辗转相除法和更相减损法讲义
1、3、1案例1辗转相除法与更相减损术教案
1、3、1案例1辗转相除法与更相减损术讲义编写者：数学教师孟凡洲一、【学习目标】1、用辗转相除法求最大公约数.2、用更相减损术求最大公约数.【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材34—35页内容，回答问题（辗转相除法）<1>怎样用短除法求最大公约数？<2>怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？<3>什么叫做辗转相除法求最大公约数？结论：<1>求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的质数连乘起来.<2>穷举法求两个正整数最大公约数的步骤：从两个数中较小数开始，由大到小列举，直到找到公约数立即停止列举，得到的公约数便是最大公约数.<3>辗转相除法求最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果，否则转向第二步继续循环执行.如此循环直到得到结果为止.这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因此又叫做欧几里得算法.练习一：①用短除法求18和31的最大公约数.②用辗转相除法求8251与6105的最大公约数.③画出辗转相除法的程序框图，并写出程序.【教学效果】：理解辗转相除法.2、阅读教材36—37页内容，回答问题（更相减损术）<4>怎样用更相减损术求最大公约数？结论：<4>《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的更相减损术也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”其算法如下：第一步，任意更定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约减，若不是，则执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约减的数的乘积就是最大公约数.练习二：用更相减损术求98与63的最大公约数.【教学效果】：理解更相减损术.三、【作业】1、必做题：分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.2、选做题：理解教材例题，并把例题总结到笔记本上.四、【小结】本节课主要学习了更相减损术和辗转相除法.五、【教学反思】当我们的学生对知识流露出不会时，做老师的要更多的去找自己的原因，而不是学生的原因.。
辗转相除法与更相减损术
算法案例
1．用两数中
较大
的数减去
较小
的数，再
所得差和较小数 用 构成新的一对数，再用 大数 减 小数 ，以同样的操作一直做下去，直到所
得的两数相等为止，这个数就是这两个数的最大公约 数．这个方法称作“更相减损术”，用它编写的算法称作
“等值算法”．
2．古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是 辗转相除法 ：用 较大数 除以 较小数 所得的 余数 和 较小数 构成新的一对数，继续做上面的除法， 直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．据
1．辗转相除法 (1)辗转相除的原理： 设m， n是两个整数 (不妨设m>n)，用m除以n，若商为 q1，余数为r1(0≤r1<n)，则m＝n·q1＋r1，显然若x是m和n的 公约数，即x能整除m和n，则x也必然能整除r1，这样x也是 n 和 r1 的公约数，故求 m 和 n 的公约数就是求 n 和 r1 的公约数； 同理，用n除以r1，得n＝r1·q2＋r2(0≤r2<r1)，故求m和n的公 约 数 就 是 求 r2 和 r1 的 公 约 数 ， … ， 依 次 下 去 ， 由 于 m>n>r1>r2>…，所以到某一步必然有 ri ＝ ri ＋1·qi ＋ 2 ，即ri 恰 能被ri＋1整除，这时ri＋1是ri和ri＋1的最大公约数，它也必然 是ri－1和ri、ri－2和ri－1、…、r1与r2、n和r2、m和n的最大公 约数．
(2)辗转相除法的算法分析：
由以上辗转相除法的原理可以发现，辗转相除法的基 本步骤是用较大的数除以较小的数，考虑到算法中的赋值 语句可以对同一变量多次赋值，我们可以把较大的数用变 量 m 表示，把较小的数用变量 n 表示，这样式子 m ＝ n·q ＋
《辗转相除法与更相减损术》说课稿
辗转相除法与更相减损术说课稿一、前言数学中，除法是一个基本的操作，但是在处理一些具体的问题时，我们常常会遇到需要对两个数进行除法运算并求取其最大公因数的情况。
而传统的直接调用计算机内置函数进行求解显然是不太实际的，因为不管是调用的时间复杂度还是空间复杂度都相对较高。
为此，我们需要研究一些更为高效的求解方法，其中最常见的有辗转相除法和更相减损术两种。
二、辗转相除法辗转相除法，也叫欧几里得算法(Euclidean algorithm)，是求两个正整数a、b 最大公约数的一种方法。
