数值分析_切比雪夫多项式注解
python 切比雪夫多项式寻根
python 切比雪夫多项式寻根切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）是一类特殊的正交多项式，它们在数学和工程领域中具有广泛的应用。
本文将介绍切比雪夫多项式的定义、性质以及如何使用Python寻找其根。
一、切比雪夫多项式的定义切比雪夫多项式是定义在闭区间[-1, 1]上的一组正交多项式。
它们可以通过递归关系式来定义，其中第0阶切比雪夫多项式（T_0(x)）为常数1，第1阶切比雪夫多项式（T_1(x)）为x，而其他阶的切比雪夫多项式可以通过以下递归关系式得到：T_n(x) = 2x * T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)，其中n ≥ 2切比雪夫多项式具有许多重要的性质，如正交性、最佳逼近性等。
其中，最重要的性质之一是切比雪夫多项式的根在闭区间[-1, 1]上均匀分布。
二、切比雪夫多项式的性质1. 正交性：切比雪夫多项式满足正交性质，即在[-1, 1]上的权函数为1/√(1-x^2)，当m≠n时，∫(T_m(x) * T_n(x) * (1/√(1-x^2)))dx = 0。
2. 最佳逼近性：切比雪夫多项式在[-1, 1]上是最佳逼近一类特定函数的多项式，即对于任意给定的函数f(x)，存在唯一的切比雪夫多项式T_n(x)使得∥f(x) - T_n(x)∥_∞ = min。
3. 奇偶性：切比雪夫多项式的奇偶性与其阶数相关。
当n为偶数时，切比雪夫多项式为偶函数；当n为奇数时，切比雪夫多项式为奇函数。
三、使用Python寻找切比雪夫多项式的根在Python中，可以使用numpy库中的chebyshev函数来计算切比雪夫多项式的根。
该函数的使用方法如下：```pythonimport numpy as np# 计算n阶切比雪夫多项式的根def chebyshev_roots(n):return np.polynomial.chebyshev.chebroots([0] * n + [1])# 示例：计算第5阶切比雪夫多项式的根roots = chebyshev_roots(5)print(roots)```在上述代码中，我们使用了numpy库中的chebroots函数来计算切比雪夫多项式的根。
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式解答：1.拉格朗日插值函数：function y=lagrange (a,b,x)y=0;if length(a)==length(b)n=length(a);else disp('ERROR!length(a)!=length(b)')return;endfor i=1:nk=1;for j=1:nif j~=ik=k.*(x-a(j))/(a(i)-a(j));endendy=y+k*b(i);end2.问题（a）：function Q_am=100;n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end3.问题（b）：function Q_bm=100;n=10;x=zeros(1,n+1);for i=1:n+1x(i)=cos((2*i-1)*pi/(2*n+2)); endy=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end4.问题（c）：main.m（m文件）figure(1)Q_a()figure(2)Q_b()syms xy=1/(1+9*x^2);I0=int(y,-1,1);%准确值n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);I1=trapz(x,y);%复合梯形x0=zeros(1,n);for i=1:nx0(i)=(x(i)+x(i+1))/2;endy0=2/n*1./(1+9*x0.^2);I2=I1/3+2*sum(y0)/3;%复合辛普森x1=[-0.5384693101 0.5384693101 -0.9061798459 0.9061798459 0];y1=1./(1+9*x1.^2);A=[0.4786286705 0.4786286705 0.2369268851 0.2369268851 0.5688888889]; I3=y1*A'; %高斯5总结：(1).使用等距节点构造的高次拉格朗日插值多项式在正负1附件，插值值与真实值偏差非常大，存在较大的震荡。
