奇怪吸引子的维数
分析分形是市场分析的必经之路1.2.3.4.5.6.7.9.
分析分形是市场分析的必经之路1.2.3.4.5.6.7.9.姚⼯讲分形（1）：分析分形是市场分析的必经之路（1）发布时间：2018-05-04 ⽂章来源：量学⼤讲堂受“最⼩努⼒原则”的制约，⼈们⾯对复杂问题总是⽤⼀种简化的办法进⾏线性化处理。
这虽然不是很精确，但也能满⾜当时⼈们的需求。
遗憾的是这种措施仅能解决⼈们⾯对世界的⼤约5%左右的问题，现在⼤学的课程花费95%的时间学习的就是这种解决问题的知识。
随着社会的发展，⼈们不得不⾯对像⽣命系统，社会系统以及⽓象预报，⾦融市场分析这类复杂系统的，看似带有随机性的复杂问题。
⾯对这类问题，像以前那样地简化，线性化的处理⽅法是⾛不下去了！这使得⼈们对现实世界的认知彷徨了相当长的⼀段时间。
直⾄上世纪60年代后期伴随着⾮线性动⼒学研究的进展，⼈们先后发现了耗散结构理论，混沌理论和分形理论。
这些前沿科学理论的相继发现对⼈们的世界观和⽅法论形成了巨⼤地冲击，使⼈们对真实的⾮线性世界的认知发⽣了⾰命性变⾰。
市场分形分析⽅法就是在这种背景下逐步出现的。
美国⼈的脚步⽐较快，⽐尔.威廉姆先⽣⾸先出版了《混沌操作法》，此书离分形分析还⽐较远，但是它论述了⾦融交易市场是⼀个混沌系统，以及市场价格沿着最⼩阻⼒⽅向运⾏。
这对⼈们认识市场是有帮助的；埃德加E⽐德斯先⽣写了⼀本书《分形市场分析》，这本书距真正的分形分形进了⼀⼤步，因为它的时间序列R/分析从数理上证明了“市场是有长期记忆功能的”，这可是个不得了的结论，对⾦融交易分析产⽣了巨⼤影响；曼德博罗先⽣是分形⼏何的祖师爷，他通过“曼德博罗集合”向世⼈展⽰了黄⾦分割率及其衍⽣⽐率是⾃然界客体向前演进过程中遵循的⼀种⼗分重要分形维度，是⼀种极其普遍的⾃然现象。
这也对⾦融市场分析产⽣了重⼤影响！⼀度风靡世界的“⾼频交易”就是俄罗斯⼈应⽤分形分形的杰作。
现在看来分形市场分析是正确解读市场的必经之路。
另：请参阅《⼈类⾏为与最⼩努⼒原则——⼈类⽣态学引论》——齐普夫（美哈佛教授）姚⼯讲分形（2）：分析分形是市场分析的必经之路（2）发布时间：2018-05-04 ⽂章来源：量学⼤讲堂北⼤博雅特训班刚把我推为“量学三⽼”之⾸，今天突然封了我在178448⽹站的账号，逻辑上似乎出了点问题。
lorenz混沌吸引子轨道原理
lorenz混沌吸引子轨道原理
Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种描述混沌现象的数学模型，它是由美国数学家Edward Lorenz在20世纪60年代提出的。
这个模型可以用来解释许多自然现象，如气象学中的天气预报、流体力学中的湍流现象等。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的核心是混沌吸引子。
混沌吸引子是一种奇异的吸引子，它具有无限细节和复杂性。
在Lorenz混沌吸引子轨道原理中，混沌吸引子是一种吸引轨道，它可以吸引周围的轨道，使它们最终趋向于混沌吸引子。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的基本方程是Lorenz方程。
这个方程描述了一个三维空间中的动力学系统，它包含了三个变量：x、y和z。
这个方程的形式非常简单，但是它却可以产生出极其复杂的轨迹。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的一个重要应用是天气预报。
天气系统是一个非常复杂的动力学系统，它包含了许多变量和参数。
使用Lorenz混沌吸引子轨道原理，可以对天气系统进行建模，并预测未来的天气情况。
除了天气预报，Lorenz混沌吸引子轨道原理还可以应用于其他领域，如金融市场、生物学、化学等。
在金融市场中，Lorenz混沌吸引子轨道原理可以用来预测股票价格的波动。
在生物学中，它可以用来研究生物体内的混沌现象。
在化学中，它可以用来研究化学反
应的动力学过程。
Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种非常重要的数学模型，它可以用来解释许多自然现象和社会现象。
它的应用范围非常广泛，可以帮助我们更好地理解和预测世界的变化。
关于奇怪吸引子的特点
关于奇怪吸引子对我们生活学习的启示
奇怪吸引子的两个特点：
1. 奇异吸引子上的运动对初始值表现出极强的敏感依赖性，在初始值上的微不足道的差异，就会导致运动轨道的截然不同。
→蝴蝶效应
