的平方等于4乘二分之一ab，加上c的平方。

.∴a的平方加b的平方等于c的平方。

勾股定理的证明方法3以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。

把这四个直角三角形拼成如图所示形状。

∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于b减a的平方。

∴4乘二分之一ab加上，b减a的平方等于c的平方。

∴a^2+b^2=c^2(说明a^2为a的平方)。

七年级数学多种方法证明勾股定理

多种方法证明勾股定理【证法1】（课本上的证明方法）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等。

即，整理得。

【证法2】（中国古代数学家邹元治的证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。

把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上。

∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF 。

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º。

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º。

222c b a =+abc ab b a 214214222⨯+=⨯++ab 21∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2。

∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA 。

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º。

又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º。

∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于.∴ 。

∴ 。

【证法3】（三国时期赵爽的证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。

把这四个直角三角形拼成如图所示形状。

∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB 。

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2。

勾股定理16种经典证明方法

ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a . ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N .∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA . 同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点 L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a ，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB∴ 222b ac += ，即 222c b a =+【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB . AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a . ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++==922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27SS =. 过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58SS =. 由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = bAD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC ADDC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222ACBC AB +=，即 222b a c +=， ∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2. ∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ ab S ABC 21=∆，∴ABC S ab ∆=42，又∵AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+• 可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.D D∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=，732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++ =5432S S S S +++=2c∴ 222c b a =+.。

初中数学：勾股定理的多种证明 (1)

初中数学：勾股定理的多种证明(1)work Information Technology Company.2020YEAR初中数学：勾股定理的多种证明勾股定理的证明方法1做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等于c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a的平方加b的平方等于c的平方。

勾股定理的证明方法2以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º,∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于a+b的平方。

∴a加b的平方等于4乘二分之一ab，加上c的平方。

.∴a的平方加b的平方等于c的平方。

勾股定理的证明方法3以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。

把这四个直角三角形拼成如图所示形状。

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90º，∴∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于b减a的平方。

一次性说清楚勾股定理的几种详细证明方法

1. 几何拼贴法（欧几里得证明）证明过程：设直角三角形ABC，其中∠C是直角，AB是斜边，AC和BC是直角边。

1. 构造一个边长为AB的正方形，记为PQRS。

2. 在PQRS内部，构造四个与ABC全等的直角三角形，分别记为APB、BQC、CRD和DSA，使得每个三角形的直角顶点位于正方形的一个顶点。

3. 这四个三角形将PQRS分成五个部分：四个直角三角形和一个小正方形EFGH。

4. 小正方形EFGH的边长等于AC或BC。

5. 大正方形PQRS的面积是AB²。

6. 小正方形EFGH的面积是AC²或BC²。

7. 四个直角三角形的总面积是4 × (1/2) × AC × BC = 2 × AC × BC。

8. 由于PQRS = EFGH + 4个三角形ABC的面积，我们有：AB² = AC² + 2 × AC × BC + BC²9. 由于2 × AC × BC = AC² + BC²（因为AC = BC），所以：AB² = AC² + BC²这就证明了勾股定理。

2. 代数法证明过程：设直角三角形的直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。

1. 根据勾股定理，我们需要证明a² + b² = c²。

2. 假设直角三角形的斜边长度c是由直角边长度a和b通过某种代数关系确定的。

3. 在直角三角形中，根据毕达哥拉斯定理，斜边的长度是直角边长度的平方和的平方根，即：c = √(a² + b²)4. 平方两边得到：c² = a² + b²这就完成了勾股定理的代数证明。

3. 动态证明法证明过程：1. 设直角三角形ABC，其中∠C是直角，AB是斜边，AC和BC是直角边。

勾股定理的多种证明方法

勾股定理的多种证明方法勾股定理是数学史上一个伟大的定理,同时也是一个历史悠久的定理，如何证明勾股定理呢？勾股定理证明方法有哪些呢?下面是的勾股定理证明方法资料，欢迎阅读。

勾股定理的种证明方法(部分)【证法1】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.即∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴ .【证法2】(项明达证明)做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP‖BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M;再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90º，QP‖BC，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.【证法3】(赵浩杰证明)做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90º，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90º,∴∠ABG +∠CBJ= 90º,∵∠ABC= 90º,∴G,B,I,J在同一直线上，【证法4】(欧几里得证明)做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ ，即 .勾股定理的多种证明方法毕达哥拉斯证法：一、传说中毕达哥拉斯的证法(图1)左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的。

勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++，整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214cab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.EB A ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴()22214ca b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221cab b a +⨯=+.∴ 222c b a =+. 【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+abS c2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点 L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB∴ 222b ac += ，即 222c b a =+【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D . 在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ，∴ ΔADC ∽ ΔACB . AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC ∙=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC∙=2.∴ ()222AB AB DB AD BCAC=∙+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形.B把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA .又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 = abb 212-，985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+=812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c++--++==922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即27S S =.TE BQ过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =. ∵543212S S S S S c++++=，612S S a+=，8732S S S b++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =， ∴8736122S S S S S ba ++++=+=52341S S S S S ++++ =2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC∙=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -，即22a cb -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BCAD DC AB ∙+∙=∙，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ， ∴ 222AC BCAB+=，即 222b ac +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ， ∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵abS ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵AOCBOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = brar cr 212121++= ()rc b a ++21= ()rc c r ++221= rc r +2，∴ ()ABCS rc r∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D . 假设222c b a ≠+，即假设 222AB BCAC≠+，则由AB AB AB∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BD AB BC∙≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB .在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BCAC≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214cab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c . ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b .又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c .∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c+++=， 6212S S S b++=，732S S a+=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S ba ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c∴ 222c b a =+.A。

勾股定理的10种证明

“两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积，所以勾方+股方=弦方。
5.《周髀算经》中勾股定理的公式与证明
“故折矩①，以为勾广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个勾三（圆周率三）、股四（四方）的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。
“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。
7.希腊人的方法
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.于是便不难得出
8.欧几里德（Euclid）射影定理证法
Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高
通过证明三角形相似则有射影定理如下：
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD×AB。②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有BC2+AC2=AB2，这就是a2+b2=c2。
4.课本方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

