第15章电路方程的矩阵形式

第十五章电路方程的矩阵形式重点：1．关联矩阵、基本回路矩阵及基本割集矩阵等基本概念2．熟练掌握几种基本矩阵的列写及其相互间关系3．熟练掌握基于矩阵的大规模电路分析方法的原理及应用前景难点：1．掌握各种电路分析方法的矩阵应用2．理解大规模电路分析方法对电路的计算机辅助分析与设计的作用我们以前在学习支路电流法、支路电压法以及网孔分析法、节点分析法、割集分析法、回路分析法时，都是凭观察来列出所需的独立方程组。

在求解方程时可以用手算，也可以使用电子计算机。

对于含元件较少的电路，这种做法是行得通的。

但是现代的电子电路可以包含数百个元件，特别是集成电路技术的飞越发展，电路日益复杂。

对于这类“大规模（Large scale）电路”，不可能再凭观察来列写方程。

需要有一种系统化的步骤来处理这类电路，使列写方程和求解的工作都能由电子计算机去完成。

本章初步地介绍了这种分析方法。

其中要用到上章所述图论的一些基本概念以及线性代数中的矩阵方法。

§15-1 电网络图论的基本概念网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。

其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。

15.1.1 网络的图1．网络图论——网络拓扑学图论是数学中重要的分支，网络图论是图论在电路理论中的应用。

主要通过电路的结构及其连接性质，对电路进行分析计算。

2．支路——Branch每一个电路元件或多个电路元件的某种组合用一条线段代替，称为支路。

3．节点——node每一个电路元件的端点，或多个电路元件相连接的点用一个圆点代替，称为节点。

在电网络理论中，通常节点是指支路的汇集点，这一概念与数学图论中的“节点”概念略有不同。

4．网络的图——graph节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。

有向图——Oriented graph是指各个支路规定了参考方向的图反之，称为无向图。

5．路径——path从图G的某一节点出发，沿着一些支路连续移动，从而达到一个指定的节点，这一系列支路构成图的一条路径。

6．连通图——connected graph当图G 中的任意两个节点之间至少存在一条路径时，称为连通图。

7．回路——loop如果一条路径的起点和终点重合所形成的闭合路径，称为回路。

8．网孔——mesh一般是指内网孔。

平面图中自然的“孔”，它所限定的区域不再有支路。

如下面电路的对应的图为左图所示。

注意每一个二端元件为一条支路！！例如：在下图中，支路数6，节点数4，网孔数3，回路数715.1.2 树、基本回路及基本割集1．树的概念——tree一个连通图G 的树T 是指G 的一个连通子图，它包含G 的全部节点，但不含任何回路。

树中的支路称为“树支”——tree branch ，图G 中不属于T 的其他支路称为“连支”——link ，其集合称为“树余”。

一个连通图的树可能存在多种选择方法。

2．基本回路只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。

树一经选定，基本回路唯一地确定下来。

对于平面电路而言，其全部网孔是一组独立回路。

3．割集——cut set一个连通图G 的割集是指G 的一个支路子集：1）将该支路子集中的全部支路移去（保留节点）后，余下的图彼此分离且各自连通； 2）保留该支路子集中的任意一条支路时，图仍然连通；基本割集只含一条树支的割集称为单树支割集，它们的总和称为“基本割集”。

树一经选定，基本割集唯一地确定下来。

15.1.3 关联矩阵a A与降阶关联矩阵A给定一个定向图，各定向支路与各个节点之间的联接关系是十分清楚的，这种结构上的关系能否用代数的方法来表达呢？这对于企图用电子计算机来分析电路是个很重要的问题。

运用矩阵可以解决这个问题。

一、关联矩阵Aa（又称增广关联矩阵）1．定义我们可以用定向图的各个节点组成矩阵的行，各定向支路组成矩阵的列，列表如下（其中,,21bb…等表示编号为1,2,…的支路,,...,21nn等表示编号为1,2,…的节点）：以适当的数填入空档即可表明定向图中节点与支路的联接情况。

这些数构成矩阵的元素。

1b2b3b4b…1n2n3n4n即定义关联矩阵（augmented incidence matrix），其中，aA的行对应图的节点，列对应图的各个支路。

][ikaa=A其中，当节点i与支路b k无关联时，0=ika当节点i与支路b k关联，且支路电流的参考方向离开节点时，1=ika当节点i与支路b k关联，且支路电流的参考方向指向节点时，1-=ika 在一般情况下，对一个具有b条支路和n个节点的定向图来说，其增广关联矩阵为一个n行和b列的矩阵：例如：n3⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=11111111111111543217654321nnnnnbbbbbbbaA式15-1 图15-1 定向图一例 二、A a 的性质由于每一支路都恰好与两个节点相关联，关联矩阵A a 中每一列都恰好有两个非零的元素，其一为+1，另一为-1。

