江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学2021届高三联考数学试题及答案
江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳中学、前黄高级中学2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题
2022届高三年级十二月份阶段性测试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡．上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡－并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |log 2(x －1)≤1}，B ＝{x |21－x≥12}，则A ∩B ＝ A ．(－∞，2] B ．(1，2] C ．[1，2] D ．(1，3] 2．命题“ x ∈[1，2]，x 2－2a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A ．a ≤2B ．a ≥2C ．a ≤4D ．a ≥43．欧拉恒等式：e iπ＋1＝0被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：e i θ＝cos θ＋isin θ(θ∈R )令θ＝π得到的．设复数z ＝e π3i，则根据欧拉公式z 的虚部为A ．32 B ．π3 C ．12D ．1 4．函数f (x )＝2(x －b )2a 的图像如图所示，则A ．a ＞0，0＜b ＜1B ．a ＞0，－1＜b ＜0C ．a ＜0，－1＜b ＜0D ．a ＜0，0＜b ＜1 5．已知a ，b ，c 均为单位向量，且a ＋2b ＝3c ，则a ·c ＝A ．－13B ．13C ．1D ．436．若tan α＝2tan10°，则cos(α－80°)sin(α－10°)＝A ．1B ．2C ．3D ．47．将9个志愿者名额全部分配给3个学校，参加疫情防控常态化宣传活动，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是A ．16B ．18C ．27D ．28 8．对于任意的实数x ∈[1，e]，总存在三个不同的实数y ∈[－1，5]，使y 2xe 1－y－ax －ln x ＝0成立，则实数a 的取值范围是A ．[25e 4，3e )B ．(25e 4，e 2－1e ]C ．(0，25e 4]D ．[25e 4，e 2－3e )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．电动汽车的推广势在必行，全球新能源汽车行业快速发展．2020年1月到2020年12月某地公共电动车充电桩保有量如下：2020年各月公共充电桩保有量(单位：台)A ．2020年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势B ．2020年5月较2020年4月公共充电桩保有量增加超过1万台C ．2020年2月到2020年3月，公共充电桩保有量增幅最大D ．2020年下半年各月公共充电桩保有量均突破45万台10．等比数列{a n }各项均为正数，a 1＝20，2a 4＋a 3－a 2＝0，数列{a n }的前n 项积为T n ，则A ．数列{a n }单调递增B ．数列{a n }单调递减 B ．当n ＝5时，T n 最大 D ．当n ＝5时，T n 最小 11．已知函数f (x )＝3－2sin x ＋sin2x ，则下列结论正确的是A ．函数f (x )是周期函数B ．函数f (x )在[－π，π]上有4个零点C ．函数f (x )的图象关于(π，3)对称D ．函数f (x )的最大值为53212．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1＝3，BD ＝1，直线A 1C 1与BD 所成的角为60°，AA 1＝22，三棱锥A 1－BC 1D 的体积为12，则A ．四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面积为34B ．四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为32C ．四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱与底面所成的角为45° D ．三棱锥A 1－ABD 的体积为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(x ＋13x)2n (n ∈N *)展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为 ． 14．已知a ＞0，b ＞0，写出一个关于a 与b 的等式，使1a ＋9b 是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为 ．15．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0))的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的一条渐近线上的一点，且OA ⊥F 1A ，AF 2＝2AF 1，则双曲线C 的离心率为 ．16．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．现有一张半径为R 的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同．如果把k 次对折后得到的不同规格的图形面积和用S k 表示，由题意知S 1＝πR 22，S 2＝3πR24，则S 4＝ ；如果对折n 次，则 ．(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC 边的中垂线交BC 于D ，交AB 于E ，且BE ＝2AE ． (1)求sin B 的值； (2)求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)在①a 3＋a 5＝14，②S 4＝28，③a 8是a 5与a 13的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，其前n 项和T n ＝2n＋λ，λ为常数，a 1＝b 1， ． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)令c n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 100的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．(本小题满分12分)垃圾是人类生产和生活中产生的房弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，因此需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析，得到样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个镇的人口(单位：万人)和该镇年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得∑=201i ix＝80，∑=201i iy＝4000，()∑=-2012i ix x ＝80，()∑=-2012i iy y＝8000，()()∑=--201i i i y y x x ＝700．(1)请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的线性相关程度； (2)求y 关于x 的线性回归方程；(3)某机构有两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表：器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年)，以频率估计概率，该镇选择购买哪一－款垃圾处理机器更划算?参考公式：相关系数r ＝()()()()∑∑∑===----n i ni iini iiy yx x y yx x 1121，对于一组具有线性相关关系的数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()∑∑==---=ni ini iix x y yx x b121ˆ，x b y aˆˆ-=．20．(本小题满分12分)如图，已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，F A ⊥底面ABCD ，AF ＝2，且→DE ＝λ→AF (0＜λ＜1)． (1)求证：CE //平面ABF ；(2)若二面角B －CF －E 的大小为3π4，求λ的值．21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴长为22，离心率为22．过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A 、B 两点，AB 的中垂线交x 轴于点M ，交直线x ＝22于点N ． (1)求C 的方程； (2)求|AB ||FM |的大小； (3)证明：A 、M 、B 、N 四点共圆．22．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x ln x ＋a ，a ＜0． (1)讨论并证明函数f (x )的零点个数；(2)当a ∈(－e ，0)时，试判断函数g (x )＝12x 2ln x －14x 2＋ax 是否有最小值，若有，设最小值为h (a )，求h (a )的值域；若没有，请说明理由．。