勾股定理9种证明

勾股定理的9 种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A E、B三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C G D三点在一条直线上.v Rt △HAE 坐Rt △EBF,• / AHE =/ BEF./ AEH + / AHE = 90o, /AEH + / BEF = 90o.• / HEF = 180o—90o= 90o.二四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.v Rt △GDH坐Rt △HAE,••• / HGD = / EHA.v / HGD + / GHD = 90o,•/ EHA + / GHD = 90o.又v / GHE = 90o,•/ DHA = 90o+ 90o= 180 o.•ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.v D、E、F在一条直线上,且Rt △ GEF坐Rt △ EBD,•/ EGF = / BEDv / EGF + / GEF = 90°,•/ BED + / GEF = 90 ° ,•/ BEG =18(b—90o= 90 o.又v AB = BE = EG = GA = c ,•ABEG是一个边长为c的正方形.•/ ABC + / CBE = 90o.v Rt △ABC 幻Rt △EBD,•/ ABC = / EBD.•/ EBD + / CBE = 90o.即/ CBD= 9Gb.又v / BDE = 90o,Z BCP = 90o,BC = BD = a.• BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCB的面积为S,则【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上.过点Q作QP// BC交AC于点P. 过点B作BMiL PQ垂足为M；再过点F作FNL PQ垂足为N.v / BCA = 90o , QP// BC••• / MPC = 90o,v BM 丄PQ•/ BMP = 90o,•BCPM是一个矩形，即/ MBC = 90o.v / QBM + / MBA = / QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o,•/ QBM = / ABC又v / BMP = 90o,Z BCA = 90o, BQ = BA = c ,•Rt △ BMQ坐Rt △ BCA.同理可证Rt △ QNF幻Rt △ AEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C B三点在一条直线上，连结BF CD.过C作CL± DE交AB于点M交DE于点L.v AF = AC ，AB = AD，/ FAB = / GAD•△ FAB 坐△ GADv △ FAB的面积等于，△ GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，•矩形ADLM的面积=. 同理可证，矩形MLEE的面积二.v正方形ADEB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积•，即.【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF丄AC AF交GT 于F, AF 交DT于R.过B作BP丄AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E, DE交AF 于H.v / BAD = 90o,Z PAC = 90o,••• / DAH = / BAC.又v / DHA = 90o,Z BCA = 90o,AD = AB = c ,• Rt △ DHA坐Rt △ BCA.• DH = BC = a , AH = AC = b.由作法可知, PBCA 是一个矩形, 所以Rt △ APB 坐Rt △ BCA.即PB = CA = b , AP= a,从而PH = b —a.v Rt △DGT 坐Rt △BCA ,Rt △ DHA坐Rt △ BCA.• Rt △ DGT坐Rt △ DHA .•DH = DG = a，/ GDT = / HDA . 又v / DGT = 90o,Z DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+Z TDH = 90o,• DGFH是一个边长为a的正方形.• GF = FH = a . TF 丄AF, TF = GT—GF = b — a .• TFPB是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + (b—a).用数字表示面积的编号(如图)，则以c为边长的正方形的面积为①v = ,• = . ②把②代入①，得【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a）,斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 90o,•/ TBH = / ABE.又v / BTH = / BEA = 90o,BT = BE = b ,• Rt △ HBT 坐Rt △ ABE.••• HT = AE = a.••• GH = GT—HT = b —a.又T / GHF + / BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90o,•/ GHF = / DBC.T DB = EB—ED = b—a，/ HGF = / BDC = 90o,• Rt △ HGF坐Rt △ BDC.即.过Q作QM L AG 垂足是M.由/ BAQ = / BEA = 90o,可知 / ABE =/ QAM 而AB = AQ = c，所以Rt △ ABE 幻Rt △ QAM .又Rt △ HBT 幻Rt △ ABE.所以Rt △ HBT 幻Rt △ QAM .即.由Rt △ ABE 坐Rt △ QAM 又得QM = AE = a，/ AQM = / BAE.T / AQM + / FQM = 90o,Z BAE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE•/ FQM = / CAR.又T / QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a ,• Rt △ QMF坐Rt △ ARC.即.T ，，，【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt△ ABC中，设直角边BC= a, AC= b,斜边AB = c （如图）.过点A作AD// CB, 过点B作BD//CA则ACBD为矩形，矩形ACBD^接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有T AB = DC = c , AD = BC = a , AC = BD = b ,•,即,【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt△ ABC中，设直角边AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C 作CDL AB垂足是D.假设，即假设，则由可知，或者.即AD: AO AC AB或者BD: BO BC AB.在厶ADCF" ACB中,v / A = / A,•••若AD: AO AC AB」/ AD字/ ACB.在厶CDB^H A ACB中,v / B = / B,•若BD BO BC AB,贝S/ CDB^Z ACB.又v / ACB = 90o,• / AD& 90o,Z CD字90o.这与作法CD!AB矛盾.所以，的假设不能成立证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABC划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABC啲面积为；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD勺面积为=.。

勾股定理9种证明(有图)

勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o. ∴∠HEF=180o ―90o=90o.∴四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形.它的面积等于c2.∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90o, ∴∠EHA+∠GHD=90o. 又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.∴ABCD 是一个边长为a+b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+.∴222c b a =+.【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵D 、E 、F 在一条直线上,且Rt ΔGEF ≌Rt ∴∠EGF=∠BED ， ∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o ―90o=90o. 又∵AB=BE=EG=GA=c ，∴ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o.∵Rt ΔABC ≌Rt ΔEBD, ∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o. 即∠CBD=90o.又∵∠BDE=90o ，∠BCP=90o ，BC=BD=a.∴BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则abS c 2122⨯+=,∴222c b a =+.【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b（b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P.过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.∵∠BCA=90o ，QP ∥BC ，∴∠MPC=90o ，∵BM ⊥PQ ， ∴∠BMP=90o ，∴BCPM 是一个矩形，即∠MBC=90o.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o ，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o ， ∴∠QBM=∠ABC ，又∵∠BMP=90o ，∠BCA=90o ，BQ=BA=c ， ∴Rt ΔBMQ ≌Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌Rt ΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD.过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L.∵AF=AC ，AB=AD ，∠FAB=∠GAD ， ∴ΔFAB ≌ΔGAD ，∵ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴矩形ADLM 的面积=2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积=2b .∵正方形ADEB 的面积=矩形ADLM 的面积+矩形MLEB 的面积 ∴222b a c +=，即222c b a =+. 【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b（b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R.过B 作BP ⊥AF ，垂足为P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵∠BAD=90o ，∠PAC=90o ，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90o ，∠BCA=90o ， AD=AB=c ， ∴Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA.∴DH=BC=a ，AH=AC=b.由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以Rt ΔAPB ≌Rt ΔBCA.即PB= CA=b ，AP=a ，从而PH=b ―a.∵Rt ΔDGT ≌Rt ΔBCA, Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA.∴Rt ΔDGT ≌Rt ΔDHA.∴DH=DG=a ，∠GDT=∠HDA. 又∵∠DGT=90o ，∠DHF=90o ，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o ， ∴DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴GF=FH=a.TF ⊥AF ，TF=GT ―GF=b ―a.∴TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP=b ，高FP=a+（b ―a ）.用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++=①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438=ab b 212-， 985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+=812SS b --.② 把②代入①，得=922S S b ++=22a b +.∴222c b a =+.【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c.做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90o ， ∴∠TBH=∠ABE. 又∵∠BTH=∠BEA=90o ，BT=BE=b ， ∴Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE. ∴HT=AE=a. ∴GH=GT ―HT=b ―a.又∵∠GHF+∠BHT=90o ，∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EB ―ED=b ―a ，∠HGF=∠BDC=90o ， ∴Rt ΔHGF ≌Rt ΔBDC.即27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90o ，可知∠ABE =∠QAM ，而AB=AQ=c ，所以Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM.又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.所以Rt ΔHBT ≌Rt ΔQAM.即58S S =.由Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM ，又得QM=AE=a ，∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90o ，∠BAE+∠CAR=90o ，∠AQM=∠BAE ， ∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90o ，QM=AR=a ，∴Rt ΔQMF ≌Rt ΔARC.即64S S =.∵543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+=52341S S S S S ++++ =2c ，即222c b a =+.【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC=a ，AC=b ，斜边AB=c （如图）.过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙， ∵AB=DC=c ，AD=BC=a ， AC=BD=b ，∴222AC BC AB +=，即222b a c +=， ∴222c b a =+.【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设222c b a ≠+，即假设222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知AD AB AC ∙≠2，或者BD AB BC ∙≠2.即AD ：AC ≠AC ：AB ，或者BD ：BC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵∠A=∠A ，∴若AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB. 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵∠B=∠B ， ∴若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB. 又∵∠ACB=90o ，∴∠ADC ≠90o ，∠CDB ≠90o.这与作法CD ⊥AB 矛盾.所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立. ∴222c b a =+.【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c.作边长是a+b 的正方形ABCD.把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+=22c ab +.∴22222c ab ab b a +=++, ∴222c b a =+.。

勾股定理500种证明方法(一)