切比雪夫多项式的三角函数表示
切比雪夫多项式的三角函数表示切比雪夫多项式是一类重要的数学函数，它可以通过三角函数来表示。
在本文中，我们将介绍切比雪夫多项式的定义、性质以及如何使用三角函数来表示它。
让我们来了解一下切比雪夫多项式的定义。
切比雪夫多项式是由切比雪夫多项式方程所定义的一组多项式。
切比雪夫多项式方程可以表示为T_n(x) = cos(n\arccos(x))，其中n是多项式的阶数，x是自变量。
切比雪夫多项式是一个在区间[-1, 1]上定义的函数，它具有一些特殊的性质。
切比雪夫多项式具有递推关系，即T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)，其中T_0(x) = 1，T_1(x) = x。
这个递推关系可以用来计算高阶切比雪夫多项式。
切比雪夫多项式的性质非常丰富。
首先，切比雪夫多项式是一个奇函数，即T_n(-x) = -T_n(x)。
其次，切比雪夫多项式在区间[-1, 1]上具有n个不同的实根，这些实根被称为切比雪夫节点，可以用来进行数值计算和插值。
现在让我们来看一下如何使用三角函数来表示切比雪夫多项式。
我们知道，三角函数是一个周期函数，可以用来表示周期性的现象。
而切比雪夫多项式是一个在区间[-1, 1]上定义的函数，因此可以通过三角函数来表示。
具体来说，我们可以使用余弦函数来表示切比雪夫多项式。
根据切比雪夫多项式的定义，可以将cos(n\arccos(x))展开为cos(n\theta)，其中\theta = \arccos(x)。
然后，利用三角函数的和差化积公式，可以将cos(n\theta)表示为余弦函数的线性组合。
例如，切比雪夫多项式T_2(x) = 2x^2 - 1可以表示为cos(2\arccos(x)) = 2\cos^2(\arccos(x)) - 1。
进一步化简，可以得到T_2(x) = 2\cos^2(\arccos(x)) - 1 = 2x^2 - 1。
这就是切比雪夫多项式T_2(x)的三角函数表示形式。
切比雪夫级数分解
算法说明：当一个连续函数定义在区间[-1,1]上时，它可以展开成切比雪夫级数。
即：()()n n n f x f T x ∞==∑ 其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达可通过递推得出：0()1T x =，1()T x x =11()2n n n T x xT x T x +-=-它们之间满足如下的正交关系：110,,02,0n mn m n m ππ-≠⎧⎪⎪==≠⎨⎪==⎪⎩⎰在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限的项数，切比雪夫级数中的系数由下式决定：101()f x f dx π-=⎰12()()n T x f x f dx π-=⎰在MA TLAB 中编程实现的切比雪夫逼近法函数为：Chebyshev 。
功能：用切比雪夫多项式逼近已知函数。
调用格式：Chebyshev(y,k,x0)f =其中，y 为已知函数；k 为逼近已知函数所需项数；f 是求得的切比雪夫逼近多项式在x0处的逼近值。
程序源代码（m 文件）：function f = Chebyshev(y,k,x0) %用切比雪夫多项式逼近已知函数 %已知函数：y%逼近已知函数所需项数：k %逼近点的x 坐标：x0%求得的切比雪夫逼近多项式或在x0处的逼近值：fsyms t;T(1:k+1) =t;T(1) = sym('1');T(2) = t;c(1:k+1) = sym('0');c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f = c(1)+c(2)*t;for i=3:k+1T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i) = 2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/2;f = f + c(i)*T(i);f = vpa(f,6);if(i==k+1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = vpa(f,6);endendend应用实例：切比雪夫应用实例。