基本思想是：用较小的数除较大的数，再用出现的余数去除较小的数，如此反复，直到余数为零为止。
其中，每一次用较小的数去除较大的数的操作即为一次“辗转”。
而“相除”也就说明了运算过程中的“除法”操作。
以下是辗转相除法的推导过程：假设有两个正整数a、b（a>b），我们要求它们的最大公约数。
•首先将a÷b的余数记为r1。
•若r1=0，则最大公约数为b。
•若r1≠0，则继续计算b÷r1的余数r2。
•若r2=0，则最大公约数为r1。
•若r2≠0，则继续计算r1÷r2的余数r3。
•以此类推，直到第n次得到余数rn为0，此时最大公约数即为rn-1。
以下为辗转相除法的Python代码实现：def gcd(a, b):if a % b == 0:return belse:return gcd(b, a % b)时间复杂度：O(logn)，空间复杂度：O(logn)。
三、更相减损术更相减损术，是一种古老的求两个正整数a、b最大公约数的方法。
它的基本思想是：每次较大的数减去较小的数，然后继续用较小数去减差值，如此反复，直到减数和差相等为止。
而“减”则说明了运算过程中的“减法”操作。
以下是更相减损术的推导过程：假设有两个正整数a、b（a>b），我们要求它们的最大公约数。
•首先将a和b中的较大者记为A，较小者记为B。
最大公约数的方法及其原理
最大公约数的方法及其原理
求最大公约数的方法有多种，下面介绍其中两种常用的方法及其原理：
1. 辗转相除法（又称欧几里德算法）：假设两个数为a和b，其中a>b。
通过a除以b得到余数r，再用b除以r得到余数
r1，依此类推直到余数为0为止。
此时，b即为最大公约数。
原理：根据辗转相除法，假设a=b*q+r，其中q为商，r为余数（0<=r<b）。
如果c同时是a和b的公约数，那么c也是a 和r的公约数，反之亦然。
因此，可以通过连续除法的过程，不断更新a和b的值，最终得到最大公约数。
2. 更相减损术：假设两个数为a和b，其中a>b。
通过用a-b 得到差c，然后用c和较小的数b进行同样的操作，直到a、b 相等，此时a（或b）即为最大公约数。
原理：更相减损术的思路是将较大数减去较小数，得到一个新的差值。
如果c同时是a和b的公约数，那么c也是b和差值c的公约数，反之亦然。
通过连续的减法操作，最终得到最大公约数。
这两种方法都是经典的求最大公约数的算法，但是辗转相除法相较于更相减损术的效率更高，因此在实际应用中更常使用辗转相除法计算最大公约数。
辗转相除法与更相减损术概念解读
概念解读
我国古代数学发展曾经处于世界领先水平，特别是宋、 元时期的“算法”，其中可以同欧几里德辗转相除法相 媲美的是可以求两个数字的最大公约数的更相减损术。
辗转相除法
用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的 除数除以余数，又得到新的余数，继续做下去， 直到刚好能够整除为止，得到两个数的最大公 约数．
A．93 B．31 C．651
）
D．217
先求出其中二个数4557，1953；4557，5115的最大公约数，之后我 们易求出三个数4557，1953，5115的最大公约数． 解：4557=1953×2+651 1953=651×3 ∴4557，1953的最大公约数是651； 5115=4557×1+558 4557=558×8+93 558=93×6， 故4557，5115的最大公约数为93， 由于651=93×7 三个数4557，1953，5115的最大公约数93．
给定两个正整数3648判断它们是否都是偶数若是先用2约简1824判断它们是否都是偶数不是大数减小数1293减数和差构成一对新数再大减小936减数和差构成一对新数再大减小633直到两者相等为止此时相等的数是相等的数乘约简的数32212即为原两数的最大公约数36和48的最大公约数是12更相减损术程序解读
是
18 是 24 ÷2
若是，先用2约简
判断它们是否都是偶数 大数减小数
9
不是
12
÷2
12-9=3
减数和差构成一对新数，再大减小 9-3=6 减数和差构成一对新数，再大减小 6-3=3 直到两者相等为止，此时相等的数是 相等的数乘约简的数 3*2*2=12 即为原两数的最大公约数 36和48的最大公约数是12 3
1.3-1辗转相除法与更相减损术
引例:求30与18的最大公约数为多少？ 解：∵ 30= 18×1+12 18= 12×1+6 12= 6×2+0 ∴ 30与18的最大公约数为 6.
思考2:用上述方法求8251与6105这两个 数的最大公约数？ 解:∵ 8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333， 1813=333×5+148， 333=148×2+37， 148=37×4+0. ∴ 8251与6105的最大公约数为 37.
1.3
算法案例
第一课时
问题提出
1 5730 p 2
t
“求两个正整数的最大公约数”是数 学中的一个基础性问题，它有各种解决 办法，我们以此为案例，对该问题的算 法作一些探究.