【期中数学】姜堰中学、如东中学、沐阳如东中学2021届高三联考(学生版)
11．已知点 A（-1,0）,B（1,0），若圆（x - 2a + 1）2 +（y - 2a — 2）2 = 1 上存在点 M 满足
MA ∙ MB = 3，则实数 a 的值可以为
(
)
A． -2
B． -1
C． 3
D． 0
12．已知函数 f（x）= x2 - 4x +（m2 - m）（e x - 2 + e -x + 2）（e 为自然对数的底数）有唯一零
是
(
)
（结果保留一位小数）
A． 7.8cm
B． 7.9cm
C． 8.0cm
D． 8.1cm
5．已知函数 f（x）= e-x - ex（e 为自然对数的底数），若 a = 0.7-0.5,b = log0.50.7,c = log0.75,
则
(
)
A． f(b) < f(a) < f(c)
B． f(c) < f(b) < f(a)
下列说法正确的是 A． x = f(θ) 是偶函数，y = g(θ) 是奇函数
(
)
B． x - f(θ) 在（0,π）上为减函数，y = g(θ) 在（0,π）上为增函数
C． f(θ) + g(θ) ≥ 1 在 θ ∈
0,
π 2
上恒成立
D．函数 t = 2f(θ) + g（2θ）的最大值为 323
(
)
D．e - 4e
二、多项选择题（本大题共 4 小题, 每小题 5 分，共 20 分：在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
9．已知 α，β 是两个不同的平面，l,m 是两条不同的直线，下列命题正确是
江苏省沭阳如东中学2021届高三数学上学期第一次月考试题含解析
江苏省沭阳如东中学2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题，共40分）1.设集合2，3，，4，5，6，，集合且，则A. B.C. 6，D. 4，5，6，【答案】C【解析】【分析】本题主要考查元素与集合的关系，考查集合的新定义与运算，考查学生推理能力，属于基础题．直接利用已知且，依次验证元素，即可得到答案．【解答】解：因为集合且，所以M中的元素在B集合中，但是该元素不在A集合中，因为4，5，6，，依次检验元素，可得元素5，6，7满足题意，所以6，；故选C2.函数的图象大致是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的性质及图象的应用，属于基础题．由函数的定义域为即可求解．【解答】解：由，得，则该函数的定义域为，结合选项，只有A项符合．故选A．3.在平面直角坐标系xOy中，点，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题重点考查平面向量数量积与垂直，考查推理能力和计算能力，属于基础题．由，得，又，联立即可求解．【解答】解：设，由题意，得，则，又，联立，解得，即，故选D．4.已知函数，若，那么实数a的值是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了分段函数及求值、指数运算，属于基础题．先求得，再根据求得结果．【解答】解：，由，得到，．故选C．5.已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查幂函数的性质，考查学生的思维能力，属中档题．由幂函数的性质，点在幂函数的图象上，可解出m，得到原函数，利用其单调性，即可比较大小．【解答】解：点在幂函数的图象上，，，点在幂函数上，，解得．在R上单调递增，又，，又，，，则a，b，c的大小关系为．故选C．6.正三角形ABC中，D是线段BC上的点，，，则A. 12B. 18C. 24D. 30【答案】D【解析】【分析】本题主要考查向量的加法、减法、数乘运算，平面向量数量积的计算，向量的几何运用，属于一般题．以作为基底表示出所求向量，再利用向量的加法、减法、数乘运算即可得结果．【解答】解：如图，正三角形ABC中，D是线段BC上的点，，，，，则．故选D．7.已知定义在R上的函数满足，当时，，若方程在上恰好有两个实数根，则正实数a的值为A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查了导数的几何意义，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．由已知等式可得函数是偶函数且是周期为2的周期函数，并得到函数的一条对称轴方程，作出的图象，再求出与相切时的切点坐标得答案．【解答】解：由，可知为偶函数，且一条对称轴为，再由，可得，即函数的周期为2．根据时，作出函数的草图，如图所示：方程在上恰好有两个实数根，函数与的图象在y轴右侧有两个交点，设与相切时，切点坐标为，由，得，解得．由图象可知，当直线过点时，方程在上恰好有两个实数根，．故选C．8.设的内角所对的边分别为，且，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正弦定理和三角恒等变换以及函数最值的求解，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．根据题意利用正弦定理化简可得，从而化简构建函数，进而即可求得最大值．【解答】解：，由正弦定理可得，展开并整理得，化简得，故，令，，当时，取得最大值，代入可得，故选A．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9.已知不等式对任意的恒成立，则满足条件的整数a的可能值为A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，属中档题．令，利用导数求出函数的最小值，从而得到a的取值范围，进而得到正确选项．【解答】解：令，，当时，，当时，，在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值是，因为不等式对任意的恒成立，，所以整数a的可能值为，．故选AB．10.已知函数，则下列说法中正确的是A. 函数的图象关于点对称B. 函数图象的一条对称轴是C. 若，则函数的最小值为D. 若，则【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了三角函数图象的性质，属于中档题．结合三角函数图象的性质对每个选项逐一判断即可求解．【解答】解：由函数，则对称中心的纵坐标为1，故A错误；令，则，当时，，故B正确；当时，，，则，即此时函数的最小值为，故C正确；由B选项知，函数的对称轴为，当时，函数在该区间内有两条对称轴和，可得在上不是单调函数，则若，则不一定成立，故D错误．故选BC．11.数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的的是A. 对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B. 可以是某个圆的“优美函数”C. 正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”D. 函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形【答案】ABC【解析】【分析】本题考查函数图象的对称性，只要函数图象的对称中心在圆心，该函数就是“优美函数”，由此判定选项即可．【解答】解：当函数图象为中心对称图形，且对称中心在圆心时，该图象能够将圆的周长和面积同时平分，函数即为“优美函数”．对A，对于任意一个圆，存在无数个函数，图象为中心对称图形，只要平移，使其对称中心平移到圆心，对应的函数都是“优美函数”，A正确；对B，的图象关于点对称，所以它是以原点为圆心的某个圆的“优美函数”，B正确；对C，正弦函数有无数个对称中心，所以它是以这些对称中心为圆心的圆的“优美函数”，C正确；对D，函数的图象将圆的周长和面积同时平分时，该函数图象不一定是中心对称图形，D错误，故选ABC．12.已知函数的定义域为，图像关于y轴对称，导函数为，且当时，，设，则下列大小关系正确的是A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】本题考查比较大小，函数奇偶性，不等式性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意，当时，构造函数，则，所以时，单调递减，再由是偶函数，可得是奇函数，所以当时，单调递减，根据选项可得结论．【解答】解：由题意，当时，构造函数，则，所以时，单调递减，又由题意可得是偶函数，所以是奇函数，则当时，也单调递减．对于A，，，，即，，故A正确；对于B，，，，即，可得，故B错误；对于C，，，即，，即，，故C错误；对于D，，，，，即，，故D正确．故选AD．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，其始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则____．