exp特殊函数与图形
数学特殊符号
[]:square brackets
{}:braces
∵:because
∴:therefore
≤:less than or equal to
≥：greater than or equal to
∞：infinity
LOGnX:logx to the base n
a>b:a is greater than b
a>>b:a is much greater than b
a≥b: a is greater than or equal to b
x→∞：x approches infinity
x2:x square
x3:x cube
√￣x:the square root of x
df 函数f的微小变化，足够小以至适合于所有相关函数的线性近似
df/dx f关于x的导数，同时也是f的线性近似斜率
f ' 函数f关于相应自变量的导数，自变量通常为x
?f/?x y、z固定时f关于x的偏导数。通常f关于某变量q的偏导数为当其它几个变量固定时df与dq的比值。任何可能导致变量混淆的地方都应明确地表述
(a, b) a、b向量的点积
a?b a、b向量的点积
(a?b) a、b向量的点积 和，通常是某项指数。下边界值写在其下部，上边界值写在其上部。如j从1到100的和可以表示成： 。这表示 1 + 2 + … + nM 表示一个矩阵或数列或其它
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Α α alpha alfa 阿耳法
Β β beta beta 贝塔
Mathematica的常用函数
Mathematica的内部常数Pi , 或π(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“p”+“Esc”）圆周率πE (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ee”+“Esc”）自然对数的底数eI (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ii”+“Esc”）虚数单位iInfinity, 或∞(从基本输入工具栏输入 , 或“Esc”+“inf”+“Esc”）无穷大∞Degree 或°(从基本输入工具栏输入,或“Esc”+“deg”+“Esc”）度Mathematica的常用内部数学函数指数函数Exp[x]以e为底数对数函数Log[x]自然对数，即以e为底数的对数Log[a，x]以a为底数的x的对数开方函数Sqrt[x]表示x的算术平方根绝对值函数Abs[x]表示x的绝对值三角函数（自变量的单位为弧度）Sin[x]正弦函数Cos[x]余弦函数Tan[x]正切函数Cot[x]余切函数Sec[x]正割函数Csc[x]余割函数反三角函数ArcSin[x]反正弦函数ArcCos[x]反余弦函数ArcTan[x]反正切函数ArcCot[x]反余切函数ArcSec[x]反正割函数ArcCsc[x]反余割函数双曲函数Sinh[x]双曲正弦函数Cosh[x]双曲余弦函数Tanh[x]双曲正切函数Coth[x]双曲余切函数Sech[x]双曲正割函数Csch[x]双曲余割函数反双曲函数ArcSinh[x]反双曲正弦函数ArcCosh[x]反双曲余弦函数ArcTanh[x]反双曲正切函数ArcCoth[x]反双曲余切函数ArcSech[x]反双曲正割函数ArcCsch[x]反双曲余割函数求角度函数ArcTan[x，y]以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度数论函数GCD[a,b,c,．．．]最大公约数函数LCM[a,b,c,．．．]最小公倍数函数Mod[m,n]求余函数(表示m除以n的余数)Quotient[m，n]求商函数（表示m除以n的商）Divisors[n]求所有可以整除n的整数FactorInteger[n]因数分解，即把整数分解成质数的乘积Prime[n]求第n个质数PrimeQ[n]判断整数n是否为质数，若是，则结果为True，否则结果为FalseRandom[Integer，{m，n}]随机产生m到n之间的整数排列组合函数Factorial[n]或n！阶乘函数，表示n的阶乘复数函数Re[z]实部函数Im[z]虚部函数Arg(z)辐角函数Abs[z]求复数的模Conjugate[z]求复数的共轭复数Exp[z]复数指数函数求整函数与截尾函数Ceiling[x]表示大于或等于实数x的最小整数Floor[x]表示小于或等于实数x的最大整数Round[x]表示最接近x的整数IntegerPart[x]表示实数x的整数部分FractionalPart[x]表示实数x的小数部分分数与浮点数运算函数N[num]或num->a表达式/.{x->a, y->b,…}如何用mathematica进行复数运算a+b*I表示复数a+bIConjugate[z]求复数z的共轭复数Exp[z]复数的指数函数，表示e^zRe[z]求复数z的实部Im[z]求复数z的虚部Abs[z]求复数z的模Arg[z]求复数z的辐角，如何在mathematica中表示集合与数学中表示集合的方法相同，格式如下：{a, b, c,…}表示由a, b, c,…组成的集合（注意：必须用大括号）下列命令可以生成特殊的集合：Table[f,{n}]生成包含n个元素f的集合Table[f[n],{n，nmax}]n从1到nmax，间隔为1，生成集合{f[1], f[2], f[3],…, f[nmax]} Table[f[n],{n，nmin, nmax}]n从nmin到nmax，间隔为1，生成集合{f[nmin], f[nmin+1], f[nmin+2],…, f[nmax]}Table[f[n],{n，nmin, nmax, dn}]n从nmin到nmax，间隔为dn，生成集合{f[nmin],f[nmin+dn], f[nmin+2*dn],…, f[nmax]}Range[n]生成集合{1, 2, 3 ,…, n}Range[imin, imax]生成集合{imin,imin+1,imin+2,…,imax}Range[imin, imax, di]生成集合{imin,imin+di,imin+2*di,… } (最大不超过imax)如何用Mathematica求集合的交集、并集、差集和补集Union[A,B,C,…] 求集合A,B,C,…的并集A~Union~B~U nion~C~Union~… 求集合A,B,C,…的并集A∪B∪C∪… 求集合A,B,C,…的并集Intersection[A,B,C,…] 求集合A,B,C,…的交集A~ Intersection ~B~ Intersection ~C~ Intersection ~… 求集合A,B,C,…的交集A∩B∩C∩… 求集合A,B,C,…的交集Complement [A,B,C,…] 求差集A~ Complement ~B~ Complement ~C~ Complement ~… 求差集Complement [全集I，A] 求集合A关于全集I的补集全集I ~ Complement ~A 求集合A关于全集I的补集如何mathematica用排序Sort[v]将数组或向量v的元素从小到大排列（升序排列）Reverse[v]将数组或向量v的元素按照与原来相反的顺序重新排列（续排列）RotateLeft[v]将数组或向量v中的每一个元素向左移一个位置RotateRight[v]将数组或向量v中的每一个元素向右移一个位置RotateLeft[v，n]将数组或向量v中的每一个元素向左移n个位置RotateRight[v，n]将数组或向量v中的每一个元素向右移n个位置如何在Mathematica中解方程Solve[方程，变元]注：方程的等号必须用： = =如何在Mathematica中解方程组Solve[{方程组}，{变元组}]注：方程的等号必须用： = =如何在Mathematica中解不等式先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载方法为：<<Algebra`InequalitySolve` 然后执行解不等式的命令InequalitySolve，此命令的使用格式如下：<--mstheme--><--mstheme-->InequalitySolve[不等式，变元]<--mstheme-->如何在Mathematica中解不等式组先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载方法为：<<Algebra`InequalitySolve` 然后执行解不等式组的命令InequalitySolve，此命令的使用格式如下：<--mstheme--><--mstheme-->InequalitySolve[{不等式组}，{变元组}] (我的研究成果)InequalitySolve[And[不等式组]，{变元组}]InequalitySolve[不等式1&&不等式2&&…&&不等式n，{变元组}]<--mstheme-->如何在Mathematica中解不等式组先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载方法为：<<Algebra`InequalitySolve`然后执行解不等式组的命令InequalitySolve，此命令的使用格式如下：<--mstheme--><--mstheme-->InequalitySolve[{不等式组}，{变元组}] (我的研究成果)InequalitySolve[And[不等式组]，{变元组}]InequalitySolve[不等式1&&不等式2&&…&&不等式n，{变元组}]如何用mathematica表示分段函数lhs:=rhs/;condition当condition成立时，lhs才会被定义成rhsIf[test，then，else]如果test为True，则执行then，否则执行 elseIf[test，then，else，unknown]如果test为True，则执行then，为False时，则执行else，无法判断test是True或False时则执行unknownWhich[test1，value1，test2，value2，．．．]如果test1为True，则执行value1，test2为True，则执行value2，依次类推。
实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制
实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制一、复变函数图形的绘制例题：编程绘制出复变函数31/31，的图形。
z z,z解：%experiment1.mclose allclear allm=30;r=(0:m)'/m;theta=pi*(-m:m)/m;z=r*exp(i*theta);w=z.^3;blue=0.2;x=real(z);y=imag(z);u=real(w);v=imag(w);v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化M=max(max(u));m=min(min(u));axis([-1 1 -1 1 m M])caxis([-1 1]) %%指定颜色值的范围s=ones(size(z));subplot(131)mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图hold onsurf(x,y,u,v) %%画表面图xlabel('x')ylabel('y')zlabel('u')title('z^3')hold offcolormap(hsv(64)) %%画色轴w=z.^(1/3);x=real(z);y=imag(z);subplot(132)for k=0:2rho=abs(w);phi=angle(w)+k*2*pi/3;u=rho.*cos(phi);v=rho.*sin(phi);v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(max(M,u)));m=min(min(min(m,u)));surf(x,y,u,v) %%画表面图axis([-1 1 -1 1 m M])hold onends=ones(size(z));mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图xlabel('x')ylabel('y')zlabel('u')title('z^{1/3}')colormap(hsv(64)) %%画色轴w=1./z;w(z==0)=NaN;x=real(z);y=imag(z);u=real(w);v=imag(w);v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化M=max(max(max(M,u)));m=min(min(min(m,u)));subplot(133)surf(x,y,u,v) %%画表面图hold onaxis([-1 1 -1 1 m M])s=ones(size(z));mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图xlabel('x')ylabel('y')zlabel('u')title('1/z')colormap(hsv(64)) %%画色轴二、特殊函数图形的绘制1、Γ函数的绘制()()10,1,2,tz z etd tz ∞--Γ=≠--⎰% Fig1d15.mx=-3:0.01:3; y=gamma(x);plot(x,y,'linewidth',4) grid onaxis([-3 3 -5 5]) xlabel('x') ylabel('y')title('\Gamma 函数')2、勒让德函数的绘制l 阶勒让德多项式()l P x 的定义是：()()()()()()22022!1112!!2!l kl kl lk l k P x xx k l k l k ⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=-=--≤≤--∑其中，()()/220,1,2,1/2212l l nl n l l n =⎧⎪⎢⎥==⎨⎢⎥-=+⎣⎦⎪⎩连带()mlP x 的定义是()()[]()221mm ml lP x x P x =-其中，0,1,2,l = ，0,1,2,,m l = ，而[]()m l P x 是()l P x 的m 阶导数。
Mathematica的常用函数
Mathematica的内部常数Pi , 或π(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“p”+“Esc”）圆周率πE (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ee”+“Esc”）自然对数的底数eI (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ii”+“Esc”）虚数单位iInfinity, 或∞(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“inf”+“Esc”）无穷大∞Degree 或°(从基本输入工具栏输入,或“Esc”+“deg”+“Esc”）度Mathematica的常用内部数学函数指数函数Exp[x]以e为底数对数函数Log[x]自然对数，即以e为底数的对数Log[a，x]以a为底数的x的对数开方函数Sqrt[x]表示x的算术平方根绝对值函数Abs[x]表示x的绝对值三角函数（自变量的单位为弧度）Sin[x]正弦函数Cos[x]余弦函数Tan[x]正切函数Cot[x]余切函数Sec[x]正割函数Csc[x]余割函数反三角函数ArcSin[x]反正弦函数ArcCos[x]反余弦函数ArcTan[x]反正切函数ArcCot[x]反余切函数ArcSec[x]反正割函数ArcCsc[x]反余割函数双曲函数Sinh[x]双曲正弦函数Cosh[x]双曲余弦函数Tanh[x]双曲正切函数Coth[x]双曲余切函数Sech[x]双曲正割函数Csch[x]双曲余割函数反双曲函数ArcSinh[x]反双曲正弦函数ArcCosh[x]反双曲余弦函数ArcTanh[x]反双曲正切函数ArcCoth[x]反双曲余切函数ArcSech[x]反双曲正割函数ArcCsch[x]反双曲余割函数求角度函数ArcTan[x，y]以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度数论函数GCD[a,b,c,．．．]最大公约数函数LCM[a,b,c,．．．]最小公倍数函数Mod[m,n]求余函数(表示m除以n的余数)Quotient[m，n]求商函数（表示m除以n的商）Divisors[n]求所有可以整除n的整数FactorInteger[n]因数分解，即把整数分解成质数的乘积Prime[n]求第n个质数PrimeQ[n]判断整数n是否为质数，若是，则结果为True，否则结果为FalseRandom[Integer，{m，n}]随机产生m到n之间的整数排列组合函数Factorial[n]或n！阶乘函数，表示n的阶乘复数函数Re[z]实部函数Im[z]虚部函数Arg(z)辐角函数Abs[z]求复数的模Conjugate[z]求复数的共轭复数Exp[z]复数指数函数求整函数与截尾函数Ceiling[x]表示大于或等于实数x的最小整数Floor[x]表示小于或等于实数x的最大整数Round[x]表示最接近x的整数IntegerPart[x]表示实数x的整数部分FractionalPart[x]表示实数x的小数部分分数与浮点数运算函数N[num]或num//N把精确数num化成浮点数（默认16位有效数字）N[num，n]把精确数num化成具有n个有效数字的浮点数NumberForm[num，n]以n个有效数字表示numRationalize[float]将浮点数float转换成与其相等的分数Rationalize[float，dx]将浮点数float转换成与其近似相等的分数，误差小于dx最大、最小函数Max[a，b，c，．．．]求最大数Min[a，b，c，．．．]求最小数符号函数Sign[x]Mathematica中的数学运算符a+b 加法a-b减法a*b (可用空格键代替*)乘法a/b (输入方法为：“ Ctrl ” + “ / ” ) 除法a^b (输入方法为：“ Ctrl ” + “ ^ ” )乘方-a 负号Mathematica的关系运算符==等于<小于>大于<=小于或等于>=大于或等于!=不等于注：上面的关系运算符也可从基本输入工具栏输入。
