第15章 电路方程的矩阵形式
电路方程的矩阵形式
用回路矩阵表示的KVL矩阵方程
用回路矩阵表示的KCL矩阵方程
三、割集矩阵及用割集矩阵表示的KCL、KVL矩阵方程 1 割集矩阵：表示支路和割集关联性质的矩阵
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
2 割集的方向
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
树的概念
树支：连接所有节点，不构成闭合回路的支路与节点相互连通 的图。图G的树为：（a)、(b)、(c)。(d)、(e)不是树
割 集 的 定 义
adf, bcf, abe,def,bdef, acef,abcd七种是割集, adef ,abcde不是割集。
状态变量 列向量
状态变量
三、列状态方程
对线性时不变动态网络，独立的电容电压和 电感电流就是能满足上述条件的一组变量， 可作为网络的一组状态变量。举例见P357
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
支路间约束---支路间KCL、KVL约束（用关联矩阵表 示）
天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式
天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。
关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。
回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点(1) 关联矩阵(2) 结点电压方程的矩阵形式(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法.三种主要关联矩阵形式：①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；a= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结jk点；a= 0，表示结点j与支路k不关联；jk②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：lⅹb其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；bjk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；bjk= 0，表示回路j与支路k相不关联；③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；qjk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；qjk= 0，表示割集j与支路k相不关联；注意：★对于结点关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
电路方程的矩阵形式ppt课件
结束
重点
1. 掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩 阵A、回路矩阵B、割集矩阵Q；
2. 掌握复合支路的概念； 3. 学会用矩阵形式列写回路电流方程、结
点电压方程和割集电压方程； 难点
割集电压方程的列写。
1
§15-1 割集
1. 定义 连通图G的一个割集是G的 一个支路集合，如果
称为基本割集组。
l1
l2
结束
bt l3
Q
而基本割集组是独 立割集组。
独立割集组不一 定是单树支割集。 就象独立回路不 一定是单连支回 路一样。
6
树支为2,3,4,6时的基本割集组
4
1
4
1
5 8
5 8
Q2
6
6
7
7
3
2 Q1 3
2
Q3
4
1
结束
5
8
6
3 7 Q4 2
Q1 (1,2,5,7,8) Q2 (1,3,5,8) Q3 (1,4,5) Q4 (5,6,7,8)
Q1
树支为
4
1
同一个图，有
5,6,7,8 Q4 时的基
5 8
6
Q2 许多不同的树， 因此能选出许
本割集 组。
7
3
2
Q3
多不同的基本 割集组。
7
§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩
阵 1. 关联矩阵的特点
描述结点与支路关联的矩阵。
是一个(n×b)阶的矩阵。
(1)Aa的元素定义 ajk= +1，支路k与结点j关
bjk= -1，支路k与回路j关联，且方向相反；
bjk= 0，支路k与回路j无关联。
第15章电路方程的矩阵形式
(2)保留Q 中的一条支路，其于都移去， G还是连通的。
②
2
1
2
①5
③
1
5
①
43
4
④
6 6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
②
1
2
①5
③
1
2
①5
③
43 ④6
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 5 , 4}
单树支割集（基本割集）
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
设 I I1 I2 Ib T
IS IS1 IS 2 ISb T
15-3 结点电压方程的矩阵形式
Ik
Iek
U Sk
Yk ISk
U k
U U1 U 2 U b T
U S U S1 U S 2 U Sb T
②
基本回路
15.1 割集
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
{1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
2. 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个
这种树支所构成的基本割集中含有bl 。
②
基本回路
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
u5
节点电压
un1
un
第015章_电路方程的矩阵形式
