08-15江苏高考矩阵和参数方程

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历年解析08年江苏高考数学考试说明解读

⏹掌握NE5000E/80E/40E产品的体系结构⏹掌握NE5000E/80E/40E的单板构成⏹掌握NE5000E/80E/40E换板操作⏹了解NE5000E/80E/40E升级操作08年江苏高考数学考试说明解读江苏08高考数学试卷分为必做题部分与附加题部分。

必做部分(文理均做，命题内容必修1到5,选修Ⅰ系列)：14道填空题70分6道解答题90分，难度比为4:4:2，与大纲试卷相比增加：函数零点、算法初步(流程图)、线性回归方程、几何概型、逻辑量词、统计案例、推理与证明、复数、导数公式等。

减少：反函数、余切、正割、余割、反三角函数、三垂线定理、求二面角、空间距离等；排列组合、二项式定理、随机变量、直线与圆锥曲线的关系、求一般曲线(轨迹)方程等。

解答题一般都是两问，至少有2道是三问题。

于是，分值估计为12、14、14、14、18、18.必考大题：依次是三角(求值与解三角形为重点) 12分、解析几何14分(与直线和圆有关、椭圆)、立体几何(与三视图有关)14分、应用题(三次函数导数，但要看有没有好题了)14分，数列18分，函数18分(考虑lnx型的求导)。

附加题部分：均为解答题(共6道)：选修系列4(4-1几何证明、4-2矩阵与变换、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式证明选讲)各命制一道解答题，考生四选二解答。

几何证明一般是圆的内容(包括成比例证明)，矩阵与变换要突出变换，极坐标与参数方程以与直角坐标系互化为主，不等试一个证骨可与数学归纳法结合。

都为容易题。

选修2内容中数学归纳法、复合函数求导、随机变量概率分布、空间向量中命制两道解答题(必考题)，一易一难，估计以随机变量概率分布(与排列组合二项式定理综合)、用空间向量解立体几何题(求距离与二面角)为主。

命题趋势控制计算量:减少概念判断中的计算量，控制推理过程的计算量。

强化代数推理:以函数、数列、平面向量为主体，导数与函数、不等式为结合点。

分化数学应用:应用以小题为主，以三角、不等式、统计为载体，用概率体现与实际背景的联系。

(江苏专用)高考数学二轮复习专题七(选) 矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲学案理-人教版

矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算、二阶矩阵的逆矩阵及其求法、矩阵的特征值与特征向量的求法，属B 级要求；(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程、参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化，属B 级要求；(3)含绝对值不等式的解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B 级要求.真题感悟1.(2018·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312.(1)求A 的逆矩阵A －1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3，1)，求点P 的坐标. 解 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312，det(A )＝2×2－1×3＝1≠0，所以A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2.(2)设P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1，因此，点P 的坐标为(3，－1).2.(2017·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程.解 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210.(2)设P (x 1，y 1)是曲线C 1上任意一点，变换后对应的点为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y 1，y ＝x 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ，y 1＝12x .因为P (x 1，y 1)在曲线C 1上，所以x 218＋y 212＝1，从而x 2＋y 2＝8，即为曲线C 2的方程.3.(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长. 解因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆. 因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点.设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.4.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2消去t .得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0，因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2，22s ).则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝2（s －2）2＋45，∴当s ＝2时，d 有最小值45＝455.5.(2018·江苏卷)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 解由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2. 因为x ＋2y ＋2z ＝6，所以x 2＋y 2＋z 2≥4，当且仅当x 1＝y 2＝z 2时，不等式取等号，此时x ＝23，y ＝43，z ＝43，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.6.(2017·江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明ac ＋bd ≤8. 证明由柯西不等式可得(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，即(ac ＋bd )2≤4×16＝64，故ac ＋bd ≤8.考点整合1.矩阵的乘法与逆矩阵、矩阵变换2.二阶矩阵的特征值和特征向量(3)如果λ是二阶矩阵M 的特征值，则λ是M 的特征多项式的一个根，它满足f (λ)＝0，此时将λ代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0)，它即为M 的属于λ的一个特征向量.3.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 4.(1)直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量. (2)圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π).5.含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义、零点分段或图象法求解. 6.柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立.(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.热点一矩阵与变换【例1】 (1)(2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2))，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 1220212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12.∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1. (2)(2017·盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x 24＋y 22＝1，求曲线C 的方程.解设曲线C 上任一点为(x ，y )，经过变换T 变成(x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即x 0＝x ，y 0＝2y .由x 204＋y 202＝1，得曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.探究提高 (1)解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.(2)由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序. (3)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.【训练1】 (1)(2018·扬州期末)已知x ，y ∈R ，若点M (1，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x3 y 对应的变换作用下得到点N (3，5)，求矩阵A 的逆矩阵A －1.(2)(2017·苏、锡、常、镇调研)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4). ①求矩阵M ；②求矩阵M 的另一个特征值.解 (1)因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 2.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，3b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，c ＝－3，d ＝2，所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－3 2. (2)①设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.②令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，解得λ1＝8，λ2＝2，故矩阵M 的另一个特征值为2. 热点二曲线的极坐标方程[考法1] 极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2－1】在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极坐标方程.解将圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5，化简得ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0.此即为所求的圆C 的极坐标方程.探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.[考法2] 曲线的极坐标方程的应用【例2－2】 (2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0，即(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆.由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点.综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.探究提高解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.【训练2】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2(a ＞0)，C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上.所以a ＝1.热点三参数方程[考法1] 参数方程与普通方程的互化【例3－1】 (2018·南通、扬州、淮安等七市调研)在平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3t ，y ＝1－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，r ＞0)，若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求r 的值.解直线l 的普通方程为4x ＋3y －15＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2. 因为圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝|－15|5＝3，又直线l 被圆C 截得的弦长为4，所以r ＝32＋22＝13.探究提高参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围. [考法2] 直线的参数方程【例3－2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求PA ＋PB . 解法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(－32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得PA ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 法二 (1)同法一.(2)因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋（y －5）2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋5 或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5). 故PA ＋PB ＝8＋2＝3 2.探究提高过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则P 1P 2＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).【训练3】 (2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 解将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.热点四绝对值不等式【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. ①当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； ②若f (x )≤1，求a 的取值范围.(2)(2018·镇江期末)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )＞a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围.解 (1)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}. ②f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2或x ＝－a 时等号成立(最小值能取到). 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2. 所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).(2)因为对任意x ∈R ，不等式f (x )＞a 2－3恒成立，所以f (x )min ＞a 2－3. 又|x －a |＋|x ＋a |≥|x －a －(x ＋a )|＝|2a |，所以|2a |＞a 2－3，① 法一 (将|a |作为整体)即|a |2－2|a |－3＜0，解得－1＜|a |＜3. 所以－3＜a ＜3.∴a ∈(－3，3).法二 (先去绝对值符号)①式等价于2a ＞a 2－3，② 或2a ＜－a 2＋3，③ 由②得－1＜a ＜3，由③得－3＜a ＜1，所以，－3＜a ＜3.∴a ∈(－3，3).探究提高 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.(3)解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.【训练4】已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围. 解 (1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1可得①当x ≤－1时显然不满足题意； ②当－1<x <2时，2x －1≥1，解得x ≥1，则1≤x <2；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2.综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ，令g (x )＝f (x )－x 2＋x ，则g (x )≥m 解集非空只需要[g (x )]max ≥m . 由(1)知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －3，x ≤－1，－x 2＋3x －1，－1<x <2，－x 2＋x ＋3，x ≥2.①当x ≤－1时，[g (x )]max ＝g (－1)＝－3－1－1＝－5； ②当－1<x <2时，[g (x )]max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3·32－1＝54；③当x ≥2时，[g (x )]max ＝g (2)＝－22＋2＋3＝1.综上，[g (x )]max ＝54，故m ≤54.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.热点五不等式的证明、柯西不等式【例5】 (1)(2014·江苏卷)已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . (2)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. ①求实数a ，b 的值； ②求at ＋12＋bt 的最大值.(1)证明因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0，1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .(2)解 ①由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.②－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4，即最大值为4.探究提高 (1)证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.(2)根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明、证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式. 【训练5】已知实数a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)∵a >0，b >0且a 3＋b 3＝2.由柯西不等式，得(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a ·a 5＋b ·b 5)2＝(a 3＋b 3)2＝4. 当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时等号成立.因此(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4. (2)∵a 3＋b 3＝2，∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2，即(a ＋b )[(a ＋b )2－3ab ]＝2.所以(a ＋b )3－2＝3ab (a ＋b )，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝（a ＋b ）24，∴(a ＋b )3－2≤34(a ＋b )3，则14(a ＋b )3≤2.从而a ＋b ≤2当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.1.矩阵与变换主要掌握二阶矩阵与平面变换、二阶矩阵的逆矩阵及其求法以及特征值与特征向量的应用.2.(1)化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数(代入消去法、加减消去法、恒等式消去法等)；化普通方程为参数方程基本思路是引入一种关系，引入参数；(2)参数方程和极坐标方程的简单应用：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.3.(1)对于绝对值不等式的求解或含参问题的求解一般采用零点分段法，也可利用图象求解； (2)在运用柯西不等式进行求解或证明时，注意对条件进行“形变”，符合柯西不等式的结构，再加以运用.1.(2013·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B . 解设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.2.(2015·江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.解由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩阵A 的另一个特征值为1.3.(2015·江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.4.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.5.(2016·江苏卷)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a 3，又|y －2|＜a3，∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a3＝a .则|2x ＋y －4|＜a 成立.6.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值.解 (1)f (x )＝y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上成立，因此a ＋b 的最小值为5.。