指数函数exp
指数函数exp指数函数是数学中的一种特殊的函数类型，它以指数形式表示，公式为y=a^x，其中a是常数且大于零，x是指数变量，y是函数的值。
在指数函数中，指数变量x可以是实数或复数。
指数函数可以有很多重要的应用，包括自然科学、工程领域和金融领域等。
下面将详细介绍指数函数的特点、图像、性质和应用。
1.指数函数的特点：-函数的定义域是实数集。
-函数的值域是正数集。
-函数在x轴上的值不断增加，且增长速度随着x的增大而加快。
-当x趋近于负无穷时，函数趋近于0；当x趋近于正无穷时，函数趋近于正无穷。
-当a大于1时，函数呈现增长趋势；当0<a<1时，函数呈现衰减趋势。
2.指数函数的图像：指数函数的图像特点如下：-当a>1时，函数的图像呈现上升的指数曲线，斜率越大a值越大。
-当0<a<1时，函数的图像呈现下降的指数曲线，斜率越小a值越小。
-当a=1时，函数图像为y=1的水平直线。
-当x为负数时，函数在x轴的右侧逼近于0。
-当x为正数时，函数在x轴的左侧逼近于0。
3.指数函数的性质和运算法则：-a^0=1，其中a为任意实数，0的任何正实数次方都等于1-a^m*a^n=a^(m+n)，指数相加。
- (a^m)^n = a^(mn)，指数相乘。
- (ab)^m = a^m * b^m，指数的运算化为底数的运算。
-a^(-m)=1/(a^m)，任何实数的负指数等于其倒数的正指数。
-a^m/a^n=a^(m-n)，指数相减。
4.指数函数的应用：-自然科学：指数函数在物理学、化学和生物学等自然科学中广泛应用，可以描述物质的增长、衰减和衰变等现象。
-工程领域：指数函数在电路、信号处理和控制系统等工程领域中有重要应用，用于描述信号的放大与衰减、电阻与电流的关系等。
-经济学：指数函数在经济学中经常用于描述经济增长、通货膨胀和利率等经济现象，如GDP的增长、物价的上涨等。
-金融领域：指数函数在金融领域中有广泛应用，如股票市场的涨跌趋势的分析、复利计算等。
详解R语言中的表达式、数学公式、特殊符号
详解R语⾔中的表达式、数学公式、特殊符号⽬录##⼀、R语⾔的“表达式”##⼆、产⽣“表达式”的函数####1、expression 函数####2、quote函数####3、bquote 和 substitute 函数####4、parse 函数##三、R绘图函数对⽂本参数中的表达式的处理 在R语⾔的绘图函数中，如果⽂本参数是合法的R语⾔表达式，那么这个表达式就被⽤Tex类似的规则进⾏⽂本格式化。
y <- function(x) (exp(-(x^2)/2))/sqrt(2*pi)plot(y, -5, 5, main = expression(f(x) == frac(1,sqrt(2*pi))*e^(-frac(x^2,2))), lwd = 3, col = "blue")library(ggplot2)x <- seq(0, 2*pi, by = 0.01)y <- sin(x)data <- data.frame(x, y)p <- ggplot(data, aes(x, y)) + geom_line()p + geom_area(fill = 'blue', alpha = 0.3) +scale_x_continuous(breaks = c(0, pi, 2*pi), labels = c('0', expression(pi), expression(2*pi))) +geom_text(parse = T, aes(x = pi/2,y = 0.3, label = 'integral(sin(x)*dx, 0, pi)'))##⼀、R语⾔的“表达式” 在R语⾔中，“表达式”的概念有狭义和⼴义两种意义。
狭义的表达式指表达式（expression）类对象，由expression函数产⽣；⽽⼴义的的表达式既包含expression类，也包含R“语⾔”类（language）。
常用非初等函数
函数而言，其反射轴为x=x0)。
对于
rect( x x0 ) L
tri( x x0 ) L
sin c( x x0 ) Gaus( x x0 )
L
L
这一类以x=x0为轴对称的函数，参数L只表示横向缩放 比例，因而可以取绝对值；
对于阶跃函数：step( x )
L
和符号函数：sgn(Lx )
其定义为：
tri(
x)
1 |
0
x
|
或者是：
| x | 1 | x | 1
1 x 1 x 0
tri(x) 1 x 0 x 1
0
other
6
tri ( x) 1
x 1 0 1
图2 三角形函数也具有曲线下的面积等于1的性质，即满 足：
tri(x)dx 1 7
3．符号函数
符号函数又称为正负号函数，记为sgn(x)。
其定义为：
1
sgn(x)
0
1
sgn(x)
1
x0 x0 x0
0
x
1
图3
8
4．阶跃函数
阶跃函数又称为海维塞德(Heaviside)函 数，记为step(x)或H(x)。
其定义为：
1
x0
step(x) 1/ 2
f new ( x)
afold
(
x
x0 L
)
b
fnew(x)一般形式的 非初等函数
fold(x)表示标准形式 的非初等函数
x0表示横向平 移因子；
b为纵向平移 因子；
17
f new ( x)
指数函数公式
数知识：作为实数变量x的函数，有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如的指数函数欧拉数e 的指数函数。
指数函数的一般形式为(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
在函数中可以看到（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若,则函数定过点(0,1+b))（8）指数函数无界。
（9）指数函数是非奇非偶函数（10）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。
2公式推导e的定义：()'指数函数======特殊地，当a=e时，()'=(ln x)'=1/x。
方法二：设，两边取对数ln y=xln a两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
eº=13函数图像指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”。
（如右图）。
(4)与的图像关于y轴对称。
4幂的比较比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
excel表格指数函数公式
excel表格指数函数公式在Excel中，指数函数是一种特殊的数学函数，用于计算一个数的n次幂。
指数函数通常应用于科学计算、金融和统计学中。
本文将介绍指数函数的公式及其相关参数的使用方法。
指数函数公式：指数函数的公式表示形式为：EXP(x)其中，x是要计算指数的数字。
例如，EXP(5)就是计算5的指数值。
指数函数与e的关系：指数函数与e的关系是指在计算指数函数时，e作为底数的指数值。
e是一个常数，它的值约为2.71828。
指数函数的计算公式为：e^x其中，x是要计算指数的数字。
例如，e^5就是计算e的5次方值。
指数函数的基本用法：在Excel中，使用指数函数可以按以下步骤进行：1. 选择一个包含数字的单元格，输入 "=EXP(x)"（其中，x为要取指数的数字）。
2. 按下“Enter”键。
3. Excel将计算指数函数的值，然后在单元格中显示结果。
指数函数的参数使用方法：指数函数有一个参数，它是要计算的数字。
在使用指数函数时，需要注意以下参数的使用方法：1. 数字必须是实数。
如果数字是复数，则指数函数将返回#NUM！错误。
2. 数字可以是一个单元格引用。
例如，如果A1单元格包含数字5，则“=EXP(A1)”将返回e的5次方值。
3. 数字可以是表达式。
例如，“=EXP(3*4)”将返回e的12次方值。
4. 数字可以是负数。
例如，“=EXP(-4)”将返回e的-4次方值。
指数函数的示例：以下是指数函数的示例：1. 计算e的10次方值在一个单元格中输入 "=EXP(10)"，然后按下回车键。
Excel将计算e的10次方值，并在该单元格中显示结果（约为22026.47）。
2. 计算e的-5次方值在一个单元格中输入 "=EXP(-5)"，然后按下回车键。
Excel将计算e的-5次方值，并在该单元格中显示结果（约为0.006738）。
3. 计算1.5的7次方值在一个单元格中输入 "=1.5^7"，然后按下回车键。
matlab复变函数画图形
matlab复变函数画图形第四篇计算机仿真第二十一章计算机仿真在复变函数中的应用基于MATLAB语言的广泛应用,我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB 语言的仿真介绍,而其它的数学工具软件,MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE,的仿真方法是类似的,本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证,并介绍仿真计算留数、积分的方法,以及复变函数中Taylor级数展开,Laplace 变换和Fourier变换,21.1 复数运算和复变函数的图形21.1.1 复数的基本运算1复数的生成复数可由语句z=a+b*i 生成，也可简写成z=a+bi;另一种生成复数的语句是z=r*exp(i*theta)，其中theta是复数辐角的弧度值， r 是复数的模( 2复矩阵的生成创建复矩阵有两种方法((1)一般方法例 21.1.1创建复矩阵的一般方法(【解】仿真程序为A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)]%运行后答案为A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i5.0000-1.0000i 8.6415-2.5147i -0.3054+22.9980i,说明: %后为注释语句,不需输入)(2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例 21.1.2 将实、虚部合并构成复矩阵【解】仿真程序为re=rand(3,2);im=rand(3,2);com=re+i*im%运行后答案为 com = 0.9501+0.4565i 0.4860+0.4447i0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i 21.1.2 复数的运算1 复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和 imag 实现(调用形式如下:real(z) 返回复数 z 的实部;imag(z) 返回复数 z 的虚部.2 共轭复数复数的共轭可由函数conj实现(调用形式为:conj(z) 返回复数 z 的共轭复数.3 复数的模与辐角复数的模与辐角的求取由函数 abs 和angle实现(调用形式为:abs(z) 返回复数 z 的模;angle(z) 返回复数 z 的辐角.例 21.1.1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角(113i(34i)(25i)，,,82132i，i4ii,，i1i,2i(1); (2); (3); (4)(【解】 a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i]%a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 -3.0000ireal(a)%ans = 0.2308 1.5000 -3.5000 1.0000(注明:凡ans 及其后面的内容均不需输入,它是前面语句的答案,本句ans 是real(a)的答案)imag(a)%ans = -0.1538 -2.5000 -13.0000 -3.0000conj(a)%ans =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i 1.0000 + 3.0000iabs(a)%ans = 0.2774 2.9155 13.4629 3.1623angle(a)%ans =-0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.2490 4 复数的乘除法复数的乘除法运算由“*”和“/”实现(5 复数的平方根复数的平方根运算由函数 sqrt 实现(调用形式如下:sqrt(z) 返回复数 z 的平方根值6 复数的幂运算复数的幂运算的形式是 z^n，结果返回复数 z 的 n 次幂( 7 复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数 exp 和log实现(调用形式如下:exp(z) 返回复数 z 的以 e 为底的指数值;log(z) 返回复数 z 的以 e 为底的对数值. 例21.1.2 求下列式的值(πi2ln(,10)e(1); (2)(【解】log(-10)%ans= 2.3026 + 3.1416iexp(pi/2* i)%ans =0.0000+ 1.0000i 21.1.3 复变函数的图形1.整幂函数的图形2z 例 21.1.6 绘出幂函数的图形.【解】 z=cplxgrid(30);cplxmap(z,z.^2);colorbar('vert');title('z^2')%(如图21.1所示)2z图21.1 复变函数的图形2. 根式函数的图形12z 例 21.1.7 绘出幂函数的图形【解】 z=cplxgrid(30);cplxroot(2);colorbar('vert');title('z^{1/2}' ) %(如图21.2).12z 图21.2 复变函数的图形3. 复变函数中对数函数的图形Lnz例 21.1.3 绘出对数函数的图形.【解】z=cplxgrid(20);w=log(z);for k=0:3w=w+i*2*pi;surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));hold ontitle('Lnz')endLnz 图21.3 对数函数 view(-75,30) %(如图21.3)例 21.1.4 计算机仿真编程实践:nzkn (1,2,,),,,,n,2z,,10k若对应为的根，其中且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式n1,0,,nk,1()zz,,kmm,1mk(),成立.【解】仿真程序n=round(1000*random('beta',1,1))+1% n=input('please enter n=')su=1;sum=0;for s=1:nN(s)=exp(i*2*s*pi/n);endfor k=1:nfor s=1:nif s~=ksu=1/(N(k)-N(s))*su;endendsum=sum+su;su=1;endsum%仿真验证结果为:n =735 sum =2.2335e-016 -5.1707e-016i其中n的值为随机产生的整数，可见其和的实部和虚部均接近于零。
一matlab常用函数1、特殊变量与常数ans计算结果的变量
