电路第15章-电路方程的矩阵形式
电路方程的矩阵形式
用回路矩阵表示的KVL矩阵方程
用回路矩阵表示的KCL矩阵方程
三、割集矩阵及用割集矩阵表示的KCL、KVL矩阵方程 1 割集矩阵：表示支路和割集关联性质的矩阵
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
2 割集的方向
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
树的概念
树支：连接所有节点，不构成闭合回路的支路与节点相互连通 的图。图G的树为：（a)、(b)、(c)。(d)、(e)不是树
割 集 的 定 义
adf, bcf, abe,def,bdef, acef,abcd七种是割集, adef ,abcde不是割集。
状态变量 列向量
状态变量
三、列状态方程
对线性时不变动态网络，独立的电容电压和 电感电流就是能满足上述条件的一组变量， 可作为网络的一组状态变量。举例见P357
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
支路间约束---支路间KCL、KVL约束（用关联矩阵表 示）
天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式
天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。
关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。
回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点(1) 关联矩阵(2) 结点电压方程的矩阵形式(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法.三种主要关联矩阵形式：①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；a= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结jk点；a= 0，表示结点j与支路k不关联；jk②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：lⅹb其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；bjk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；bjk= 0，表示回路j与支路k相不关联；③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；qjk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；qjk= 0，表示割集j与支路k相不关联；注意：★对于结点关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
电路方程的矩阵形式ppt课件
结束
重点
1. 掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩 阵A、回路矩阵B、割集矩阵Q；
2. 掌握复合支路的概念； 3. 学会用矩阵形式列写回路电流方程、结
点电压方程和割集电压方程； 难点
割集电压方程的列写。
1
§15-1 割集
1. 定义 连通图G的一个割集是G的 一个支路集合，如果
称为基本割集组。
l1
l2
结束
bt l3
Q
而基本割集组是独 立割集组。
独立割集组不一 定是单树支割集。 就象独立回路不 一定是单连支回 路一样。
6
树支为2,3,4,6时的基本割集组
4
1
4
1
5 8
5 8
Q2
6
6
7
7
3
2 Q1 3
2
Q3
4
1
结束
5
8
6
3 7 Q4 2
Q1 (1,2,5,7,8) Q2 (1,3,5,8) Q3 (1,4,5) Q4 (5,6,7,8)
Q1
树支为
4
1
同一个图，有
5,6,7,8 Q4 时的基
5 8
6
Q2 许多不同的树， 因此能选出许
本割集 组。
7
3
2
Q3
多不同的基本 割集组。
7
§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩
阵 1. 关联矩阵的特点
描述结点与支路关联的矩阵。
是一个(n×b)阶的矩阵。
(1)Aa的元素定义 ajk= +1，支路k与结点j关
bjk= -1，支路k与回路j关联，且方向相反；
bjk= 0，支路k与回路j无关联。
第15章电路方程的矩阵形式
(2)保留Q 中的一条支路，其于都移去， G还是连通的。
②
2
1
2
①5
③
1
5
①
43
4
④
6 6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
②
1
2
①5
③
1
2
①5
③
43 ④6
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 5 , 4}
单树支割集（基本割集）
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
设 I I1 I2 Ib T
IS IS1 IS 2 ISb T
15-3 结点电压方程的矩阵形式
Ik
Iek
U Sk
Yk ISk
U k
U U1 U 2 U b T
U S U S1 U S 2 U Sb T
②
基本回路
15.1 割集
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
{1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
2. 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个
这种树支所构成的基本割集中含有bl 。
②
基本回路
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
u5
节点电压
un1
un
第015章_电路方程的矩阵形式
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
电路第15章电路方程的矩阵形式
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
第15章 电路方程的矩阵形式
Chapter 15 电路方程的矩阵形式主要内容 1.关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵; 2.KCL, KVL 的矩阵形式；3.回路电流（网孔电流）方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式；§15-1 割集KCL 和KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系取决于电路中各元件的连接方式。
电路的拓扑 ---- 电路中各元件的连接方式。
电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图，回路，树，割集等）。
1. 割集：是G 的一个支路集合，移去这些支路，将使G 分离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。
可以用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集，与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（因移去这些支路，G 被分离为两部分）。