【答案】；【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．【解答】解：平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，其始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，，．故答案为：．14.已知命题p：“，关于x的方程有实数解”若命题p为真命题，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算性质、基本不等式的性质，简易逻辑的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题由题意可知，根据基本不等式的性质，即可求得m的取值范围．【解答】解：因为p为真命题，即方程有实数解，，当且仅当时等号成立，，故m的取值范围是．故答案为．15.已知函数，则____；关于x的不等式的解集为____．【答案】；【解析】【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断以及应用，属于中档题，由函数的解析式可求，设，分析函数的单调性与奇偶性，将原不等式转化为，即可得解．【解答】解：因为函数，则；设，易知函数在R上为增函数，且，所以函数为奇函数，因为等价于，即，则，解得，所以关于x的不等式的解集为．故答案为；．16.已知函数，若存在，使得，则实数a的值为____．【答案】【解析】【分析】本题考查导数中的存在性问题，考查推理能力和计算能力，属于较难题．将函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，则问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，然后借助导数的几何意义即可求解．【解答】解：函数，函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点M在函数的图象上，N在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，则，根据题意，要使，则，此时N恰好为垂足，由，解得．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，，．求角B；求的面积．【答案】解：若选，由余弦定理可得，，因为，故B．若选，由正弦定理可得，，因为，所以，即，因为，故B．由可得，所以，因为，故B；由正弦定理可得，，所以．．所以．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选由余弦定理可得，进而解得B；选由正弦定理得，所以；选由和角公式得，可得；再由正弦定理可得a，再用和角公式求得sin C，最后利用三角形的面积公式计算即可得出．18.已知函数求的单调递增区间；求在上的最小值及取最小值时的x的集合．【答案】解：，令，，解可得，，，故函数的单调递增区间为，，，，当，即时，函数取得最小值．故在上的最小值为，取最小值时x的集合【解析】本题考查三角函数的恒等变换以及正弦函数的图象与性质，比较基础．利用二倍角公式以及辅助角公式把化为一个角的正弦函数，再令，，解得x的范围即得的单调递增由x的范围得到的范围，再结合正弦函数的图象与性质，求得在上的最小值及取最小值时的x的集合．19.某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入万元之间满足：，a，b为常数．当万元时，万元；当万元时，万元．求的解析式；求该景点改造升级后旅游利润的最大值精确到，参考数据：，，【答案】解：旅游增加值y万元与投入万元之间满足：，a，b为常数．当万元时，万元；当万元时，万元，解得，，．由题意知：，，，令，则舍，或，当时，，在上是增函数，当时，，在上是减函数，为的极大值点，该景点改造升级后旅游利润的最大值为万元．【解析】本小题主要考查函数模型的选择与应用、应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识解决实际问题通常有四个步联：阅读理解，认真审题引进数学符号，建立数学模型利用数学的方法，得到数学结果转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．由条件：“当万元时，万元当万元时，万元”列出关于a，b的方程，解得a，b的值即得则求的解析式先写出函数的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题．20.设，是函数的图象上任意两点，点满足若，求证：为定值；若，且，求的取值范围，并比较与的大小．【答案】证明：由可知，，即，故为定值，即得证；解：由，，可得，则，即，解得．此时由，可得，故，即．【解析】本题考查对数的运算以及对数不等式的求解问题，考查比较大小的问题，属于中档题．由条件可得，继而可推算出，即可得证结论；由条件可得，解对数不等式即可求得的取值范围．根据得，进而有．21.已知椭圆两焦点、在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．求P点坐标；求证直线AB的斜率为定值．【答案】解：设椭圆的方程为，由题意可得，，即，，椭圆方程为，焦点坐标为，，设，则，，，点P在曲线上，则，，从而，得，则点P的坐标为；由知轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB的斜率为，则PB的直线方程为，由，得，设，则，同理可得，则，，所以AB的斜率为定值．【解析】本题考查了椭圆的方程和性质，考查椭圆和直线的位置关系，属于较难题．由已知可解出椭圆方程，然后设出，结合，即可解出点P的坐标；由知轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB的直线方程为，与椭圆方程联立，即可解出，同理可得，然后解出，即可算出AB的斜率．22.已知函数，．设函数与有相同的极值点．求实数a的值；若对，，不等式恒成立，求实数k的取值范围；时，设函数，试判断在上零点的个数．【答案】解：，当时，，函数单调递增，，，函数单调递减，故时，函数取得唯一的极大值，故也是的极值点，，由可得，经检验是的极小值点，故，由知，由于，，，显然，故时，，，又，，，故，所以当时，，，当时，问题等价于，所以恒成立，即，，，故符合题意；当即时，问题等价于，即恒成立，即，因为，．综上或，当时，，，，令，，则，当时，，函数单调递减，当，，函数单调递增，又，，，所以在上只有1个零点，即方程在上只有一个根，即方程在上只有一个根，即函数在上只有1个零点．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，考查了零点的判断，以及导数中的恒成立问题，是难题．求出函数的极值点1，令函数，求出a的值，再检验1是函数的极值点；当时，问题等价于，当时，问题等价于，即恒成立，将恒成立问题转化成求函数的最值问题即可得解；令，用导数可证时，，函数单调递减，当，，函数单调递增，可证在上只有1个零点，故在上只有1个零点．。
2021届沭阳如东中学高三考卷(2020.10)
的特征，如：函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【分析】根据题意，分析函数的值域排除 C，分析函数的变化趋势排除 A、B；即可得答案．
【解答】解：根据题意，
，其定义域为{x|x≠0}，
当 x≠0 时，x2＞0，|ex﹣1|＞0，则有 f（x）＞0，必有 f（x）＞0，函数的图象在 x 轴上方，排除 C， 当 x→﹣∞时，x2→+∞，|ex﹣1|→1，则有 f（x）→+∞，排除 A， 当 x→+∞时，f（x）→0，排除 B， 故选：D． 【点评】本题考查函数的图象分析，注意用排除法分析，属于基础题．
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.61比 t＝
≈0.618 还可以表示成 2sin18°，则
＝（ ）
A．4
B． ﹣1
C．2
D．
6．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．” 在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象
7．设函数 f（x）＝
•若函数 y＝f（x）﹣k 存在两个零点 x1，x2（x1＜x2），则（x2﹣
x1）•f（x1）的取值范围为（ ）
A．[2，e2）
B．[1，e2）
C．[e，e2）
D．[1，e2]
【分析】本题先根据题意画出函数 f（x）大致图象，然后根据图象得出 0≤x1＜1，再用 x1 表示出 x2，根
联立
，解得三角形 ABC 的外心 G（﹣1，1），
江苏省如东高级中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考数学试题(解析版)
