1.1.1任意角(公开课)

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1.1.1任意角(教案)

1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角【教学内容解析】本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》1.1《任意角和弧度制》中第1.1.1节《任意角》的第一课时，本节教学内容为任意角，主要学习任意角的推广、象限角、用几何和符号表示终边相同的角.本节内容为三角函数的第一节，终边相同的角的表示为后面证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值奠定基础.由此确定本节课的教学重点为：教学重点：将0°~360°的角的概念推广到任意角．【学情分析】学生早在小学与初中学习过“角”，对角的概念有一定印象，但是过去接触过的角都在0°~360°，在对角的认识上已经形成一定的思维定势，所以在本小节要将角的概念推广可能会有一定的困难.用集合和符号来表示终边相同的角，涉及任意角、象限角、终边相同的角等新概念，对学生来说刚刚将角推广到任意角，然后就利用它来解决终边相同的角，是学习的主要难点.故确定本节课的教学难点为：教学难点：角的概念的推广，终边相同的角的表示.【教学目标设置】根据上述教学内容的地位和作用，结合课程标准与学情，确定了以下目标：1.结合生活中实例，认识角的概念推广的必要性；2.初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合.3.通过从特殊的三个角找关系，推广到一般的终边相同的角的集合的书写，体会类比的思想方法，同时利用直角坐标系作出角解决问题，渗透数形结合的数学思想.【教学策略分析】根据本节课的教学内容、学生情况和教学目标，教学中采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法．通过启发引导，激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．针对本节课的重点——将0°~360°的角的概念推广到任意角，教学中，通过“思考”提出拨手表指针问题，引导学生感受推广角的概念的必要性，使他们明白要正确表达“校准”手表的过程，需要同时说明分针的旋转量和旋转方向，教学时，让学生自己描述“校准”过程，让学生体会仅用0°~360°的角已经难以回答当前的问题，进而引出学习课题.同时还以体操转体运动为例，进一步说明引入新概念的必要性和实际意义.针对本节课的主要难点，教学中此处设置问题，让学生自己在直角坐标系中画30°,330°，-390°，（这一组角比教材上的那组角更容易找关系）通过观察这些角得出终边相同，然后提问这些角之间有怎样的数量关系？能不能用其中一个角表示这些角？让学生自己得出这一组角中任意两角之差是360°的整数倍，进一步类比得出所有与任意角α终边相同的角，连同α在内构成一个集合的表示.通过学生自己活动解决“探究”，经历由具体数值到一般值的抽象的过程，形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知.教学中同时多媒体，建立坐标系，画出任意角，并测出角的大小，旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合.对例题和习题的处理上，对教材上的例2改编为终边落在x轴上的角的集合，将终边落在y轴上的角的集合作为变式，变式设置了4个问题，让学生对终边落在各个坐标轴与象限角的表示有深刻认识，总结两种方法，为后面章节学习打下基础。

1.1.1《任意角》课件(人教A版必修4)

5.与1 991°终边相同的最小正角是_____. 【解析】∵与1 991°终边相同的角β=1 991°+ k²360°,（k∈Z）,∴0°＜1 991°+k²360°≤360°
191 ＜k≤ 191 又k∈Z, 即 -5 -4 , 360 360 ∴k=-5,∴与1 991°终边相同的最小正角是

)
(B)钝角是第二象限角
(C)终边相同的角一定相等 (D)不相等的角，它们的终边必不相同【解析】选B.因为钝角α满足90°＜α＜180°，所以角α的终边一定在第二象限.
3.若α 是第四象限角，则180°+α 一定是（ (A)第一象限角 (B)第二象限角
）
(C)第三象限角
(D)第四象限角
【解析】选B.方法一：∵α是第四象限角 ∴-90°+k²360°＜α＜k²360° ∴90°+k²360°＜180°+α＜180°+k²360°（k∈Z）方法二：由角的运算知，角α与角180°+α关于原点对称，即
∴θ=120°或240°.
7.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：（1）918°;(2)-624°18′. 【解析】(1)∵918°=2〓360°+198°,
而198°∈(180°,270°），
∴918°与198°的终边相同，是第三象限角. (2)∵-624°18′=-2〓360°+95°42′, 又95°42′∈(90°,180°）， ∴-624°18′与95°42′的终边相同，是第二象限角.
n²360°,
∴ 是第三象限角. 3 答案：一、三、四
4.（15分）若集合A={α ｜k²180°+30°<α <k²180°+90°, k∈Z}，集合B={β ｜k²360°-45°<β <k²360°+45°， k∈Z}，求A∩B.

1.1.1 任意角课件(共31张PPT)

栏目导引
第一章三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一任意角的概念例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目导引
第一章三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同．其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)．【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立，故④不正确．
栏目导引
(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：
名称正角负角
定义按__逆__时__针___方向旋转形成的角按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章三角函数
图形
栏目导引
第一章三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？提示：顶点，始边，终边和旋转方向．做一做 1. 图中 OA 为始边，则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．

高中数学1.1.1 任意角(第1课)优秀课件

第一章三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
1.结合具体实例,认识角的推广的必要性. 2.初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角,并能熟练写出与角终边相同的角的集合.
复习回顾
什么是角？范围是多大？定义1：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.
定义
边
顶
边
点
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些
位置？
y
o
xx
思考2: 如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么以下各角：-50°，405°，210°, 200°，-450°分别是第几象限的角？