割集：),,,( ),,,,( ),,,,( ),,,( ),,,( ),,,( ),,,(d c b a f c e a f d e b c e d f c b b e a f d a 非割集：),,,(),,,(c b e a e d aKCL 适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL ，若一个割集的所有支路都连接在同一个接点上，割集的KCL 方程即变为结点上的KCL 方程2. 独立割集：一组线性独立的KCL 方程对应的割集。
应用割集法，首先必须选择一组独立割集。
① 选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集；因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的，故任何连支集合不能构成割集.② 连通图的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。
因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成 21 T T 和两部分，于是联结 21 T T 和的那些连支和这条树支必构成一个割集。
③ 单树支割集（基本割集）由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。
如下图中 ),,( ),,,( ),,,(d f a f c b e b a④n 个结点和b 条支路的连通图，其树支数为 (n -1)，有(n -1)个单树支割集，称为基本割集组。
第十五章 电路方程的矩阵形式
u （支路方向与回路绕向一致为正，反之为负）
由KVL可知，任一闭合回路电压的代数和恒为零
即有 B f u 0 或 Bf U 0 称为矩阵形式的KVL。
如上图中，u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
1 1 1 1 0 0
4
Bf 1 1 0 0 1 0
1 l1
l2
6
0
1
100 u1
1
5 2 3 l3
us5 -
R5
b5
1
b1 2 b2 3
Is1
R2
+
+
b4
b3
b6
u4 - R4
R3
kuu4 _
4
电路
拓扑图（线图）
支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-----
有向图
连通图：是指拓扑图中任意两节点间都至少有一条通路。
子图：是指原拓扑图的一部分，可包括原图的一些边和顶 点。
树：在连通图中包含连通图中的全部节点和部分支路，不 包含回路。
b4
b5 b3
4
特点：
a.每一列的代数和均为零。其中的行不是彼 此独立的，其任意一行都与（n-1）行的和 的相反的数相等。
b.去掉以任意一个节点为参考节点所对应的 一行后记为（n-1） b阶矩阵称为降阶的关 联矩阵 简称关联矩阵 。用符号 A 表示。
在 Aa 中划去的行对应的节点即为参考节点。
如上图选节点④为参考节点则有：
b1 b5
b2
Q1
b4
b3
Q3 b6
Q2
规定基本割集的方向与其中的树支方向一致。
若将切割线Q1，Q2，Q3延伸成闭合面则有：
ib1 ib2 ib4 ib6 0 ib2 ib5 ib6 0 ib3 ib4 ib6 0
第十五章 电路方程的矩阵形式
4 4 3 2 1 (a) 1 (b) (c) 6
①
4 3
5 6
(a)(b)为割集，(c)为非割集
1. 关联矩阵
一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关 联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。
N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述 支路b
Aa=
结点n
n b
每一行对应一个结点，每一列对应一条支路， 矩阵Aa的每一个元素定义为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 -1 0 1 -1 1 0 1 -1
Bl
Bt
u u u u u u
1 2 3 4 5 6
u4 u5 u1 u4 u5 u6 u2 0 u5 u6 u3
矩阵形式的KVL： [ B ][ u ]= 0
Bl
= [ 1 Bt ]
Bt
②
引入回路矩阵[B]的作用： ① 用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程 设
①
４ ３
５ ③
[u ] [ u1 u 2 u3 u 4 u5 u6 ]T
u u
l
２
６
④1
t
[ B ][ u ]=
0 -1
关联矩阵Aa的特点： ① ② 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1， Aa的每一列元素之和为零。 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1 行是独立的。 支路b
引入降阶关联矩阵A A=
(n-1) b
结点（n-1）
② ４ ①
２ ５
设④为参考节点,得降阶关联矩阵
③ ６
电路方程的矩阵形式
第十五章电路方程的矩阵形式重点：1.关联矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式；3. 状态方程。
难点：电路状态方程列写的直观法和系统法。
§ 15.1 图的矩阵表示1. 有向图的关联矩阵2.电路的图是电路拓扑结构的抽象描述。
若图中每一支路都赋予一个参考方向，它成为有向图。
有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述 3. 关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
4. 回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
5. 割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质。
6. 本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。
7.一条支路连接某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。
支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。
设有向图的结点数为 n ,支路数为b ,且所有结点与支路均加以编号。
于是，该有向图的关联矩阵为一个 」阶的矩阵，用 表示。
它的每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，它的任一元素 定义如下：8.，表示支路 k 与结点j 关联并且它的方向背离结点9.-1 一，表示支路k 与结点j 关联并且它指向结点； 10.n:A，表示支路k 与结点j 无关联。
对于图 15.1 所示的有向图，它的关联矩阵是1 23 45 61'-I -1 0 1 0 0A=2 0 0 1 -1-1 D 3 41 0 0 0+1 +4 0 +1 -1 0图 15.1J-的每一列元素之和为零。
关联矩阵丄的特点:①每一列只有两个非零元素，一个是+1，—个是-1，如果把 的任一行划去，剩下的矩阵用 亠』表示，并称为降阶关联矩阵（今后主要用这种降阶关联矩阵， 所以往往略去“降阶”二字） ，被划去的行对应的结点可以当作参 考结点。