2008-2011年江苏高考数学试题数据分析.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21(B) 21(C) 22 23
2008年(考查的知识点) 三角函数周期古典概型复数运算集合的运算和解一元二次不等式平面向量的线性运算几何概型统计与流程图导数的几何意义直线方程归纳推理和等差数列求和公式基本不等式的运用椭圆离心率余弦定理以及函数思想导数在函数单调性的综合运用两角和与差的三角公式的运用空间几何体中的平行与垂直二次函数知识与圆的方程等差、等比数列综合运用函数知识综合矩阵作用后的曲线方程参数方程求最值空间直角坐标系、空间向量的运用二项式定理，微积分
2011年(考查的知识点) 集合运算函数单调性复数运算算法流程图概率方差三角函数运算函数计算与基本不等式三角函数图象平面向量的垂直运算函数性质运用及运算导数运算求最值等比数列，等差数列的综合运用集合性质与函数图象
三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形空间几何体中直线与平面、平பைடு நூலகம்与平面的位置关系
应用题：函数的概念、导数等基础知识
椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识函数的概念、性质及导数等基础知识数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质矩阵运算椭圆与直线的参数方程化简空间向量的基础知识计数原理
2009年(考查的知识点) 复数运算平面向量的数量积运算导数研究函数单调性三角函数的图像与性质古典概型方差运算算法流程图类比推理导数的几何意义指数函数性质集合运算、对数函数性质空间线面关系的判断椭圆离心率等比数列两角和与差的运用，向量关系空间几何体中的平行与垂直直线与圆应用题：函数与不等式综合一元二次不等式综合求逆矩阵化参数方程为普通方程直线与抛物线概率、计数原理