洛伦兹把这种对初始条件的敏感依赖性称为“蝴蝶效应”。
维纳也曾引用一首民谣来描述这种对初始条件的敏感依赖性：丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。
2. 由两种不同属性的内外方向决定了它具有非常奇特的拓扑结构和集合形式。
→趋于稳定奇怪吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性有着密切联系，它具有不同属性的内外两种方向：
1. 在奇怪吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向
2. 一切到达奇怪吸引子内的运动都相互排斥，对应于“不稳定”方向。
Ch.7 分岔与奇异吸引子
( ( ( 可以发现， x01)， x02 ) ， x03) 相差是多么微小，但是 迭代50次以后， x52的三个数值却有那么大的差别，若 继续迭代下去，将无法预测其后果，这正是出现了随机
行为，即当 4时，差分方程 (7.2)对初值条件十分 敏感，正是由于这种对初值的敏感依赖性，使得确定的 非线性系统 (7.2)所确定的迭代解在多次迭代后变得不
过 z 轴的轨道留在其上并趋于原点。环绕 z 轴的
轨道从 z 0 平面的上方看是逆时针旋转的，因为在平 x 0 上，若 y 0，有 dx 0 ；而若 y 0，有 dx 0。 面 dt dt 3. 存在零体积有界全局吸引集 Lorenz方程的流的散度为
x y z ( 1) x y z
Chapter 7
分岔与奇异吸引子
7.1
虫口模型——分岔与混沌
一、简单的虫口模型 蝉，是我们很熟悉的一种昆虫，它上每隔7年、13 年或17年出现一次成虫期的。地球上有很多昆虫的种群 都类似于蝉是由单一世代构成的，在两代之间没有重迭，
因此昆虫的增长（虫口数）是分步进行的。
设 xn 是某种昆虫第 n 年内的个体数目（n 代表年份， 只取非负数整数），第 n 1年的数目为 xn 1 ，有关系
A 0
1 0
0 0
其特征根为
1
2 , 3
1 [(1 ) 2 (1 ) 2 4 (1 ) ]
xn1 xn (1 xn )
n 0,1,2, (7.2)
且设 0 4 。
( 现设 4 ，并分别取 x01) 0.1 ， ( ， ( ，用计算机按(7.2) x02) 0.10000001 x03) 0.10000002
第4章洛伦兹方程与吸引子
洛伦兹的设想
60年代初，美国数学家洛伦兹(E.Lorens)在气象部门工作。他把将大气对 流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。
贝耐特对流实验
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
dz
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-bz
xy
dx dy dz 0 dt dt dt
x y z 0
x y b(r -1),z r -1
即洛伦兹方程有三个平衡点
若 r，1只存在一个平衡点 x 。y 此 z平衡0点是洛伦兹方程的不动点， 相应于贝纳尔德实验中液体的静止定态。
洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来稳定的平衡点
0 0 0 - (b l)
在 0< r <1 范围内，所有根 l<0 ，坐标原点是稳定的。
6.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性
当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点，它们是与 邻域螺旋线的吸引点，如图所示。 C1、C2 坐标为：
x
1,2
y 1,2
b (r - 1)
C1与 C2的稳定性
当 r 继续增加直到 r =13.962时，两个螺 旋线外径会接触合并一起。当特征方程
l3 ( b 1)l2 b ( r )l 2b (r -1) 0
奇怪吸引子与分形
奇怪吸引子与分形混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散系统、不可积Hamilton保守系统和非线性离散映射系统中（原来我们认为只有在保守系统才存在时间反演操作——时间平移不变性，因为与保守系统对应的描述方程是确定的，而且满足Ｔ变换守恒。