例如，若以结点4为参考结点，把上式中'3-的第4行划去，得 A0 0-1 0+1 -+1的第3行划去，得 A0 01-1 0 0 -1或一个-1 ，每一个这样的列必对应于与参考结从而画岀有向图。
第15章电路方程的矩阵形式
矩阵形式的KCL：[ Q ][i ]=0
it Ql il
[1
Ql
] iilt
0
回路矩阵表示时 BTt il it
Ql BtT
４
５
３
２
６
1
割集支 4
C1 1
Q= C2 0
C3 0
56123
0 0 -1 -1 0
1 0 1 1 -1
0 1 0 -1 1
Qt
Ql
回支 4 5 6 1 2 3
1 1 -1 0 1 0 0 B = 2 1 -1 1 0 1 0 = [ Bt 1 ]
6
2 13
1
3
基本回路数=连支数=b-(n-1)
3.割集Q (Cut set )
Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
6
12
5
4
3
{2,4,5,6} 12
3
{2,3,6}
1 5•
4
{1,3,5,6}是否割集？
•
Idk gkj Uej gkj (U j Usj )
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) gkj (U j Usj ) Isk
•
(2) I dk 为 CCCS
•
•
设 I dk kj I ej
•
•
•
I ej
Yj
(U
j
Usj
)
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) kjYj (U j Usj ) Isk
第15章 电路方程的矩阵形式
2 2 1
③
②
1
①
5 4 6 3
④
5 4 6 Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
①
③
3
④
12
②
②
②
1
①
2 5 4 3
④ ③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4 6
2
③
3
④
3
④
6
6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 4 , 6}
Q4: { 1 , 5 , 2 }
13
单树支割集（基本割集） 单树支割集（基本割集）
矩阵形式的KCL 矩阵形式的
i1 i2 i3 i4 i5 i6
Ai= 0
24
②
1
①
2 5 4
④ ③
矩阵形式KVL 矩阵形式
A un = u
T
3 6
un1 − un 2 1 −1 0 − u + u 0 −1 1 n3 u n2 n1 un 3 0 0 1 = = un 2 − u n1 0 − 1 0 un 3 un 2 0 1 0 un1 − un 3 0 − 1 1
18
例：任选一树，确定一组基本割集 任选一树，
Q1 2 3 5 6 7 8 4 5 6 7 Q5 8 Q4 1
解：
2 3
1 Q2 4 Q3
Q1[1,2] Q2[2,3,4] Q3[4,5]
Q4[4,6,7] Q5[7,8]
19
15- 关联矩阵、回路矩阵、 §15-3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
《电路》第15章电路方程的矩阵形式解析
2
i2 i1
i5
5
1 i1 i2 - i1 - i2 + i3 0 i3 i 4 = - i3 - i4 + i6 = 0 + i 1 + i4 + i5 0 i5 i6
结点1的KCL 矩阵形式 结点 2 的 KCL [A][i] = … … 的KCL 结点(n-1)的KCL
14:45:53
[A][ i ] = 0
14:45:53 12
(3)关联矩阵A的作用
①表示矩阵形式的KCL方程； 设：[ i ] = [i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 ]T 以结点④为参考结点 -1 -1 +1 0 0 0 [A][i] = 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0
①
② i3 3 i6 6 ④ 4 i 4 ③
14:45:53
u1 u3 u4 u2 u5 u6
② ①
i3 3
2 5 Ⅰ ④ i1 1
i6 Ⅲ Ⅱ i2 6 i5
4 i 4
③
KVL的矩阵形式： [B][u] = 0
21
注意：连支电压可以用树支电压表示。 ② 3 4 i ul i 3 4 证 [ Bf ][ u ] =[ 1 Bt ] =0 i ① ③ 6 ut Ⅲ Ⅱ i2 6 i5 ul + Btut = 0 ul = - Btut ②用回路矩阵[B]T表示矩阵 形式的KCL方程。 设： [ i ] = [i1 , i3 , i4 , i2 , i5 , i6 ]T 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 1 0 -1 0 -1 0 1 1 [ B ]T
注意：
《电路》邱关源第五版课后习题答案解析全集
答案第一章【1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。
【2】：D 。
【3】：300；-100。
【4】：D 。
【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S SS 1。
【题6】：3；-5；-8。
【题7】：D 。
【题8】：P US1=50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315=- W 。
【题9】：C 。
【题10】：3；-3。
【题11】：-5；-13。
【题12】：4（吸收）；25。
【题13】：0.4。
【题14】：3123I +⨯=；I =13A 。
【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。
【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245W 。
【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。
【题18】：P P I I 12122222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-=I I ；I 185=A ；U I I S =-⨯=218511V 或16.V ；或I I 12=-。
⑵ KCL ：43211-=-I I ；I 18=-A ；U S =-24V 。
第二章【题1】：[解答]I =-+9473A =0.5 A ；U I a b .=+=9485V ； I U 162125=-=a b .A ；P =⨯6125. W =7.5 W；吸收功率7.5W 。
电路PPT课件第15章 电路方程的矩阵形式
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11
§15- 3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一. 关联矩阵A 一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点 相关联。
用矩阵形式描述节点和支路的关联性质
关联矩阵
aij = 1 aij aij= -1
aij =0
Aa={aij}n b
节点数 支路数
有向支路 j 与节点 i 关联且背离节点 i