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
电路第15章电路方程的矩阵形式
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
第十五章 电路方程的矩阵形式
u （支路方向与回路绕向一致为正，反之为负）
由KVL可知，任一闭合回路电压的代数和恒为零
即有 B f u 0 或 Bf U 0 称为矩阵形式的KVL。
如上图中，u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
1 1 1 1 0 0
4
Bf 1 1 0 0 1 0
1 l1
l2
6
0
1
100 u1
1
5 2 3 l3
us5 -
R5
b5
1
b1 2 b2 3
Is1
R2
+
+
b4
b3
b6
u4 - R4
R3
kuu4 _
4
电路
拓扑图（线图）
支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-----
有向图
连通图：是指拓扑图中任意两节点间都至少有一条通路。
子图：是指原拓扑图的一部分，可包括原图的一些边和顶 点。
树：在连通图中包含连通图中的全部节点和部分支路，不 包含回路。
b4
b5 b3
4
特点：
a.每一列的代数和均为零。其中的行不是彼 此独立的，其任意一行都与（n-1）行的和 的相反的数相等。
b.去掉以任意一个节点为参考节点所对应的 一行后记为（n-1） b阶矩阵称为降阶的关 联矩阵 简称关联矩阵 。用符号 A 表示。
在 Aa 中划去的行对应的节点即为参考节点。
如上图选节点④为参考节点则有：
b1 b5
b2
Q1
b4
b3
Q3 b6
Q2
规定基本割集的方向与其中的树支方向一致。
若将切割线Q1，Q2，Q3延伸成闭合面则有：
ib1 ib2 ib4 ib6 0 ib2 ib5 ib6 0 ib3 ib4 ib6 0
第十五章 电路方程的矩阵形式
4 4 3 2 1 (a) 1 (b) (c) 6
①
4 3
5 6
(a)(b)为割集，(c)为非割集
1. 关联矩阵
一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关 联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。
N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述 支路b
Aa=
结点n
n b
每一行对应一个结点，每一列对应一条支路， 矩阵Aa的每一个元素定义为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 -1 0 1 -1 1 0 1 -1
Bl
Bt
u u u u u u
1 2 3 4 5 6
u4 u5 u1 u4 u5 u6 u2 0 u5 u6 u3
矩阵形式的KVL： [ B ][ u ]= 0
Bl
= [ 1 Bt ]
Bt
②
引入回路矩阵[B]的作用： ① 用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程 设
①
４ ３
５ ③
[u ] [ u1 u 2 u3 u 4 u5 u6 ]T
u u
l
２
６
④1
t
[ B ][ u ]=
0 -1
关联矩阵Aa的特点： ① ② 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1， Aa的每一列元素之和为零。 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1 行是独立的。 支路b
引入降阶关联矩阵A A=
(n-1) b
结点（n-1）
② ４ ①
２ ５
设④为参考节点,得降阶关联矩阵
③ ６
电路方程的矩阵形式
第十五章电路方程的矩阵形式重点：1.关联矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式；3. 状态方程。
难点：电路状态方程列写的直观法和系统法。
§ 15.1 图的矩阵表示1. 有向图的关联矩阵2.电路的图是电路拓扑结构的抽象描述。
若图中每一支路都赋予一个参考方向，它成为有向图。
有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述 3. 关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
4. 回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
5. 割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
6. 本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。
7.一条支路连接某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。
支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。
设有向图的结点数为 n ,支路数为b ,且所有结点与支路均加以编号。
于是，该有向图的关联矩阵为一个 」阶的矩阵，用 表示。
它的每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，它的任一元素 定义如下：8.，表示支路 k 与结点j 关联并且它的方向背离结点9.-1 一，表示支路k 与结点j 关联并且它指向结点； 10.n:A，表示支路k 与结点j 无关联。
对于图 15.1 所示的有向图，它的关联矩阵是1 23 45 61'-I -1 0 1 0 0A=2 0 0 1 -1-1 D 3 41 0 0 0+1 +4 0 +1 -1 0图 15.1J-的每一列元素之和为零。
关联矩阵丄的特点:①每一列只有两个非零元素，一个是+1，—个是-1，如果把 的任一行划去，剩下的矩阵用 亠』表示，并称为降阶关联矩阵（今后主要用这种降阶关联矩阵， 所以往往略去“降阶”二字） ，被划去的行对应的结点可以当作参 考结点。