现在我们发现，在保守系统出现混沌时，由于对初值的极敏感性，同宿点有无穷多个，系统演化沿 +t方向和沿 -t 方向的结果将不一致，这说明在混沌系统中一个无穷小区域内，物理规律对时间的方向具有选择性，即出现了不可逆行为，这对理解宏观系统中的时间箭头问题多少有一点启发）。
对应于混沌运动的物理过程的一个抽象数学概念，也称为奇怪吸引子，由法国物理学家D.吕埃尔和F.泰肯在1970年左右引入。
所有的运动系统，不管是混沌的还是非混沌的，都以吸引子为基础，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某一个终态或终态的某种模式而得名。
吸引子可以区分为平庸吸引子和奇异吸引子两类。
平庸吸引子具有不动点、极限环和整数维的环面三种模式，分别对应于非混沌系统中的平衡、周期运动和概周期运动三种有序稳态运动形态。
例如，一个孤立的单摆运动，将因摩擦而不断损失能量，最后停止在一个点上，可认为这个系统受一个“不动点吸引子”的控制。
一切不属于平庸的吸引子都称为奇异吸引子，对应于混沌系统中非周期的、貌似无规律的无序稳态运动形态。
例如,气候就是天气系统的奇异吸引子,由于大气过程的复杂性和不断地受太阳热量等外力的驱使，导致气候不可能被吸引到一个固定点或者一个周期性的模式中。
科学家在研究混沌时常常通过编制程序和在计算机上解出基本方程而由机器把奇异吸引子画出来，并且将其物化为颜色多样和形状奇异的模式。
科学家们通过对奇异吸引子的探索想搞清楚，在一个混沌系统中，什么样的状态可以存在，什么样的状态不能存在。
奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。
奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。
吸引子和吸引域
在动力系统的数学领域中，吸引子是系统在众多初始条件下所趋向的一组数值。
即使稍微受到干扰，与吸引子的值接近的系统值仍然能够保证近似性。
在有限维系统finite-dimensional systems中，演化变量可用代数表示为n维向量。
吸引子是n维空间中的一个区域。
在物理系统中，n维可以是一个或多个物理实体的两个或三个位置坐标；在经济系统中，它们可以是单独的变量，如通货膨胀率和失业率。
如果演化变量是二维或三维的，则动态过程的吸引子可以用几何方式表示为二维或三维。
一个吸引子可以是一个点，一个有限的点集，一条曲线，一个流形，甚至是一个具有分形结构的复杂集合——我们称之为奇异吸引子strange attractor。
而吸引子的吸引域是指所有经过一定时间能够稳定在吸引子v(t)上的所有初始状态的集合。
如需了解更多信息，建议查阅相关书籍或咨询专业人士。
fxd3-3奇怪吸引子
1.相体积的收缩
保守系统与非保守系统
有能量损失的耗散系统的相空间在运动中逐渐减小，在t→∞时 趋向于零。因而有吸引域，并形成吸引子。 保守系统的相空间是守恒的
2 奇怪吸引子
吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状
态。这是一个动力系统在t →∞时所呈现的与时
间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值 其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始 值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。
第三节 奇怪吸引子
1.相体积的收缩 2.奇怪吸引子 3.庞加莱截面法
1.相体积的收缩
x f (x)
n
V (x0,t) xi (x0, t) i 1
xi
(பைடு நூலகம்
x0
,
t
)
[
xi
(x0 xi
,
t
)
]x0
xi
0
( xi ) t
[ xi
(
xi
( x0 t
,
t
)
)]x0
• 人们将时间上的连续运动转变为离散 的图象处理方法称为庞加莱映射。
3.庞加莱截面法
庞加莱截面与轨线运动
单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位 置穿过，截面上只留下一个点。 两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点； 四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点; 无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。