1. 回路的绕行方向取连支电流方向。 2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。
1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向一致
bij= -1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路i中
ppt课件
17
４
５
2 ３3
选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 , 4}
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4: { 1 , 5 , 2 }
由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。
对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。
借助于“树”来确定独立割
R1
ppt课件抽象
i1 i2
i3
有 向 图2
连通图 图
不连通图
+
-
抽象 不连通图
+ -
二 . 名词和定义 1. 图 G={支路，节点}
抽象 连通图
① １ ②ppt课件
允许孤立节点存在3
2.子图
路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。
电路方程的矩阵形式
连支所构成的割集为单树支割集。
(a, b, e), 如下图中 (b, c, f ), ( a, f , d )
④ n 个结点和 b 条支路的连通图，其树支为( n -1)，有(n
-1)个单树支割集，称为基本割集组，n个结点的连通图，独立 割集为( n -1)，独立割集不一定是单树支割集。 ⑤ 连通图可以有许多不同的树，可选出许多基本割集组。
这种回路矩阵称为基本回路矩阵，用 Bf 表示 Bf 的行列次序：l 条连支依次排列在对应于 Bf 的第 1 至 l 列, 然后再排树支；每一单连支回路的序号为对应连支所在列的 序号, 该连支的方向为对应回路的绕行方向，Bf 中将出现一个 l 阶单位子矩阵
B f应的部分
② 回路矩阵 B 左乘支路电压列向量，所得乘积是一个 l 阶列
向量，因矩阵 B 的每一行表示每一对应回路与支路的关联情况.
BU 0,
回路1中的 u 回路 2 中的 u 0 BU 回路 l 中的 u
Chapter 15 电路方程的矩阵形式
主 要 内 容
1．关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵;
2．KCL, KVL的矩阵形式；
3．回路电流（网孔电流）方程，结点电压方程，
割集电压方程和列表方程的矩阵形式；
4. 状态方程.
§15-1 割集
KCL 和 KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系 取决于电路中各元件的连接方式。 电路的拓扑--电路中各元件的连接方式。 电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图,回路,树,割 集等）。 1. 割集：是 G 的一个支路集合，移去这些支路，将使 G 分 离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的. 可以利用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集, 与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（ 因移去这些支路，
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.
I Sk
•
•
•
•
U 2 (I2 I S2 )Z2 U S2 +
.
-
Uk
•
•
•
•
Ub (Ib I Sb )Zb U Sb
返回 上页 下页
设
•
I
•
I1
•
I2
•
......I b
T
U•
U•1U•
2
•
......U b
T
U
•
s
U•
•
U s1
s2
•
......U
sb
T
I
• s
•
i6
④
1 1
③
矩阵形式的KCL： [ B ]T[ il ]=[ i ]
注意 树支电流可以用连支电流表出。
[Bf
]T
1
BT t
1 BT
t
[il
]
il it
BT t
il
it
返回 上页 下页
3. 基本割集矩阵[Qf]
割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，
这里主要指基本割集矩阵。
割
ul
QT l
ut
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15.3* 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系
三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性 质，它们之间自然存在着一定的关系。
1. A与B 之间的关系
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
u ATun Bu 0
B AT 0
BATun 0
or A BT 0
返回 上页 下页
i1 i4 i5
i2
i5
i6
0
0
-1 -1
i
2
３
ii43
①
i5
i6
６
２ ④
４ ５③
1
i3 i4 i6
n-1个独立
KCL方程
矩阵形式的KCL：[ Qf ][i ]=0
返回 上页 下页
②用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程
设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[ u1 u2 u3 ]T
2. Bf 与Qf 之间的关系
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
i BTil Qi 0
QBTil 0
Q BT 0 or B QT 0
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：
Q B Qf
Bf
T
1
Ql
BT t 1
0
l
T t
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3. A与Qf 之间的关系
问题
(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集吗？
返回 上页 下页
基本割集
只含有一个树枝的割集。割集数
＝n-1
注意
1 9
64
3
7
28 5
① 连支集合不能构成割集。
②属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。
当一个割集的所有支路都连接在同一个结点
上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方
程。
il1
il
il
2
il3
独立回路电流
返回 上页 下页
②
1 0 0
0 1 0 0 1 1
0 1 0
il1 il 2
1 0 1 il3
0 1 1
il1 il 2
i1
i3
il 3 il1
il
2
i4 i2
①
３ 2６
２
４
3 ５
il1 il3 il2 il3
i5
返回 上页 下页
Rk
即 ZK
jLk
1
注意
jCK
复合支路定义了一条支路最多可以包含的不
同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。
(ZkYk）
.
