交大数值分析 题库 课后题目 大全 期末

1.填空

1) 设x =3.214, y =3.213，欲计算u =y x -, 请给出一个精度较高的算式u=

y

x y x +-

2) Simpsons 数值求积公式具有3 代数精度，用于计算

dx x x x )45.02)2(ln (21

4+++⎰

所产生的误差值为120

1-

； 3) 形如

⎰

∑=≈b

a

n

k k k x f A dx x f 0

)()(的插值型求积公式，其代数精度至少可达到 n 阶，至多可达到__2n+1__阶；

4) 确定n +1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要____4n______个 5) 用牛顿法解方程012

3=--x x 的迭代格式为k

k k k k k x x x x x x 231

2

231

----=+ 2.用迭代法求方程052)(3

=--=x x x f 在区间[2，3]上的根，并讨论迭代的敛散性。 （1）3152+=+k k x x ； （2）5

152x x k +

=

+； （3）),2,1,0( .53

1 =--=+k x x x k k k

解：（1）对于迭代格式（1），其迭代函数为3

52)(+=x x ϕ，则)(x ϕ在[2,3]上具有连续的一阶导数32

)52(3

2

)(-+='x x ϕ，

且]3,2[∈∀x ，有0)(>'x ϕ，故)(x ϕ单调增加，又29)2(3>=ϕ，311)3(3<=ϕ，于是，当]3,2[∈x 时，]3,2[)(∈x ϕ，满足定理4.1条件（1）。

又，)(x ϕ'取正值，且单调递减，所以有

1154081.0)522(3

2

)2()(ma x 32

32<<+⨯='='-≤≤ϕϕx x 即满足定理4.1的条件（2），从而迭代格式（1）收敛。

（2）对于迭代格式（2），其迭代函数为x

x 5

2)(+=ϕ，且当],2[∈x 时，有0)52(25)(21

2<+-='-x x x x ϕ，故)(x ϕ是单调减少，但23

11

)3(,329)2(<=<=

ϕϕ，显然不满足定理4.1的条件（1），但若在[2,3]的子区间[2,2.5]中考察，则有2)5.2(,5.2)2(=<ϕϕ，也即满足定理4.1的条件（1），又，)(x ϕ'在[2,2.5]上取负值且单调递增，从而有

1294628.0)2522(4

5

)2()(21

2<<⨯+⨯='='-ϕϕx ，即满足定理4.2的条件（2），从而迭代格式（2）在区间[2,2.5]上收

敛。

（3）对于迭代格式（3），其迭代函数为5)(3

--=x x x ϕ，在区间[2,3]上有13)(2

-='x x ϕ，从而

111)2()(min 3

2>='='≤≤ϕϕx x 。

在此补充一个判别迭代法发散的充分条件：

若存在1≥L 使]),[()(b a x L x ∈∀≥'ϕ，而当10x x ≠时，迭代发散。 从而迭代格式（3）当10x x ≠时，迭代发散。

3.设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5010010a b b a A ，求解方程组b Ax =，求雅可比迭代法充要条件。 解 雅可比法的迭代矩阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-05010010010000000510101a b b a a b b a B J

103)(,10032ab B ab B I J J =

⎪⎭⎫

⎝

⎛-=-ρλλλ 故雅可比法收敛的充要条件是3

100

<

ab 。 4.推导用最小二乘法解矛盾方程组Ax=b 的法方程组A T Ax=A T b 解：给出目标函数

h (x)=||Ax-b||2 ------------------5 =x T A T Ax-2x T A T b+b T b ----------5 求偏导得到驻点方程组

A T Ax-A T b=0 ---------------5 5.数值求积公式:

)](0[2/)]()0([)(''

2h f f ah h f f h dx x f h

-++≈⎰

）（ 当a 取何值时代数精度最高?是多少次?

解 当()1,f x x =,两边总是相等的；当2()f x x =要使两边相等,则3

31

123

2h a h ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

得 1

12

a =

,此时当3()f x x =两边总相等，当4()f x x =两边不相等, 最高代数精度是3。 6.导出用Euler 法求解 (0)1

y y

y λ'=⎧⎨

=⎩ 的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解

解 Euler 公式 11,1,,,k k k x y y h y k n h n

λ--=+==

()()0111k

k k y h y h y -=+λ==+λ

()11(0)n

n

x

n x y h e h n λλλ⎛⎫

=+=+→→ ⎪⎝

⎭