一matlab常用函数1、特殊变量与常数ans计算结果的变量一matlab常用函数1、特殊变量与常数ans 计算结果的变量名computer 确定运行的计算机eps 浮点相对精度Inf 无穷大I 虚数单位inputname 输入参数名NaN 非数nargin 输入参数个数nargout 输出参数的数目pi 圆周率nargoutchk 有效的输出参数数目realmax 最大正浮点数realmin 最小正浮点数varargin 实际输入的参量varargout 实际返回的参量操作符与特殊字符+ 加- 减* 矩阵乘法 .* 数组乘（对应元素相乘）^ 矩阵幂 .^ 数组幂（各个元素求幂）\ 左除或反斜杠/ 右除或斜面杠 ./ 数组除（对应元素除）kron Kronecker 张量积: 冒号() 圆括[] 方括 . 小数点 .. 父目录 ... 继续, 逗号（分割多条命令）; 分号（禁止结果显示）% 注释! 感叹号' 转置或引用= 赋值== 相等<> 不等于& 逻辑与| 逻辑或~ 逻辑非xor 逻辑异或2、基本数学函数abs 绝对值和复数模长acos,acodh 反余弦，反双曲余弦acot,acoth 反余切，反双曲余切acsc,acsch 反余割，反双曲余割angle 相角asec,asech 反正割，反双曲正割secant 正切asin,asinh 反正弦，反双曲正弦atan,atanh 反正切，双曲正切tangent 正切atan2 四象限反正切ceil 向着无穷大舍入complex 建立一个复数conj 复数配对cos,cosh 余弦，双曲余弦csc,csch 余切，双曲余切cot,coth 余切，双曲余切exp 指数fix 朝0方向取整floor 朝负无穷取整*** 最大公因数imag 复数值的虚部lcm 最小公倍数log 自然对数log2 以2为底的对数log10 常用对数mod 有符号的求余nchoosek 二项式系数和全部组合数real 复数的实部rem 相除后求余round 取整为最近的整数sec,sech 正割，双曲正割sign 符号数sin,sinh 正弦，双曲正弦sqrt 平方根tan,tanh 正切，双曲正切3、基本矩阵和矩阵操作blkding 从输入参量建立块对角矩阵eye 单位矩阵linespace 产生线性间隔的向量logspace 产生对数间隔的向量numel 元素个数ones 产生全为1的数组rand 均匀颁随机数和数组randn 正态分布随机数和数组zeros 建立一个全0矩阵colon) 等间隔向量cat 连接数组diag 对角矩阵和矩阵对角线fliplr 从左自右翻转矩阵flipud 从上到下翻转矩阵repmat 复制一个数组reshape 改造矩阵roy90 矩阵翻转90度tril 矩阵的下三角triu 矩阵的上三角dot 向量点集cross 向量叉集ismember 检测一个集合的元素intersect 向量的交集setxor 向量异或集setdiff 向是的差集union 向量的并集数值分析和傅立叶变换cumprod 累积cumsum 累加cumtrapz 累计梯形法计算数值微分factor 质因子inpolygon 删除多边形区域内的点max 最大值mean 数组的均值mediam 中值min 最小值perms 所有可能的转换polyarea 多边形区域primes 生成质数列表prod 数组元素的乘积rectint 矩形交集区域sort 按升序排列矩阵元素sortrows 按升序排列行std 标准偏差sum 求和trapz 梯形数值积分var 方差del2 离散拉普拉斯diff 差值和微分估计gradient 数值梯度cov 协方差矩阵corrcoef 相关系数conv2 二维卷积conv 卷积和多项式乘法filter IIR或FIR滤波器deconv 反卷积和多项式除法filter2 二维数字滤波器cplxpair 将复数值分类为共轭对fft 一维的快速傅立叶变换fft2 二维快速傅立叶变换fftshift 将FFT的DC分量移到频谱中心ifft 一维快速反傅立叶变换ifft2 二维傅立叶反变换ifftn 多维快速傅立叶变换ifftshift 反FFT偏移nextpow2 最靠近的2的幂次unwrap 校正相位角多项式与插值conv 卷积和多项式乘法roots 多项式的根poly 具有设定根的多项式polyder 多项式微分polyeig 多项式的特征根polyfit 多项式拟合polyint 解析多项式积分polyval 多项式求值polyvalm 矩阵变量多项式求值residue 部分分式展开interp1 一维插值interp2 二维插值interp3 三维插值interpft 使用FFT的一维插值interpn 多维插值meshgrid 为3维点生成x和y的网格ndgrid 生成多维函数和插值的数组pchip 分段3次Hermite插值多项式ppval 分段多项式的值spline 3次样条数据插值绘图函数bar 竖直条图barh 水平条图hist 直方图histc 直方图计数hold 保持当前图形loglog x,y对数坐标图pie 饼状图plot 绘二维图polar 极坐标图semilogy y轴对数坐标图semilogx x轴对数坐标subplot 绘制子图bar3 数值3D竖条图bar3h 水平3D条形图comet3 3D慧星图cylinder 圆柱体fill3 填充的3D多边形plot3 3维空间绘图quiver3 3D震动（速度）图slice 体积薄片图sphere 球stem3 绘制离散表面数据wate***ll 绘制瀑布trisurf 三角表面clabel 增加轮廓标签到等高线图中datetick 数据格式标记grid 加网格线gtext 用鼠标将文本放在2D图中legend 图注plotyy 左右边都绘Y轴title 标题xlabel X轴标签ylabel Y轴标签zlabel Z轴标签contour 等高线图contourc 等高线计算contourf 填充的等高线图hidden 网格线消影meshc 连接网格/等高线mesh 具有参考轴的3D网格peaks 具有两个变量的采样函数surf 3D阴影表面图su***ce 建立表面低层对象surfc 海浪和等高线的结合surfl 具有光照的3D阴影表面trimesh 三角网格图二Matlab常用指令1、通用信息查询(General information)demo 演示程序help 在线帮助指令helpbrowser 超文本文档帮助信息helpdesk 超文本文档帮助信息helpwin 打开在线帮助窗info MATLAB 和MathWorks 公司的信息subscribe MATLAB 用户注册ver MATLAB 和TOOLBOX 的版本信息version MATLAB 版本whatsnew 显示版本新特征2、工作空间管理(Managing the workspace)clear 从内存中清除变量和函数exit 关闭MATLAB load 从磁盘中调入数据变量pack 合并工作内存中的碎块quit 退出MATLAB save 把内存变量存入磁盘who 列出工作内存中的变量名whos 列出工作内存中的变量细节workspace 工作内存浏览器3 、管理指令和函数(Managing commands and functions)edit 矩阵编辑器edit 打开M 文件inmem 查看内存中的P 码文件mex 创建MEX 文件open 打开文件pcode 生成P 码文件type 显示文件内容what 列出当前目录上的M、MAT、MEX 文件which 确定指定函数和文件的位置4 、搜索路径的管理(Managing the seach patli)addpath 添加搜索路径rmpath 从搜索路径中删除目录path 控制MATLAB 的搜索路径pathtool 修改搜索路径5、指令窗控制(Controlling the command window)beep 产生beep 声echo 显示命令文件指令的切换开关diary 储存MATLAB 指令窗操作内容format 设置数据输出格式more 命令窗口分页输出的控制开关6、操作系统指令(Operating system commands)cd 改变当前工作目录computer 计算机类型copyfile 文件拷贝delete 删除文件dir 列出的文件dos 执行dos 指令并返还结果getenv 给出环境值ispc MATLAB 为PC(Windows)版本则为真isunix MATLAB 为Unix 版本则为真mkdir 创建目录pwd 改变当前工作目录unix 执行unix 指令并返还结果vms 执行vms dcl 指令并返还结果web 打开web 浏览器! 执行外部应用程序b5E2RGbC三Matlab运算符和特殊算符1、算术运算符(Arithmetic operators)+ 加- 减* 矩阵乘 .* 数组乘^ 矩阵乘方 .^ 数组乘方\ 反斜杠或左除/ 斜杠或右除 ./或.\ 数组除张量积[注]本表第三栏括号中的字符供在线救助时help 指令引述用2、关系运算符(Relational operators)= = 等号~= 不等号< 小于> 大于<= 小于或等于>= 大于或等于3、逻辑操作(Logical operators)& 逻辑与| 逻辑或~ 逻辑非xor 异或any 有非零元则为真all 所有元素均非零则为真4、特殊算符(Special characters)：冒号( ) 圆括号[ ] 方括号{ } 花括号@ 创建函数句柄 . 小数点 . 构架域的关节点 .. 父目录? 续行号, 逗号; 分号% 注释号! 调用操作系统命令= 赋值符号ˊ引号ˊ复数转置号.ˊ转置号[,] 水平串接[;] 垂直串接( ),{ },. 下标赋值( ),{ },. 下标标识subsindex 下标标识p1EanqFD四Matlab编程语言结构控制语句(Control flow)break 终止最内循环case 同switch 一起使用catch 同try 一起使用continue 将控制转交给外层的for 或while 循环else 同if 一起使用elseif 同if 一起使用end 结束for,while,if 语句for 按规定次数重复执行语句if 条件执行语句otherwise 可同switch 一起使用return 返回switch 多个条件分支try try-cathch 结构while 不确定次数重复执行语句2、计算运行(Evaluation and execution)assignin 跨空间赋值builtin 执行内建的函数eval 字符串宏指令evalc 执行MATLAB字符串evalin 跨空间计算串表达式的值feval 函数宏指令run 执行脚本文件3、脚本文件、函数及变量(Scripts,function,and variables)exist 检查变量或函数是否被定义function 函数文件头global 定义全局变量isglobal若是全局变量则为真iskeyword 若是关键字则为真mfilename 正在执行的M 文件的名字persistent 定义永久变量script MATLAB 命令文件4、宗量处理(Augument handling)inputname 实际调用变量名nargchk 输入变量个数检查nargin 函数输入宗量的个数nargout 函数输出宗量的个数nargoutchk 输出变量个数检查varagin 输入宗量varagout 输出宗量5、信息显示(Message display)disp 显示矩阵和文字内容display 显示矩阵和文字内容的重载函数error 显示错误信息fprintf 把格式化数据写到文件或屏幕lasterr 最后一个错误信息lastwarn 最后一个警告信息sprintf 按格式把数字转换为串warning 显示警告信息6 、交互式输入(Interactive input) input 提示键盘输入keyboard 激活键盘做为命令文件pause 暂停uicontrol 创建用户界面控制uimenu 创建用户界面菜单五Matlab基本矩阵函数和操作1、基本矩阵(Elementary matrices)eye 单位阵linspace 线性等分向量logspace 对数等分向量meshgrid 用于三维曲面的分格线坐标ones 全1 矩阵rand 均匀分布随机阵randn 正态分布随机阵repmat 铺放模块数组zeros 全零矩阵: 矩阵的援引和重排2、矩阵基本信息(Basic array information)disp 显示矩阵和文字内容isempty 若是空矩阵则为真isequal 若对应元素相等则为1 islogical 尤其是逻辑数则为真isnumeric 若是数值则为真length 确定向量的长度logical 将数值转化为逻辑值ndims 数组A 的维数size 确定矩阵的维数3、矩阵操作(Matrix manipulateion)blkdiag 块对角阵串接diag 创建对角阵，抽取对角向量end 数组的长度，即最大下标find 找出非零元素1 的下标fliplr 矩阵的左右翻转flipud 矩阵的上下翻转flipdim 交换对称位置上的元素ind2sub 据单下标换算出全下标reshape 矩阵变维rot90 矩阵逆时针90°旋转sub2idn 据全下标换算出单下标tril 抽取下三角阵triu 抽取上三角阵4、特殊变量和常数(Special variables and constants)ans 最新表达式的运算结果eps 浮点相对误差i,j 虚数单位inf 或Inf 无穷大isfinite 若是有限数则为真isinf 若是无穷大则为真isnan 若为非数则为真NaN 或nan 非数pi 3.1415926535897?. realmax 最大浮点数realmin 最小正浮点数why 一般问题的简明答案5、特殊矩阵(Specialized matrices)compan 伴随矩阵gallery 一些小测试矩阵hadamard Hadamard 矩阵hankel Hankel 矩阵hilb Hilbert 矩阵invhilb 逆Hilbert 矩阵magic 魔方阵pascal Pascal 矩阵rosser 典型对称特征值实验问题toeplitz T oeplitz 矩阵vander Vandermonde 矩阵wilkinson Wilkinson's 对称特征值实验矩阵DXDiTa9E六Matlab基本数学函数1、三角函数(Trigonometric)acos 反余弦acosh 反双曲余弦acot 反余切acoth 反双曲余切acsc 反余割acsch 反双曲余割asec 反正割asech 反双曲正割asin 反正弦asinh 反双曲正弦atan 反正切atanh 反双曲正切atan2 四象限反正切cos 余弦cosh 双曲余弦cot 余切coth 双曲余切csc 余割csch 双曲余割sec 正割sech 双曲正割sin 正弦sinh 双曲正弦tan 正切tanh 双曲正切2、指数函数(Exponential)exp 指数log 自然对数log10 常用对数log2 以2 为底的对数nestpow2 最近邻的2 的幂pow2 2 的幂sqrt 平方根3、复数函数(Complex)abs 绝对值angle 相角complex 将实部和虚部构成复数conj 复数共轭cplxpair 复数阵成共轭对形式排列imag 复数虚部isreal 若是实数矩阵则为真real 复数实部unwrap 相位角360°线调整4、圆整和求余函数(Rounding and remainder)ceil 朝正无穷大方向取整fix 朝零方向取整floor 朝负无穷大方向取整mod 模数求余rem 求余数round 四舍五入取整sign 符号函数6 特殊函数(Specialized math functions) cart2pol 直角坐标变为柱(或极)坐标cart2sph 直角坐标变为球坐标cross 向量叉积dot 向量内积isprime 若是质数则为真pol2cart 柱(或极)坐标变为直角坐标sph2cart 球坐标变为直角坐标RTCrpUDG 七Matlab矩阵函数和数值线性代数1、矩阵分析(Matrix analysis)det 行列式的值norm 矩阵或向量范数normest 估计2 范数null 零空间orth 值空间rank 秩rref 转换为行阶梯形trace 迹subspace 子空间的角度2、线性方程(Linear equations)chol Cholesky 分解cholinc 不完全Cholesky 分解cond 矩阵条件数condest 估计1-范数条件数inv 矩阵的逆lu LU 分解luinc 不完全LU 分解lscov 已知协方差的最小二乘积nnls 非负二乘解pinv 伪逆qr QR 分解rcond LINPACK 逆条件数\、/ 解线性方程3、特性值与奇异值(Eigenvalues and singular values)condeig 矩阵各特征值的条件数eig 矩阵特征值和特征向量eigs 多个特征值gsvd 归一化奇异值分解hess Hessenberg 矩阵poly 特征多项式polyeig 多项式特征值问题qz 广义特征值schur Schur 分解svd 奇异值分解svds 多个奇异值4、矩阵函数(Matrix functions)expm 矩阵指数expm1 矩阵指数的Pade 逼近expm2 用泰勒级数求矩阵指数expm3 通过特征值和特征向量求矩阵指数funm 计算一般矩阵函数logm 矩阵对数sqrtm 矩阵平方根5、因式分解(Factorization utility)cdf2rdf 复数对角型转换到实块对角型balance 改善特征值精度的平衡刻度rsf2csf 实块对角型转换到复数对角型5PCzVD7H 八数据分析和傅里叶变换1、基本运算(Basic operations)cumprod 元素累计积cumsum 元素累计和cumtrapz 累计积分hist 统计频数直方图histc 直方图统计max 最大值mean 平均值median 中值min 最小值prod 元素积sort 由小到大排序sortrows 由小到大按行排序std 标准差sum 元素和trapz 梯形数值积分var 求方差2、有限差分(Finite differentces)del2 五点离散Laplacian diff 差分和近似微分gradient 梯度jLBHrnAI3、相关(Correlation)corrcoef 相关系数cov 协方差矩阵subspace 子空间之间的角度4、滤波和卷积(Filtering and convoluteion)conv 卷积和多项式相乘conv2 二维卷积convn N 维卷积detrend 去除线性分量deconv 解卷和多项式相除filter 一维数字滤波器fliter2 二维数字滤波器5、傅里叶变换(Fourier transforms)fft 快速离散傅里叶变换fft2 二维离散傅里叶变换fftn N 维离散傅里叶变换fftshift 重排fft 和fft2 的输出ifft 离散傅里叶反变换ifft2 二维离散傅城叶反变换ifftn N 维离散傅里叶反变换ifftshift 反fftshift xHAQX74J九音频支持1、音频硬件驱动(Audio hardware drivers)sound 播放向量soundsc 自动标刻并播放waveplay 利用系统音频输出设配播放waverecor 利用系统音频输入设配录音2、音频文件输入输出(Audio file import and export)auread 读取音频文件(.au) auwrite 创建音频文件(.au) wavread 读取音频文件(.wav) wavwrite 创建音频文件(.wav)3、工具(Utilities)lin2mu 将线性信号转换为μ 一律编码的信号mu2lin 将μ 一律编码信号转换为线性信号LDAYtRyK十插补多项式函数1、数据插补(Data Interpolation)griddata 分格点数据griddata3 三维分格点数据griddatan 多维分格点数据interpft 利用FFT 方法一维插补interp1 一维插补interp1q 快速一维插补interp2 二维插补interp3 三维插补intern N 维插补pchip hermite 插补2 、样条插补(Spline Interpolation)ppval 计算分段多项式spline 三次样条插补3 、多项式(Polynomials)conv 多项式相乘deconv 多项式相除poly 由根创建多项式polyder 多项式微分polyfit 多项式拟合polyint 积分多项式分析polyval 求多项式的值polyvalm 求矩阵多项式的值residue 求部分分式表达roots 求多项式的根Zzz6ZB2L十一数值泛函函数和ODE 解算器1、优化和寻根(Optimization