第一类切比雪夫多项式
第一类切比雪夫多项式
切比雪夫多项式，是将切比雪夫函数递归地定义为多项式而得到
的一系列函数。
这些多项式常用于数值分析中，特别是近似函数和插
值函数的构造。
第一类切比雪夫多项式是在单位区间上定义的，其首项系数为1，递归式为T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x)。
这些多项式的根点称为切比雪夫点，它们在数值计算和数值分析中具有
特殊的地位。
第一类切比雪夫多项式在数值计算和数值分析中的应用非常广泛，例如它们常被用来归一化数据，使其在单位区间上呈现出标准的分布。
此外，它们还可以在傅里叶分析中用于近似函数，因为它们在单位区
间上的最大偏差最小。
第一类切比雪夫多项式的一个重要特性是它们的导数具有对称性质，这意味着它们在所有切比雪夫点处的导数值相等。
因此，它们可
以用来构造具有高度对称特征的函数。
总而言之，第一类切比雪夫多项式是数值计算和数值分析中非常
有用的工具，它们被广泛应用于近似函数和插值函数的构造、数据归
一化以及傅里叶分析中。
掌握它们的性质和应用，对于数值计算和数
值分析的相关研究和实践非常重要。
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理-教学文档
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
关于切比雪夫多项式的一些研究
关于切比雪夫多项式的一些研究
切比雪夫多项式是一类重要的函数，在数学中广泛应用。
在1817年，切比雪
夫发现了他著名的“定理”，即任何一个多项式可以被准确的写成一系列的有限条件的和式，即切比雪夫定理--“任何一个多项式可以被一组有限，条件系数的多项式表示出来”。
例如，一个多项式可以写作这样的和式：
P(x) =a0 +a1x+a2x2+a3x3+ …+ adxd
这里，a0, a1, a2，a3，…，ad为多项式的系数，d为该多项式的阶数。
切比雪夫多项式在数学中具有广泛应用，几乎遍及世界各地。
它在微积分、计
算几何学等诸多领域都有广泛应用，而最令人印象深刻的，是在数值分析中，切比雪夫插值方法。
其优点是利用少量数据，克服拟合精度方面的缺陷，实现恒定拟合精度，全面提高了拟合精度。
同时，计算复杂度极低，且不受节点精度的影响。
在更新的大数据时代，切比雪夫多项式也变得越来越重要。
考虑到大数据的特性，切比雪夫多项式的优点更加凸显出来，可以帮助用户建立更加准确的拟合模型，从而更加充分地发挥出大数据的价值。
总之，切比雪夫多项式是一种经典而重要的函数，在不同领域有多种不同的应用。
虽然它仍然有很多需要改进的地方，但它拥有重要的应用价值，在数据分析中的价值也是显而易见的。
切比雪夫多项式的应用
学号：102111017 专业：计算数学 姓名：余娟
一、切比雪夫多项式的性质： 切比雪夫多项式的性质： 切比雪夫 (Chebyshev) 多项式为 n 次代数多项式， 定义为 Tn ( x) = cos(n arccos x) 其中
− 1 ≤ x ≤ 1 令 θ = arccos x ，
图4 e
−x
sin(2πx) 及其近似多项式的图像
Matlab 编程的主要算法为：
（1） 指定 n 次拉格朗日插值多项式进行函数逼近； （2） 由公式 x k = cos
2k + 1 π , k = 0,1,2, 2n + 2 夫点的函数值；
n 生成 n + 1 个切比雪夫点，并计算切比雪
（3） 给定 t = linspace(−1,1,100000) 求出原函数的值和用 n + 1 个切比雪夫点生成的 n 次拉格朗日插值多项式的函数值； （4） 绘出原函数和切比雪夫插值法实现的 n 次拉格朗日插值逼近多项式的函数图 象，进行比较. 通过翻阅参考文献和实际演练，我认识到使用切比雪夫插值法对插值节点寻优， 利用正交切比雪夫多项式的性质，进行函数最佳逼近，可以有效地提高精度，此外， 此方法实现的算法简单，当 n → +∞ 时，误差无限接近于 0.