(江苏专用)高考数学总复习第十二篇系列4选考部分《第75讲矩阵与变换》课件理苏教版

0 . 1
[审题视点] 先求积MN，再求变换公式．
解
1 MN＝ 0
1 0 1 0 ＝ 2 －1 1 －2
0 . 2
设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵 MN对应的变换下变为点P ′ x′ 0 ＝， 2y′ － 2 x ′＋ 2 y ′
1 2 为矩阵A＝ 4．(2011· 南京市模拟)已知a＝ 1 －1
a 属于λ的一 4
个特征向量，求实数a，λ的值及A2. 解
1 由条件可知－1 2 2 a ＝λ ， 4 1 1
2＋a＝2λ，所以－2＋4＝λ， 1 因此A＝－1
解得a＝λ＝2.
2 . 4
1 2 －1 10 2 ＝ . 4 － 1 4 － 5 14
所以A
2
1 ＝－1
考向一
矩阵与变换
【例1】►求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下
1 得到的曲线方程，其中M＝ 0 1 0 ，N＝ 2 －1
x′ a 则y′＝ 0 x′＝ax， x 0 ，即 b y y′＝by.
x2 y2 a2x2 b2y2 又因为点 P′(x′，y′)在椭圆 9 ＋ 4 ＝1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1.由已知条件可知，x2＋y2＝1，所以 a2＝9，b2＝4. 因为 a＞0，b＞0，所以 a＝3，b＝2.
2．常见的平面变换
恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、
切变变换六个变换．
3．逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的， B称为A的逆矩阵； (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且 (AB)－1＝B－1A－1.

17 2008～2019年江苏高考数学分类汇编(解析版)---参数方程与极坐标加试

2008～2019年江苏高考数学分类汇编参数方程与极坐标2008-21C 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．【解析】因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.因此1sin 2(sin )2sin()223S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以，当6πφ=时，S 取最大值22009-21C 已知曲线C的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程。

【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。

解：因为212,x t t=+-所以212,3yx t t +=+=故曲线C 的普通方程为：2360x y -+=.2010-21C 在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值．【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．解：22cos ρρθ=，圆ρ=2cos θ的普通方程为：22222,(1)1x y x x y +=-+=，直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为：340x y a ++=，1,=解得：2a =，或8a =-．2011-21C 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程。

【解析】椭圆的普通方程为221,259x y +=右焦点为（4，0），直线423x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）的普通方程为22y x -=，斜率为：12；所求直线方程为：1(4),2402y x x y =---=即2012-21C 在极坐标中，已知圆C 经过点()24Pπ，，圆心为直线3sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线23)3sin(-=-πθρ与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．2013-21C 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t=+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求它们的公共点的坐标．【解析】2014-21C 在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程2122xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），直线l与抛物线24y x=相交于AB两点，求线段AB的长．2015-21C 已知圆C的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C的半径．2016-21C 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为11,23x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），椭圆C的参数方程为cos,2sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.【解析】试题分析：将参数方程化为普通方程，再根据弦长公式或两点间距离公式求弦长.试题解析：椭圆C的普通方程为2214yx+=，将直线l的参数方程1123x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214yx+=，得223()12(1)124t t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-. 所以1216||7AB t t =-=.【答案】167【考点】直线与椭圆的参数方程【名师点睛】1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．2017-21C 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为2222x sy s ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P到直线l 的的距离2222|2428|2(2)451(2)s s s d -+-+==+-，最后根据二次函数最值的求法求最值．试题解析：直线的普通方程为280x y -+=，设2(2,22)P s s ，则点P 到直线的的距离22|2428||2(2)4|55s s s d -+-+==，易知当2s =时， min 455d ==．【答案】45【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．2018-21C 在极坐标系中，直线l 的方程为，曲线C 的方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【分析】先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A （4，0），且OA 为直径.设直线与圆的另一个交点为B ，根据直线倾斜角得∠OAB =．最后根据直角三角形OBA求弦长.【详解】因为曲线C 的极坐标方程为，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为，则直线l 过A （4，0），倾斜角为，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =，所以．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力. 【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为2019-21B 在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.【分析】(1)由题意，在OAB △中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离. 【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B 2，2π），由余弦定理，得AB 223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=（2）因为直线l 方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π．又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ⨯-=. 【答案】（15 （2）2.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．。