右下角是庞加莱截面图，图形 不仅简单得多，而且显示出某 种结构。由庞加莱截面图可见， 转子的相轨线尽管极其复杂， 但它不是毫无规律的，而是具 有某种内在的规律性在内。
利用一维时间序列确定吸引子维数中存在的若干问题
利用一维时间序列确定吸引子维数中存在的若干问题
利用一维时间序列确定吸引子维数是一件复杂的工作，需要对相关信息作出全
面分析，以便得出最终的结论。
要确定吸引子维数，首先需要确定时间序列的方向和速度，这需要以某一段时间的中间点作为起点，从中观察其在各个维度上的变化，即以爆发点(breakpoint)为分割点。
其次，根据推荐的维数的确定，需要把吸引子维数划分为外力维度和内部偏向维度，并结合相关的偏移量，来确定吸引子维数。
随后，应探究时间轴上吸引子维数表象出现什么形式，以及这个形式是如何变化的。
最后，根据上述结果，可以推断出吸引子维数的变化，并以此为基础进行后续的研究。
以上是利用一维时间序列确定吸引子维数这一问题中必要的研究步骤，只有按
照以上步骤来研究，才能找到最稳妥的结果，让数据可视化更加清晰有效。
值得注意的是，最终结果与实际操作有很大关系，因此在做出确定时，需要慎重考虑各种可能的因素，以便得出最客观准确的结果。
基于混沌理论对湍流现象的一些探讨
基于混沌理论对湍流现象的一些探讨江苏大学京江学院 张炳乾摘要：本文简要介绍混沌理论，并在前辈研究的基础上，用混沌理论对湍流现象展开思考。
正反两极的系统造就整体稳定局部不稳定的运动状态，在内部不断变化的机制下，用矛盾对立统一的辩证思维，从事物演化方向进行探讨。
关键词：混沌理论；湍流；随机性；奇怪吸引子；分形中图分类号：O415.5 文献标识码：A 文章编号：2096-4595（2020）30-0047-0002湍流现象在日常生活中十分常见，例如海洋里的波涛汹涌、烟囱上的袅袅炊烟、大气中的乱云飞渡等，但是湍流的问题至今还未能解决。
长期以来，湍流都被认为是经典物理留下的世纪难题[1]，令许多科学家们望而生畏。
湍流最基本的特征就是流体微团运动的随机性，正是这种随机运动引起的变化使得湍流异常复杂。
而混沌理论与这种随机性极为相似，为此，从混沌理论角度上讨论湍流现象，希望从中得到科学的启发。
一、混沌理论“混沌”一词最早出现在中国和希腊的神话故事里，指代宇宙最开始的自然状态，是古代的朴素宇宙观。
随着人类文明的发展，“混沌”一词在文学、科学和宗教等著作中广泛使用。
混沌理论是系统演化对初始条件的异常敏感，差异的发展导致未来路径的演化发生变化。
美国物理学家约克（James Yorke）提出：“混沌是宇宙的自然状态，在混乱中，复杂系统可以被不断完善，秩序形成于混沌之中。
混沌不是混乱的、随机分散的，相反，其中的模式是非常有序的，只是较为复杂，混沌指的就是这种复杂的秩序化。
”[2]我们常常认为混沌是一种虚假空幻的状态，世界本没有混沌，而是人们对客观世界的思考意识受到世俗文化影响被潜移默化。
但实际上，混沌的确存在，不过不是我们常规思维所意识到的直接观念。
现代混沌理论强调有序与无序、确定性与不确定性、周期性与非周期性，看似矛盾，实则对立统一。
混沌是一种联系的状态，以整体的形式存在，是一个不能分割、相互联系、不断运动的实体[3]。
用混沌理论解释湍流现象
用混沌理论解释湍流现象一、历史的简短回顾湍流问题曾被称为“经典物理学最后的疑团”。
因为它涉及到从微观到宏观许多时空尺度上的运动，它不仅和周围进行着能量交换，其内部也存在着各式各样的能量交换。
有人估计：在一个线度为ι的湍流中，信息产生率为其中v为运动学粘滞系数，u为湍流中最大漩涡的速度。
据此，即使是一杯咖啡被搅拌时也会产生1012比特/秒的信息。
难怪对湍流的研究进展甚缓，至今还停留在半经验理论的水平上。
早在阿基米德时代，人们就注意到了湍流现象。
1883年雷诺（Reynolds）指出：当流体的雷诺数R大于某个临界值R c时，它就从层流向湍流转化。
尔后，他又提出了著名的雷诺方程，试图用确定论的方法来解决这个问题，然而始终没有得到明确的结果。
从本世纪30年代开始，泰勒（Taylor）、卡曼（Karman）、哥尔莫柯洛夫（Kolmogorov）、周培源等人创立了湍流的统计理论，把概率论的方法引进了这个领域。
这不能不说是一个重大的进展，湍流中大漩涡套着中漩涡，中漩涡套着小漩涡，互相交叉互相混杂，这些运动着的漩涡数量之巨、种类之多、相互作用之繁决不是用几个甚至几十个确定论的方程可以描述的。
这几十年来，湍流的统计理论有了很大的发展，但是对这个复杂的问题几乎没有引出什么定量的预测。