1
2.5
0.8
2
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
-1 1.5 1 0.5 0 -0.5
-0.8 -1 -1
-1.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
第一类切比雪夫多项式
第一类切比雪夫多项式是一种具有重要数学性质的多项式函数。
它是一种特殊的勒让德多项式，常用于数值分析、逼近论和信号处理等领域。
一、定义Tn(x)，定义为Tn(x) = cos(n·acos(x))，n = 0，1，2，...其中acos为反余弦函数。
可以看出，Tn(x)是以余弦函数为基础构造的多项式函数，其值域为[-1,1]，且在区间[-1,1]上有n+1个不同的零点。
二、性质1. 正交性在区间[-1,1]上是正交的，即对于任意不同的正整数m和n，∫-1^1 Tm(x)Tn(x)dx = {1/(n+1)，m=n；0，m≠n}。
2. 极值性在区间[-1,1]的极值以及极值点的位置可以由以下公式给出：Tn(x)在[-1,1]的n个极值点为xk = cos((2k+1)π/(2n+2))，k = 0,1,2,...,n-1；Tn(x)在[-1,1]的n+1个极值为±1以及xk。
3. 递归公式有如下递归公式：T0(x) = 1，T1(x) = x；Tn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x)，n = 2,3,4,...这个公式的意义在于，我们可以用Tn-1(x)和Tn-2(x)来递推求得Tn(x)。
三、应用在信号处理中有广泛的应用。
例如，在数字滤波器设计中，我们可以通过多项式逼近法得到一个近似滤波器，使得原始信号减去该滤波器输出后的误差最小。
而选择作为逼近函数，可以最大限度地减小逼近误差。
此外，还被广泛地应用于数值分析和逼近论。
在这些领域，我们常常需要用多项式函数来逼近一个连续函数，从而在计算、建模和优化等问题中得到精确的解。
而具有优良的逼近性质，可以有效地进行逼近。
四、总结作为一种具有特殊性质的多项式函数，被广泛地应用于数学、工程和科学等领域。
其正交性、极值性和递归公式等性质被广泛地研究和应用，为我们解决许多实际问题提供了方便和参考。
切比雪夫多项式公式各项系数
切比雪夫多项式公式各项系数Chebyshev polynomials, named after the Russian mathematician Pafnuty Chebyshev, are a sequence of orthogonal polynomials that are defined over the interval [-1, 1]. These polynomials are widely used in numerical analysis, approximation theory, and other fields due to their excellent approximation properties. The formula for the coefficients of the Chebyshev polynomials involves a recursive relationship that generates the coefficients for each degree of the polynomial.切比雪夫多项式是以俄罗斯数学家帕夫努季·切比雪夫的名字命名的一系列正交多项式，定义在区间[-1, 1]上。
由于其出色的逼近性质，这些多项式在数值分析、逼近理论及其他领域得到广泛应用。
切比雪夫多项式各项系数的公式涉及一个递推关系，通过这个递推关系可以生成每个多项式次数的系数。
Specifically, the coefficients of the Chebyshev polynomial of the first kind, denoted by \(T_n(x)\), are given by the formula:\(T_n(x) = \cos(n \arccos(x))\)when \(n\) is a non-negative integer. This formula expresses the Chebyshev polynomial as a cosine function of a multiple of the arccosine of \(x\). Although this formula is not directly in terms of coefficients, it provides a way to compute the polynomial's values efficiently.具体来说，第一类切比雪夫多项式，记作\(T_n(x)\)，的系数由以下公式给出：\(T_n(x) = \cos(n \arccos(x))\)其中\(n\)是非负整数。
切比雪夫多项式的根
切比雪夫多项式的根切比雪夫多项式是数学中的一类重要多项式，其根具有一些独特的性质。
这些根被广泛应用于信号处理、逼近论、数值计算等领域。
首先，我们来了解一下切比雪夫多项式的定义。
切比雪夫多项式可以用递推关系定义为T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)，其中T_0(x)=1，T_1(x)=x。