知识探究（一）:辗转相除法
思考1:怎样求18与30的最大公约数？ 方法：先用两个数 30 2 18 公有的质因数连续 9 15 3 去除，一直除到所 3 5 得的商是互质数为 止，然后把所有的 最大公约数为 除数连乘起来即为 2×3= 6 最大公约数.
INPUT m，n DO r= m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
例1:用辗转相除法求98与63的最大公约数为 多少？算法直到型 m n
解:∵ 98= 63×1+35 m n r 63= 35×1+28 m n 35= 28×1+7 28= 7×4+0 m n r m=7, n=0
输入m,n (m>n) 计算: r=m MOD n 循环体：m=n, n=r
控制条件： r=0? 输出 m
辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 课件
4.填空:上述这种求两个正整数的最大公约数的方法就是辗转相 除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古 老而有效的算法.其算法步骤如下:
第一步,给定两个正整数m,n. 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.
9×2×2=36.
变式训练50与70的最大公约数为
.
解析:因为50和70均为偶数,所以用2约分化简,得25和35.
35-25=10,25-10=5,10-5=5,
所以25和35的最大公约数为5.
从而50与70的最大公约数为2×5=10.
答案:10
3.求多个正整数的最大公约数,可以将所求的整数分成两两一组, 然后分别求每组的最大公约数,再求解由各组的最大公约数构成的 新的数组的最大公约数即可.
互动探究1【例1】中的(1)若添加一个数133,即求228、2 223与 133的最大公约数.
分析由【例1】已经求出228与2 223的最大公约数m,则只需求出 m与133的最大公约数即可.
时,先求6×2+5,第二步求2×(6×2+5)+4. ( )
答案:(1)√ (2)√
5.做一做7:用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3,当x=3时的值
v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
v1=2×3+0=6; v2=6×3+1=19.
答案Hale Waihona Puke 19求两个正整数的最大公约数
例1 求下列两数的最大公约数: (1)228与2 223; (2)612与468. 分析228与2 223相差较大,用辗转相除法求最大公约数;612与468 相差较小,用更相减损术求最大公约数. 解:(1)用辗转相除法求228与2 223的最大公约数.
高一数学 1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件 新人教A版必修2
第一课时 辗转相除法与更相减损术､秦九韶算法
自学导引 1.理解辗转相除法与更相减损术的含义,了解执行过程. 2.掌握秦九韶算法的计算过程,了解它在数学计算中的应用. 3.进一步体会算法的基本思想.
课前热身
欧几里得算法
两个正整数的最大公约数
1.辗转相除法是用于求
_____________________的一种方 较大的数
解:解法1(辗转相除法):先求175与100的最大公约数: 175=100×1+75, 100=75×1+25, 75=25×3. ∴175与100的最大公约数是25. 以下再求25与75的最大公约数: 75=25×3 ∴25和75的最大公约数是25.
故25是75和25的最大公约数,也就是175､100､75的最大公约数.
Hale Waihona Puke (3)任何两个数,用辗转相除法求其最大公约数的程序框图. 由于辗转相除法总是用较大的数去除以较小的数,所以首先要对一 开始给定的两数的大小进行判断,并将大数赋给m,小数赋给n,然 后再执行下面的过程.程序框图如下图所示:
(4)辗转相除法求两个数的最大公约数的程序设计.
INPUT “a,b”;a,b IF a<b THEN t=a a=b b=t END IF r=a MOD b WHILE r<>0 a=b b=r r=a MOD b WEND PRINT b END
解:(1)98和63 辗转相除法 S1 98=63 ×1+35, S2 63=35 ×1+28, S3 35=28×1+7, S4 28=4 ×7, 最大公约数为7.
更相减损术 S1 98-63=35, S2 63-35=28, S3 35-28=7, S4 28-7=21, S5 21-7=14, S6 14-7=7, 故98和63的最大公约数为7.
1.3.2 辗转相除法与更相减损术 公开课一等奖课件
思考2: 对于8251与6105这两个数，由于 其公有的质因数较大，利用上述方法求 最大公约数就比较困难.注意到 8251=6105×1+2146，那么8251与6105 这两个数的公约数和6105与2146的公约 数有什么关系？
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333， 1813=333×5+148，
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146，
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333， 1813=333×5+148， 333=148×2+37， 148=37×4+0.
【方法指导】辗转相除法与更相减损术重点突破
“辗转相除法”与“更相减损术”重点突破中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世瞩目的伟大成就。
古代的许多算法案例，在当今仍然有广泛的应用。
下面从两个方面探析辗转相除法与更相减损术。
一、对辗转相除法与更相减损术的理解1. 辗转相除法辗转相除法，也叫欧几里得算法，它是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的。
利用辗转相除法求最大公约数的步骤为：对于给定的两个正整数，用较大的数去除以较小的数，若余数为零，则较小的数即为两数的最大公约数；若余数不为零，则用以上除数除以余数，得到新的余数，反复执行，直到某步余数为零，此时的除数就是所求两数的最大公约数。
例1.求315和455的最大公约数。
分析：315和455两数较大，很难找到明显的公约数，故用辗转相除法来求。
解：455=315×1+140；315=140×2+35；140=35×4。
故35为315和455的最大公约数。
点评：用辗转相除法求两正整数的最大公约数，要注意每一步运算的正确性。
2.更相减损术更相减损术出自我国古代数学专著《九章算术》一书：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
以等数约之。
”有人称其为“约分术”，是一种对分数约分的算法；也可以用来求最大公约数。
其求解步骤是：若给定的两个正整数都是偶数，用2（或4、8等）约简；再以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，若二者不相等，再以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。
例2.用更相减损术求84与294的最大公约数。
分析：由于84与294都是偶数，用2约简，再相减。
解：先用2约简，得42与147；147-42=105；105-42=63；63-42=21；42-21=21。
故84与294的最大公约数是2×21=42。
点评：本题若不用2约简，辗转相减，也能得到正确结果，所以在计算机程序中，没有约简这一步，等数就是最大公约数，但在笔算中，应先约简，便于计算。
辗转相除法与更相减损术
课题：§1.3 辗转相除法与更相减损术一．教学任务分析:（1）在理解了算法的三种不同表示方式的基础上，结合算法案例----辗转相除法与更相减损术，让学生经历设计算法解决问题的过程，体验算法在解决问题中的作用.(2)通过对具体实例的算法分析，画程序框图，编制程序，上机验证的方法理解掌握辗转相除法与更相减损术.(3)通过转相除法与更相减损术所蕴涵的算法思想,培养学生利用算法解决问题的意识. 提高逻辑思维能力.发展有条理的思考与数学表达的能力.二．教学重点与难点：教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.教学难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.↓↓↓↓1．创设情景，揭示课题1.在小学,所以,18和30的最大公约数是2×3=6.2.当公约数比较大(比如求8251与6105的最大公约数？)，我们利用上述方法求解就比较困难,那么应该怎样求它们的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容.2.辗转相除法(1) 例1:求两个正数8251和6105的最大公约数.（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数,可以考虑用两数中的较大的数除以较小的数求商和余数）.解：8251＝6105×1＋2146显然6105与2146的公约数也必是8251与6105的公约数，反过来, 8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数.所以它们的最大公约数相等.6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数.以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法.也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的. 欧几里德<原本>一书记录了这个算法.其算法的核心步骤是做带余除法.练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）(2)利用辗转相除法求最大公约数的算法步骤如下：第一步：给定两个正整数m，n.第二步：用较大的数m除以较小的数n所得余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r=0，则m,n的最大公约数等于m;否则,返回到第二步.……依次计算直至r n＝0，此时所得到的r n－1即为所求的最大公约数.练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）3.辗转相除法的程序框图及程序语言利用辗转相除法的计算算法，我们可以设计出程序框图,并根据程序框图设计出程序语言在计算机上实现辗转相除法求最大公约数.辗转相除法的程序框图及程序程序框图：思考;你能用当型循环结构构造算法,求这两个正整数的最大公约数?4.更相减损术(1)<九章算术>是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以用来求最大公约数，其步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母，子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.即为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.(2) 例2 :用更相减损术求196与126的最大公约数.解：（1）由于196和126是偶数，用2约之，得98和63。
辗转相除法和更相减损法讲义PPT优秀课件
完整的过程 8251=6105×1+2146
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90
6105=2146×2+1813
135=90×1+45
2146=1813×1+333 1813=333×5+148
90=45×2
显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大
公约数。 (12)
更相减损术算法
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是
一个循环结构。
m=n×q＋r
用程序框图表示出右边的过程
8251=6105×1+2146
r=m MOD n
m=n
n=r
r=0?
否
是
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
第一步,给定两个正整数,不妨设m>n, 第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使他
们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为 m,n 第三步,d=m-n 第四步,判断”d<>0”是否成立,若是,则将n,d 中较大者记为m,较小的记为n,返回第三步; 否则,2^k *d(k是约简整数的2的个数)为所 求的最大公约数.
辗转相除法 更相减损法
辗转相除法更相减损法辗转相除法与更相减损法一、辗转相除法（一）定义辗转相除法，又称为欧几里得算法。
它是用于求两个正整数的最大公约数的一种算法。
（二）原理设两个数为a、b（a > b），用较大数除以较小数得到商和余数，再用除数和余数反复做除法运算，当余数为0时，取当前算式除数为最大公约数。
即：a = bq + r（其中q为商，r为余数，0 ≤ r < b），如果r = 0，则b就是a 和b的最大公约数；如果r≠0，则继续用b除以r，如此反复，直到余数为0。
（三）示例求1997和615的最大公约数。
1. 因为1997÷615 = 3 (152)2. 615÷152 = 4 (7)3. 152÷7 = 21 (5)4. 7÷5 = 1 (2)5. 5÷2 = 2 (1)6. 2÷1 = 2 0所以，1997和615的最大公约数是1。
二、更相减损法（一）定义（二）原理1. 任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数。
若是，则用2约简；若不是则执行下一步。
2. 以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
（三）示例求98和63的最大公约数。
1. 98和63都是奇数，直接用大数减小数：98 - 63 = 352. 63 - 35 = 283. 35 - 28 = 74. 28 - 7 = 215. 21 - 7 = 146. 14 - 7 = 7所以，98和63的最大公约数是7。
三、辗转相除法与更相减损法的比较（一）相同点1. 目的相同- 两者都是为了求两个数的最大公约数。
2. 理论基础相关- 辗转相除法基于除法运算，更相减损法基于减法运算，但本质上都是通过不断重复一种运算操作来逐步逼近最大公约数。
（二）不同点1. 运算速度- 辗转相除法在求较大数的最大公约数时，通常比更相减损法的运算速度快。
辗转相除法和更相减损法讲义
开始
输m,n(m>n)
K=0
n=n/2
K=k+1
m,n为偶数?
是 d=m-n
m=m/2
否 m=d d=m-n n=d m=n 否
是
d<>n?
d>n?
是
否
输出2^k d
结束
INPUT “m,n=“;m,n IF m<n THEN a=m m=n n=a END IF K=0 WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0 m=m/2 n=n/2 k=k+1 WEND d=m- n
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大 公约数。
(12)
1813=333×5+148 333=148×2+37
148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约 数，也就是8251和6105的最 大公约数
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到 一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0) 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约 数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个 商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1) 第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约 数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个 商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2) …… 依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1 即为所求的最大公约数。
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完整的过程
8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子可以看出计 算的规律是什么？
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大 公约数。
(12)
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是 一个循环结构。
m=n×q＋r
用程序框图表示出右边的过程
8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
r=m MOD n
m=n
n=r r=0? 否
1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
1813=333×5+148 333=148×2+37
148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约 数，也就是8251和6105的最：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到 一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0) 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约 数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个 商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1) 第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约 数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个 商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2) …… 依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1 即为所求的最大公约数。
更相减损术算法
第一步,给定两个正整数,不妨设m>n, 第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使他 们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为 m,n 第三步,d=m-n 第四步,判断”d<>0”是否成立,若是,则将n,d 中较大者记为m,较小的记为n,返回第三步; 否则,2^k *d(k是约简整数的2的个数)为所 求的最大公约数.
辗转相除法与 更相减损术讲义
1、求两个正整数的最大公约数 （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数 （1） 5 25 5 35 7 （2） 7 49 7 63 9
所以，25和35的最大公约数为5
所以，49和63的最大公约数为7
2、求8251和6105的最大公约数
辗转相除法（欧几里得算法）
观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和 6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。
第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
是
辗转相除除法的程序框图与程序
否 是
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减 损，求其等也，以等数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2 约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并 以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个 等数就是所求的最大公约数。
While d<>n IF d>n then m=d ELSE m=n n=d End if d=m-n Wend d=2^k＊d PRINT d End
辗转相除法与更相减损术的比较:
（1）都是求最大公约数的方法，计算上 辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为 主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少， 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区 别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法 体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损 术则以减数与差相等而得到.
开始
输m,n(m>n)
K=0
n=n/2
K=k+1
m,n为偶数?
是 d=m-n
m=m/2
否 m=d d=m-n n=d m=n 否
是
d<>n?
d>n?
是
否
输出2^k d
结束
INPUT “m,n=“;m,n IF m<n THEN a=m m=n n=a END IF K=0 WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0 m=m/2 n=n/2 k=k+1 WEND d=m- n