江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学三校2021届高三联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 A ．209B ．45 CD2．已知13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 从小到大依次为A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．b a c << 3．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b +=，则a 与b 的夹角为 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地区立春与惊蛰两个节气的日影长分别为9尺和7尺，现在从该地日影长小于7尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概率为A ．47 B ．815 C ．1021 D ．355．函数()cos ln xf x x xππ-=+的图象大致为A B C D6．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，0≤ϕ＜2π)在R 上的部分图象如图所示，则(2020)f 的值为A ．B C ．0D ．7．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是奇函数，下列说法正确的是 A ．函数(3)f x -为偶函数 B ．函数(1)f x -为偶函数C ．函数()f x 是以2为周期的周期函数D ．函数()f x 是以4为周期的周期函数8．棱长为6的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为A ．B ．C ．D ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列命题中正确的是A ．“1x >”是“220x x +->”的必要不充分条件B ．“1x >”是“sin x x >”的充要条件C ．“R x ∀∈，1()102x +>”是真命题D ．“R x ∃∈，210x x -+>”的否定是：“R x ∀∈，210x x -+<”10．已知双曲线的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2，且过点(4，)，点M(3，m )在双曲线上，则A ．双曲线方程为226x y -=B ．△F 1MF 2的面积为6C ．∠F 1MF 2＜2πD ．MF 1＝11．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为BA 1的中点 A ．直线EC 1与直线AD 是异面直线B ．在直线A 1C 1上存在点F ，使EF ⊥平面A 1CD C ．直线BA 1与平面A 1CD 所成角是6πD ．点B 到平面A 1CD 的距离是2第6题 第11题 第12题12．学校开展劳动实习课，某班将在如图的曲边梯形ABCD 的场地中建矩形花圃EBFH ，经建系测绘，收集到以下信息：D(0，0)，A(2，0)，B(2，8)，C(﹣2，8)，曲边CD 可近似看作是函数3y x =-图象的一段，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，现要求矩形花圃EBFH 的顶点E ，F ，H 分别落在边AB ，边BC 和曲边CD 上，若H 点的横坐标为x 且x ∈(﹣2，﹣1]，花圃EBFH 的面积S 与x 的函数关系式记为()S x ．则 A ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1]上单调递增B ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1]上先单调递增再单调递减C ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1)上存在最大值D ．()S x 最大为21三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知随机变量X 服从正态分布N(2，2σ)且P(X ＜4)＝0.9，则P(0＜X ＜2)＝ ． 14．数列{}n a 为等比数列，其前n 项的乘积为n T ，若39T T =，则12T = ．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴交于点C ，若点A 在l上，点B 为抛物线上第一象限内一点，直线BF 与抛物线交于另一点D ，△ABF 是正三角形，且四边形ABFC 的面积是273，则p ＝ ；△ODF 的面积是 ．（本题第一空2分，第二空3分）16．如图，三棱锥P —ABC 中，BC ＝1，AC ＝2，PC ＝3，PA ＝AB ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，点Q 在棱PB 上且BQ ＝1，则直线CQ 与平面ABC 所成的角是 ． 第16题四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足26a =，534a a -=．等比数列{}n b 各项均为正数且满足：23b a =，415b a =． （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）在①B 4π=，②3c b =，③2a =这三个条件中选两个能解决问题的条件，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(b ﹣a )(sinB ＋sinA)＝c (3sinB ﹣sinC)． （1）求A 的大小；（2）已知△ABC 存在，且 ， ，求△ABC 的面积．19．（本小题满分12分）如图在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，E 为侧棱PA 上一点，且AE ＝2PE ，AP ＝3，AB ＝BC ＝2，AD ＝4．（1）证明：PC ∥平面BDE ；（2）求平面PCD 与平面BDE 所成锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而今年出现的新型冠状病毒(COVID-19)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p (01p <<)．现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．（1）若按方案一且13p =，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；（2）若13p =，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数21()e 2x f x ax =-(R a ∈)，其中e 为自然对数的底数，e 2.71828=．0()f x 是函数()f x 的极大值或极小值，则称0x 为函数()f x 的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点．（1）函数()f x 在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）判断函数()f x 的极值点的个数，并说明理由；（3）当函数()f x 有两个不相等的极值点1x 和2x ln a ．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)过点，1)，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点且12PF PF 1⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：y kx m =+(0m ≠)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学三校2021届高三联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为A ．209B ．45 CD答案：C解析：2i 24i 2i 55z ==++，z =，选C ． 2．已知13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 从小到大依次为A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．b a c <<答案：C解析：13log 2a =＜0，121log 3b =＞1，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈(0，1)，故a c b <<，选C ．3．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b +=，则a 与b 的夹角为 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π答案：C解析：223231a b a a b b a b +=⇒+⋅+=⇒⋅=-， 则cos<a ，b >12a ba b⋅==-，所以a 与b 的夹角为23π，选C ． 4．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地区立春与惊蛰两个节气的日影长分别为9尺和7尺，现在从该地日影长小于7尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概率为A ．47 B ．815 C ．1021 D ．