and root finding)fminbnd 非线性函数在某区间中极小值fminsearch 单纯形法求多元函数极值点指令fzero 单变量函数的零点2、优化选项处理(Optimization Option handling)optimget 从OPTIONS 构架中取得优化参数optimset 创建或修改OPTIONS 构架3、数值积分(Numerical intergration)dblquad 二重(闭型)数值积分指令quad 低阶法数值积分quadl 高阶法数值积分4、绘图(Plotting)ezcontour 画等位线ezcontourf 画填色等位线ezmesh 绘制网格图ezmeshc 绘制含等高线的网格图ezplot 绘制曲线ezplot3 绘制3 维曲线ezpolar 采用极坐标绘图ezsurf 画曲面图ezsurfc 画带等位线的曲面图fplot 画函数曲线图5、内联函数对象(Inline function object)argnames 给出函数的输入宗量char 创建字符传输组或者将其他类型变量转化为字符串数组formula 函数公式inline 创建内联函数6、差微分函数解算器(Differential equation solvers)ode113 变阶法解方程ode15s 变阶法解刚性方程ode23 低阶法解微分方程ode23s低阶法解刚性微分方程ode23t 解适度刚性微分方程odet23tb 低阶法解刚性微分方程ode45 高阶法解微分方程dvzfvkwM十二二维图形函数1、基本平面图形(Elementary X－Y graphs)loglog 双对数刻度曲线plot 直角坐标下线性刻度曲线plotyy 双纵坐标图polar 极坐标曲线图semilogx X 轴半对数刻度曲线semilogy Y 轴半对数刻度曲线2 、轴控制(Axis control)axes 创建轴axis 轴的刻度和表现box 坐标形式在封闭式和开启词式之间切换grid 画坐标网格线hold 图形的保持subplot 创建子图zoom 二维图形的变焦放大3、图形注释(Graph annotation)gtext 用鼠标在图上标注文字legend 图例说明plotedit 图形编辑工具text 在图上标注文字texlabel 将字符串转换为Tex 格式title 图形标题xlabel X 轴名标注ylabel Y 轴名标注4、硬拷贝(Hardcopy and printing)orient 设置走纸方向print 打印图形或把图存入文件printopt 打印机设置rqyn14ZN十三三维图形函数1、基本三维图形(Elementary 3－D plots) fill3 三维曲面多边形填色mesh 三维网线图plot3 三维直角坐标曲线图surf 三维表面图2 、色彩控制(Color control)alpha 透明色控制brighten 控制色彩的明暗caxis (伪)颜色轴刻度colordef 用色风格colormap 设置色图graymon 设置缺省图形窗口为单色显示屏hidden 消隐shading 图形渲染模式whitebg 设置图形窗口为白底3、光照模式(Lighting)diffuse 漫反射表面系数light 灯光控制lighting 设置照明模式material 使用预定义反射模式specular 漫反射surfnorm 表面图的法线surfl 带光照的三维表面图4 、色图(Color maps)autumn 红、黄浓淡色bone 蓝色调灰度图colorcube 三浓淡多彩交错色cool 青和品红浓淡色图copper 线性变化纯铜色调图flag 红－白－蓝黑交错色图gray 线性灰度hot 黑－红－黄－白交错色图hsv 饱和色彩图jet 变异HSV 色图lines 采用plot 绘线色pink 淡粉红色图prism 光谱色图spring 青、黄浓淡色summer 绿、黄浓淡色vga 16 色white 全白色winter 蓝、绿浓淡色5、轴的控制(Axis control)axes 创建轴axis 轴的刻度和表现box 坐标形式在封闭式和开启式之间切换daspect 轴的DataAspectRatio 属性grid 画坐标网格线hold 图形的保持pbaspect 画坐标框的PlotBoxAspectRatio 属性subplot 创建子图xlim X 轴范围ylim Y 轴范围zlim Z 轴范围zoom二维图形的变焦放大6、视角控制(Viewpoint control)rotate3d 旋动三维图形view 设定3－D 图形观测点viewmtx 观测点转换矩阵7、图形注释(Graph annotation)colorbar 显示色条gtext 用鼠标在图上标注文字plotedit 图形编辑工具text 在图上标注文字title 图形标题xlabel X 轴名标注ylabel Y 轴名标注zlabel Z 轴名标注8 、硬拷贝(Hardcopy and printing)orient 设置走纸方向print 打印图形或把图存入文件printopt 打印机设置verml 将图形保存为VRML2.0 文件EmxvxOtO 十四特殊图形1、特殊平面图形(Specialized 2－D graphs)area 面域图bar 直方图barh 水平直方图comet 彗星状轨迹图compass 从原点出发的复数向量图errorbar 误差棒棒图ezplot 画二维曲线ezpolar 画极坐标曲线feather 从X 轴出发的复数向量图fill 多边填色图fplot 函数曲线图hist 统计频数直方图pareto Pareto 图pie 饼形统计图plotmatrix 散点图阵列scatter 散点图stairs 阶梯形曲线图stem 火柴杆图2 、等高线及二维半图形(Contour and 2－1/2D graphs)clabel 给等高线加标注contour 等高线图contourf 等高线图contour3 三维等高线ezcontour 画等位线ezcontourf 画填色等位线pcolor 用颜色反映数据的伪色图voronoi Voronoi 图3、特殊三维图形（Specialized 3－D graphs）bar3 三维直方图bar3h 三维水平直方图comet3 三维彗星动态轨迹线图ezgraph3 通用指令ezmesh 画网线图ezmeshc 画等位线的网线图ezplot3 画三维曲线ezsurf 画曲面图ezsurfc 画带等位线的曲面图meshc 带等高线的三维网线图meshz 带零基准面的三维网线图pie3 三维饼图ribbon 以三维形式绘制二维曲线scatter3 三维散点图stem3 三维离散杆图surfc 带等高线的三维表面图trimesh 三角剖分网线图trisurf 三角剖分曲面图waterfall 瀑布水线图4、内剖及向量视图(Volume and vector visualization)coneplot 锥体图contourslice 切片等位线图quiver 矢量场图quiver3 三维方向箭头图slice 切片图5、图像显示及文件处理(Image display and file I/O)brighten 控制色彩的明暗colorbar 色彩条状图colormap 设置色图contrast 提高图像对比度的灰色图gray 线性灰度image 显示图像imagesc 显示亮度图像imfinfo 获取图像文件的特征数据imread 从文件读取图像的数据阵（和伴随色图））imwrite 把强度图像或真彩图像写入文件6、影片和动画(Movies and animation)capture 当前图的屏捕捉frame2im 将影片动画转换为编址图像getframe 获得影片动画图像的帧im2frame 将编址图像转换为影片动画movie 播放影片动画moviein 影片动画内存初始化rotate 旋转指令7、颜色相关函数(Color related function)spinmap 颜色周期性变化操纵8、三维模型函数(Solid modeling)cylinder 圆柱面patch 创建块sphere 球面Surf2patch 将曲面数据转换为块数据SixE2yXP十五句柄图形1、图形窗的产生和控制(Figure window creation and control)clf 清除当前图close 关闭图形figure 打开或创建图形窗口gcf 获得当前图的柄openfig 打开图形refresh 刷新图形shg 显示图形窗2、轴的产生和控制(Axis creation and control)axes 在任意位置创建轴axis 轴的控制box 坐标形式在封闭式和开启式之间切换caxis 控制色轴的刻度cla 清除当前轴gca 获得当前轴的柄hold 图形的保持ishold 若图形处保持状态则为真subplot 创建子图3、句柄图形对象(Handle Graphics objects)axex 在任意位置创建轴figure 创建图形窗口image 创建图像light 创建光line 创建线patch 创建块rectangle 创建方surface 创建面text 创建图形中文本uicontextmenu 创建现场菜单对象uicontrol 用户使用界面控制uimenu 用户使用菜单控制4、句柄图形处理(Handle Graphics operations)copyobj 拷贝图形对象及其子对象delete 删除对象及文件drawnow 屏幕刷新findobj 用规定的特性找寻对象gcbf "正执行回调操作"的图形的柄gcbo "正执行回调操作"的控件图柄指令gco 获得当前对象的柄get 获得对象特性getappdat 获得应用程序定义数据isappdata 检验是否应用程序定义数据reset 重设对象特性rmappdata 删除应用程序定义数据set 建立对象特性setappdata 建立应用程序定义数据5 、工具函数(Utilities)closereq 关闭图形窗请求函数ishandle 若是图柄代号侧为真newplot 下一个新图6ewMyirQ十六图形用户界面工具align 对齐用户控件和轴cbedit 编辑回调函数ginput 从鼠标得到图形点坐标guide设计GUI menu 创建菜单menuedit 菜单编辑propedit 属性编辑uicontrol 创建用户界面控制uimenu 创建用户界面菜单kavU42VR 十七字符串1 、通用字符串函数(General)blanks 空格符号cellstr 通过字符串数组构建字符串的元胞数组char 创建字符传输组或者将其他类型变量转化为字符串数组deblank 删除最后的空格double 把字符串变成ASCII 码值eval 执行串形式的MATLAB 表达式2、字符串查询(String tests)iscellstr 若是字符串组成的元胞数组则为真ischar 若是字符串则为真isletter 串中是字母则为真isspace 串中是空格则为真isstr 若是字符串则为真3、字符串操作(String operations)base2dec X－进制串转换为十进制整数bin2dec 二进制串转换为十进制整数dec2base 十进制整数转换为X 进制串dec2bin 十进制整数转换为二进制串dec2hex 十进制整数转换为16 进制串findstr 在一个串中寻找一个子串hex2dec 16－进制串转换为十进制整数hex2num 16－进制串转换为浮点数int2str 将整数转换为字符串lower 把字符串变成小写mat2str 将数组转换为字符串num2str 把数值转换为字符串strcat 把多个串连接成长串strcmp 比较字符串strcmpi 比较字符串（忽略大小写）strings MATLAB 中的字符串strjust 字符串的对齐方式strmatch 逐行搜索串strnomp 比较字符串的前N 个字符strncmpi 比较字符串的前N 个字符（忽略大小写）strrep 用另一个串代替一个串中的子串strtok 删除串中的指定子串strvcat 创建字符串数组str2mat 将字符串转换为含有空格的数组str2num 将字符串转换为数值upper 把字符串变成大写y6v3ALoS十八文件输入/输出clc 清除指令窗口disp 显示矩阵和文字内容fprintf 把格式化数据写到文件或屏幕home 光标返回行首input 提示键盘输入load 从磁盘中调入数据变量pause暂停sprintf 写格式数据到串sscanf 在格式控制下读串M2ub6vST十九时间和日期clock 时钟cputme MATLAB 战用CPU 时间date 日期etime 用CLOCK 计算的时间now 当前时钟和日期pause 暂停tic 秒表启动toc 秒表终止和显示0YujCfmU二十数据类型1、数据类型(Data types)cell 创建元胞变量char 创建字符传输组或者将其他类型变量转化为字符串数组double 转化为16 位相对精度的浮点数值对象function handle 函数句柄inline 创建内联函数JavaArray 构建Java 数组JavaMethod 调用某个Java 方法JavaObject 调用Java 对象的构造函数single 转变为单精度数值sparse 创建稀疏矩阵struct 创建构架变量uint8(unit16、unit32) 转换为8(16、32)位无符号整型数int8(nit16、nit32) 转换为8(16、32)位符号整型数2、多维数组函数(Multi－dimensional array functions)cat 把若干数组串接成高维数组ndims 数组A 的维数ndgrid 为N－D 函数和插补创建数组ipermute 广义反转置permute 广义非共轭转置shiftdim 维数转换squeeze使数组降维3、元胞数组函数(Cell array functions)cell 创建元胞变量celldisp 显示元胞数组内容cellfun 元胞数组函数cellplot 图示元胞数组的内容cell2struct 把元胞数组转换为构架数组deal 把输入分配给输出is cell 若是元胞则为真num2 cell 把数值数组转换为元胞数组struct2 cell 把构架数组转换为元胞数组4、构架函数(Structure functions)fieldnames 获取构架的域名getfield 获取域的内容isfield 若为给定构架的域名则为真isstruct 若是构架则为真rmfield 删除构架的域setfield 指定构架域的内容struct 创建构架变量5、函数句柄函数(Function handle functions)@ 创建函数句柄functions 列举函数句柄对应的函数func2str 将函数句柄数组转换为字符串str2func 将字符串转换为函数句柄6、面向对象编程(Object oriented programming functions)dlass 查明变量的类型isa 若是指定的数据类型则为真inferiorto 级别较低isjava 若是java 对象则为真isobject 若是对象则为真methods 显示类的方法名substruct 创建构架总量superiorto 级别较高eUts8ZQV二一示例demo 演示程序flow 无限大水体中水下射流速度数据intro 幻灯演示指令peaks 产生peaks 图形数据sQsAEJkW二二符号工具包1、微积分(Calculus)diff 求导数limit 求极限int 计算积分jacobian Jacobian 矩阵symsum 符号序列的求和trylor Trylor 级数2、线性代数(Linear Algebra)det 行列式的值diag 创建对角阵，抽取对角向量eig 矩阵特征值和特征向量expm 矩阵指数inv 矩阵的逆jordan Jordan 分解null 零空间poly 特征多项式rank 秩rref 转换为行阶梯形svd 奇异值分解tril 抽取下三角阵triu 抽取上三角阵3、化简(Simplification)collect 合并同类项expand 对指定项展开factor 进行因式或因子分解horner 转换成嵌套形式numden 提取公因式simple 运用各种指令化简符号表达式simplify 恒等式简化subexpr 运用符号变量置换子表达式subs 通用置换指令4、方程求解(Solution of Equation)compose 求复函数dsolve 求解符号常微分方程finverse 求反函数fminunc 拟牛顿法求多元函数极值点fsolve 解非线性方程组lsqnonlin 解非线性最小二乘问题solve 求解方程组5、变量精度(Variable Precision Arithmetic)digits 设置今后数值计算以n 位相对精度进行vpa 给出数值型符号结果6、积分变换(Integral Transforms)fourier Fourier 变换ifourier Fourier 反变换ilaplace Ilaplace 反变换iztrans Z 反变换laplace Ilaplace 变换ztrans Z 变换7、转换(Conversions)char 把符号对象转化为字符串数组double 把符号常数转化为16 位相对精度的浮点数值对象poly2sym 将多项式转换为符号多项式sym2poly 将符号多项式转换为系数向量8、基本操作(Basic Operation)ccode 符号表达式的C 码表达式findsym 确认表达式中符号"变量" fortran 符号表达式的fortran 表达式latex 符号表达式的LaTex 表示pretty 习惯方式显示sym 定义基本符号对象syms 定义基本符号对象9、串处理函数(String handling utilities)。
matlab常用基本数学函数
M A T L A B常用的函数abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度angle(z)：复数z的相角(Phase angle)sqrt(x)：开平方real(z)：复数z的实部imag(z)：复数z的虚部conj(z)：复数z的共轭复数round(x)：四舍五入至最近整数fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数rat(x)：将实数x化为分数表示rats(x)：将实数x化为多项分数展开sign(x)：符号函数 (Signum function)。