把一个矩阵中的两行相加，就是把同一列中的元素相加。

以（15-1）式所示矩阵为例，若矩阵中的第1行和第2行分别记为1R 和2R ，则[][]01110100010010100101121-=+-+++++-=+R R （15-2）如果把（15-1）式所示矩阵的各行相加，可得054321=++++R R R R R由此可见，增广关联矩阵的各行线性相关，这就是说，该矩阵中的任一行是其余各行的线性组合。

三、降阶关联矩阵A由于增广关联矩阵的各行线性相关，即矩阵中的任一行是其余各行的线性组合。

——也就是说，总可以通过矩阵的代数变换，使得其中某一行全为零元素——因此，除去增广关联矩阵中的任一行，矩阵仍具有同样的信息，足以表征定向图中节点对支路的关系。

我们把这种()b n ⨯-1矩阵称为降阶（reduced ）关联矩阵或径称为关联矩阵，记为A 。

在关联矩阵中有些列具有两个非零的元素（+1及-1），有些列只有一个非零元素。

仍以图15-1所示定向图为例，若除去第2行，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=1110000000110010001100011001A （15-3）再如：问题：根据关联矩阵是否能够得到唯一的图？？四、矩阵A 的作用与KCL 定律及节点电压方程的矩阵表达式1．关联矩阵A 与KCL 定律电路的独立KCL 方程组可以用关联矩阵表示为向量方程。

以上图为例，如果把节点2选为参考节点，则由其余的4个节点可得独立的KCL 方程组如下：节点1 0521=+--ΙΙΙ节点3 0451=++ΙΙΙ节点4 0652=--ΙΙΙ（15-4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=110010011001101100000111432165 4 3 2 1aA⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=11001001100110110000011143216 5 4 3 2 1a A或写为0=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----654321110010011001000111I I I I I I （15-5）试把（15-5）式和（15-3）式加以比较，我们立即就可发现（15-5）式左端的系数矩阵与（15-3）式所示的矩阵A 完全相同。

如设 []T I 7654321ΙΙΙΙΙΙΙb =并称b I 为支路电流向量，则（15-5）式0AI =b （15-6） 虽然，这一方程是由图15-1所示的定向图得出的，但对任何定向图都可得出这一结果。

2．关联矩阵与支路电压、节点电压（——KVL ）仍然以上图为例，设各个支路电压分别为1u ，2u ，…，6u ，而以节点2为参考点的各个节点电压分别为1n u ，3n u ，4n u ，5n u263532421312311n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u u u u u ==+-=-=-=+-= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡321654321 010100110011001101n n n u u u u u u u u u可以推广之，设各个支路电压分别为1u ，2u ，…，b u ，用列相量表示T b u u u ] [21Λ=U而以节点2为参考点的各个节点电压分别为1n u ，2n u ，…，)1(-n n u ，用列相量表示Tn n n n u u u ] [)1(21-=Λn U则：n TU A U =15.1.4 回路矩阵及割集矩阵一、增广回路矩阵B 1．定义表明图中支路与回路之间的关系的矩阵。

定义为：设给定的定向图有b 条支路，a l个回路。

为每一回路规定一方向后，我们可以定义一个增广回路矩阵。

它是一个b l a ⨯矩阵，记为a B ，()ij b =a B （15-7） 它的第()j i ,个元素确定如下： +1如果支路j 在回路i 内，且它们的参考方向一致；=ij b -1如果支路j 在回路i 内，且它们的参考方向不一致； 0如果支路j 不在回路i 之内。

例如，图15-2所示定向图，具有六条支路和三个回路，如图中所示：图15-2 定向图一例设三个回路的方向均为顺时针方向。

这定向图的增广回路矩阵为654321b b b b b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=001111111110110001321l l l a B（15-8）显然可见，这矩阵的各行线性相关。

2．用B a 表示的KVL 方程矩阵表达式 如定义支路电压向量[]Tb U 654321U U U U U U =则0U B =b a（15-9）将表示该定向图所有回路的KVL 方程。

3．用B a 表示的KVL 方程矩阵表达式设各个支路电流分别为1i ，2i ，…，b i ，用列相量表示T b i i i ] [21Λ=i而各个回路电流分别为1l i ，2l i ，…，lm i ，用列相量表示T lm l l m i i i ] [21Λ=i则：m i B i T= 二、基本回路矩阵B 1．定义由§2-5可知：独立回路数为()1--n b 个，因此在增广回路矩阵的a l 行中只有()1--n b 个是线性无关的。

为了能直接获得独立的KVL 方程组，我们将运用§2-5所述的基本回路的概念，并定义一个基本回路矩阵B ，它是一个()b n b ⨯+-1矩阵：()ij b =B （15-10）它的第()j i ,个元素与a B 矩阵元素是一样的。

例如，对图15-3所示的定向图，选树如粗线所示，由连支确定基本回路，并选定其方向后，对应于该树的基本回路矩阵为1b 2b 3b 4b 5b 6b 7b 8b ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10110111000000011100001000114321l l l l B （15-11）2．用B 表示的KVL 方程矩阵表达式电路的独立KVL 方程组可以用基本回路矩阵表示为向量方程。