35答案：B解析：根据题意可知该地日影长小于7尺的节气有6个，小于3尺的节气有2个，故所求概率P ＝112426815C C C =，选B ．5．函数()cos lnxf x x xππ-=+的图象大致为A B C D 答案：C解析：首先判断该函数是奇函数，排除A 、D 选项，其次发现()04f π<，选C ．6．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，0≤ϕ＜2π)在R 上的部分图象如图所示，则(2020)f 的值为A． BC．0D ．答案：B解析：32946ππωω⋅=⇒=，222626k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+，∵0≤ϕ＜2π，∴6πϕ=，则()Asin()66f x x ππ=+，(0)A f =⇒=())66f x x ππ=+，20215(2020)66f ππ===B ． 7．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是奇函数，下列说法正确的是A ．函数(3)f x -为偶函数B ．函数(1)f x -为偶函数C ．函数()f x 是以2为周期的周期函数D ．函数()f x 是以4为周期的周期函数答案：D解析：∵(1)f x +是奇函数，∴()f x 关于点(1，0)对称，又∵()f x 是偶函数，∴()f x 的周期为4，故选D ． 8．棱长为6的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为A ．B ．C ．D ．答案：A解析：设外接球半径为R ，则正三棱锥E —BCD 的高2h R =-，BE 2＝222(2436R R +-=-+根据AB 2＋BE 2＝AE 2，得22364364R R +-+=，解得R ，解得2h R =-=V E —BCD ＝2163=A ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列命题中正确的是A ．“1x >”是“220x x +->”的必要不充分条件B ．“0x >”是“sin x x >”的充要条件C ．“R x ∀∈，1()102x +>”是真命题D ．“R x ∃∈，210x x -+>”的否定是：“R x ∀∈，210x x -+<” 答案：BC解析：“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件，故A 错误；“R x ∃∈，210x x -+>”的否定是：“R x ∀∈，210x x -+≤”，故D 错误．选BC ． 10．已知双曲线的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2均在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，10-)，点M(3，m )在双曲线上，则A ．双曲线方程为226x y -=B ．△F 1MF 2的面积为6C ．∠F 1MF 2＜2π D ．MF 1＝答案：ABD解析：说明该双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为22x y λ-=，由过点(4，)解得6λ=，故A正确；由M(3，m )在双曲线上，解得m ＝从而S △F1MF2＝162⨯，故B 正确；求得12F M F M 0⋅=，故∠F 1MF 2＝2π；根据M(3，)，F 1(-0)，求得MF 1＝D 正确．选ABD ． 11．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为BA 1的中点A ．直线EC 1与直线AD 是异面直线B ．在直线A 1C 1上存在点F ，使EF ⊥平面A 1CD C ．直线BA 1与平面A 1CD 所成角是6πD ．点B 到平面A 1CD 答案：BCD解析：因为AE ∥C 1D ，所以直线EC 1与直线AD 是共面的，故A 错误；若F 是A 1C 1中点时，EF ∥BC 1，由于BC 1⊥平面A 1CD ，所以此时EF ⊥平面A 1CD ，故B 正确；连BC 1，B 1C 交于点G ，连AG ，则∠BA 1G 就是直线BA 1与平面A 1CD 所成的角，求得sin ∠BA 1G ＝12，所以∠BA 1G ＝6π，所以C 正确；BG 即为点B 到平面A 1CD 的距离，求得BG ＝2，所以D 正确．选BCD ． 12．学校开展劳动实习课，某班将在如图的曲边梯形ABCD 的场地中建矩形花圃EBFH ，经建系测绘，收集到以下信息：D(0，0)，A(2，0)，B(2，8)，C(﹣2，8)，曲边CD 可近似看作是函数3y x =-图象的一段，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，现要求矩形花圃EBFH 的顶点E ，F ，H 分别落在边AB ，边BC 和曲边CD 上，若H 点的横坐标为x 且x ∈(﹣2，﹣1]，花圃EBFH 的面积S 与x 的函数关系式记为()S x ．则A ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1]上单调递增B ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1]上先单调递增再单调递减C ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1)上存在最大值D ．()S x 最大为21 答案：AD解析：3()(2)(8)S x x x =-+，32()2(234)S x x x '=--+，[()]12(1)S x x x ''=--， 因为x ∈(﹣2，﹣1]，所以[()]12(1)0S x x x ''=--<，所以()S x '在(﹣2，﹣1]上单调递减，求得()(1)20S x S ''≥-=>，所以()S x 在x ∈(﹣2，﹣1]上单调递增，max ()(1)21S x S =-=．综上所述，本题选AD ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知随机变量X 服从正态分布N(2，2σ)且P(X ＜4)＝0.9，则P(0＜X ＜2)＝ ． 答案：0.4解析：因为P(X ＜4)＝0.9，所以P(x ≥4)＝0.1，故P(0＜X ＜2)＝P(2＜X ＜4)＝0.5﹣P(x ≥4)＝0.4． 14．数列{}n a 为等比数列，其前n 项的乘积为n T ，若39T T =，则12T = ． 答案：1解析：6456789112132121911)1(a a a a a a a a a a T T T ⇒=⇒==⇒==．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴交于点C ，若点A 在l上，点B 为抛物线上第一象限内一点，直线BF 与抛物线交于另一点D ，△ABF 是正三角形，且四边形ABFCp ＝ ；△ODF 的面积是 ．（本题第一空2分，第二空3分）答案：3解析：四边形ABFC 是以p ，2p 为底，1(22p p +为高的直角梯形，解得p ＝3，从而F(32，0)，D(12，，则S △ODF ＝2321=⨯16．如图，三棱锥P —ABC 中，BC ＝1，AC ＝2，PC ＝3，PA ＝AB ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，点Q 在棱PB 上且BQ ＝1，则直线CQ 与平面ABC 所成的角是 ．答案：6π 解析：如图，将底面补成矩形ACBD ，连PD ，易证PD ⊥底面ACBD ，作QE ∥PD 交BD 于点E ，连CE ，则∠QCE 就是直线CQ 与平面ABC 所成的角，求得QE ，CQ sin ∠QCE ＝12，故∠QCE ＝6π，即直线CQ 与平面ABC 所成的角是6π．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足26a =，534a a -=．等比数列{}n b 各项均为正数且满足：23b a =，415b a =． （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 解：（1）22n a n =+；12n n b +=（2）2(1)2n n C n +=+⋅345122232422(1)2n n n S n n ++=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅4523222322(1)2n n n S n n ++⋅=⋅+⋅++⋅++⋅两式相减得()33452322222(1)2n n n S n ++-=+++++-+⋅32n n S n +-=-⋅，所以32n n S n +=⋅.18．（本小题满分12分）在①B 4π=，②c =，③2a =这三个条件中选两个能解决问题的条件，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(b ﹣a )(sinB ＋sinA)＝c ﹣sinC)． （1）求A 的大小；（2）已知△ABC 存在，且 ， ，求△ABC 的面积． 解：（1）因为()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b a c c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 222b c a A bc bc +-===，因为0A π<<，所以6A π=.