当x<0时，sign(x)=-1；当x=0时，sign(x)=0;当x>0时，sign(x)=1。
rem(x,y)：求x除以y的余数gcd(x,y)：整数x和y的最大公因数lcm(x,y)：整数x和y的最小公倍数exp(x)：自然指数pow2(x)：2的指数log(x)：以e为底的对数，即自然对数log2(x)：以2为底的对数log10(x)：以10为底的对数MATLAB常用的三角函数sin(x)：正弦函数cos(x)：余弦函数tan(x)：正切函数asin(x)：反正弦函数acos(x)：反余弦函数atan(x)：反正切函数atan2(x,y)：四象限的反正切函数sinh(x)：超越正弦函数cosh(x)：超越余弦函数tanh(x)：超越正切函数asinh(x)：反超越正弦函数acosh(x)：反超越余弦函数atanh(x)：反超越正切函数min(x): 向量x的元素的最小值max(x): 向量x的元素的最大值mean(x): 向量x的元素的平均值median(x): 向量x的元素的中位数std(x): 向量x的元素的标准差diff(x): 向量x的相邻元素的差sort(x): 对向量x的元素进行排序（Sorting）length(x): 向量x的元素个数norm(x): 向量x的欧氏（Euclidean）长度sum(x): 向量x的元素总和prod(x): 向量x的元素总乘积cumsum(x): 向量x的累计元素总和cumprod(x): 向量x的累计元素总乘积dot(x, y): 向量x和y的内积cross(x, y): 向量x和y的外积特殊字符矩阵定义【】形成矩阵（）对运算分组，分隔下标或矩阵元素；矩阵中分行，命令中阻止输出：用于产生矩阵，指示所有的行或列标量和数组运算符＝赋值％Ｍ文件中表注释＋加操作－减操作×标量乘．＊数组乘／标量除．／数组除＾标量乘方．＾数组乘方曲线外观控制－实线：点线－．点划线－－虚线·点○圆圈××标记ｓ正方形ｄ菱形ｖ倒三角形ｐ五角星形ｈ六角星形ｂ蓝色ｇ绿色ｒ红色ｃ青色ｍ洋红色ｙ黄色ｋ黑色比较运算符＜小于＜＝小于等于＞大于＞＝大于等于＝＝等于～＝不等于逻辑运算符＆与｜或～非％ｆ十进制计数法％ｅ指数计数法％ｇ定点数或指数计数法＼ｎ换行＼ｒ回车＼ｔ制表＼ｂ退格命令ans 保存计算结果的缺省变量名clc 清除屏幕clear 清除工作区exit 终止程序help 调用帮助工具load 从文件中加载矩阵quit 终止程序运行save 保存who 列出内存变量whos 列出变量及大小函数特殊函数eps 可识别的最小差值i 虚数Inf 无穷大j 虚数Nan 非数字pi π近似值初等数学abs 绝对值cell 返回沿正无穷大方向最接近的整数erf 计算误差函数exp 计算ｅ＾ｘfix 返回沿０方向最接近的整数floor 返回沿负无穷大方向最接近的整数log 自然对数log10 １０为底对数log2 ２为底对数rem 相除余数round 舍入到最接近整数sign 确定符号（正或负）sqrt 平方根三角学asin 反正弦值cos 余弦值sin 正弦值sinh 双曲正弦值tan 正切值数据分析cumprod 数组元素值得累乘积cumsum 数组元素值得累加和max 数组中最大值，并确定位置mean 平均值median 中值min 数组中最小值，并确定位置prod 数组中值得乘积std 标准差sum 求和随机数rand 计算均匀分布的随机数randn 计算正态分布的随机数二维绘图bar 条形图barh 水平条形图contour 等值线hist 直方图loglog ｘ－ｙ坐标图，两坐标轴都使用对数坐标pie 饼图plot ｘ－ｙ坐标图polar 极坐标图semilogx ｘ－ｙ坐标图，ｘ使用对数坐标semilogy ｘ－ｙ坐标图，ｙ使用对数坐标三维绘图bar3 三维条形图barh3 三维水平条形图mesh 网格曲面图peaks 样本矩阵pie3 三维饼图plot3 三维线图sphere 示例函数surf 曲面图surfc 曲面图和等值线图组合图形图形控制axis 冻结当前坐标轴缩放比例，或指定坐标轴维数figure 打开一个新的图形窗口grid off 关闭网格grid on 打开网格hold on 在添加新的图形信息前不要删除图形内容hold off 在添加新的图形信息前删除图形内容legend 向图形添加一个图例shading flat 对曲面每个曲面图着色shading interp 使用插值法对曲面图着色subplot 将图形窗口分为若干部分text 添加文本框title 添加标题xlabel ｘ轴加标注ylabel ｙ轴加标注zkabel ｚ轴加标注autum 颜色图案bone 颜色图案colorcube 颜色图案cool 颜色图案copper 颜色图案flag 颜色图案hot 颜色图案hsv 颜色图案jet 颜色图案pink 颜色图案prism 颜色图案spring 颜色图案summer 颜色图案white 颜色图案winter 颜色图案输入＼输出disp 显示矩阵或文本fprintf 打印格式化信息input 提示用户输入值num2string 将数组转化为字符串pause 暂停程序的执行控制结构else ｉｆ判定为假时的执行路径elseif ｉｆ判定为假时的执行路径，同时指定新的逻辑测试条件end 标志一个控制结构的结束find 确定矩阵中哪些元素符合输入参数指定的标准for 循环结构if 测试一个逻辑表达式while 循环结构定时器clock 确定ｃｐｕ时钟的当前时间etime 获取所花费时间tic 启动计时toc 停止计时函数定义function 表示一个Ｍ文件是函数help 帮助nargin 确定函数输入参数个数nargout 确定函数输出参数个数矩阵定义、操作、分析det 计算矩阵的行列式diag 提取矩阵对角线元素eye 产生一个单位矩阵fliplr 奖将矩阵左右翻转inv 计算矩阵的逆矩阵length 确定矩阵的最大维长度linspace 定义一个线性相隔的向量magic 产生一个幻方矩阵meshgrid 将两向量的每一个分别映射为二维矩阵，矩阵大小由向量大小决定ones 产生一个由１组成的矩阵size 确定一个数组的行数和列数sort 升序排列zreos 产生一个由０组成的矩阵用于符号表达式的函数collect 对符号表达式合并系数diff 求符号表达式的微分double 双精度，浮点型变量expand 展开一个符号表达式ezplot 产生一个符号表达式对应的图形factor 对符号表达式因式分解findsym 求符号表达式中符号变量int 求符号表达式积分numden 返回表达式分子和分母ploy2sym 向量转换成符号多项式pretty 打印符号表达式simple 缩短一个符号表达式simplify 化简一个符号表达式solve 解方程subs 替换符号表达式中的变量sym2poly 将符号表达式转换成系数向量数值计算diff 计算一个向量相邻元素之差quad 计算某个向量定义的曲线积分（辛普森法则）quad1 计算某个向量定义的曲线积分（洛巴托法则）数值技术cftool 打开曲线拟合图形用户界面interpl 计算线性和三次差值linear 和ｉｎｔｅｒｐｌ一起使用，执行线性插值polyfit 计算最小二乘多项式polyval 估算一个多项式spline 和ｉｎｔｅｒｐｌ一起使用，执行三次样条差值。
计量经济学基础知识梳理超全新
2.自然对数
不仅在需求理论中，在许多应用经济学领域，弹性都 是非常重要的。在许多情况下，使用一个常弹性模型都很 方便，而对数函数能帮助我们设定这样的模型。如果我们 对x和y都使用对数近似计算，弹性就近似等于
loyg loxg
因此，一个常弹性模型可近似描述为方程
1.二次函数
刻画报酬递减规律的一个简单方法，就是在线性关系 中添加一个二次项。
考虑方程式
y01x2x2
式中， 0 ， 1和 2为参数。当2 0时，y和x之间的关
系呈抛物线状，并且可以证明，函数的最大值出现在
x122
1.二次函数
例如，若y=6+8x-2x2。（从而 1=8且 2 =-2），则y
XX1X2 Xn X
n
n
三、加权算术平均
加权平均是将各数据先乘以反映其重要性的权 数（w），再求平均的方法。其定义如下式：
Xww1Xw 11w w 2X 2 2 wnwnXn
wiXi w
四、变化率
变化率的定义如下式：
Xt Xt1(t2,3,n) Xt1
五、几何平均
几何平均是n个数据连乘积的n次方根 ，其定义如下式：
那么，对x的微小变化，便有
10 l0 o x g % x
“微小”的含义取决于具体情况。
2.自然对数
近似计算的作用： 定义y对x的弹性（elasticity）为
y x %y x y %x
换言之，y对x的弹性就是当x增加1%时y的百分数变化。
若y是x的线性函数：y01x，则这个弹性是 y xx y1x y10 x1x
资和教育的关系概括为：多受一年教育——无论所受教育的 起点如何——都将使工资提高约9.4%。这说明了这类模型 在经济学中的重要作用。
光学常用非初等函数
3、符号函数—sgn(x) ：
1 1
⎧1 ⎪ sgn( x) = ⎨ 0 ⎪− 1 ⎩
x>0 x=0 x<0
sgn( x) 6 −1 1 −5 x 5 0 6
4、阶跃函数—step(x)或H(x)：光学上表示直边或刀口 衍射体;
1 1
⎧ 1 ⎪ step ( x) = ⎨1 / 2 ⎪ 0 ⎩
x>0 x=0 x<0
0 0
推论2：f(x)是(a,b)中函数.
⎧ f ( x0 ), a < x0 < b ∫∞δ ( x − x0 ) f ( x)dx = ⎨ 0, 其他 ⎩ − （b）乘法性质
∞
δ ( x − x0 ) f ( x) = δ ( x − x0 ) f ( x0 )
推论:
⎧ 0，x0 ≠ 0 δ ( x − x0 )δ ( x) = ⎨ ⎩无定义, x0 = 0
2
(
2
)
0.5 0.33 0.17
5.255×10
− 13
3 −3
2
1
0 x
1
2 3
3
Rect(x)
二、一维非初等函数一般形式 1、函数的比例、平移： 比例、反射：
f ( x) ⇒ bf (ax) a：横向缩放因子, 负号代表反射； b：纵向缩放因子，负号代表反射；
Rect(x) -ax x -bf(x) x
4、 两维δ函数与梳状函数： （a）定义和性质:自变量由一维扩展到两维。
comb
δ
δ ( x, y ) = δ ( x ) ⋅ δ ( y )
comb( x, y ) = comb( x) ⋅ comb( y )
（b）极坐标中的δ函数。
三角函数
英文
表达式
语言描述
正弦函数
Sine（sin)
sinθ=y/r
角θ的对边比斜边
余弦函数
Cosine(cos)
cosθ=x/r
角θ的邻边比斜边
正切函数
Tangent(tan)
tanθ=y/x
角θ的对边比邻边
余切函数
Cotangent(cot)
cotθ=x/y
角θ的邻边比对边
正割函数
Secant(sec)
1/2
0
tanA
0
√3/3
1
√3
None
cotA
None
√3
1
√3/3
0
“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
12.和差化积公式
13.积化和差公式
14.倍角公式
15.三倍角公式
16.n倍角公式
17.半角公式
18.辅助角公式
19.万能公式
20.降幂公式
21.三角和的三角函数
22.一些常用特殊角的三角函数值
23.幂级数
24.泰勒展开式
25.傅立叶级数
Mathematica常用函数
Mathematica常用函数基本运算a+b+c 加a-b 减a b c 或a*b*c 乘a/b 除-a 负号a^b 次方Mathematica 数字的形式256 整数2.56 实数11/35 分数2+6I 复数常用的数学常数Pi 圆周率，π=3.141592654…E 尤拉常数，e=2.71828182…Degree 角度转换弧度的常数，Pi/180I 虚数，其值为√-1Infinity 无限大指定之前计算结果的方法% 前一个运算结果%% 前二个运算结果%%…%(n个%) 前n个运算结果%n 或Out[n] 前n个运算结果复数的运算指令a+bI 复数Conjugate[a+bI] 共轭复数Re[z], Im[z] 复数z的实数/虚数部分Abs[z] 复数z的大小或模数(Modulus)Arg[z] 复数z的幅角(Argument)Mathematica 输出的控制指令expr1; expr2; expr3 做数个运算，但只印出最后一个运算的结果expr1; expr2; expr3; 做数个运算，但都不印出结果expr; 做运算，但不印出结果常用数学函数Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x] 三角函数，其引数的单位为弧度Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x],… 双曲函数ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x] 反三角函数ArcCot[x],ArcSec[x],ArcCsc[x]ArcSinh[x],ArcCosh[x],ArcTanh[x],… 反双曲函数Sqrt[x] 根号Exp[x] 指数Log[x] 自然对数Log[a,x] 以a为底的对数Abs[x] 绝对值Round[x] 最接近x的整数Floor[x] 小于或等于x的最大整数Ceiling[x] 大于或等于x的最小整数Mod[a,b] a/b所得的馀数n! 阶乘Random[] 0至1之间的随机数（最新版本已经不用这个函数，改为使用RandomReal[]）Max[a,b,c,...]，Min[a,b,c,…] a,b,c,…的极大/极小值数值设定x=a 将变数x的值设为ax=y=b 将变数x和y的值均设为bx=. 或Clear[x] 除去变数x所存的值变数使用的一些法则xy 中间没有空格，视为变数xyx y x乘上y3x 3乘上xx3 变数x3x^2y 为x^2 y次方运算子比乘法的运算子有较高的处理顺序四个处理指令Expand[expr] 将expr展开Factor[expr] 将expr因式分解Simplify[expr] 将expr化简成精简的式子FullSimplify[expr] Mathematica 会尝试更多的化简公式，将expr化成更精简的式子多项式/分式转换ExpandAll[expr] 把算式全部展开Together[expr] 将expr各项通分在并成一项Apart[expr] 把分式拆开成数项分式的和Apart[expr,var] 视var以外的变数为常数，将expr拆成数项的和Cancel[expr] 把分子和分母共同的因子消去分母/分子运算Denominator[expr] 取出expr的分母Numerator[expr] 取出expr的分子ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子多项式转换函数Collect[expr,x] 将expr表示成x的多项式，如Collect[expr,{x,y,…}] 将expr分别表示成x,y,…的多项式FactorTerms[expr] 将expr的数值因子提出，如4x+2=2(2x+1)FactorTerms[expr,x] 将expr中把所有不包含x项的因子提出FactorTerms[e xpr,{x,y,…}] 将expr中把所有不包含{x,y,...}项的因子提出函数和指数运算TrigExpand[expr] 将三角函数展开TrigFactor[expr] 将三角函数所组成的数学式因式分解TrigReduce[expr] 将相乘或次方的三角函数化成一次方的基本三角函数之组合ExpToTrig[expr] 将指数函数化成三角函数或双曲函数TrigToExp[expr] 将三角函数或双曲函数化成指数函数复数、次方乘积ComplexExpand[expr] 假设所有的变数都是实数来对expr展开ComplexExpand[expr,{x,y,…}] 假设x,y,..等变数均为复数来对expr展开PowerExpand[expr] 将项次、系数最高次方Coefficient[expr,form] 于expr中form的系数Exponent[expr,form] 于expr中form的最高次方Part[expr,n] 或expr[[n]] 在expr项中第n个项代换运算子expr/.x->value 将expr里所有的x均代换成valueexpr/.{x->value1,y->value2,…} 执行数个不同变数的代换expr/.{{x->value1},{x->value2},…} 将expr代入不同的x值expr//.{x->value1,y->value2,…} 重复代换到expr不再改变为止求解方程式的根Solve[lhs==rhs,x] 解方程式lhs==rhs，求xNsolve[lhs==rhs,x] 解方程式lhs==rhs的数值解Solve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}] 解联立方程式，求x,y,…NSolve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}] 解联立方程式的数值解FindRoot[lhs==rhs,{x,x0}] 由初始点x0求lhs==rhs的根四种括号(term) 圆括号，括号内的term先计算f[x] 方括号，内放函数的引数{x,y,z} 大括号或串列括号，内放串列的元素p[[i ]] 或Part[p,i] 双方括号，p的第i项元素p[[i,j]] 或Part[p,i,j] p的第i项第j个元素缩短输出指令expr//Short 显示一行的计算结果Short[expr,n] 显示n行的计算结果Command; 执行command，但不列出结果查询物件Command 查询Command的语法及说明Command 查询Command的语法和属性及选择项Aaaa* 查询所有开头为Aaaa的物件定义之查询与清除f[x_]= expr 立即定义函数f[x]f[x_]:= expr 延迟定义函数f[x]f[x_,y_,…] 函数f有两个以上的引数f 查询函数f的定义Clear[f] 或f=. 