例如，若以结点4为参考结点，把上式中'3-的第4行划去，得 A0 0-1 0+1 -+1的第3行划去，得 A0 01-1 0 0 -1或一个-1 ，每一个这样的列必对应于与参考结从而画岀有向图。
第15章电路方程的矩阵形式
矩阵形式的KCL：[ Q ][i ]=0
it Ql il
[1
Ql
] iilt
0
回路矩阵表示时 BTt il it
Ql BtT
４
５
３
２
６
1
割集支 4
C1 1
Q= C2 0
C3 0
56123
0 0 -1 -1 0
1 0 1 1 -1
0 1 0 -1 1
Qt
Ql
回支 4 5 6 1 2 3
1 1 -1 0 1 0 0 B = 2 1 -1 1 0 1 0 = [ Bt 1 ]
6
2 13
1
3
基本回路数=连支数=b-(n-1)
3.割集Q (Cut set )
Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
6
12
5
4
3
{2,4,5,6} 12
3
{2,3,6}
1 5•
4
{1,3,5,6}是否割集？
•
Idk gkj Uej gkj (U j Usj )
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) gkj (U j Usj ) Isk
•
(2) I dk 为 CCCS
•
•
设 I dk kj I ej
•
•
•
I ej
Yj
(U
j
Usj
)
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) kjYj (U j Usj ) Isk
第15章 电路方程的矩阵形式
2 2 1
③
②
1
①
5 4 6 3
④
5 4 6 Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
①
③
3
④
12
②
②
②
1
①
2 5 4 3
④ ③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4 6
2
③
3
④
3
④
6
6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 4 , 6}
Q4: { 1 , 5 , 2 }
13
单树支割集（基本割集） 单树支割集（基本割集）
矩阵形式的KCL 矩阵形式的
i1 i2 i3 i4 i5 i6
Ai= 0
24
②
1
①
2 5 4
④ ③
矩阵形式KVL 矩阵形式
A un = u
T
3 6
un1 − un 2 1 −1 0 − u + u 0 −1 1 n3 u n2 n1 un 3 0 0 1 = = un 2 − u n1 0 − 1 0 un 3 un 2 0 1 0 un1 − un 3 0 − 1 1
18
例：任选一树，确定一组基本割集 任选一树，
Q1 2 3 5 6 7 8 4 5 6 7 Q5 8 Q4 1
解：
2 3
1 Q2 4 Q3
Q1[1,2] Q2[2,3,4] Q3[4,5]
Q4[4,6,7] Q5[7,8]
19
15- 关联矩阵、回路矩阵、 §15-3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
电路PPT课件第15章 电路方程的矩阵形式
ppt课件
11
§15- 3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一. 关联矩阵A 一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点 相关联。
用矩阵形式描述节点和支路的关联性质
关联矩阵
aij = 1 aij aij= -1
aij =0
Aa={aij}n b
节点数 支路数
有向支路 j 与节点 i 关联且背离节点 i
1. 回路的绕行方向取连支电流方向。 2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。
1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向一致
bij= -1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路i中
ppt课件
17
４
５
2 ３3
选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 , 4}
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4: { 1 , 5 , 2 }
由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。
对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。
借助于“树”来确定独立割
R1
ppt课件抽象
i1 i2
i3
有 向 图2
连通图 图
不连通图
+
-
抽象 不连通图
+ -
二 . 名词和定义 1. 图 G={支路，节点}
抽象 连通图
① １ ②ppt课件
允许孤立节点存在3
2.子图
路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。
电路方程的矩阵形式
连支所构成的割集为单树支割集。
(a, b, e), 如下图中 (b, c, f ), ( a, f , d )
④ n 个结点和 b 条支路的连通图，其树支为( n -1)，有(n
-1)个单树支割集，称为基本割集组，n个结点的连通图，独立 割集为( n -1)，独立割集不一定是单树支割集。 ⑤ 连通图可以有许多不同的树，可选出许多基本割集组。
这种回路矩阵称为基本回路矩阵，用 Bf 表示 Bf 的行列次序：l 条连支依次排列在对应于 Bf 的第 1 至 l 列, 然后再排树支；每一单连支回路的序号为对应连支所在列的 序号, 该连支的方向为对应回路的绕行方向，Bf 中将出现一个 l 阶单位子矩阵
B f应的部分
② 回路矩阵 B 左乘支路电压列向量，所得乘积是一个 l 阶列
向量，因矩阵 B 的每一行表示每一对应回路与支路的关联情况.