随着科学的发展，电子计算机的诞生，在最近的实验和理论研究中都出现了有希望的新方向，研究的重点是一些能为理论研究所接受的比较简单的湍流发生机制，研究的对象也从流体力学扩充到物理、生物、化学、天文、地学等领域。
有人认为，对这个问题的研究很可能导致物理学的又一次革命——开辟对“复杂”系统研究的新途径。
二、新的方向我们知道：从理论上解决湍流问题的重大障碍是流体力学基本方程——纳维尔—斯托克斯（Navier－Stockes）公式①（2）的非线性。
以前只知道这类方程的定常解不稳定，会出现分岔，至于这以后会发生什么就不清楚了。
1963年，洛伦兹（Lorentz）在电子计算机上进行大气对流的数值实验时，发现一个完全确定的三阶常微分方程组，在一定的参数范围内给出了非周期的、看起来很混乱的输出。
奇怪吸引子
奇怪吸引子展开全文折叠编辑本段理论系统系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分，那么什么是吸引子呢奇怪吸引子？吸引子是一个数学概念，描写运动的收敛类型，它存在于相平面。
简言之，吸引子是指这样的一个：集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它.这样的集合。
有很复杂的几何结构.由于吸引子与混沌现象密不可分，深入了解吸引子集合的性质，对更好了解它。
们所描述的流，对揭示出现混沌的规律与结构是很必要的。
折叠编辑本段系统特征从相空间上看，系统演化的目的体现为一定的点集合，代表演化过程的终极状态，即目的态，具有如下特征：折叠终极性折叠稳定性目的态是系统自身质的规定性的体现，这种规定性只有在稳定状态中才能确立起来并得到保持，不稳定状态不可能成为目的态。
折叠吸引性吸引性是目的性的根本要素，没有吸引力的状态不能成为系统演化所追。
求的目标，只要系统尚未到达目的态，现实状态与目的态之间必定存在非0的吸引力，牵引着系统向目的态运动，相空间中满足以上3个条件的点集合A(可能包含1个点、有限个点或无限个点)，被称为动力学系统的吸引子。
吸引子只能是定态，而且必须是稳定态。
其实，我们早已经接触过吸引子了。
在动力学里，就平面内的结构稳定系统——典型系统——而言，吸引子不外是：1.单个点2.稳定极限环。
也可解释为：长期运动不外是：1.静止在定态2.周期性地重复某种运动系列。
在非混沌体系中，这两种情况都是“一般吸引子”，而在混沌体系中，第二种情况则被称为：“奇怪吸引子”，它本身是相对稳定的，收敛的，但不是静止的。
奇怪吸引子是稳定的、具分形结构的吸引子。
折叠编辑本段保守系统保守系统由于相体积永远不变，所以不存在吸引子，而耗散系统则不然，相体积在演化过程中不断收缩，各种各样的运动在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定的长时间行为，即：耗散系统的运动最终趋向维数比原始相空间低的极限集合，这个极限集合就是吸引子。
7.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数
2. 菲根鲍姆常数
吸引子
3. 奇怪
奇怪吸引子
利用李雅普诺夫指数λ ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：
在一维映射中λ 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 λi ，而且沿相空间的不同方向，其 λi (i =1,2,…)值一般也不同。
)
exp(00n n λ⋅⋅−≈−n y x y x
面积 。
r <1 时坐标原点是稳定的不动点，当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C 1与 C 2是稳定的焦点。
=24.7368） C 1与 C 2成了不稳定的焦点。
c r r >
奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。
但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？ 洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。
是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？
如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。