其前几项为1,x,2x^2-1,4x^3-3x, 8x^4-8x^2+1等。
切比雪夫多项式在单位圆上有n个互异的根，这些根被称为切比雪夫节点。
这些节点具有特殊的分布规律，可以通过一定的数学方法得到。
首先，将切比雪夫多项式的定义域从实数扩展到复数，即将x视为复变量。
然后，我们可以发现这些节点都在单位圆上，且等距分布在圆周上。
切比雪夫多项式的根具有一些重要的性质。
首先，这些根是复数，存在共轭关系。
如果z是切比雪夫多项式的一个根，那么其共轭复数也是切比雪夫多项式的根。
其次，这些根的模长都是1，即它们都在单位圆上。
再次，相邻两个根之间的夹角是相等的，且等于2π/n，其中n为切比雪夫多项式的次数。
切比雪夫多项式的根在信号处理中有广泛的应用。
由于切比雪夫多项式的根在单位圆上等距分布，可以利用这些点进行信号采样和重构，从而有效地减小信号处理引入的误差。
此外，在逼近论和数值计算中，切比雪夫多项式的根也被用来进行函数逼近和数值积分，可以提高计算的精度和效率。
总结起来，切比雪夫多项式的根是数学中一类重要的多项式根，具有独特的分布规律和性质。
这些根在信号处理、逼近论、数值计算等领域有着广泛的应用，可以有效地提高计算的精度和效率。
通过深入研究和应用切比雪夫多项式的根，我们可以进一步拓展数学的应用领域，推动科学技术的发展。
切比雪夫多项式(下)
十二、切比雪夫多项式（下）我们用（126）具体算几个切比雪夫多项式：•••••••••••••t t t t •••••t t t t t T t ••t t t t t t t T ••t t t t t T t ••t T ,81)188(81])1()1(6[81)(,43)34(41])1(3[41)(,21)12(21)]1([21)(,)(242422224433233222221+-=+-=-+--=-=-=--=-=-=--== 再往下算就越来越麻烦. 其实我们可以利用它的母函数，推导出)(t T n 之间的递推关系，使计算变得较为简单.由于)127(,)()()(1)(14443221122•••••x t T x t T x t T •••••••••••x t T x tx x n n n n nn ∑∑∞=∞=+++=+=+--)128(,)()()()(44)4(3121211122•••••x t tT x t tT tx •••••••••••x t tT tx xt tT tx x tx x tx n n n n nn n n n ∑∑∑∞=-∞=-∞=+++=+=+=+--)129(,)(414)(414)44(4)4(322122222••••x t T x •••••••••••x t T x x tx x x n n n n n n∑∑∞=-∞=++=+=+--（127）-（128）+（129），得)130(,)](41)()([41144)4(41)4(4321222222••••••••••x t T t tT t T x x tx x x x tx x •••n n n n n ∑∞=--+-+-=+--+---上式左边的分子显然为)44(411411)4(2222x tx x x tx x +-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--因而（130）可写为∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-32122)(41)()(41411n n n n n x t T t tT t T x x ，即∑∞=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3210)(41)()(n n n n n x t T t tT t T . 因而n x 的系数都必须为0，于是得计算)(t T n 的递推分式：),5,4,3(,)(41)()(21 ••••••n •••t T t tT t T n n n =-=-- （131）从这个公式计算)(t T n 就比较方便了. 例如从)(3t T ，)(4t T 很容易算出,16545434181)(41)()(35324345t ••t t ••••t t t t t t T t tT t T +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-= 从)(4t T ，)(5t T 又很容易算出)(6t T ：.32116923814116545)(41)()(2462435456••t t t •••••t t t t t t •••••t T t tT t T -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=从递推公式（131）还很容易看出一个事实：所有切比雪夫多项式)(t T n 的最高次项的系数都是1. 但要从切比雪夫多项式的表达式（126）来作出这一结论并不太简单.切比雪夫多项式有许多有趣的性质，这里只讨论其中较为重要的一个. 为了说清楚这一重要性质，要引进几个新概念.我们把满足不等式b x a ≤≤的实数x 的全体称为一个闭区间，记为[a ，b ]. 例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21•• 表示满足不等式221≤≤-x 的实数x 的全体，[-1，1]表示满足不等式11≤≤-x 的实数x 的全体.把所有首项系数为1的n 次多项式的全体记为n H ，那么对于任意实数110,,,-n •a ••••a •a ，0111)(a x a x a x x P n n n ++++=--都是n H 中的多项式. 我们用)(x P ∈n H 表示)(x P 是n H 中的多项式. 例如53)(24+-+=x x x x Q ，则4)(H x Q ∈. 由于)(t T n 是首项系数为1的n 次多项式，所以)(t T n ∈n H .设)(t f 是定义在[a ，b ]上的任一函数，当t 由a 变到b 时， |)(|t f 也跟着变化，设|)(|t f 的最大值是M ，我们把它记为|)(|max t f M bt a ≤≤=，上式可改写为|0)(|max -=≤≤t f M bt a .因此也称M 为函数)(t f 与0在区间[a ，b ]上的偏差.现在设)(t P 是n H 中任一多项式，)(t P 与0在[-1，1]上的偏差设为P M ，即|)(|max 11t P M t P ≤≤-=.显然，P M 是随着多项式)(t P 的不同而变化的一个正数，即对于不同的)(t P ，它与0的偏差也是不同的. 我们问，n H 中哪一个多项式与0的偏差最小？下面将要证明，这个与0偏差最小的多项式就是用切比雪夫多项式.定理15 在最高次项系数为1的所有n 次多项式中，在闭区间[-1，1]上与0有最小偏差的多项式是切比雪夫多项式)arccos cos(21)(1t n t T n n -=.证明 我们先研究一下，在[-1，1]上)(t T n 与0的偏差等于什么，令,0,,•,•π•,2,π1,210•••••nk n nn ••n n ••n k =-=-=-==θπθθθπθ那么),,2,1,0(,)1(π)cos(cos •n •••••••k ••••k n n k n k =-=-=-θ取k k t θcos =，则有1110=<<<<=-n k t t t t ，这时k k t arccos =θ，于是)132(),,2,1,0(,2)1(cos 21)arccos cos(21)(111••••••••••••••••n •••••••k ••••••••••n t n t T n k n kn k n k n =-===----θ因而 ),,2,1,0(,21|)(|1•n •••••••k ••••t T n k n ==-另一方面，对于[-1，1]中所有t ，都有,21|)arccos cos(|21|)(|11•t n t T n n n --≤=所以 121|)(|m a x-≤≤=n n bt a t T ，即)(t T n 在[-1，1]上与0的偏差是121-n . 如果存在n H t Q ∈)(，而且它与0的偏差比)(t T n 与0的偏差更小，即11121|)(|max -≤≤-<n t t Q ，我们要由此推出矛盾. 事实上，由于11121|)(|max |)(|-≤≤-<≤n t t Q t Q ，而121|)(|-=n k n t T ，所以)()(tk Q t T k n -与)(k n t T 的符号是一致的. 由（132）知道，)(,,)(,)(10n n n n t •T •••t •T •t T中的任何相邻两项都是异号的，因而)()(,,)()(,)()(1100n n n n n t Q t •T •••t Q t ••T •t Q t T ---的任何相邻两项也是异号的. 如果记)()()(t Q t T t h n -=，那么 )(,,)(,)(10n t •h •••t •h •t h的任何相邻两项是异号的. 由于当t 从0t 变到1t 时，)(t h 是连续变化的，既然)()(10t h t h 和异号，那么或者)(t h 由正的)(0t h 变到负的)(1t h ，或者由负的)(0t h 变到正的)(1t h ，不论何者发生，)(t h 在由负到正或由正到负，中间必须经过零值，即在],[10•t •t 中必有1c ，使0)(1=c h ；同样道理，在],[21•t •t 中必有2c ，使0)(2=c h ，…，在],[1n n •t •t -中有n c ，使0)(=n c h . 换句话说， 我们找到了代数方程式0)(=t h 的n 个不同的根：••c ••••c c n ,,,21 . 再来看一下0)(=t h 是多少次的代数方程式. 由于)()(t Q t T n 和都是首项系数为1的n 次多项式，因而)()()(t Q t T t h n -=便是1-n 次多项式，它不可能有n 个不同的根，这是矛盾. 这个矛盾的得来是因为我们假定了存在与0的偏差比)(t T n 与0的偏差更小的)(t Q ，从而证明了)(t T n 是n H 中与0偏差最小的多项式. 证毕.从这个定理马上得到下在的推论：对于任意最高次项系数为1的n 次多项式)(x P ，必有11121|)(|max -≤≤-≥n x t P .例如，当n =3时，我们便有这样的结论： 对于任意的210,,•a ••a •a ，必有41||max 122311≥++≤≤-x a x a x x . 要直接证明这样的结果并不是很容易的.。
切比雪夫阶数确定 -回复
切比雪夫阶数确定-回复切比雪夫阶数的确定是数值分析中一个重要的主题。
切比雪夫多项式有着广泛的应用，特别是在数值逼近问题中。
在本文中，我们将一步一步回答关于切比雪夫阶数确定的问题，并介绍切比雪夫多项式的基本概念和性质。
首先，让我们先来了解一下切比雪夫多项式。
切比雪夫多项式是定义在闭区间[-1, 1]上的一组正交多项式。
它们是通过递归定义得到的，其公式如下：T_0(x) = 1T_1(x) = xT_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x) (n ≥2)其中，T_n(x)表示切比雪夫多项式的第n项，x表示自变量。
切比雪夫多项式的性质之一是，它们在闭区间[-1, 1]上有恰好n个不同的零点，这些零点被称为切比雪夫节点。
切比雪夫多项式的阶数就等于节点个数。
那么，如何确定切比雪夫多项式的阶数呢？一种常用的方法是基于逼近误差的角度。
在数值逼近问题中，我们通常会选择一个合适的多项式来近似一个函数，使得在给定的误差限度下能够较好地逼近原函数。
假设我们需要近似一个连续函数f(x)，我们可以使用切比雪夫多项式来实现逼近。
切比雪夫多项式的逼近性质告诉我们，最佳逼近近似发生在切比雪夫节点上，即在节点处误差最小。
因此，我们可以选择切比雪夫多项式的阶数为节点个数，以最大程度地减小逼近误差。
具体来说，我们可以通过以下步骤来确定切比雪夫阶数：1. 确定逼近误差限度：首先，我们需要确定逼近误差限度，即对于给定的误差限度ε，我们希望逼近多项式与原函数之间的差距不超过ε。
2. 计算切比雪夫节点：在闭区间[-1, 1]上，我们可以使用以下公式来计算切比雪夫节点：x_k = cos((2k + 1)π/ (2n + 2)) (0≤k≤n)其中，n为切比雪夫阶数，k为节点编号，x_k为切比雪夫节点。
3. 计算逼近多项式：使用切比雪夫节点来构造逼近多项式。
根据切比雪夫多项式的性质，我们知道在切比雪夫节点处，逼近多项式与原函数之间的差距达到最小。
切比雪夫多项式指北
有关结论（不证明）
为偶函数，
为奇函数。
在
上有 个实根，第
个
。
在
上有
个极值点，轮流取最大值 和最小值 （谁是第一个由 奇偶性决定），第
个
为
。
次第一类切比雪夫多项式次数为 （这不是废话？），最高次项系数为
（
）。
推论. 任意最高次项系数为 的 次多项式在
上的最大值/最小值的绝对值的最小值为
一类切比雪夫多项式相对应时取最值。
任意最高次项系数为aa的nn次多项式在区间ilrilr上的最大值最小值的绝对值的最小值为ar?ln22n?1ar?ln22n?1当且仅当该多项式与等次的第一类切比雪夫多项式相对应时取最值
第一类切比雪夫多项式 比较常见的是第一类切比雪夫多项式（
切比雪夫多项式指北 ），其递推式为：
得”即可。
最小。
若
凹凸性不变化，那么即求解常数 满足：
则
取最大值的点即为这个函数（如果能换元成多项式函数）整理为第一类切比雪夫多项式的极值点。
第二类切比雪夫多项式
有两种求法比较好算（ 次第二类切比雪夫多项式记为
）：
与第一类切比雪夫多项式的关系：
其实还有一些关系应该是用不到的。 定义式为：
如果需要证明，象征性地“归纳得”即可。 有关结论（不常用更不用证明）
为定值。
又
，则定值为
。
于是有：
就可以像前面一样做了（即类第二类切比雪夫多项式 (记得给辛苦的博主 tlx 点赞哦>_<
、
的情况）。
为偶函数，
为奇函数。
在
上有 个实根，第
个
。
在
上有
个极值点，轮流取最大值和最小值 （谁是第一个由 奇偶性决定），第
切比雪夫多项式
切比雪夫多项式概述：切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
基本性质：对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。
按切比雪夫多项式的展开式：一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下，多项式按切比雪夫多项式的展开可以用Clenshaw 递推公式计算。
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定。
也可以用母函数表示。
第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出。
此时母函数为Clenshaw递推公式在数值分析中，Clenshaw递推公式(由Charles William Clenshaw发现)是一个求切比雪夫多项式的值的递归方法。
切比雪夫多项式N次切比雪夫多项式，是下面形式的多项式p(x)其中T n是n阶切比雪夫多项式Clenshaw递推公式Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。
给定我们定义于是(注)上面的公式在N=0,1的情况下无意义。
此时我们可以用下面的公式：(downward, omit if N=0)这里或者其中是第二类切比雪夫多项式棣莫弗（de Moivre）原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+i sinθ2），则:Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。
在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi.于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推广为一般形式：推广设n个复数Z1=r1(co sθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。