清除f的定义Remove[f] 将f自系统中清除掉含有预设值的Patterna_+b_. b的预设值为0，即若b从缺，则b以0代替x_ y_ y的预设值为1x_^y_ y的预设值为1条件式的自订函数lhs:=rhs/;condition 当condition成立时，lhs才会定义成rhsIf指令If[test,then,else] 若test为真，则回应then，否则回应elseIf[test,then,else,unknow] 同上，若test无法判定真或假时，则回应unknow 极限Limit[expr,x->c] 当x趋近c时，求expr的极限Limit[expr,x->c,Direction->1]Limit[expr,x->c,Direction->-1]微分D[f,x] 函数f对x作微分D[f,x1,x2,…] 函数f对x1,x2,…作微分D[f,{x,n}] 函数f对x微分n次D[f,x,NonConstants->{y,z,…}] 函数f对x作微分，将y,z,…视为x的函数全微分Dt[f] 全微分dfDt[f,x] 全微分Dt[f,x1,x2,…] 全微分Dt[f,x,Constants->{c1,c2,…}] 全微分，视c1,c2,…为常数不定积分Integrate[f,x] 不定积分∫f dx定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax}] 定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 定积分数列之和与积Sum[f,{i,imin,imax}] 求和Sum[f,{i,imin,imax,di}] 求数列和，引数i以di递增Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]Product[f,{i,imin,imax}] 求积Product[f,{i,imin,imax,di}] 求数列之积，引数i以di递增Product[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]泰勒展开式Series[expr,{x,x0,n}] 对expr于x0点作泰勒级数展开至(x-x0)n项Series[expr,{x,x0,m},{y,y0,n}] 对x0和y0展开关系运算子a==b 等于a>b 大于a>=b 大于等于a<b 小于a<=b 小于等于a!=b 不等于逻辑运算子!p notp||q||… orp&&q&&… andXor[p,q,…] exclusive orLogicalExpand[expr] 将逻辑表示式展开二维绘图指令Plot[f,{x,xmin,xmax}]画出f在xmin到xmax之间的图形Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]同时画出数个函数图形Plot[f,{x,xmin,xmax},option->value]指定特殊的绘图选项，画出函数f的图形Plot几种指令选项预设值说明AspectRatio 1/GoldenRatio 图形高和宽之比例，高/宽Axes True 是否把坐标轴画出AxesLabel Automatic 为坐标轴贴上标记，若设定为AxesLabel->{?ylabel?}，则为y轴之标记。
离散数学第五章 函数
在本章中，首先将定义一般的函数，然后讨论特种函数，由一种特殊函数——
双射函数引出不可数集合基数的比较方法。在以后的各章中，这些概念将起着 重要作用。在开关理论、自动机理论、可计算性理论等领域中，函数都有着极 其广泛的应用。
主要内容
PART 01 PART 02 PART 03 PART 04 PART 05 PART 06 PART 07
5.1 函数的基本概念和性质
定义5.4 设A和B是任意两个集合，记：B A { f f : A B} 为从A到B的 所有函数的集合。
例5.6 设集合X={a,b,c}和集合Y={0,1}。试求出所有可能的函数f: X→Y。 解：首先求出的X×Y所有序偶，于是应有
X Y { a, 0, b, 0, c, 0, a,1, b,1, c,1}
（2）因为不存在从B到Ф 的函数，所以Ф B=Ф 。
主要内容
PART 01 PART 02 PART 03 PART 04 PART 05 PART 06 PART 07
函数的基本概念和性质 函数的合成和合成函数的性质 特殊函数 反函数 特征函数 基数
不可解问题
5.2 函数的合成和合成函数的性质
例5.10 设Z是整数集合，并且函数f: Z→Z给定成f(i)=2i+1。试求出合 成函数f3( i ) 。 解：合成函数 f3( i ) 是一个由Z到Z的函数，于是有
f 域则是集合 X。
A 和 f 的陪域均是集合Y 。于是若 g是 f 的缩小，则应
domg domf 和 g f
并且对于任何 x domg 都有 g ( x) ( f A)( x) f ( x)
5.1 函数的基本概念和性质
例5.4：令X1={0,1},X2={0,1,2},Y={a,b,c,d}。定义从 X 1 到Y的函数f为：
复变函数1
复变函数对通信和电子专业的应用
n
复变函数涉及的傅氏变换和拉氏变换是后续专业 基础课——信号与系统的核心内容，在信号与系 统里面还会有Z变换，三种变换构成了信号与系统 的核心，也是通信领域连接时域、频域和变换域 的关键所在，可以使很多用数学方法计算的东西 简化不少 。
复变函数在电气工程及自动化方面的应用
1
，
（2） z
g z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) ,
z1 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 = +i 2 ( z2 ≠ 0) . (3) 2 2 2 z2 x2 + y2 x2 + y2
n容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算
x − iy = x + iy 。
§2． 复数的几何表示 1、复平面 2、复数的向量式 3、复数的三角式 4、复数的指数式 5、复数的乘幂与n次方根 6、无穷远点与复球面 7、曲线的复数方程
1．复平面与复球面
n
n
复平面：称用建立了笛卡尔坐标系的平面来表示 复数的平面为复平面。通常称 x 轴为实轴，称 y 轴为虚轴， 从上述复数的定义中可以看出，一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有序实数 ( x, y ) 唯一确定．
n
在电气工程及自动化专业中，对信号处理 时的传递函数理论分析、各类信号处理中 的时-频域理论分析等内容用应用复变函数 中的方法。 《信号与系统》、《数字信号处理》《自 动控制理论 》
n
复变函数的主要内容及教学目的 复变函数是高等院校理工科学生必须具备 的数学知识，它是高等微积分的重要后继 课程。内容包括解析函数、复变函数的几 根、柯西积分公式、洛朗级数等内容。 n 它的理论与方法广泛应用于自然科学与工 程科学的许多领域，如信电工程、信息工 程、控制工程、理论物理与流体力学、热 力学等各领域，是专业理论研究和实际应 用方面不可缺少的数学工具
Mathematica函数大全--运算符及特殊符号
Mathematica函数大全--运算符及特殊符号一、运算符及特殊符号Line1; 执行Line，不显示结果Line1,line2 顺次执行Line1，2，并显示结果name 关于系统变量name的信息name 关于系统变量name的全部信息!command 执行Dos命令n! N的阶乘!!filename 显示文件内容<Expr>> filename 打开文件写Expr>>>filename 打开文件从文件末写() 结合率[] 函数{} 一个列表<*Math Fun*> 在c语言中使用math的函数(*Note*) 程序的注释#n 第n个参数## 所有参数rule& 把rule作用于后面的式子% 前一次的输出%% 倒数第二次的输出%n 第n个输出var::note 变量var的注释"Astring " 字符串Context ` 上下文a+b 加a-b 减a*b或a b 乘a/b 除a^b 乘方除a^b 乘方base^^num 以base为进位的数lhs&&rhs 且lhs||rhs 或!lha 非++,-- 自加1，自减1+=,-=,*=,/= 同C语言>,<,>=,<=,==,!= 逻辑判断（同c）lhs=rhs 立即赋值lhs:=rhs 建立动态赋值lhs:>rhs 建立替换规则lhs->rhs 建立替换规则expr//funname 相当于filename[expr]expr/.rule 将规则rule应用于exprexpr//.rule 将规则rule不断应用于expr知道不变为止param_ 名为param的一个任意表达式（形式变量）param__ 名为param的任意多个任意表达式（形式变量）二、系统常数Pi 3.1415....的无限精度数值E 2.17828...的无限精度数值Catalan 0.915966..卡塔兰常数EulerGamma 0.5772....高斯常数GoldenRatio 1.61803...黄金分割数Degree Pi/180角度弧度换算I 复数单位Infinity 无穷大-Infinity 负无穷大ComplexInfinity 复无穷大Indeterminate 不定式三、代数计算Expand[expr] 展开表达式Factor[expr] 展开表达式Simplify[expr] 化简表达式FullSimplify[expr] 将特殊函数等也进行化简PowerExpand[expr] 展开所有的幂次形式ComplexExpand[expr,{x1,x2...}] 按复数实部虚部展开FunctionExpand[expr] 化简expr中的特殊函数Collect[expr, x] 合并同次项Collect[expr, {x1,x2,...}] 合并x1,x2,...的同次项Together[expr] 通分Apart[expr] 部分分式展开Apart[expr, var] 对var的部分分式展开Cancel[expr] 约分ExpandAll[expr] 展开表达式ExpandAll[expr, patt] 展开表达式FactorTerms[poly] 提出共有的数字因子FactorTerms[poly, x] 提出与x无关的数字因子FactorTerms[poly, {x1,x2...}] 提出与xi无关的数字因子Coefficient[expr, form] 多项式expr中form的系数Coefficient[expr, form, n] 多项式expr中form^n的系数Exponent[expr, form] 表达式expr中form的最高指数Numerator[expr] 表达式expr的分子Denominator[expr] 表达式expr的分母ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子部分ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母部分ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母部分TrigExpand[expr] 展开表达式中的三角函数TrigFactor[expr] 给出表达式中的三角函数因子TrigFactorList[expr] 给出表达式中的三角函数因子的表TrigReduce[expr] 对表达式中的三角函数化简TrigToExp[expr] 三角到指数的转化ExpToTrig[expr] 指数到三角的转化RootReduce[expr]ToRadicals[expr]四、解方程Solve[eqns, vars] 从方程组eqns中解出varsSolve[eqns, vars, elims] 从方程组eqns中削去变量elims,解出vars DSolve[eqn, y, x] 解微分方程，其中y是x的函数DSolve[{eqn1,eqn2,...},{y1,y2...},x]解微分方程组，其中yi是x的函数DSolve[eqn, y, {x1,x2...}] 解偏微分方程Eliminate[eqns, vars] 把方程组eqns中变量vars约去SolveAlways[eqns, vars] 给出等式成立的所有参数满足的条件Reduce[eqns, vars] 化简并给出所有可能解的条件LogicalExpand[expr] 用&&和||将逻辑表达式展开InverseFunction[f] 求函数f的逆函数Root[f, k] 求多项式函数的第k个根Roots[lhs==rhs, var] 得到多项式方程的所有根五、微积分函数D[f, x] 求f[x]的微分D[f, {x, n}] 求f[x]的n阶微分D[f,x1,x2..] 求f[x]对x1,x2...偏微分Dt[f, x] 求f[x]的全微分df/dxDt[f] 求f[x]的全微分dfDt[f, {x, n}] n阶全微分df^n/dx^nDt[f,x1,x2..] 对x1,x2..的偏微分Integrate[f, x] f[x]对x在的不定积分Integrate[f, {x, xmin, xmax}] f[x]对x在区间(xmin,xmax)的定积分Integrate[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] f[x,y]的二重积分Limit[expr, x->x0] x趋近于x0时expr的极限Residue[expr, {x,x0}] expr在x0处的留数Series[f, {x, x0, n}] 给出f[x]在x0处的幂级数展开Series[f, {x, x0,nx}, {y, y0, ny}]先对y幂级数展开，再对xNormal[expr] 化简并给出最常见的表达式SeriesCoefficient[series, n] 给出级数中第n次项的系数SeriesCoefficient[series, {n1,n2...}] '或Derivative[n1,n2...][f] 一阶导数InverseSeries[s, x] 给出逆函数的级数ComposeSeries[serie1,serie2...] 给出两个基数的组合SeriesData[x,x0,{a0,a1,..},nmin,nmax,den]表示一个在x0处x的幂级数，其中aii 为系数O[x]^n n阶小量x^nO[x, x0]^n n阶小量(x-x0)^nDt[f, x] 求f[x]的全微分df/dxDt[f] 求f[x]的全微分dfDt[f, {x, n}] n阶全微分df^n/dx^nDt[f,x1,x2..] 对x1,x2..的偏微分Integrate[f, x] f[x]对x在的不定积分Integrate[f, {x, xmin, xmax}] f[x]对x在区间(xmin,xmax)的定积分Integrate[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] f[x,y]的二重积分Limit[expr, x->x0] x趋近于x0时expr的极限Residue[expr, {x,x0}] expr在x0处的留数Series[f, {x, x0, n}] 给出f[x]在x0处的幂级数展开Series[f, {x, x0,nx}, {y, y0, ny}]先对y幂级数展开，再对xNormal[expr] 化简并给出最常见的表达式SeriesCoefficient[series, n] 给出级数中第n次项的系数SeriesCoefficient[series, {n1,n2...}]'或Derivative[n1,n2...][f] 一阶导数InverseSeries[s, x] 给出逆函数的级数ComposeSeries[serie1,serie2...] 给出两个基数的组合SeriesData[x,x0,{a0,a1,..},nmin,nmax,den]表示一个在x0处x的幂级数，其中ai O[x]^n n阶小量x^nO[x, x0]^n n阶小量(x-x0)^n六、多项式函数Variables[poly] 给出多项式poly中独立变量的列表CoefficientList[poly, var] 给出多项式poly中变量var的系数CoefficientList[poly, {var1,var2...}]给出多项式poly中变量var(i)的系数列? PolynomialMod[poly, m] poly中各系数mod m同余后得到的多项式，m可为整式PolynomialQuotient[p, q, x] 以x为自变量的两个多项式之商式p/q PolynomialRemainder[p, q, x] 以x为自变量的两个多项式之余式PolynomialGCD[poly1,poly2,...] poly(i)的最大公因式PolynomialLCM[poly1,poly2,...] poly(i)的最小公倍式PolynomialReduce[poly, {poly1,poly2,...},{x1,x2...}]得到一个表{{a1,a2,...},b}其中Sum[ai*polyi]+b=polyResultant[poly1,poly2,var] 约去poly1,poly2中的varFactor[poly] 因式分解（在整式范围内）FactorTerms[poly] 提出poly中的数字公因子FactorTerms[poly, {x1,x2...}] 提出poly中与xi无关项的数字公因子FactorList[poly]给出poly各个因子及其指数{{poly1,exp1},{...}...} FactorSquareFreeList[poly]FactorTermsList[poly,{x1,x2...}] 给出各个因式列表，第一项是数字公因子，第二项是与xi无关的因式，其后是与xi有关的因式按升幂的排排? Cyclotomic[n, x] n阶柱函数Decompose[poly, x] 迭代分解，给出{p1,p2,...},其中p1(p2(...))=poly InterpolatingPolynomial[data, var] 在数据data上的插值多项式data可以写为{f1,f2..