BU 0,
回路1中的 u 回路 2 中的 u 0 BU 回路 l 中的 u
Chapter 15 电路方程的矩阵形式
主 要 内 容
1．关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵;
2．KCL, KVL的矩阵形式；
3．回路电流（网孔电流）方程，结点电压方程，
割集电压方程和列表方程的矩阵形式；
4. 状态方程.
§15-1 割集
KCL 和 KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系 取决于电路中各元件的连接方式。 电路的拓扑--电路中各元件的连接方式。 电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图,回路,树,割 集等）。 1. 割集：是 G 的一个支路集合，移去这些支路，将使 G 分 离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的. 可以利用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集, 与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（ 因移去这些支路，
电路方程的矩阵形式
电路方程的矩阵形式
一、实际工程应用中，电路的规模日益增大，结构日益复杂，为了便于借助计算机做为辅助手段，求解方程，要求将电路方程用矩阵形式表示。
1，回路电流方程（网孔电流法）由于描述支路与回路关联性质的是回路矩阵B，所以适合用以Ｂ表示的ＫＣＬ和ＫＶＬ推到回路电流方程的矩阵形式，在加一组约束方程，便得到了回路方程的矩阵形式。
（不允许存在无伴电流源）
２，节点电压法：节点电压法以结点电压为电路的独立变量，并且用ＫＣＬ列足够的独立方程。
宜用以矩阵A表示的KCL和ＫＶＬ推到结点电压方程的矩阵形式。
在加一组约束方程，便得到了结点电压法的矩阵形式。
（不允许存在无伴电压源）
3，另外还有割集电压方程，（割集电压法是结点电压法的推广）列表法等方法，列表法适应性很强，方程易于建立，但缺点是规模大，零元素所占比例越大，稀疏技术发展以使这一缺点变得微不足道。
二．二端口网络
任何复杂由线性Ｒ、Ｌ（Ｍ）、Ｃ元件构成的无源一端口可以用一个等效阻抗表征它的外部特性。
同理，任何给定的由线性Ｒ、Ｌ（Ｍ）、Ｃ元件构成的无源二端口的外部性能可以用３个参数确定，那么只要找到一个由具有三个阻抗组成的简单二端口，两个二端口参数相同，则两个二端口的外部特性完全相同，它们是等效的。
三、回转器和负阻抗变换器
回转器有把一个端口上的电流“回转”为另一个端口上的电压或相反的过程的本领。
正是这一性质，使回转器具有把一个电容回转为一个电感的本领。
负阻抗变换器（简称ＮＩＣ）也是一个二端口，为电路设计中实现负Ｒ、Ｌ、Ｃ提供可能行。
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本章重点 （1）图的矩阵表示 关联矩阵A 单连支回路矩阵B 单树支割集矩阵Q （2）矩阵形式的 KCL、KVL （3）节点电压方程的建立
§15-1 图的基本概念
i1 i2 i3 i1 i2 i3 i = 0
抽象
i1 i2 i3
+
抽象
支路
-
无
一. 图的基本概念
抽象
向
L
图
uS
由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有n个 节点和b条支路组成的电路，树支数有（n-1）个，因此可 以构成（n-1）单树支割集。称之为基本割集组。
②
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
1
2
①5
③
43 ④6
Q2: { 3 , 5 , 4}
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
un1 un2
un3
1
un1 un2
un2
un3
un3 un1
un2
un1 un3
u1
u2
u3
u4
u5 u6
ATun u
结点电压
支路电压
二. 基本回路矩阵B 用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质
４
５
３
２
６
1
B = {b ij} lb
基本回路数 支路数 约定：
由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。
对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。
借助于“树”来确定独立割 集。
单树支割集（基本割集）
连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩下 的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。
图中的方向表示原电路中支路电压和 电流关联参考方向。
§15-2. 回路、树、割集
一. 回路
回路L是连通图G的一个子图。
具有下述性质
(1)连通； (2)每个节点关联支路数恰好为2。
123 75
6 84
23 5 回路
12 5
78 4 不是回路
二 . 树 (Tree)
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：