勾股定理500种证明方法(一)勾股定理500种证明本文将介绍500种不同的证明方法，用于证明勾股定理。

这些证明方法涵盖了多个数学分支和不同的技巧。

以下是各种方法的详细说明。

几何证明方法1.平面几何证明方法：利用平行线、相似三角形和投影等基本几何概念，证明勾股定理。

2.三角形面积证明方法：通过计算三角形面积，用数学推理来证明勾股定理。

3.圆与三角形结合证明方法：结合圆与三角形的性质，运用圆心角与弧度、正弦定理和余弦定理等来证明勾股定理。

代数证明方法1.直接代数证明方法：将三角形的两条边表示为变量，并代入勾股定理的公式，通过代数计算来证明定理的成立。

2.向量证明方法：运用向量的性质，将三角形的边表示为向量，并通过向量的运算来证明勾股定理。

3.复数证明方法：将三角形的边对应为复数，并通过复数运算来证明勾股定理。

解析几何证明方法1.直角坐标系证明方法：利用直角坐标系中点的坐标表示，通过距离公式和坐标之间的关系来证明勾股定理。

2.半平面证明方法：利用半平面的性质，结合距离公式和向量的概念，通过几何图形的分割来证明勾股定理。

特殊证明方法1.巧妙的几何变换证明方法：通过几何变换，如相似变换和对称变换等，将原三角形变形为可以直接证明的形状，从而证明勾股定理。

2.数学归纳法证明方法：通过归纳推理，证明当 n=1 时定理成立，再通过递推关系来证明对于任意正整数 n 都成立。

算法证明方法1.穷举法证明方法：通过穷举所有可能的情况，直接验证勾股定理是否成立。

2.反证法证明方法：假设勾股定理不成立，找出矛盾之处来证明假设的错误。

综合证明方法1.综合运用多种方法证明：将不同的证明方法相互结合运用，通过综合考虑和推理来证明勾股定理。

结论本文介绍了500种不同的证明方法，用于证明勾股定理。

这些方法覆盖了几何、代数、解析几何、特殊和算法等多个数学分支，并且包含了许多不同的技巧和思路。

希望这些方法能够帮助读者更好地理解和应用勾股定理。

勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）?????????做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即，整理得.【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90o,∴∠AEH + ∠BEF = 90o.∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90o,∴∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵∠GHE = 90o,∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.∴. ∴.【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90o，∴∠EAB + ∠HAD = 90o，∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.∴.∴.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90o,∴∠AED + ∠BEC = 90o.∴∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC.∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.∴.∴.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180o―90o= 90o.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90o.即∠CBD= 90o.又∵∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴.?【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90o，QP∥BC，∴∠MPC = 90o，∵ BM⊥PQ，∴∠BMP = 90o，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ΔFAB ≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴，即.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC，∴ΔADC ∽ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB，即.同理可证，ΔCDB ∽ΔACB，从而有.∴，即.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT 于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，AD = AB = c，∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =CA = b，AP= a，从而PH = b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .又∵∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o，∴ DGFH是一个边长为a的正方形.∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为①∵ = ，，∴ = .②把②代入①，得= = .∴.?【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE = ∠ABH = 90o，∴∠TBH = ∠ABE.又∵∠BTH = ∠BEA = 90o，BT = BE = b，∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.∴ HT = AE = a.∴ GH = GT―HT = b―a.又∵∠GHF + ∠BHT = 90o，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o，∴∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB―ED = b―a，∠HGF = ∠BDC = 90o，∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即.过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知∠ABE= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM .即.由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.∵∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE，∴∠FQM = ∠CAR.又∵∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a，∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即.∵，，，又∵，，，∴==，即.??【证法11】（利用切割线定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=== ，即，∴.?【证法12】（利用多列米定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有，∵ AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b，∴，即，∴.?【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴= = r + r = 2r,即，∴.∴，即，∵，∴，又∵ = == = ，∴，∴，∴，∴.【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.假设，即假设，则由==可知，或者. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵∠A = ∠A，∴若 AD：AC≠AC：AB，则∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵∠B = ∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵∠ACB = 90o，∴∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，的假设不能成立.∴.?【证法15】（辛卜松证明）??????设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =.∴ ,∴.?【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c.∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，∴ DM = EM―ED = ―a = b.又∵∠CMD = 90o，CM = a，∠AED = 90o， AE = b，∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.∴∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.∵∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o，∴∠ADC = 90o.∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o，∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，∴ΔABF ≌ΔADE.∴∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵ AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.∵，，，，∴===∴.。

勾股定理500种证明方法

勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一个基本定理，它描述了直角三角形的特殊关系。

在本文中，我将为您探讨勾股定理的500种证明方法。

通过这些证明方法，我们可以从多个角度深入理解勾股定理的本质和意义。

1. 证明方法一：几何法1.1 利用直角三角形的定义，假设三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边的长度为c。

1.2 利用勾股定理的定义，即a² + b² = c²。

1.3 通过绘制图形和证明几何命题，可得出结论。

2. 证明方法二：代数法2.1 假设a和b分别代表直角三角形的两条直角边长。

2.2 在等式a² + b² = c²两边同时开方，得到c = √(a² + b²)。

2.3 将a、b和c的值代入等式，验证等式的成立性。

3. 证明方法三：相似三角形法3.1 假设两个直角三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D = 90°，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