巴克尔变换描写了这种变换：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤+<≤==++1212121021
1n n n n n n n x ay x ay y x x ，，
在平面的投影
c =2.6
c =3.5 c =4.1
c =4.18 c =4.21
c =4.6。
奇怪吸引子与分形[转]
![奇怪吸引子与分形[转]](https://img.taocdn.com/s3/m/26de7649b94ae45c3b3567ec102de2bd9605dea1.png)
奇怪吸引子与分形[转]混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散系统、不可积Hamilton保守系统和非线性离散映射系统中(原来我们认为只有在保守系统才存在时间反演操作——时间平移不变性，因为与保守系统对应的描述方程是确定的，而且满足Ｔ变换守恒。
现在我们发现，在保守系统出现混沌时，由于对初值的极敏感性，同宿点有无穷多个，系统演化沿+t方向和沿-t方向的结果将不一致，这说明在混沌系统中一个无穷小区域内，物理规律对时间的方向具有选择性，即出现了不可逆行为，这对理解宏观系统中的时间箭头问题多少有一点启发).对应于混沌运动的物理过程的一个抽象数学概念，也称为奇怪吸引子，由法国物理学家D.吕埃尔和F.泰肯在1970年左右引入。
所有的运动系统，不管是混沌的还是非混沌的，都以吸引子为基础，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某一个终态或终态的某种模式而得名。
吸引子可以区分为平庸吸引子和奇异吸引子两类。
平庸吸引子具有不动点、极限环和整数维的环面三种模式，分别对应于非混沌系统中的平衡、周期运动和概周期运动三种有序稳态运动形态。
例如，一个孤立的单摆运动，将因摩擦而不断损失能量，最后停止在一个点上，可认为这个系统受一个“不动点吸引子”的控制。
一切不属于平庸的吸引子都称为奇异吸引子，对应于混沌系统中非周期的、貌似无规律的无序稳态运动形态。
例如,气候就是天气系统的奇异吸引子,由于大气过程的复杂性和不断地受太阳热量等外力的驱使，导致气候不可能被吸引到一个固定点或者一个周期性的模式中。
科学家在研究混沌时常常通过编制程序和在计算机上解出基本方程而由机器把奇异吸引子画出来，并且将其物化为颜色多样和形状奇异的模式。
科学家们通过对奇异吸引子的探索想搞清楚，在一个混沌系统中，什么样的状态可以存在，什么样的状态不能存在。
奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。
奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。
混沌吸引子分形维数的计算
混沌吸引子分形维数的计算混沌是一种使用复杂系统来描述受不可预测变量影响的现象，它普遍存在于宇宙、地球、社会以及生物等各个层面。
混沌现象可以被分形维数的计算来描述。
分形维数是一种可以用来描述分形形状的数学工具，它可以在混沌理论和混沌系统中找到应用。
混沌吸引子的分形维数的计算是混沌理论的一个重要方面，它可以用来评估混沌系统的复杂性。
一个混沌系统的复杂性是由分形维数来决定的，这个维数可以通过混沌吸引子上发生的不断变化来测量。
经典的混沌系统诸如洛伦兹湍流、旋涡及其他类似的复杂系统通常会表现出分形维数，这些维数可以用来评价混沌系统的复杂程度。
在计算混沌吸引子的分形维数时，需要使用分形维数学派论文中提出的数学模型。
分形维数学派论文提出了一种新的数学方法，可以用来描述混沌吸引子的分形维数。
这种数学方法是基于研究者计算出的复杂的、赋值的非线性函数，它可以用于研究分形维数的分布和特征。
研究人员在利用分形维数来测量混沌吸引子时，还需要考虑混沌系统的其他特征。
例如，在模拟不同的混沌吸引子时，研究人员需要考虑混沌吸引子的参数设置和变量状态等。
另外，研究人员还应该考虑分形维数的变化行为，它可以帮助研究者更好地了解混沌系统的特性。
此外，在计算混沌吸引子的分形维数时，还可以使用计算机模拟和测量技术，以更精确地获得分形维数。
使用计算机模拟技术可以测量混沌系统在空间和时间上的演变情况，并对分形维数进行测量，以计算出混沌吸引子的分形维数。
因此，混沌吸引子的分形维数可以从多个方面来考虑，并且可以通过不同的数学模型和计算机技术来确定。
分形维数可以用来加深对混沌系统的理解，并为研究者提供有用的信息，这对于对混沌系统的理解和研究都至关重要。
fx4-2
n→∞