(1)连通； (2)包含G的所有节点和部分支路； (3)不包含回路。
树支：组成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路
16个 树不唯一
树支数 bt= n-1
连支数 bl=b-(n-1)
单连支回路（基本回路）
4
1 3 56
2
树支数 4 连支数 3
7 单连支回路
独立回路
4 1
5
三. 割集
割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： (1) 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分；
每一支路，连接在两个节 点上，必然要背离一个节 点，指向另一节点。
设④为参考节点
称A为降阶关联矩阵 (n-1)b ， 表征独立节点与支路的关联性质
②
1
2
节支 1 2 3 4 5 6
①
5
③
1 1 0 0 -1 0 1
4
3
A= 2 -1 -1 0 0 1 0 3 0 1 1 0 0 -1
④
6
设:
支路电流
(2)保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。
②
2
1
2
①5
③
1
5
①
43
4
④
6 6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 , 4}
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4: { 1 , 5 , 2 }
i6
0
i1
i2
i5
i2 i3 i6
矩阵形式的KCL A i = 0
1
①
4
②
2
5 3
④
6
矩阵形式KVL
③
节支 1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 -1 0 1 A= 2 -1 -1 0 0 1 0
3 0 1 1 0 0 -1
1
0
0
1
0 1
1 1 0 0 1 0
0
1 1 0 0
i1
i2
i
i3 i4
i5
i6
u1
支路电压
u2
u
u3 u4
u5
u6
节点电压 un1
un
un
2
un3
②
i1
1
①
2
i2
5
1 0 0 -1 0 1
③ Ai = -1 -1 0 0 1 0
i3
0 1 1 0 0 -1 i4
4
3
④
6
i5
i1 i4 i6
２
６
1
1
B = 2 1 -1 1 0 1 0 3 0 1 -1 0 0 1
Bt
Bl
= [ Bt 1 ] 设
[u] [u4 u5u6 u1 u2u3 ]T
ut
ul
[i] [i4 i5 i6 i1 i2 i3 ]T
矩阵形式的KVL B u = 0
关联矩阵
aij = 1 aij aij= -1
aij =0
Aa={aij}n b
节点数 支路数
有向支路 j 与节点 i 关联且背离节点 i 有向支路 j与节点 i 关联且指向节点 i j 支路与i节点无关
②
1
2
节支 1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 -1 0 1
①
5
③
Aa=
2 3
-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1
R2 C
有 向
R1
抽象
图
连通图 图
不连通图
+
-
抽象 不连通图
+ -
二 . 名词和定义 1. 图 G={支路，节点}
抽象 连通图
① １ ②
允许孤立节点存在
2.子图
路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。
3. 连通图 图G的任意两节点间至少有 一条路经时称G为连通图。 4.有向图
单树支割集 单树支割集
1
独立割集 独立割集
3
2
4
{1，2，3，4} 割集
1
2
3
4
{1，2，3，4} 割集
三个分离部分
4 保留4支路，图不连通的。
§15- 3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一. 关联矩阵A 一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点 相关联。
用矩阵形式描述节点和支路的关联性质
4
3
4 0 0 -1 1 -1 0
④
6 节支 1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 -1 0 1
Aa=
2 3
-1 -1 0 011
0 0
10 0 -1
4 0 0 -1 1 -1 0
节支 1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 -1 0 1 A= 2 -1 -1 0 0 1 0
3 0 1 1 0 0 -1
1. 回路的绕行方向取连支电流方向。 2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。
1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向一致
bij= -1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路i中
４
５
2 ３3
选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。
回支 4 5 6 1 2 3 1 1 -1 0 1 0 0