（2）不能选①和②：若选条件①和②，在三角形中，因为c=由正弦定理得sin14C Bπ====>不成立，所以这样的锤子数学三角形不存在.只能选：②和③或①和③若选条件②和③，由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，得222433b b b=+-，则24b=，所以2b=所以c==所以ABC△的面积111sin2222S bc A==⨯⨯=若选条件①和③.由正弦定理sin sina bA B=，得2sin sinsin4sin6ab BAππ===76412C A Bπππππ=--=--=.71sin sin124322224πππ⎛⎫=+=+⨯=⎪⎝⎭所以ABC△的面积11sin2122S ab C==⨯⨯=.19．（本小题满分12分）如图在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，E为侧棱PA上一点，且AE＝2PE，AP＝3，AB＝BC＝2，AD＝4．（1）证明：PC∥平面BDE；（2）求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点F，连接EF.∵四边形ABCD为梯形，且2AD BC=，∴::2:1AF CF AD BC==，即2AF CF=，在PAC △中，∵2AE PE =，2AF CF =，∴//EF PC 又PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，∴//PC 平面BDE（2）如图所示，以点A 为坐标原点，以分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴和z 轴建立锤子数学空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)E ，(0,0,3)P所以，(2,0,2)BE =-，(2,4,0)BD =-，(2,2,3)PC =-，(0,4,3)PD =-，设()111,,m x y z =和()222,,n x y z =分别是平面BDE 和平面PCD 的法向量，则0m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1111240220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令12x =得11y =，12z =，即(2,1,2)m =，n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222222230430x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令23y =得23x =，24z =， 即(3,3,4)n =所以，cos ,||||334m n mn m n ⋅〈〉===⋅⨯ 故平面BDE 和平面PCD . 20．（本小题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而今年出现的新型冠状病毒(COVID-19)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p (01p <<)．现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．（1）若按方案一且13p =，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；（2）若13p =，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围．解：（1）用X 表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭由题意可知，2224118(2)C 13327P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）方案一：逐个检验，检验次数为4；方案二：混合在一起检测，记检测次数为X ，则随机变量X 的可能取值为1、5，4116(1)1381P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，1665(5)18181P X ==-=，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，方案二的锤子数学期望为1665341()15818181E X =⨯+⨯= 方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测吹数为1次，其概率为214139⎛⎫-= ⎪⎝⎭；若呈阳性则检测次数为3次，其概率为45199-=. 设方案三的检测次数为随机变量Y ，则Y 的可能取值为2、4、6，2416(2)981P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，124540(4)C 9981P Y ==⋅⋅=，2525(6)981P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，方案三的期望为164025342()24681818181E Y =⨯+⨯+⨯=. 比较可得4()()E X E Y << 故选择方案一最“优”；（3）方案二：记检测次数为X ，则随机变量X 的锤子数学可能取值为1、5，4(1)(1)P X p ==-，4(5)1(1)P X p ==--，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为444()(1)51(1)54(1)E X p p p ⎡⎤=-+⨯--=--⎣⎦， 由于“方案二”比“方案一”更“优”，则4()54(1)4E X p =--<，可得41(1)4p ->，即21(1)2p ->，解得01p <<故当01p <<时，方案二比方案一更“优”. 21．（本小题满分12分）已知函数21()e 2x f x ax =-(R a ∈)，其中e 为自然对数的底数，e 2.71828=．0()f x 是函数()f x 的极大值或极小值，则称0x 为函数()f x 的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点．（1）函数()f x 在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）判断函数()f x 的极值点的个数，并说明理由；（3）当函数()f x 有两个不相等的极值点1x 和2x ln a ．解：（1）()0xf x e ax '=-≥在(0,)+∞上恒成立，xe a x≤恒成立；解得a e ≤.（2）()xf x e ax '=-，令()xg x e ax =-，则()xg x e a '=-①当0a <时，()0x g x e a '=->，()xf x e ax '=-在(,)-∞+∞上锤子数学单调递增又(0)10f '=>，1110a f e a ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，于是()xf x e ax '=-在(,)-∞+∞上有一个零点1x于是函数()f x 的有1个极值点；②当0a =时，()xf x e =单调递增，于是函数()f x 没有极值点； ③当0a e <≤时，由()0xg x e a '=-=得ln x a =()0f x '≥，当且仅当ln x a =时，取“=”号，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，于是函数()f x 没有极值点； ④当a e >时，(ln )(1ln )0f a a a '=-<，(0)10f '=>又∵ln a a > ∴222()0a f a e a a a '=->-=于是，函数()f x '在(,ln )a -∞和(ln ,)a +∞上各有一个零点，分别为2x ，3x于是，函数()f x 的有2个极值点；综上：当0a <时函数()f x 的有1个极值点；当0a e <≤时函数()f x 没有极值点； 当a e >时函数()f x 的锤子数学有2个极值点. （2）当函数()f x 有两个不相等的极值点1x 和2x 时，由（2）知a e >且121ln x a x <<<，()()120f x f x '='=令()()(2ln )F x f x f x x ='-'-，()2()xxea F x e-'=，由()2()0xxea F x e'-==得ln x a =()1(ln )0F x F a <=即()()112ln f x f a x '<'-即()()212ln f x f a x '<'-∵2ln x a >，12ln ln a x a ->，()f x '在(ln ,)a +∞单调递增 ∴212ln x a x <-即122ln x x a +<又12x x +>ln a <. 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)过点，1)，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点且12PF PF 1⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：y kx m =+(0m ≠)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值． 解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1(1)PF c =--，2(1)PF c =--.∵212411PF PF c ⋅=-++=-，∴c =又P 在椭圆上，故22211a b+=，又222a b =+，解得24a =，22b =， 故所求锤子数学方程为22142x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222214240k x kmx m +++-=， 由0∆>，得2242m k <+（*）且122421km x x k -+=+，因此122221my y k +=+ 所以222,2121km m D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又(0,)N m -，所以222222||2121km m ND m k k ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得：()()224222413||21m k k ND k++=+，因为||||NF m =，所以()()()422222222431||831||2121k k ND k NF k k +++==+++. 令283t k =+，3t ≥，故21214t k ++=， 所以222||1616111||(1)2ND t NF t t t=+=++++. 令1y t t =+，所以211y t'=-当3t ≥时，0y '>，从而1y t t=+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22||134||ND NF ≤+=， 由（*）得m <<0m ≠，故||1||2NF ND ≥， 设2EDF θ∠=，则||1sin ||2NF ND θ=≥，所以θ的最小值为6π. 从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线/的斜率为0. 综上所述：当0k =，((0,2)m ∈时，EDF ∠取得最小值为3π.。
江苏省宿迁市如东中学2020-2021学年高三数学文联考试卷含解析
江苏省宿迁市如东中学2020-2021学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=( )A．22 B．23 C．24 D．25参考答案：A考点：等差数列的性质．分析：根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．2. 设变量满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为( )A.－5B.－4C.－2D.3参考答案：B3. 集合，，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．参考答案：D4. 函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：C5. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（）A．B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．参考答案：B【考点】圆的标准方程．【分析】设圆心，然后圆心到直线的距离等于半径可解本题．【解答】解：设圆心为（a，1），由已知得，∴．故选B．6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．30参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故选：C．7.（A）（B）（C）（D）参考答案：A8. 已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S6=4S3，则a10=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵S6=4S3，d=1．∴×1=4×，解得a1=．则a10==．故选：B．9. 根据如下样本数据：( )得到的回归方程为=x+，则．A ．a ＞0，b ＞0B ．a＜0，b＜0C ．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0参考答案：D考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：利用公式求出b，a，即可得出结论．解答：解：样本平均数=5.5，=0.25，∴=23.75，=17.5，∴b≈1.4＞0，∴a=0.25﹣1.4?5.5＜0，故选：D．点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．10. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是 A． B．C． D．参考答案： B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等比数列中，a 2＝2，且，则的值为_______．参考答案：5【知识点】等比数列【试题解析】在等比数列中，由 得：解得：或所以故答案为： 12.中，角所对的边成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则__________.参考答案：略13. 如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值参考答案：14.已知函数，的零点依次为则的大小关系是（用“<”连接）＿＿＿＿＿＿＿＿ 参考答案：略15. 函数（a>0，且a≠1）的图像过一个定点，则这个定点坐标是_________．参考答案：略16. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则 ．参考答案：由三角函数定义得，所以17. 不等式的解集为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省沭阳如东中学2021届高三上学期第一次月考数学试题
1
1
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为 O，其始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
Байду номын сангаас
过点
ǡǡ ሼ
ༀ
1 ，则 sin ǡ
ሼ
ሼ ǡ
ࠀ____．
14. 已知命题 p：“ ݉ ，关于 x 的方程 ǡ ݉ 1 ࠀ 有实数解” 若命题 p 为真
命题，则实数 m 的取值范围是____．
15. 已知函数 ࠀ ሼ ሼ 的解集为____．
16. 已知函数 ࠀ
ǡ
ǡ，则 logሼǡ ࠀ____；关于 x 的不等式 ሼ
ǡ
，若存在 ，使得
ǡ
，则实数
1
a
的值
为____．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. 在 ǡ
ࠀ ǡ ǡ， ሼ t数 ࠀ 数个 ， ሼ数个
t数 ࠀ ǡ，这三个条件
9. 已知不等式 ǡ
对任意的
恒成立，则满足条件的整数 a 的可能值为
A.
B. ሼ
C. ǡ
D. 1
10. 已知函数 A. 函数
ࠀ ǡsin ǡ ሼ 1，则下列说法中正确的是 的图象关于点 ሼ ༀ 对称
B. 函数
图象的一条对称轴是 ࠀ
1ǡ
C. 若
ሼ ༀ ǡ ，则函数
的最小值为 ሼ 1
D. 若 ൏ 1 ൏ ǡ ൏ ，则 1 ൏ ǡ
20. 设 1ༀ 1 ，
ࠀ
1 ǡ
ǡༀ ǡ 是函数
ࠀ
1 ǡ
logǡ 1 的图象上任意两点，点
ༀ 满足
1若
ࠀ
1，求证：
江苏省宿迁市沐阳如东中学2021-2022学年高三开学检测数学试卷及答案
解得 4 x 8 ，即 4 6t 8， 8 t 32 ，
3
3
因为 32 8 8 ，所以每天约有 8 小时供水紧张. 33
18．（12 分）已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 cos2 A 1 b . 2 2 2c
（1）求角 C ；
（2）若 BM 平分角 B 交 AC 于点 M ，且 BM 1， c 6 ，求 cos ABM .
B，取 x
1, y
1知
f
(x)
f
( y)
2
2
f
(0)
2f
x
2
y
，B
正确；
对于
C，对 x,
y
0且x
y
，
f
(x)
f
( y)
ln x
ln
y
ln
xy
ln
x
2
y
2
2 ln
x
2
y
2
f
x
2
y
，不合题意，C
错；
对于 D，取 x
1, y
3 ，知
f
(x)
f
(y)
22f
(2) 2 f
x 2
y
【解析】
（1）因为 1 cos A 1 b ，所以 cos A b ，
2 2 2c
c
所以 cos Asin C sin B sin( A C) sin AcosC cos Asin C .
又 A (0, ) ，所以 sin A 0 ，所以 cosC 0 ，
因为 C (0, ) ，所以 C . 2
字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置.