(ZkYk） - U Sk +
.
.
U Sk 0 I Sk 0
.
I Sk 0
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Zk (Yk)
.
I Sk
.
U Sk -+
.
I Sk
.
U Sk -+
阵和基本割集矩阵的概念 2. 回路电流方程、结点电压方程和割
集电压方程的矩阵形式
返回
15.1 割集
割集Q 连通图G中支路的集合，具有下述性质：
• 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 • 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
164
9
3
7
28 5
割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8)
ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。
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例
支 结1
2
3
4
5
6
1 -1 -1 1 0 0 0
②
３
４
Aa= 2
3
0 0 -1 -1 0 1 ①
６
1 0 01 1 0
２
５
③
4 0 1 0 0 -1 -1
④1
特点
①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个
是-1，Aa的每一列元素之和为零。
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝
顺序写出矩阵：
A
Bf
At
Bt
Al 1
Q
f
1
Ql
A
Bf
T At
Al
BT t 1
0
At Bt T Al 0
or
Bt T
A1 t
Al
Ql
BtT
A A -1 tl
Qf
1
A 1 t
Al
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例
已知：
[Bf ]=
1 -1
0 1
1 0
u
2
u
6
u4 u5 u6
0
u6
矩阵形式的KVL：[ B ][ u ]= 0
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注意 连支电压可以用树支电压表示。
[ Bf ][ u ]= 0
ul+Btut=0
[1
ul= -
Bt ]uutl
Btut
0
②用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程
设：[i] [i1 i3 i4 i2 i5 i6 ]T
.
I Sk
.
U Sk 0
Zk (Yk)=0
.
I Sk 0
Zk (Yk)=0
.
U Sk 0 Zk (Yk)=0
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2.支路阻抗矩阵形式
①电路中电感之间无耦合
•
•
•
•
Uk
(I k
I Sk )Zk
U Sk
如有b条支路，则有：
.
Ik
.
I ek
Zk (Yk) -
.
U Sk +
•
•
•
•
U1 (I1 I S1)Z1 U S1
回路矩阵[B]的作用
①用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程；
设 [u] [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]
l个独立
ul
ut u1
KVL方程
1 0 0 -1 -1 0
u3
u1 u2 u5
[ B ][ u ]= 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 -1 1
u u
4 2
u5
u3
②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只
有n-1行是独立的。
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支 结 123456
1 -1 -1 1 0 0 0
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
3 10 0110
4 0 1 0 0 -1 -1
结
Aa= 点
n-1
支路b
(n-1) b
降阶关联矩阵A
特点 A的某些列只具有一个+1或一个－1，这样
支路 支路 支路
关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
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2. 关联矩阵A
用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个
结点b条支路的图用nb的矩阵描述：
结
Aa= 点
n
支路b
n b
注意
每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路。
矩阵Aa的每一个元素定义为：
ajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点； ajk ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点；
②支路排列顺序为先连支后树支，回路
顺序与连支顺序一致。
例 选 2、5、6为树，连支顺序为1、 3 、 4 。
回 支1 3 4 2 5 6
②
1
[B] = 2
3
1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 10 1 0 0 1 0 -1 1
Bl
Bt
= [1 Bt ]
３
４
① 2６ 3
③
５
２
④
1 1
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独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。
独 立
[B]= 回
路
支路b
l b
注意
每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路。
l
矩阵B的每一个元素定义为：
1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致；
bij -1 支路 j 在回路 i中，且方向相反；
0 支路 j 不在回路 i 中。
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例 取网孔为独立回路，顺时针方向
的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的 行对应的结点可以当作参考结点。