3.2 通过相似三角形的性质，得出AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，其中k为正常数。

3.3 利用勾股定理，可得AB² + BC² = AC²，DE² + EF² = DF²。

3.4 将相似三角形的性质代入等式，验证等式的成立性。

4. 证明方法四：三角恒等式法4.1 通过引入三角函数，将直角三角形的边长表示为三角函数的形式。

4.2 利用三角函数的基本性质和三角恒等式，将勾股定理的等式转化为三角恒等式的等式。

4.3 通过验证三角恒等式，证明等式的成立性。

5. 证明方法五：向量法5.1 假设向量a和b分别代表直角三角形两条直角边的向量表示。

5.2 通过向量的内积和模长的性质，得出a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间夹角。

5.3 通过向量的定义和勾股定理，将a·b和|a||b|cosθ的值代入等式，验证等式的成立性。

勾股定理16种证明方式

【证法1】（讲义的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长别离为b,斜边长为c 再做三个边长别离为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上能够看到，这两个正方形的边长都是a + b,因此而积相等.即a 2 +b 2 +4x —ab =c 2 +4x — ab 2 2 【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每一个直角三角形的而积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C. G 、D 三点在一条直线上./ Rt A HAE 9 Rt A EBF,・•・ ZAHE = ZBEF.・• ZAEH + ZAHE 二 90°,•・ ZAEH + ZBEF = 90°.•・ ZHEF = 180°-90°= 90°.•・四边形EFGH 是一个边长为c的正方形.它的面积等于cl/ Rt A GDH 9 RtAHAE,•• ZHGD 二 ZEHA./ ZHGD + ZGHD = 90°,•• ZEHA + ZGHD 二 90°.•• ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于（d + 疔..（a + b ）2 =4x^-ab + c 2 . … 2 •• a +b =c【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b 冶），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每一个直角勾股定理的证明整理得/+沪=二XV ZGHE•• ZDHA 90°, 90°+ 90° 二 180°.D三角形的而积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状・••• RtADAH RtAABE, ・•・ ZHDA = ZEAB.•/ ZHAD + ZHAD 二 90°,/• ZEAB + ZHAD = 90°,A ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的而积等于c 2.••• EF 二 FG 二GH 二HE = b —a , ZHEF 二 90°.A EFGH 是一个边长为b-a 的正方形，它的而积等于（方“广:.a 2+b 2 =c\【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每一个直角三角・•・△ DEC 是一个等腰直角三角形,j_ 2它的面积等于IXV ZDAE = 90°, ZEBC = 90°,・•・ AD 〃BC./. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2、— （a+b ）2 = 2x —ab + —c 2 2V 2 2.a 2 +b 2 =c 2.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长别离为8、b ，斜边长为C.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交 DF 于点P.•・• D 、E 、F 在一条直线上，且 Rt A GEF 9 Rt A EBD,・•・ZEGF = ZBED,4x^ab + (b-a)2形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，懐A 、E 、B 三点在一条直线上.•・• RtAEAD・•・ZADE 二•・• ZAED +9 Rt A CBE, ZBEC. ZADE 二 90°, ZBEC 二 90°.180°-90°= 90°.I ZEGF + ZGEF = 90° ,/. ZBED + ZGEF = 90° ,/. ZBEG =180°—90°二90°.XV AB 二BE 二EG 二GA 二c,/. ABEG是一个边长为c的正方形./. ZABC + ZCBE 二90°.•/ Rt A ABC 9 Rt A EBD,・•・ ZABC 二ZEBD.・•・ ZEBD + ZCBE = 90°. 即ZCBD二90°.XV ZBDE 二90°, ZBCP 二90°,BC — BD = a.・•・BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则a2 +b2 =S + 2x-ab,2c2 = S + 2x—ab2 ,・•.a2+b2 =c2.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长别离为a、b （b>a）长为c.再做一个边长为c的正方形.点在一条直线上.过点Q作QP〃BC,交AC于点P.过点B作BM丄PQ,垂足为M；再过点F作FN丄PQ,垂足为N.•・• ZBCA = 90°, QP〃BC,・•・ ZMPC = 90° ,•・• BM 丄PQ,・•・ ZBMP = 90°,・•・BCPM是一个矩形，即ZMBC =•・• ZQBM + ZMBA = ZQBA = 90° ,ZABC + ZMBA = ZMBC = 90°,・•・ ZQBM = ZABC,又J ZBMP = 90°, ZBCA = 90°, BQ = BA = c,・•・ Rt A BMQ 竺Rt A BCA.同理可证Rt AQNF今Rt A AEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）斜边C三把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、做三个边长别离为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、垂直，垂足为E, DE 交AF 于H.• • ZBAD = 90°, ZPAC = 90°, • • • ZDAH = ZBAC.又・・• ZDHA 二 90° , ZBCA = 90°, AD = AB =c,■ • • Rt A DHA ◎ Rt A BCA.■ DH = BC =a, AH = AC 二三点在一条直线上，连结 BF 、CD.过 C 作 CL 丄DE, 交AB 于点M,交DE 于点 L.•・• AF = AC, AB = AD,ZFAB = ZGAD,・•・ A FAB 9 A GAD,丄2・・・△ FAB 的面积等于产,A GAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，・•・矩形ADLM 的面积同理可证，矩形MLEB 的而积二庆.•・・正方形ADEB 的面积二矩形ADLM 的面积+矩形MLEB 的面积.•・ c 2 =a 2 +b 2 ,即 a 2 +b 2 =c 2.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt A ABC 中，设直角边AC 、BC 的长度别离为a 、b,斜边AB 的长为c, 过点C 作CD1AB,垂足是D. 在AADC 和AACB 中， •・• ZADC = ZACB = 90°,ZCAD = ZBAC,・•・ AADC s AACB.AD ： AC = AC : AB,即 AC 2 =AD^AB,同理可证，ACDB s AACB,.・・ AC 2+BC 2 =（AD + DB^AB =AB 2 f 即 a 2-vb 2=c\ 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长别离为a. b （b>a ）,斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF 丄AC, AF 交GT 于F,AF 交DT 于R.过B 作BP 丄AF,垂足为P.过D 作DE 与CB 的延长线从而有BC —BD ・AB.由作法可知，PBCA 是一个矩形,因此 Rt A APB 9 Rt A BCA.即 PB 二 CA =b, AP 二 a,从而 PH 二 b-a. A E B a9 Rt A BCA ,9 Rt A BCA. RtA DHA . =a, ZGDT = ZHDA .90° , ZDHF 二 90° , ZGDH = ZGDT + ZTDH = ZHDA+ ZTDH 二 90° ,・•・DGFH 是一个边长为a 的正方形.・•・ GF = FH = a . TF 丄 AF, TF = GT-GF = b-a .・•・TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP 二b,高FP F + （b-a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为c* = S] + S? + S3 + S4 + S5・・ + S 3 + S 4 =—[/? + (b - 6/)] • \ci + (b -t/)]S 5 =+ s ... S3+S4 =b 2 _*”_S8二 b 2_s _s ^ 把②代入①，得c° = S] + S? +方~ — S 、—+ S& + S9•・• Rt A DGT Rt A DHA ・•・ Rt A DGT ・•・DH = DG 又J ZDGT = 【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长别离为a 、b （b>a ）,斜边的长为c.做三个边长别离为3、b 、C 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E. G 三点在一条直线上. 用数字表示而积的编号（如图）.••• ZTBE = ZABH 二 90°, ・•・ ZTBH = ZABE.XV ZBTH 二 ZBEA 二 90°,BT 二 BE 二 b,/. Rt A HBT 9 Rt A ABE./. GH 二 GT-HT 二 b-a.XV ZGHF + ZBHT 二 90°,ZDBC + ZBHT 二 ZTBH +••• ZGHF 二 ZDBC,J DB 二 EB-ED 二 b-a,ZHGF 二 ZBDC 二 90°,・•・ Rt AHGF £ Rt A BDC.即 =52.过Q 作QM 丄AG,垂足是M.由ZBAQ = ZBEA = 90°,可知 ZABE二 ZQAM,而 AB 二AQ 二 c,因此 Rt A ABE 9 Rt A QAM .又 Rt A HBT 9 2 b 2 +S 2+S 9・•・ RtAQMF 9 Rt A ARC.即 .•/ c 2 = S] + S2 + 比 + S4 + S5 , a 2 =S }+S 6^ b 2 =53 +57 +58即 a 2^b 2=c\【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt AABC 中，设直角边BC = a, AC = b,斜边AB = c.如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线别离于D 、E,则BD = BE = BC = a.因为ZBCA = 90°,点C 在。

初中数学：勾股定理的多种证明

初中数学：勾股定理的多种证明勾股定理的证明方法1做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等于c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a 的平方加b的平方等于c的平方。

勾股定理的证明方法2以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º,∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于a+b的平方。

∴a加b的平方等于4乘二分之一ab，加上c的平方。

.∴a的平方加b的平方等于c的平方。

勾股定理的证明方法3以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。

把这四个直角三角形拼成如图所示形状。