高中数学选修1-2学案：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
知识点一间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为______证明.
常见的间接证明的方法是________.
知识点二反证法
1.反证法定义
假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法.
2.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等.
3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：
(2)反证法主要适用于什么情形？
题型一用反证法证明结论否定的问题
例1如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分.
反思与感悟对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明.
跟踪训练1已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数.
题型二用反证法证明唯一性问题
例2用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.
反思与感悟 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便. 跟踪训练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直. 已知：平面α和一点P .
求证：过点P 与α垂直的直线只有一条.
题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题
例3 用反证法证明：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根.(不考虑重根)
反思与感悟 用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义. 跟踪训练3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y ＜2与1＋y x ＜2中至少有一个成
立.
因反证法中的反设不当致误
例4用反证法证明：若a＞b＞0，则a＞b.
错解假设a＞b不成立，则a＜b.
若a＜b，则a＜b，与已知a＞b矛盾.
故假设不成立，结论a＞b成立.
错因分析a＞b的否定应为a≤b，即“大于”的否定是“小于或等于”.同理，“小于”的否定是“大于或等于”，不能漏掉“等于”.因此在用反证法证题时，一定要正确地找出结论的否定，不能犯否定不全的错误.
正解假设a＞b不成立，则a≤b.
若a＜b，则a＜b，与已知a＞b矛盾；
若a＝b，则a＝b，与已知a＞b矛盾.
故假设不成立.
所以a＞b成立.
易错警示在利用反证法证明问题时，往往要假设命题结论的反面成立，而问题结论的反面一定要全面，漏掉任何一种情况，证明都是不正确的.
1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角
2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()
A.有一个内角小于60°
B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°
3.“a<b”的反面应是()
A.a≠b
B.a>b
C.a＝b
D.a＝b或a>b
4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()
A.a不垂直于c
B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b
D.a与b相交
5.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数.
1.反证法的证题步骤：①反设；②推理归谬；③存真，即假设不成立，原命题成立.
2.用反证法证明问题时要注意以下三点：
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.
(3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.
[答案]精析
知识梳理
知识点一
间接反证法
知识点二
1．不成立假设错误原命题成立
2．已知条件假设定义、公理、定理、事实
3．至多有一个n一个也没有(n－1)任意某个一定是且不都是且
思考(1)这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．
(2)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
题型探究
例1证明连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，
∴∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD.
∵四边形ACBD为圆的内接四边形，
∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°，
∴∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，
∴对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾，
∴AB，CD不能互相平分．
跟踪训练1证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾．
∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数．
例2 证明 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a ，又b ∥a ，由平行公理知b ′∥b . 这与b ∩b ′＝A 矛盾，故假设错误，
所以过已知直线a 外一点A 只有一条直线b 与已知直线a 平行．
跟踪训练2 证明 如图所示，不论点P 在α内还是在α外，设P A ⊥α，垂足为A (或P )．
假设过点P 不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB ⊥α，设P A ，PB 确定的平面为β，且α∩β＝a ，于是在平面β内过点P 有两条直线P A ，PB 垂直于a ，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立．
例3 证明 假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f (α)＝f (β)＝0.
因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)＜f (β)，这与f (α)＝f (β)＝0矛盾，
所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根． 跟踪训练3 证明 假设1＋x y ＜2和1＋y
x ＜2都不成立，
则有1＋x y ≥2和1＋y
x ≥2同时成立．
∵x ＞0且y ＞0，
∴1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，
∴x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y ＞2相矛盾， ∴1＋x y ＜2与1＋y x ＜2中至少有一个成立．
当堂检测
1．B 2.B 3.D 4.D
5．证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．。