聚焦典型题苏教高考一轮数学理：矩阵与变换一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析含答案

矩阵与变换分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)1．(2009·江苏卷)求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤32 21的逆矩阵．解设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎡⎦⎤x z yw ，则⎣⎡⎦⎤32 21 ⎣⎡⎦⎤x z y w ＝⎣⎡⎦⎤10 01，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，z ＝2，w ＝－3.从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－12 2－3.2．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2001对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．解设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)则有⎣⎡⎦⎤x ′0y ′0＝⎣⎡⎦⎤20 01 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2x 0y ′0＝y 0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又∵点P 在椭圆上，故4x 20＋y 20＝1，从而x ′20＋y ′20＝1. ∴曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1.3．已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1b a 1，N ＝⎣⎡⎦⎤c 0 2d ，且MN ＝⎣⎡⎦⎤2－2 00.(1)求实数a 、b 、c 、d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．解 (1)由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(2)∵矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)， ∴可取直线y ＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)，由⎣⎡⎦⎤1－1 －11 ⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤1－1 －11 ⎣⎡⎦⎤13＝⎣⎡⎦⎤－22，得点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)．从而，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y ＝－x .4．(2012·苏北四市调研一)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解由题意，知M ⎣⎡⎦⎤22＝⎣⎡⎦⎤－22，即⎣⎡⎦⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎡⎦⎤－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.∴M ＝⎣⎡⎦⎤01－10.由M －1M ＝⎣⎡⎦⎤10 01，解得M －1＝⎣⎡⎦⎤0－1 10. 5．(2013·南通调研)已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A .解由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.6．(2012·扬州调研)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤3－1 －13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－31 1λ－3＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值．设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1， ∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．分层训练B 级创新能力提升1．(2013·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．解设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 11－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y )由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y2，y 0＝x ＋y2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1. 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由(AB )·(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.故(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12－1 0. 3．(2011·福建卷)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 003.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 003 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，∴x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.4．(2012·南通调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，求： (1)实数a 的值；(2)矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解 (1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 21 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，所以2－2a ＝－4.所以a ＝3. (2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，则矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－2x －3y ＝0，－2x ＋λ－1y ＝0⇒x ＋y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－2x －3y ＝0，－2x ＋λ－1y ＝0⇒2x －3y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.5．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.因⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. (1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.。

2015年江苏高考数学试题及答案

（第4题图）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V 圆柱＝Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高．圆锥的体积公式：V 圆柱＝13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则集合A ∪B 中元素的个数为 ▲ ． 2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ▲ ． 3．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为 ▲ ． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5．袋中有形状､大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．6．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为 ▲ ．7．不等式2x 2－x＜4的解集为 ▲ ．8．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 ▲ ．9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2､高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．11．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{1a n}的前10项和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 ▲ ．13．已知函数f (x )＝|l n x |，g (x )＝⎩⎨⎧ 0 ，0＜x ≤1，|x 2－4|－2， x ＞1．，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为 ▲ ．14．设向量a k ＝(cos k π6，sin k π6＋cos k π6)(k ＝0，1，2，… ，12)，则∑11k ＝0(a k ·a k ＋1)的值为 ▲ ．（第16题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°．（1）求BC 的长； ` （2）求sin2C 的值．16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1．设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E ．求证：（1）DE //平面AA 1C 1C ；（2）BC 1⊥AB 1．17．(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5 千米和40千米，点N 到l 1，l 2，的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2，所在的直线分别为 x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b (其中a ，b 为常数)模型．（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短?求出最短长度．MNl 2l 1xy O C Pl（第17题图）18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．（1）试讨论f (x )的单调性；（2）若b ＝c －a (实数c 是与a 无关常数)，当函数f (x )有三个不同零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)，求c 的值．20．(本小题满分16分)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d(d ≠0)的等差数列．（1）证明:2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次成等比数列；（2）是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n ＋k ，a 3n＋2k，a 4n＋3k依次成等比数列?并说明理由．（第18题图）A（第21—A 图）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A ､B ､C ､D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤． A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D ．求证：△ABD ∽△AE B ．B ．[选修4－2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎡⎦⎤ 1 －1是矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤x 1y 0的属性特征值－2的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值．PA BCDQ (第22题）C ．[选修4－4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin (θ－π4)－4＝0，求圆C 的半径．D ．[选修4－5:不等式选讲] (本小题满分10分)解不等式x ＋|2x ＋3|≥2．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2．P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1．（1）求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长．23．已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，···，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b ，或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素个数．（1）写出f (6)的值；（2）当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．。