维数 由斜率b 得帐篷映射奇怪排斥子 log 2 的维 b(1 D)
4. 吸引域边界上的分形
单摆吸引域边界
当F ≠ 0 为三维相图，新加进的坐标是驱动力相位，每个平面是庞加莱截面。 在 F →0 ，摆角 θ <<π，吸引域与上图非常相象。在与每个吸引子势阱中， 运动仍然是周期的，周期为 T=2π/n。庞加莱截面上是单点，吸引域边界 乃是光滑曲线。 当加大 F，摆角θ 接近 π 或超过 π 时，系统产生 对称性破缺 。结果：
λ 1 ≈ m 1 λ ε 2
q
DL
1 q λ 2
DL
q λ1 取对数 1 λ ≈ DL log ≈ log 1 λ λ λ2 2 2
1 λ DLqlog ≈ qlog 1 λ λ 2 2
整理
李雅普诺夫维数
DL ≈
log λ1 + log(1/ λ2 ) log λ1 = 1+ log(1/ λ2 ) log(1/ λ2 )
& (1) [ θ = 0,θ = ±2nπ ] 吸引子变为不稳定点；
(2) 产生 θ → θ dθ dt → dθ dt φ →φ + π 相关的新吸引子对； (3) 新吸引子平均角速度 dθ / dt = ±(m n)ν 不为零，m，n为非零的整数； (4) 吸引域的边界将具有分形特征。 实例 选 q = 2，驱动力相位 φ = 0，频率 ν = 2/3，F = 1.46，1.48，1.954 驱 动力。作图时，平均角速度 dθ dt > 0 吸引子的吸引域为黑色，平均角 速度 dθ dt < 0 吸引子的吸引域用白色。吸引域作图区间 θ = 2π →2π， 吸引子庞加莱截面的区间 θ = π →π 。
现代网络流量的混沌奇异吸引子
（ ｌｅ ｅ ｏ ｎ ｏ ｍａ ｉ ｎ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ Ｃｏ ｌ ｇ ｆＩ ｆ ｒ ｔ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ，Ｚ ｅ ｇ ｈ ｕ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ，Ｚ ｅ ｇ ｈ ｕ ４ ０ ０ ｏ ｈ ｎ ｚ ｏ ｉ ｅ ｓｔ ｈ ｎ ｚ ｏ ５ ０ １，Ｃｈ ｎ ） ｉａ
Ａ ｓｒ ｃ ：Ｔｈ ｏ ｅ ａ ｔ ｎ ｈ ｏ ｔｏ ｆｎ ｔ ｒ ｒ ｆｉ ｎ ｉ ｏ ｔ ｎ ｓ ｅ ｔｉ ｄ ｒ ｅ ｗｏ ｋ ｗｈ ｌ ｂ ｔａ ｔ ｅ ｆｒ ｃ ｓｓａ ｄ ｔ ｅｃ ｎ ｒ ｌ ｅ ｗｏ ｋ ｔａｆｃｉ ａ ｍｐ ｒａ ｔａ ｐ ｃ ｎ ｍｏ ｅ ｎ ｎ ｔ ｒ ｉ ｏ ｓ ｅ
现中金 媛 ， 忽淑 静
（ 州大学 信息工程学 院， 南 郑州 ４００） 郑 河 ５ ０ １
摘
要 ：网络流 量 的预 测和控 制是现 代 网络 中的一 个重要 方 面 ， 是 它所 呈现 出来 的长 相 关 、 形等 特征 已 但 分
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＰ ｏ ｒ ａ ＬＡ ｎｖ ｒｉｙ ｏ ｃｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ｏ Ｕ ｉｅ ｓｔ ｆＳ ｉｎ ｅａ ｄ Ｔｅ ｈ ｏｏ ｙ
Ｖ ｏ ．９ Ｎ ｏ． １ ５ ０ｃ ． ０ ８ ｔ２ ０
文章 编号 ：１ ０ ～ ４ ３ ２ ０ ） ５０ ２ — ４ ０ ９ ３ ４ （０ ８ ０ — ４ ７０
关键 词 ：混沌 奇异 吸 引子 ； 空 间重构 ； 相 网络 流 量 中图分 类号 ： ＴＮ９ ５ ０ １． １ 文献 标识 码 ：Ａ ’
Ｃｈ ｏｔｃ ｓ ｒ ｎ ｔａ ｔ ｒ ｆＩｔ ｒ ｅｔｔａｆｉ ａ ｉ ｔａ ｇｅ ａｔｒ ｃ ｏ ｓ ｏ ｎ ｅ ｎ ｒ ｆ ｃ
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一种不稳定的不动点，初始条件只要存在某种很小偏离，系统就象受到排 斥一样，迅速离开不稳定轨道而出现逃逸现象，称奇怪排斥子 。
2. 奇怪排斥子与康托尔点集
奇怪排斥子
存活 帐篷映射在b = 3 时，如起始点在 [1/3,2/3] 内取值时，都会向负无穷大( )逃逸；即使起始 点在区间 [1/3,2/3]外，只要经数次迭代后进入到 [1/3,2/3]内，继续迭代也会向逃逸，因此 [0,1] 内 的点只有少数可以‚存活‛。 区间 [0,1]内所有点称存活 0，经过1次迭代后不 逃逸的点为存活 1。 [对于 b = 3 的帐篷映射，[0, 1]内的点除 [1/3, 2/3] 外属于存活 1。]