江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学2022-2023学年高三10月联考数学试卷
姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学高三联考数学试卷考试时间：120分钟满分150分一、单选题(本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知{|4}A x x =<，2{|log (7)3}B x x =+≤，则A B=U （）A ．(,2)-∞B ．(7,2)-C ．[0,1]D ．(7,16)-2、已知a b ，满足(3,4)a = ，(4,3b = ），则a 在b上的投影向量为（）A ．245B ．9672(,)2525C ．7296(,2525D ．245-3、已知函数()y x f =的定义域是[]2,3-，则2y x =+）A ．[]2,5-B ．(]2,3-C []1,3-D ．(]2,5-4、中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中错误的有（）A ．函数()11x x e f x e -=+可以是某个圆的“优美函数”.B ．函数()321f x x x x =+++可以是无数个圆的“优美函数”C ．函数32sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．若函数()y f x =是“优美函数”，则函数()y f x =的图象一定是中心对称图形5、已知0.10.1,0.11,ln1.1a e b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c>>C ．a b c>>D ．a c b<<6、若不等式192832430xx +-⨯+≤的解集为M ，则当x M ∈时函数240.5()(log )(log )28x xf x =的最小值是（）A ．32-B ．32C ．2516-D ．25167、若命题p 是命题q 的充分不必要条件，下列说法正确的是（）A ．命题p ：2a ≤，命题q 2244x a x +≥+恒成立B ．命题p ：||1x >，命题q ：1x >C ．命题p ：1a ≤，命题q ：1xe ax ≥+恒成立D ．命题p ：1a =，命题q ：0,x ∃>使得ln 1x ax >-8．已知平面向量x ，y ，z满足对任意λ∈R 都有x y x y λ-≥- ，x z x z λ-≥- 成立，且1x z y z -=-=，x y -=，则y u r 的值为（）A ．1B C ．2D二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的4个选项中，有多项是符合题目要求的，部分选对得2分，有错选得0分)9、已知复数5034iz i-=+，则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限B ．复数z 的虚部为6-C ．复数z 的共轭复数86z i=-+D ．复数z 的模||10z =10、要得到函数2()3sin(2)13f x x π=--的图像，需要把函数()3sin 21g x x =-的图像向_____平移______（）A ．右3πB ．左3πC ．右43πD ．左23π11、下列命题中真命题有（）A ．已知(1,1),(1,2)a b == ，若a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则23λ∈-+∞（，）B ．若函数()f x 是奇函数，函数(1f x -）为偶函数，则(2)0f =C ．复数z 满足22|z |z =D ．函数()f x =512、下列不等式正确的是（）A ．ln e ππ>B ．24ln e ππ>C ．2ln e ππ>D ．22ln e ππ<三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13、若复数z 满足||1z i z --=，则z =.14、在ABC ∆中，5,3AB AC ==，且9AB AC ⋅=，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是________.15、已知函数())f x x x =,若(2)(21)f a f a ->+成立，则的取值范围为______.16、已知1112,,7,23a b a b >>+=则312131a b +--的最小值为.四、解答题：本题共6小题，计70分。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解12--- 函数的奇偶性、零点的综合运用
高一数学复习考点知识与题型专题讲解 专题12 函数的奇偶性、零点的综合运用【方法精讲】1.图象关于某一条（垂直于x 轴）直线对称的函数的零点成对出现，特别的，若关于直线x m =对称的函数有唯一零点，则()0f m =（这是一必要但不充分的条件！）.2.要善于发现函数隐藏的对称性.【典型例题】例1 （2021·姜堰中学､如东中学､沭阳如东中学高三联考·12）已知函数2222()4)()(x x f x x x m m e e --+=-+-+(e 为自然对数的底数)有唯一零点，则m 的值可以为( )A.1B.-1C.2D.-2【答案】BC【分析】发现函数2222()4)()(x x f x x x m m ee --+=-+-+的对称性， 【解析】()22222222()4()((=2()4))x x x xf x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+--+-+ 所以()f x 的图象关于直线2x =对称，欲使()f x 有唯一零点，必有(2)0f = 即242()0m m -+-=，解之得1m =-或2m = 验证：当2m =时，222()4(2)x x f x x x ee --+=-++ 由22()24(2)x xf x x e e --+'=-+-得，(2)0f '=，且()f x '单增所以函数()f x 有唯一零点，又(2)0f =，所以当2m =时，函数()f x 有唯一零点. 同法验证1m =-也符合题意.所以1m =-或2m =，选BC.例2 已知关于x 的方程03)2(log 22222=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为________.【答案】1【分析】利用隐藏的对称性，易得f (0)＝0，求得a ＝1或a ＝－3，再利用数形结合，将增解舍弃.【解析】通过对函数f (x )＝x 2＋2a log 2(x 2＋2)＋a 2－3的研究，可发现它是一个偶函数，那么它的图象就关于y 轴对称，若有唯一解，则该解必为0．将x ＝0代入原方程中，可求得a ＝1或a ＝－3．这就意味着，当a ＝1或a ＝－3时，原方程必有一解0，但是否是唯一解，还需进一步验证．当a ＝1时，原方程为x 2＋2log 2(x 2＋2)－2＝0，即2log 2(x 2＋2)＝2－x 2，该方程实数根的研究可能过函数y ＝2log 2t 和函数y ＝4－t 的交点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当a ＝－3时，原方程为x 2－6log 2(x 2＋2)＋6＝0，即x 2＋6＝6log 2(x 2＋2)．通过研究函数y ＝4＋t 和y ＝6log 2t 可以发现，此时原方程不止一解，不合题意，需舍去．点评：f (0)＝0仅是函数存在零点的必要条件，要注意检验充分性，一般是代入检验进行取舍.例3 已知函数22(1), 0()2, 0k x f x x x k x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且仅有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是． 【答案】(27，+∞)【解析】易知()()()g x f x f x =-+是偶函数，问题可转化为22(), 0k g x x k x x =+->有且仅有两个不同的零点. 分离函数得()21210x x k x=-+>，由图形易知k ＞0， 问题进一步转化为()21210y x y x k x==-+>、有两个交点问题. 考虑两曲线相切的临界状态的k 值，由图象随k 变化规律求出k 的范围.()21210x x k x=-+>可化为320x kx k -+=，则其有两等正根设为1x设32122()()x kx k x x x x -+=--，即3322212112122(2)(2)x kx k x x x x x x x x x x -+=-++--则1221122122022x x x x x k x x k+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得13x =， 所以当200121x k x <-+时，即k ＞27时，上述两个函数图象有两个交点 综上所述，实数k 的取值范围是(27，+∞)．【巩固练习】1.若函数22()243f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a = .2.已知函数有唯一零点，则a =（ ） A ． B ． C ．12D ．1 3.已知函数222()41x x f x x x e e--+=-+-+(e 为自然对数的底数)有两个零点12x x 、，则12+x x 的值为 .4. 已知函数2221,0()21,0x ax x f x x ax x ⎧-+≥⎪=⎨++<⎪⎩有四个零点，则a 的取值范围是 .【答案与提示】1.【答案】2a = 2.【答案】C 3.【答案】4 4.【答案】()1,+∞【提示】易知()f x 是偶函数，只需0x ≥时，2()21f x x ax =-+与x 正半轴有两个交点，故20440x a a =>⎧⎨=->⎩. 211()2()x x f x x x a ee --+=-++12-13。