}相当于{{x1=1,y1=f1}..}data可以写为{{x1,f1,df11,df12,..},{x2,f2,df21..}可以指定数据点上的n阶导数值RootSum[f, form] 得到f[x]=0的所有根，并求得Sum[form[xi]]七、随机函数Random[type,range] 产生type类型且在range范围内的均匀分布随机数type可以为Integer,Real,Complex,不写默认为Realrange为{min,max}，不写默认为{0,1}Random[] 0～1上的随机实数SeedRandom[n] 以n为seed产生伪随机数如果采用了<在2.0版本为<<"D:\\Math\\PACKAGES\\STATISTI\\Continuo.m" Random[distribution]可以产生各种分布如Random[BetaDistribution[alpha, beta]]stribution[alpha, beta]]Random[NormalDistribution[miu,sigma]]等常用的分布如BetaDistribution,CauchyDistribution,ChiDistribution, NoncentralChiSquareDistribution,ExponentialDistribution, ExtremeValueDistribution,NoncentralFRatioDistribution, GammaDistribution,HalfNormalDistribution, LaplaceDistribution, LogNormalDistribution,LogisticDistribution,RayleighDistribution,NoncentralStudentTDistribution, UniformDistribution, WeibullDistribution八、数值函数N[expr] 表达式的机器精度近似值N[expr, n] 表达式的n位近似值，n为任意正整数NSolve[lhs==rhs, var] 求方程数值解NSolve[eqn, var, n] 求方程数值解，结果精度到n位NDSolve[eqns, y, {x, xmin, xmax}]微分方程数值解NDSolve[eqns, {y1,y2,...}, {x, xmin, xmax}]微分方程组数值解FindRoot[lhs==rhs, {x,x0}] 以x0为初值，寻找方程数值解FindRoot[lhs==rhs, {x, xstart, xmin, xmax}] NSum[f, {i,imin,imax,di}] 数值求和，di为步长NSum[f, {i,imin,imax,di}, {j,..},..] 多维函数求和NProduct[f, {i, imin, imax, di}]函数求积NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}] 函数数值积分优化函数：FindMinimum[f, {x,x0}] 以x0为初值，寻找函数最小值FindMinimum[f, {x, xstart, xmin, xmax}]ConstrainedMin[f,{inequ},{x,y,..}]inequ为线性不等式组，f为x,y..之线性函数，得到最小值及此时的x,y..取值ConstrainedMax[f, {inequ}, {x, y,..}]同上LinearProgramming[c,m,b] 解线性组合c.x在m.x>=b&&x>=0约束下的最小值，x,b,c为向量,m为矩阵LatticeReduce[{v1,v2...}] 向量组vi的极小无关组数据处理：Fit[data,funs,vars]用指定函数组对数据进行最小二乘拟和data可以为{{x1,y1,..f1},{x2,y2,..f2}..}多维的情况emp: Fit[{10.22,12,3.2,9.9}, {1, x, x^2,Sin[x]}, x]Interpolation[data]对数据进行差值,data同上，另外还可以为{{x1,{f1,df11,df12}},{x2,{f2,.}..}指定各阶导数InterpolationOrder默认为3次，可修改ListInterpolation[array]对离散数据插值，array可为n维ListInterpolation[array,{{xmin,xmax},{ymin,ymax},..}] FunctionInterpolation[expr,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax},..]以对应expr[xi,yi]的为数据进行插值Fourier[list] 对复数数据进行付氏变换InverseFourier[list] 对复数数据进行付氏逆变换Min[{x1,x2...},{y1,y2,...}]得到每个表中的最小值变换Min[{x1,x2...},{y1,y2,...}]得到每个表中的最小值Max[{x1,x2...},{y1,y2,...}]得到每个表中的最大值Select[list, crit] 将表中使得crit为True的元素选择出来Count[list, pattern] 将表中匹配模式pattern的元素的个数Sort[list] 将表中元素按升序排列Sort[list,p] 将表中元素按p[e1,e2]为True的顺序比较list的任两个元素e1,e2,实际上Sort[list]中默认p=Greater集合论：Union[list1,list2..] 表listi的并集并排序Intersection[list1,list2..] 表listi的交集并排序Complement[listall,list1,list2...]从全集listall中对listi的差集九、虚数函数Re[expr] 复数表达式的实部Im[expr] 复数表达式的虚部Abs[expr] 复数表达式的模Arg[expr] 复数表达式的辐角Conjugate[expr] 复数表达式的共轭十、数的头及模式及其他操作Integer _Integer 整数Real _Real 实数Complex _Complex 复数Rational_Rational 有理数(*注：模式用在函数参数传递中，如MyFun[Para1_Integer,Para2_Real]规定传入参数的类型，另外也可用来判断If[Head[a]==Real,...]*) IntegerDigits[n,b,len] 数字n以b近制的前len个码元RealDigits[x,b,len] 类上FromDigits[list] IntegerDigits的反函数Rationalize[x,dx] 把实数x有理化成有理数，误差小于dxChop[expr, delta] 将expr中小于delta的部分去掉,dx默认为10^-10 Accuracy[x] 给出x小数部分位数,对于Pi,E等为无限大Precision[x] 给出x有效数字位数,对于Pi,E等为无限大SetAccuracy[expr, n] 设置expr显示时的小数部分位数SetPrecision[expr, n] 设置expr显示时的有效数字位数十一、区间函数Interval[{min, max}] 区间[min, max](* Solve[3 x+2==Interval[{-2,5}],xx]*) IntervalMemberQ[interval, x] x在区间内吗？IntervalMemberQ[interval1,interval2] 区间2在区间1内吗？IntervalUnion[intv1,intv2...] 区间的并IntervalIntersection[intv1,intv2...] 区间的交十二、矩阵操作a.b.c 或Dot[a, b, c] 矩阵、向量、张量的点积Inverse[m] 矩阵的逆Transpose[list] 矩阵的转置Transpose[list,{n1,n2..}]将矩阵list 第k行与第nk列交换Det[m] 矩阵的行列式Eigenvalues[m] 特征值Eigenvectors[m] 特征向量特征值Eigenvectors[m] 特征向量Eigensystem[m] 特征系统，返回{eigvalues,eigvectors}LinearSolve[m, b] 解线性方程组m.x==bNullSpace[m] 矩阵m的零空间，即m.NullSpace[m]==零向量RowReduce[m] m化简为阶梯矩阵Minors[m, k] m的所有k*k阶子矩阵的行列式的值(伴随阵，好像是) MatrixPower[mat, n] 阵mat自乘n次Outer[f,list1,list2..] listi中各个元之间相互组合，并作为f的参数的到的矩矩? Outer[Times,list1,list2]给出矩阵的外积SingularValues[m] m的奇异值，结果为{u,w,v},m=Conjugate[Transpose[u]].DiagonalMatrix[w].vPseudoInverse[m] m的广义逆QRDecomposition[m] QR分解SchurDecomposition[m] Schur分解LUDecomposition[m] LU分解十三、表函数(*“表”，我认为是Mathematica中最灵活的一种数据类型*)(*实际上表就是表达式，表达式也就是表，所以下面list==expr *)(*一个表中元素的位置可以用于一个表来表示*)表的生成{e1,e2,...} 一个表，元素可以为任意表达式，无穷嵌套Table[expr,{imax}] 生成一个表，共imax个元素Table[expr,{i, imax}] 生成一个表，共imax个元素expr[i]Table[expr,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},..] 多维表Range[imax] 简单数表{1,2,..,imax}Range[imin, imax, di] 以di为步长的数表Array[f, n] 一维表，元素为f[i] (i从1到n)Array[f,{n1,n2..}] 多维表，元素为f[i,j..] (各自从1到ni)IdentityMatrix[n] n阶单位阵DiagonalMatrix[list] 对角阵元素操作Part[expr, i]或expr[[i]]第i个元expr[[-i]] 倒数第i个元expr[[i,j,..]] 多维表的元expr[[{i1,i2,..}] 返回由第i(n)的元素组成的子表First[expr] 第一个元Last[expr] 最后一个元Head[expr] 函数头，等于expr[[0]]Extract[expr, list] 取出由表list制定位置上expr的元素值Take[list, n] 取出表list前n个元组成的表Take[list,{m,n}] 取出表list从m到n的元素组成的表Drop[list, n] 去掉表list前n个元剩下的表，其他参数同上Rest[expr] 去掉表list第一个元剩下的表Select[list, crit] 把crit作用到每一个list的元上，为True的所有元组成的表表的属性Length[expr] expr第一曾元素的个数Dimensions[expr] 表的维数返回{n1,n2..},expr为一个n1*n2...的阵TensorRank[expr] 秩Depth[expr] expr最大深度Level[expr,n] 给出expr中第n层子表达式的列表Count[list, pattern] 满足模式的list中元的个数MemberQ[list, form] list中是否有匹配form的元FreeQ[expr, form] MemberQ的反函数Position[expr, pattern] 表中匹配模式pattern的元素的位置列表Cases[{e1,e2...},pattern]匹配模式pattern的所有元素ei的表表的操作Append[expr, elem] 返回在表expr的最后追加elem元后的表Prepend[expr, elem] 返回在表expr的最前添加elem元后的表Insert[list, elem, n] 在第n元前插入elemInsert[expr,elem,{i,j,..}]在元素expr[[{i,j,..}]]前插入elemDelete[expr, {i, j,..}] 删除元素expr[[{i,j,..}]]后剩下的表DeleteCases[expr,pattern]删除匹配pattern的所有元后剩下的表ReplacePart[expr,new,n] 将expr的第n元替换为newSort[list] 返回list按顺序排列的表Reverse[expr] 把表expr倒过来RotateLeft[expr, n] 把表expr循环左移n次RotateRight[expr, n] 把表expr循环右移n次Partition[list, n] 把list按每n各元为一个子表分割后再组成的大表Flatten[list] 抹平所有子表后得到的一维大表Flatten[list,n] 抹平到第n层Split[list] 把相同的元组成一个子表，再合成的大表FlattenAt[list, n] 把list[[n]]处的子表抹平FlattenAt[list, n] 把list[[n]]处的子表抹平Permutations[list] 由list的元素组成的所有全排列的列表Order[expr1,expr2] 如果expr1在expr2之前返回1,如果expr1在expr2之后返回-1,如果expr1与expr2全等返回0Signature[list] 把list通过两两交换得到标准顺序所需的交换次数(排列数)以上函数均为仅返回所需表而不改变原表AppendTo[list,elem] 相当于list=Append[list,elem];PrependTo[list,elem] 相当于list=Prepend[list,elem];十四、绘图函数二维作图Plot[f,{x,xmin,xmax}] 一维函数f[x]在区间[xmin,xmax]上的函数曲? Plot[{f1,f2..},{x,xmin,xmax}] 在一张图上画几条曲线ListPlot[{y1,y2,..}] 绘出由离散点对(n,yn)组成的图ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},..}] 绘出由离散点对(xn,yn)组成的图ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}] 由参数方程在参数变化范围内的曲线ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy},...},{t,tmin,tmax}]在一张图上画多条参数曲线选项：PlotRange->{0,1} 作图显示的值域范围AspectRatio->1/GoldenRatio生成图形的纵横比PlotLabel ->label 标题文字Axes ->{False,True} 分别制定是否画x,y轴AxesLabel->{xlabel,ylabel}x,y轴上的说明文字Ticks->None,Automatic,fun用什么方式画轴的刻度AxesOrigin ->{x,y} 坐标轴原点位置AxesStyle->{{xstyle}, {ystyle}}设置轴线的线性颜色等属性Frame ->True,False 是否画边框FrameLabel ->{xmlabel,ymlabel,xplabel,yplabel} 边框四边上的文字FrameTicks同Ticks 边框上是否画刻度GridLines 同Ticks 图上是否画栅格线FrameStyle ->{{xmstyle},{ymstyle}设置边框线的线性颜色等属性ListPlot[data,PlotJoined->True] 把离散点按顺序连线PlotSytle->{{style1},{style2},..}曲线的线性颜色等属性PlotPoints->15 曲线取样点，越大越细致三维作图Plot3D[f,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]二维函数f[x,y]的空间曲面Plot3D[{f,s}, {x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]同上，曲面的染色由s[x,y]值决定ListPlot3D[array] 二维数据阵array的立体高度图ListPlot3D[array,shades]同上，曲面的染色由shades[数据]值决定ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,tmin,tmax}]二元数方程在参数变化范围内的曲线二元数方程在参数变化范围内的曲线ParametricPlot3D[{{fx,fy,fz},{gx,gy,gz},...},{t,tmin,tmax}]多条空间参数曲线选项：ViewPoint ->{x,y,z} 三维视点，默认为{1.3,-2.4,2}Boxed -> True,False 是否画三维长方体边框BoxRatios->{sx,sy,sz} 三轴比例BoxStyle 三维长方体边框线性颜色等属性Lighting ->True 是否染色LightSources->{s1,s2..} si为某一个光源si={{dx,dy,dz},color}color为灯色，向dx,dy,dz方向照射AmbientLight->颜色函数慢散射光的光源Mesh->True,False 是否画曲面上与x,y轴平行的截面的截线MeshStyle 截线线性颜色等属性MeshRange->{{xmin,xmax}, {ymin,ymax}}网格范围ClipFill->Automatic,None,color,{bottom,top}指定图形顶部、底部超界后所画的颜色Shading ->False,True 是否染色HiddenSurface->True,False 略去被遮住不显示部分的信息等高线ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]二维函数f[x,y]在指定区间上的等高线图ListContourPlot[array] 根据二维数组array数值画等高线选项：Contours->n 画n条等高线Contours->{z1,z2,..