江苏高考数学矩阵知识点

江苏高考数学矩阵知识点在江苏高考数学考试中，矩阵是一个重要的知识点。

矩阵是以矩形排列的数（或变量）为元素所组成的一个矩形阵列。

在数学中，矩阵常常用于表示线性方程组、向量、平面图形的变换等。

1. 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数构成的一个数表，通常记作A=[aij]，其中i 表示行，j表示列，aij表示矩阵中第i行第j列的元素。

2. 矩阵的基本运算矩阵的加法：两个矩阵A和B的加法定义为A+B=C，其中矩阵C 的每个元素等于A和B对应位置元素之和。

矩阵的减法：两个矩阵A和B的减法定义为A-B=C，其中矩阵C 的每个元素等于A和B对应位置元素之差。

矩阵的数乘：矩阵A乘以数k，定义为kA，即矩阵A的每个元素都乘以k。

3. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

如果矩阵A的转置矩阵记作A^T，则对于A的任意元素aij，其在A^T中位置将变为a_ji。

4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行对应相乘，再将结果相加得到新矩阵。

设矩阵A为m行n列，矩阵B为n行p列，则矩阵积AB是一个m行p列的矩阵，记作C=AB，其中矩阵C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素相乘再求和。

5. 矩阵的性质矩阵的加法和乘法满足交换律和结合律，但减法和数乘不满足交换律。

矩阵的转置对应于几何意义上的镜面对称变换。

对于方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。

对于方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=λX，其中λ为常数，则称λ为矩阵A的特征值，X为对应于特征值λ的特征向量。

6. 矩阵的应用矩阵在实际问题中有广泛的应用。

例如，矩阵可以用来描述线性方程组的解集，解决线性方程组的相关问题。

矩阵还可以用来表示向量，进行向量的运算。

此外，矩阵还可以表示平面图形的变换，如旋转、缩放、错切等。

在江苏高考数学考试中，矩阵相关的题目通常涉及矩阵的基本运算、转置、乘法、可逆性和特征值特征向量等内容。

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2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编1.（江苏2008年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．2.（江苏2009年附加10分）求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.（江苏2010年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)。

设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

4.（江苏2011年附加10分）已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ．5.（2012年江苏省附加10分）已知矩阵A的逆矩阵113 44 11 22-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A，求矩阵A的特征值．6.（2013年江苏省附加10分）已知矩阵1012,0206A B-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵1A B-．7.（2014年江苏省附加10分）已知矩阵121x-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B，向量2y⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y，为实数，若Aα=Bα，求x y，的值．8.（2015年江苏省附加10分）已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值。

1.（江苏2008年附加10分）【答案】解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'0'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=所以，曲线F 的方程是 221x y +=。

【考点】圆的标准方程，矩阵变换的性质。

【分析】由题意先设椭圆上任意一点00(,)P x y ，根据矩阵与变换的公式求出对应的点'''00(,)P x y ，得到两点的关系式，再由点P 在椭圆上代入化简。

