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小波分析及其应用

1.小波分析的概念和特点

1.1小波理论的发展概况

20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪

数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。

小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。

小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家

J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反

演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与s.Mallat合作建立了

构造小波基函数的多尺度分析方法后，小波分析才开始蓬勃发展起来，进而把这一理论引入到了工程应用中，特别是在信号处理领域。在小波分析发展过程中，法国学者I.Daubeehies和s.Mallat发挥了极为重要的作用。小波分析是20世纪80年代中后期发展起来的一门应用数学分支。由于其数学的机理的创见性和完善性、方法的实用性和现实与过程的简便性

1.2.1连续小波变换

1.2.2连续小波变换的性质

1.2.3小波变换的时频局部化性能

此外，由式可知，小波窗函数的窗口形状大小是可变的。由图2-1所示，该图表示是在时间-频率平面上的小波窗函数的变化情况。对于高频信号而言，持续时间短，在小尺度下，时间窗口变窄，频率窗口变宽，有利于对信号的细节进行描述;对于低频信号而言，持续时间长，在大尺度下，时间窗口变宽，频率窗口变窄，有利于对信号的整体情况进行描述。正是由于小波变换的这种时间-频率窗的可变特性，使它能够表示各种不同频率分量的信号，特别是具有突变特性的信号。

1.3离散小波变换

1.3.1离散小波变换

小波思想的建立是将连续小波及连续小波变换作为理论基础的，但是在实际应用过程中，考虑到计算过程的低冗余性和高效性，一般要对小波函数及其变换进行离散化处理。

1.3.2小波框架理论

1.4二进小波变换

1.4.1二进小波变换

1.4.2二进小波变换的性质

1、与离散小波相同，二进小波一定是一个允许小波，且有：

纹理应用：基于纹理特征的方法：纹理是指图像象素的灰

度或颜色的某种变化规律，它是一种区域特征，反映了图像或物体本身各元素之间空间分布的特性。同其它图像特征相比，它似乎能更好

地兼顾图像宏观性质与微观结构。图像纹理分析在许多学科都已得到广

泛的应用，如细胞图像、金相图像，它也是遥感图像分析的重要手段之一。通过提取图像的纹理特征，研究纹理在图像中反复出现的局部模式

和它们的排列规则，获得纹理的定量描述，可以进而对图像或物体进行

正确分类。因此，在以往的遥感影像云检测与分类技术中，纹理分析

法是重要的方法之一。纹理分析的方法很多对此M.Haralic作了较为全面

的总结，基本上可归纳为统计模型法、结构法、场模型法或频域\空域联

合分析法等四类，它们都可以应用于云的分类。基于统计模型的方法是

纹理分析中最基本的一类方法，典型的有共生矩阵法、laws纹理能量法等，这类方法原理简单，较实现，但适用范围较小；基于结构的方法将研究重点放在分析元之间的相互关系和排列规则上，对于分析自然纹理图

像很难取得满意的效果；基于场模型的方法假设纹理按某种模型分布，

如随机场模型、分形模型等，通过求模型参数来提取纹理特征，进行纹

理分析，这类方法存在着计算量大，自然纹理很难用单一模型表达的缺

点；基于空间频率域联合分析法主要包括变换法和小波变换法等，这类方法根据人的视觉机理，利用在宽间域和频率域同时取得较好局部化的滤波器对纹理图像进行滤波，从而获得较为理想的纹理特征，它们在保持了纹理特征的有效性的基础之上，大大降低了纹理特征的维数，迄今为止，大多数方法还只适用于一部分特定图像。

1.5.结束语

小波的分解与重构中,合理选择小波分解层数很关键,将直接影响到重构效果的好坏。有些图像在局部区域内呈现不规则性，而在整体上表现出某种规律性。习惯上，把这种局部不规则而宏观有规律的特性称之为纹理；以纹理特性为主导的图像，常称为纹理图像；以纹理特性为主导特性的区域，常称为纹理区域。纹理作为一种区域特性，在图像的一定区域上才能反映或测量出来。

为了定量描述纹理，多年来人们建立了许多纹理算法以测量纹理特性。这些方法大体可以分为两大类：统计分析法和结构分析法。前者从图像有关属性的统计分析出发；后者则着力找出纹理基元，然后从结构组成上探索纹理的规律。也有直接去探求纹理构成的结构规律的。