任意角的概念--公开课

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如何校准?分针转过了多少度?
时钟快了1.25小时
(1小时15分钟),应如何
校准?分针转过了多少度?
转体三周
你知道她旋转了多少度?
生活中有很多实例如:
如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中,常常听到“转 体1080°”、“转体1260°”这样的解说; 再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转
的终边相同,260°是第三象限角,所以-1180°是第三象限角。
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中
在-360º~720º间的角写出来:(1) 60º;(2) -21º
解:(1) S={β |β =k·360º+60º,k∈Z}, S中在-360º~720º间的角是 -1×360º+60º=-280º; 0×360º+60º=60º; 1×360º+60º=420º。 (2) S={β |β =k·360º-21º,k∈Z}, S中在-360º~720º间的角是 0×360º-21º=-21º;1×360º-21º=339º; 2×360º-21º=699º。
所成的角。
这些例子不仅角范围不在0º ~360º ,而且方向不同,有必 要将角的概念推广到任意角。
1. 任意角
任意角的定义:一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB,就形成角α 。 旋转开始时的射线OA叫做角α 的始边,旋转终止的射线OB 叫做角α 的终边,射线的端点O叫做角α 的顶点。 小写希腊字母表示角:α、β、γ。。。
解:(1)因为640°=280°+360°,所以640°的角与280°的角的终边相 同, 280°是第四象限角,所以640°是第四象限角。
(2)因为-950°=130°+(-3)×360°,所以-950°的角与130°的角的 终边相同,130°是第二象限角,所以-950°是第二象限角。
(3)因为-1180°=260°+(-4)×360°,所以-1180°的角与260°的角
B
终边 顶点
O
α 始边
A
2. 角的分类
为了区别旋转方向:
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角;
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角;
说明:零 角的终边 与始边重 合
如图,以OA为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660°
如果一条射线没有做任何旋转,称它形成了一个零角。
2100
6600
-1500
y 终边 终 边 x o
40、-330
第一象限角 始边
310、 -60
终 边
终边
第四象限角 第三象限角
230、-120 135、-240 第二象限角等 0、90、180、-90 界限角
终 边

想一想
1. 指出它们是第几象限角: 420°、850°、-510°、-75° 一 二 三 四
2. 锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?
锐角是第一象限角 30°、390°、-330°
30° 390°
y -3300 3900
300
-330°
o
x
390°=30°+360°=30°+1x360° -330°=30°+(-1)x360° =30°─1x360° 750°=30°+2x360° ; -690°=30°+(-2)x360° ;
第5章 三角函数
5.1 角的概念的推广
来自百度文库
复习与回顾

1.在初中学习的角的定义是什么?
角的范围呢?
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 0º至360º

2.你以前学过哪些角?
我们学过的角
0 90
锐角
90
直角
90 180
钝角
思考1:时钟慢了5分钟,应
即任一与α 终边相同的角,都可以表示成角α 与整数个
周角的和。
终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同; 终边相同的角有无数多个,它们相差360º的整数倍。
例题分析:
【例1】在0°~360°间,找出与下列各角终边相同的
角,并判定它们是第几象限角。
(1) 640° (2)-950° (3)-1180°
小结:
0°~360°的角
任意角
正 角 负 角
象 限 角
终 边 相 同 的 角
S k 360o , k Z


作业:

P99 练习:1、2
用旋转来描述角,需要注意三个要素:
旋转中心、旋转方向、旋转量 旋转中心:作为角的顶点;
旋转方向:分为逆时针和顺时针两种;
旋转量:当旋转超过一周时,旋转量即超过360º ,角度的 绝对值可大于360º ,于是就会出现720º , -540º 等角度。
3.象限角
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点,角的始边重合于x轴的非负半轴, 那么,角的终边落在第几象限,就说这个角是第几象限的角。 角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,这样 的角叫做界限角。
与30°终边相同的角的一 般形式为: 30°+k· 360°,(k ∈ Z)
1110°=30°+3x3600 ;
-1050°=30°+(-3)x3600; ... ...
4. 终边相同的角
一般地,所有与角α 终边相同的角,连同角α 在内所构成的 集合S可表示为, S={β |β =α +k·360°,k∈Z}
用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了
角有正负之分 如:=210, = -150, =660。
角可以任意大
体操动作:旋转2周(360×2=720) 、3周(360×3=1080)
还有零角 一条射线,没有旋转。
注意:正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负 规定纯属于习惯,就好象与正数、负数的规定一样,零角无正 负,就好象数零无正负一样。
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