1. 奇怪吸引子的维数
李雅普诺夫维数
对不同奇怪吸引子，根据图形与特征采用不同计算方法。 设二维映射的两个指数 l1＞0＞ l2。将映射用于边长为e 的N(e)个小正方 块组成的正方形。如 q 固定和 e 足够小时，映射操作为线性的。在进行 q 次 迭代后，初始的每个方块拉伸成细长平行四边形。 平行四边形平均边 长 l1e ，平均宽度 l2e 。 复盖拉伸后的平行四边 形要用(l1/l2)q 个更小的 正方形。这样操作后吸 引子上的正方形数约为：
DL k
log( l1 l2 l3 lk ) k 为最大值 log( 1 / lk 1 ) l1 l2 lk 1
1. 奇怪吸引子的维数
典型吸引子的维数
模 型 参 数 维 数
( x y ) x rx y xz 洛仑兹模型 y z bz xy
第四章 分 形
浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，
树干不是光溜溜的，闪电永不会沿直线行进。
第六节
分形与动力学
1. 奇怪吸引子的维数 2. 奇怪排斥子与康托尔点集 3. 魔鬼楼梯的分形 4. 吸引域边界上的分形 5. 一维映射的分数维 6. 1/f噪声 时序中的自相似性 7．复数域上的分形
1. 奇怪吸引子的维数
2.014
m 1 .2 m 1.4
,
, ,
b 0 .3 b 0 .3
1.20 1.26 2.15
布鲁塞尔模型
A ( B 1) x x 2 y cos(t ) x Bx x 2 y y [ y h( x)] x x yz 蔡氏模型 y z y
l1 N ( lq e ) 2 l N (e ) 2
q
1. 奇怪吸引子的维数
李雅普诺夫维数
1 N (e ) e
DL
l1 N ( lq e ) 2 l N (e ) 2
q
假定
1 或 N (e ) m e
A 0 .4 B 1 . 2 , , 0.08 0.852
x 1 m1 x ( m0 m1 ) h ( x ) m 0 x x 1 m x ( m m ) x 1 0 1 1 9 m 1 7 m1 2 7 , 28 , 0 ,
2.13
2. 奇怪排斥子与康托尔点集
逃逸
平方映射
xn+1 mxn (1 xn ) 当考虑 m 值取消小于
4 的限制，则即使初始值
取 0 x0 1 ，只要经过
数次迭代，xn 将超出 [0,1] 范围，并可能成负值。
xn一旦 小于零，在继
续迭代中都将小于零，并 且走向于负的无穷大，这 种现象称逃逸。
2. 奇怪排斥子与康托尔点集
奇怪排斥子
研究由上行与下行两段斜线构成的映射：
当xn 0.5 bxn xn+1 bxn b 当xn 0.5
称帐篷映射。当 b > 2 时，可以产生逃逸。 例如：当 b = 3 时有两个不动点：
x 0 x 3 / 4
不动点斜率为 b = 3 ，超出稳定性条件 斜率 -1<m<1 要求，它们是不稳定的不动点。
埃侬吸引子
奇怪吸引子具有自相似结构。 取埃侬映射参数m＝1.4，b＝0.3，在 (x,y) 平 面上得如a图形。粗看犹似香蕉，‘香蕉’头处显出三条弯线。
对‘香蕉’头取小方块，得 b 放 大图形，可见头部不是简单一条曲 线。 再对图 b 顶部进行放大得到图 c，可 见大致分成三层曲线，顶层有三条， 中间层两条，层为单线。 进一步对图c顶层三条线局部放大， 则显示细致图形d。 通过比较可见，不论进行多少次 逐步放大，顶层每条线都给出三层 结构，局部与整体相似。
DLቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
消去两边相同的系数
1 m lqe 2
DL
l1 1 m l e 2
q
DL
1 lq 2
DL
q l1 取对数 1 l1 D log log L l l l 2 2 2
1 l1 DL q log q log l l 2 2
整理
李雅普诺夫维数
DL
log l1 log 1 / l2 ) log l1 1 log 1 / l2 ) log 1 / l2 )
推广到P 维映射
l1 l2 lp
逃逸速率 由于逃逸， [0, 1] 上的点Nn将 随迭代次数指数地减少：
N n N 0 e α n
a -逃逸速率。Nn-经过 n 次迭代没有逃逸的点。
r 40 , 16 , b 4
2.04
( y z ) x x ay 罗斯勒模型 y z b ( x c) z
埃侬模型
2 x n +1 1 mx n yn y n +1 bx n
a b 0 . 2 , c 5 .7