} 在zi处画等高线ContourShading -> False 是否用深浅染色ContourLines -> True 是否画等高线ContourStyle -> {{style1},{style2},..}等高线线性颜色等属性FrameTicks 同上密度图DensityPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]二维函数f[x,y]在指定区间上的密度图ListDensityPlot[array] 同上图形显示Show[graphics,options] 显示一组图形对象，options为选项设置Show[g1,g2...] 在一个图上叠加显示一组图形对象GraphicsArray[{g1,g2,...}]在一个图上分块显示一组图形对象SelectionAnimate[notebook,t]把选中的notebook中的图画循环放映选项：(此处选项适用于全部图形函数)>选项：(此处选项适用于全部图形函数)Background->颜色函数指定绘图的背景颜色RotateLabel -> True 竖着写文字TextStyle 此后输出文字的字体，颜色大小等ColorFunction->Hue等把其作用于某点的函数值上决定某点的颜色RenderAll->False 是否对遮挡部分也染色MaxBend 曲线、曲面最大弯曲度十四、绘图函数（续）图元函数Graphics[prim, options]prim为下面各种函数组成的表，表示一个二维图形对象Graphics3D[prim, options]prim为下面各种函数组成的表，表示一个三维图形对象SurfaceGraphics[array, shades]表示一个由array和shade决定的曲面对象ContourGraphics[array]表示一个由array决定的等高线图对象DensityGraphics[array]表示一个由array决定的密度图对象以上定义图形对象，可以进行对变量赋值，合并显示等操作，也可以存盘Point[p] p={x,y}或{x,y,z}，在指定位置画点Line[{p1,p2,..}]经由pi点连线Rectangle[{xmin, ymin}, {xmax, ymax}] 画矩形Cuboid[{xmin,ymin,zmin},{xmax,ymax,zmax}]由对角线指定的长方体Polygon[{p1,p2,..}] 封闭多边形Circle[{x,y},r] 画圆Circle[{x,y},{rx,ry}] 画椭圆，rx,ry为半长短轴Circle[{x,y},r,{a1,a2}] 从角度a1～a2的圆弧Disk[{x, y}, r] 填充的园、衷病⒃弧等参数同上Raster[array,ColorFunction->f] 颜色栅格Text[expr,coords] 在坐标coords上输出表达式PostScript["string"] 直接用PostScript图元语言写Scaled[{x,y,..}] 返回点的坐标，且均大于0小于1颜色函数(指定其后绘图的颜色)GrayLevel[level] 灰度level为0~1间的实数RGBColor[red, green, blue] RGB颜色，均为0~1间的实数Hue[h, s, b] 亮度，饱和度等，均为0~1间的实数CMYKColor[cyan, magenta, yellow, black] CMYK颜色其他函数(指定其后绘图的方式)Thickness[r] 设置线宽为rPointSize[d] 设置绘点的大小Dashing[{r1,r2,..}] 虚线一个单元的间隔长度ImageSize->{x, y} 显示图形大小(像素为单位)ImageResolution->r 图形解析度r个dpi小(像素为单位)ImageResolution->r 图形解析度r个dpiImageMargins->{{left,right},{bottom,top}}四边的空白ImageRotated->False 是否旋转90度显示十五、流程控制分支If[condition, t, f] 如果condition为True,执行t段，否则f段If[condition, t, f, u] 同上，即非True又非False，则执行u段Which[test1,block1,test2,block2..] 执行第一为True的testi对应的blocki Switch[expr,form1,block1,form2,block2..]执行第一个expr所匹配的formi所对应的blocki段循环Do[expr,{imax}] 重复执行expr imax次Do[expr,{i,imin,imax}, {j,jmin,jmax},...]多重循环While[test, body] 循环执行body直到test为FalseFor[start,test,incr,body]类似于C语言中的for，注意"，"与";"的用法相反examp: For[i=1;t =x,i^2<10,i++,t =t+i;Print[t]]异常控制Throw[value] 停止计算，把value返回给最近一个Catch处理Throw[value, tag] 同上，Catch[expr] 计算expr,遇到Throw返回的值则停止Catch[expr, form] 当Throw[value, tag]中Tag匹配form时停止其他控制Return[expr] 从函数返回，返回值为exprReturn[ ] 返回值NullBreak[ ] 结束最近的一重循环Continue[ ] 停止本次循环，进行下一次循环Goto[tag] 无条件转向Label[Tag]处Label[tag] 设置一个断点Check[expr,failexpr] 计算expr,如果有出错信息产生，则返回failexpr的值Check[expr,failexpr,s1::t1,s2::t2,...]当特定信息产生时则返回failexpr CheckAbort[expr,failexpr]当产生abort信息时放回failexprInterrupt[ ] 中断运行Abort[ ] 中断运行TimeConstrained[expr,t] 计算expr，当耗时超过t秒时终止MemoryConstrained[expr,b]计算expr，当耗用内存超过b字节时终止运算交互式控制Print[expr1,expr2,...] 顺次输出expri的值examp: Print[ "X=" , X//N , " " ,f[x+1]];Input[ ] 产生一个输入对话框，返回所输入任意表达式Input["prompt"] 同上，prompt为对话框的提示Pause[n] 运行暂停n秒的提示Pause[n] 运行暂停n秒十六、函数编程(*函数编程是Mathematica中很有特色也是最灵活的一部分，它充分体现了*) (*Mathematica的“一切都是表达式”的特点，如果你想使你的Mathematica程*) (*序快于高级语言,建议你把本部分搞通*)纯函数Function[body]或body& 一个纯函数，建立了一组对应法则，作用到后面的表达达式?Function[x, body] 单自变量纯函数Function[{x1,x2,...},body]多自变量纯函数#，#n 纯函数的第一、第n个自变量## 纯函数的所有自变量的序列examp: #1^#2& [2,3] 返回第一个参数的第二个参数次方映射Map[f,expr]或f/@expr 将f分别作用到expr第一层的每一个元上得到的列表Map[f,expr,level] 将f分别作用到expr第level层的每一个元上Apply[f,expr]或f@@expr 将expr的“头”换为fApply[f,expr,level] 将expr第level层的“头”换为fMapAll[f,expr]或f//@expr把f作用到expr的每一层的每一个元上MapAt[f,expr,n] 把f作用到expr的第n个元上MapAt[f,expr,{i,j,...}] 把f作用到expr[[{i,j,...}]]元上MapIndexed[f,expr] 类似MapAll,但都附加其映射元素的位置列表Scan[f, expr] 按顺序分别将f作用于expr的每一个元Scan[f,expr,levelspec] 同上，仅作用第level层的元素复合映射Nest[f,expr,n] 返回n重复合函数f[f[...f[expr]...]]NestList[f,expr,n] 返回0重到n重复合函数的列表{expr,f[expr],f[f[exprr]]..} FixedPoint[f, expr] 将f复合作用于expr直到结果不再改变,即找到其不定点FixedPoint[f, expr, n] 最多复合n次，如果不收敛则停止FixedPointList[f, expr] 返回各次复合的结果列表FoldList[f,x,{a,b,..}] 返回{x,f[x,a],f[f[x,a],b],..}Fold[f, x, list] 返回FoldList[f,x,{a,b,..}]的最后一个元ComposeList[{f1,f2,..},x]返回{x,f1[x],f2[f1[x]],..}的复合函数列表Distribute[f[x1,x2,..]] f对加法的分配率Distribute[expr, g] 对g的分配率Identity[expr] expr的全等变换Composition[f1,f2,..] 组成复合纯函数f1[f2[..fn[ ]..]Operate[p,f[x,y]] 返回p[f][x, y]br> Operate[p,f[x,y]] 返回p[f][x, y]Through[p[f1,f2][x]] 返回p[f1[x],f2[x]]Compile[{x1,x2,..},expr]编译一个函数，编译后运行速度可以大大加快Compile[{{x1,t1},{x2,t2}..},expr] 同上，可以制定函数参数类型十七、替换规则lhs->rhs 建立了一个规则，把lhs换为rhs,并求rhs的值lhs:>rhs 同上，只是不立即求rhs的值，知道使用该规则时才求值Replace[expr,rules] 把一组规则应用到expr上，只作用一次expr /. rules 同上expr //.rules 将规则rules不断作用到expr上，直到无法作用为止Dispatch[{lhs1->rhs1,lhs2->rhs2,...}]综合各个规则，产生一组优化的规则组十八、查询函数(*查询函数一般是检验表达式是否满足某些特殊形式，并返回True或False*)(*可以在Mathematica中用“?*Q”查询到*)ArgumentCountQ MatrixQAtomQ MemberQDigitQ NameQEllipticNomeQ NumberQEvenQ NumericQExactNumberQ OddQFreeQ OptionQHypergeometricPFQ OrderedQInexactNumberQ PartitionsQIntegerQ PolynomialQIntervalMemberQ PrimeQInverseEllipticNomeQ SameQLegendreQ StringMatchQLetterQ StringQLinkConnectedQ SyntaxQLinkReadyQ TrueQListQ UnsameQLowerCaseQ UpperCaseQMachineNumberQ ValueQMatchLocalNameQ VectorQMatchQ十九、字符串函数"text" 一个串，头为_String"s1"<>"s2"<>..或StringJoin["s1","s2",..] 串的连接StringLength["string"] 串长度StringReverse["string"] 串反转StringTake["string", n] 取串的前n个字符的子串，参数同Take[] StringDrop["string", n] 参见Drop,串也就是一个表StringInsert["string","snew",n] 插入，参见Insert[]StringPosition["string", "sub"] 返回子串sub在string中起止字母位置StringReplace["string",{"s1"->"p1",..}] 子串替换StringReplacePart["string", "snew", {m, n}]把string第m~n个字母之间的替换为snew把string第m~n个字母之间的替换为snewStringToStream["string"] 把串当作一个输入流赋予一个变量Characters["string"] 把串"string"分解为每一个字符的表ToCharacterCode["string"] 把串"string"分解为每一个字符ASCII值的表FromCharacterCode[n] ToCharacterCode的逆函数FromCharacterCode[{n1,n2,..}]ToCharacterCode的逆函数ToUpperCase[string] 把串的大写形式ToLowerCase[string] 把串的小写形式CharacterRange["c1","c2"] 给出ASCII吗在c1到c2之间的字符列表ToString[expr] 把表达式变为串的形式ToExpression[input] 把一个串变为表达式Names["string"] 与?string同，返回与string同名的变量列表。
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特殊函数与图形
三维螺线
plot3 绘制类似田螺线的一条三维螺线 （方程可自己设计）。
三维螺线
plot3 绘制类似田螺线的一条三维螺线
x 2(cos(t ) t sin(t )) y 2(sin(t ) t cos(t )) z 1.5t
>> >> >> >> >>
源代码见附录 A
圆环面
黎曼函数图形
绘制黎曼函数图形
p p 1 , 当p、q为正整数， 为既约分数， x (0,1) q q q y 0, 当 x 0,1 及无理点，x [0,1]
源代码见附录 B
find 命令
find(A)：找出矩阵非零元素所在的下标 例： >> A=[0,4,0;-1,0,0]; >> [I,J]=find(A) >> A=[0,4,0,-1,0,0]; >> b=find(A) find(条件)：找出符合条件的元素所在的位置 >> a=[4,5,78,121,3,65,24,2]; >> b=find(a>10)
利用 surf 函数绘制马鞍面
x2 y2 z 9 4
(25 x 25, 25 y 25)
>> [X,Y]=meshgrid(-25:1:25); >> Z=X.^2/9 - Y.^2/4; >> surf(X,Y,Z) >> title('马鞍面') >> grid off
u [0,2 ], v [0,2 ]
பைடு நூலகம்
圆环面
用 ezmesh 和 ezsurf 分别绘制一个圆环面，并 将它们放在一个图形界面内，观察它们的不同之处。
x ( R r cosu ) cosv y ( R r cosu ) sin v z r sin u
数学实验
实验一
特殊函数与图形
问题背景与实验目的
问题背景和实验目的
绘图是数学中的一种重要手段，借助图形，可以使抽 象的对象得到明白直观的体现，如函数的性质等。同时， 借助直观的图形，使初学者更容易接受新知识，激发学习 兴趣。 本实验通过绘制一些特殊函数的图形，一方面展示这 些函数的特点属性，另一方面，就 Matlab 强大的作图功 能作一个简单介绍。
z
sin x 2 y 2 x2 y2
( 8 x 8, 8 y 8)
>> [X,Y]=meshgrid(-8:0.5:8); >> r=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps; >> Z=sin(r)./r; >> mesh(X,Y,Z) >> axis square
马鞍面
上机作业
自己动手
特殊函数绘图：教材 P67， 1～6
要求填写实验报告。 上机几点提示：
1. 用 ezsurf 和 hold
2. 用 mesh、meshgrid、subplot、axis、find
4. 写出参数方程 5. 用 meshz、meshgrid、colormap、grid、title 6. 自学 input 的用法
特殊函数与图形
利用 plot 函数在一个坐标系下绘制以下函数的 图形，要求采用不同的颜色、线型、点标记。
x sin(t ), y cos(t ), z sin(2t ), 0 t 2
>> t=0:pi/20:2*pi; >> x=sin(t); >> y=cos(t); >> z=sin(2*t); >> plot(t,x,'--k*',t,y,'-rs',t,z,':bo')
(a < t <b)
t=0:.1:30; x=2*(cos(t)+t.*sin(t)); y=2*(sin(t)-t.*cos(t)); z=1.5*t; plot3(x,y,-z)
三维螺线
三维螺线
plot3 绘制类似田螺线的一条三维螺线
x 2(cos(t ) t sin(t )) y 2(sin(t ) t cos(t )) z 1.5t
>> >> >> >> >> >>
(a < t <b)
t=0:.1:30; x=2*(cos(t)+t.*sin(t)); y=2*(sin(t)-t.*cos(t)); z=1.5*t; plot3(x,y,-z) axis equal
三维螺线
墨西哥帽子
利用 mesh 函数绘制 “墨西哥帽子”
马鞍面
圆环面
用 ezmesh 和 ezsurf 分别绘制一个圆环面，并 将它们放在一个图形界面内，观察它们的不同之处。
圆环面
用 ezmesh 和 ezsurf 分别绘制一个圆环面，并 将它们放在一个图形界面内，观察它们的不同之处。
x
2
y R z r
2 2
2
2
参数方程：
x ( R r cosu ) cosv y ( R r cosu ) sin v z r sin u