2.（江苏2009年附加10分）【答案】解：设矩阵A 的逆矩阵为,xy zw ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∴3212032021x z x z y w y w +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩。

解得：1,2,2,3x z y w =-===-。

∴A 的逆矩阵为112A 23--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦。

【考点】逆矩阵的求法。

【分析】设出逆矩阵，根据逆矩阵的定义计算即可。

3.（江苏2010年附加10分）【答案】解：由题设得0010MN 011010k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由00220010001022k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知A 1（0，0）、B 1（0，－2）、C 1（k ，－2）。

计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知：||212k =⨯=。

所以k 的值为2或－2。

【考点】图形在矩阵对应的变换下的变化特点。

【分析】由题设得0010MN 011010k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，根据矩阵的运算法则进行求解。

4.（江苏2011年附加10分）【答案】解：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α，∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121112112A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423，∴由βα=2A 得,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡213423y x ，∴⎩⎨⎧=+=+234123y x y x ，解得12x y =-⎧⎨=⎩。

∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21α。

【考点】矩阵的运算法则。

【分析】设向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由2αβ=A ，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和y 的值，从而求得向量α。

5.（2012年江苏省附加10分）【答案】解：∵1-A A =E ，∴()11--A =A 。

∵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A 。

∴矩阵A 的特征多项式为()22 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦。

令()=0f λ，解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，。

【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而求出矩阵A 的特征值。

7.（2014年江苏省附加10分）【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，1.（江苏2008年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．2.（江苏2009年附加10分）已知曲线C的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程。

3.（江苏2010年附加10分）在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值。

4.（江苏2011年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程．5.（2012年江苏省附加10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．6.（2013年江苏省附加10分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩（θ为参数）。

试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。

7.（2014年江苏省附加10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为12xy⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t为参数)，直线l与抛物线24y x=交于A B，两点，求线段AB的长．8.（2015年江苏省附加10分）已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.1.（江苏2008年附加10分）【答案】解：∵椭圆2213xy+=的参数方程为 (sinxyφφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）∴可设动点P的坐标为,sinφφ），其中02φπ≤<.∴1sin sin)2sin()23 S x yπφφφφφ=+=+=+=+∴当6πφ=时，S 取最大值2。

【考点】椭圆的参数方程【分析】先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求。

2.（江苏2009年附加10分）【答案】解：∵212,x t t =+-∴2123y x t t +=+=。

∴曲线C 的普通方程为：2360x y -+=。

【考点】参数方程和普通方程。

【分析】将x=平方即可得到212x t t +=+，再将13()y t t =+化为13yt t +=，从而消去参数t ，得到曲线C 的普通方程。

3.（江苏2010年附加10分）【答案】解：∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=。

∴圆2cos ρθ=的普通方程为：222x y x +=，即22(1)1x y -+=。

直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=的普通方程为：340x y a ++=，1,=解得：2a =，或8a =-。

【考点】曲线的极坐标方程化成普通方程。

【分析】在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再根据圆心到直线的距离等于半径计算出a 值。

4.（江苏2011年附加10分）【答案】解：由题意知，椭圆的长半轴长为5=a ，短半轴长3=b ，∴4=c 。

∴右焦点为()0,4。

将已知直线的参数方程化为普通方程得022=+-y x ，∴所求的直线的斜率为21。

∴所求的方程为)4(21-=x y 即042=--y x 。

【分析】把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式求得所求直线的方程。

5.（2012年江苏省附加10分）【答案】解：∵圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，∴在3sin 3ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭中令=0θ，得1ρ=。

∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。

∵圆C 经过点()24Pπ，，∴圆C 的半径为()2221212cos=14PC π=+-⨯⨯。

∴圆C 经过极点。

∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ。

【考点】直线和圆的极坐标方程。

【解析】根据圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C 经过点()24Pπ，求出圆C 的半径。

从而得到圆C 的极坐标方程。

7.（2014年江苏省附加10分）【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB =。