矩阵与参数方程

精锐教育学科教师辅导讲义

年级：高三辅导科目：数学课时数：3

课题选修部分复习

教学目的熟练掌握高考数学中选修部分矩阵以及极坐标参数方程的应用

教学内容

一、矩阵的基本概念

矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表

示该元素在矩阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表

示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。

特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。

当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是

零，则称为单位矩阵，记为，即：。

二、矩阵的运算

1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说

），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：。

（1）交换律：；

（2）结合律：；

（3）存在零元：；

（4）存在负元：。

2 、数与矩阵的乘法：

（1 ）；

（2 ）；

（3 ）；

（4 ）。

3 、矩阵的乘法：

设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵德列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即，其中，并且

。

矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：

（ 1）结合律： ；

（ 2）左分配律： ；

（ 3）右分配律： ；

（ 4）数与矩阵乘法的结合律： ；

（ 5）单位元的存在性： 。

若 为 阶方阵，则对任意正整数

，我们定义： ，并规定： 由于矩阵乘法满足结合

律，我们有：

，

。

注意： 矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：

（1 ）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便 有意义， 也未必有意义；倘使

都有意义，二者

也未必相等（请读者自己举反例）。正是由于这个原因，一般来讲，

，

。

（2 ）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即 未必能推出 或者。

（3 ）消去律部成立：如果 并且

，未必有

。

【例】求矩阵 1111A ⎛⎫=

⎪--⎝⎭ 与 1111B -⎛⎫= ⎪

-⎝⎭

的乘积AB 及.BA 解 按公式（1.10），有

111100,

111100111122.

111122AB BA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭

4 、矩阵的转置：

定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：。矩阵的转置运算满足下列运算律：

（1 ）；

（2 ）；

（3 ）；

（4 ）。

5、对称矩阵：

定义1.11 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵。若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立。从而反对称局针对角线上的元素必为零。对称矩阵具有如下性质：

（1 ）对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；

（2 ）两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；

（3 ）如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即。

【逆矩阵】

设为阶方阵，若有同阶方阵使得

则称是可逆的，为的逆阵，

可以证明，如果是可逆的，则的逆阵是唯一的，并记的逆阵为，从而上式可写成

定理1（矩阵可逆的充分必要条件）

可逆。

证：：若可逆，则存在，使得，，所以。

：若，则由得，故而可逆。

在证明中可知

这是的计算公式，其中是的伴随阵，是的代数余子式。

例：，，求。

解：，

，，，，。

可逆阵的性质：

1 ．可逆可逆，且。

2 ．可逆，可逆，且。

3 ．可逆，且同阶可逆，且。

4 ．可逆可逆，且。

定义负幂次方：设可逆，则定义，。

方阵的特征值与特征向量

定义：设是阶方阵，若有数和非零向量，使得

称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。

特征值和特征向量的求法：

1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即

（称之为的特征方程）

由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。

2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是对应于特征值的特征向量。

例求的特征值和特征向量。

解由，得，解得；

对，求解，得，取对应于的特征向量；对，求解，得，取对应于的特征向量。线性变换

设到的线性变换由下式给出

其逆变换到的线性变换则右下式给出

这是因为，则，

例：线性方程组有唯一解：