C.第三象限
D.第四象限
1. 角的定义； 2. 角的分类：正角、零角、负角； 3. 象限角； 4. 终边相同的角的表示法．
顶点
始边
A
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，那么称它形成了一个零角.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
画出750°、210°、－150°、－660°角
二、象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系
内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非
y
x o
-50° 第四象限角
y
x o -200° 第二象限角
y
x o
405° 第一象限角
y
y 210°
x o
第三象限角
x
o -450°
轴线角

1.1.1任意角(优秀经典公开课比赛教案)

1.1.1任意角
一、教学目标：
(1)要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念;
(2)学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；
(3)并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．
二、教学重难点
教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．教学难点：“旋转”定义角; 终边相同的角的表示．
三、教学过程
四、课堂小结及课后作业：
五、教学反思：
这堂课从实际问题引入，引起学生的认知冲突。

说明角的概念扩展的必要性，然后通过学生的自主探索，得出了定义，为后面的探究打下了基础，体现了新课程理念，教学效果好，是一堂好课。

由于学生的计算机技术不高，导致教学时间过紧。

1.1.1任意角(第一课时)

方向ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ大小
初中角的概念
初中 B
O A
角——一点出发的两条射线所围成的图形 00~3600
锐角周角
钝角
平角
如何表示大于平角小于周角的角？
一、任意角的概念
B 角——一点出发的两条射线所围成的
O
图形
A
（静止地）终边
始边
B
角——平面内一条射线绕着端点
O
A 从一个位置旋转到另一个位置所
（运动地）形成的图形
第一章三角函数第二章平面向量第三章三角恒等变换
第一章解三角形第二章数列第三章不等式
地球自转引起的昼夜交替变化
公转引起的四季交替变化
月亮圆缺变化
必修4 第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角(1)
思考?
你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?你的手表快了1.25小时,你又是怎样将它校准的?当时间校准后,分针旋转了多少度?
思考?
1：锐角是第几象限角，第一象限角一定是锐角吗？ y
锐角是第一象限角
300
第一象限角不一定是锐角
x
试想：都有哪些角的终边与300角的终边相同
300+3600 300+2*3600
3900
7500
300+3*3600 11100
300+4*3600 14700
300+（-3600） 300+（-2*3600）
在00~3600范围内，找出与角-950012’终边相同的角，并判定它是第几象限角。解：-950012’ =129048’ ﹣ 3×3600 角-950012’终边与129048’相同角-950012’是第二象限角

课件8：1.1.1 任意角

类型 1：角的基本概念例 1.下列命题 ①第一象限角一定不是负角； ②第二象限角大于第一象限角； ③第二象限角是钝角； ④小于 180°的角是钝角、直角或锐角．其中不正确的序号为________．
【解析】①－330°角是第一象限角，但它是负角，所以①不正确； ②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然 390°＞ 120°，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角是小于 180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．【答案】①②③④
() A．120° C．60°
B．－120Biblioteka D．240°【解析】由于射线 OM 绕 O 逆时针旋转，故所得角为正角 120°.
【答案】A
2．下列各角中，与角 330°的终边相同的角是( )
A．510°
B．150°
C．－150°
D．－390°
【解析】与 330°终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝330°＋
知识点 3：终边相同的角问题导思 30°，390°，750°，…，30°＋k·360°(k∈Z)的角的终边有什么关系？相同
总结所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和．
1.1.1 任意角
学习目标 1．知识与技能 (1)理解任意角(正角、负角、零角)的概念、象限角与区间角的概念． (2)掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角．
2．过程与方法借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来了解任意角的概念，用数形结合的思想方法来认识问题． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对角的概念的探究提高推理能力． (2)通过本节学习和运用实践，培养应用意识，体会数学的应用价值．

课件14： 1.1.1　任意角

1.1.1 任意角
学习目标
1.了解角的定义． 2.理解任意角、象限角的概念． 3.掌握终边相同的角的表示方法．
新知初探
1．角的概念 (1)角的定义：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的__顶__点__，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的_始__边___和__终__边__ (如图)．
课堂小结
1．角的三个要素顶点、始边、终边．角可以是任意大小的． 2．各象限角的表示第一象限角：S＝{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}；第二象限角：S＝{α|90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z}；第三象限角：S＝{α|180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z}；第四象限角：S＝{α|270°＋k·360°＜α＜360°＋k·360°，k∈Z}．
A．45°
B．90°
C．180°
D．270°
解析：根据角的概念可知，90°角是以 x 轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了 90°，故其终边在 y 轴的非负半轴上．答案：B
2．下列各角中与 330°角终边相同的角是( )
A．510°ຫໍສະໝຸດ B．150°C．－150°
D．－390°
解析：－390°＝330°－720°，所以与 330°角终边相同的角是－390°.
(2)正角、负角和零角按_逆__时针方向旋转所形成的角叫做正角，按_顺__时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做_零__角___． (3)象限角和轴线角以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．

1.1.1任意角赛课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件

注意下列四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600与之间是“+”号，如k 3600-30°，应看成 k 3600+(-30°)
(4)终边相似的角不一定相等，但相等的角，终边一定相似，终边相似的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范畴内，找出与下列各角终边相似的角，并判断它是哪个象限的角.
例2终边在y轴正半轴上角的集合｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
终边在y轴负半轴上角的集合｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
变式训练写出终边落在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+k∙3600,k∈Z}
4.培养学生用运动变化的观点审视事物;通过与数的类比,理解正角、负角和零角,让学生感受图形的对称美、运动美教学重点: 1.任意角的概念，象限角的概念 2.掌握终边相似的角的表达办法及鉴定
教学难点: 把终边相似的角用集合和符号语言对的地表达出来
突破办法：
在平面内建立适宜的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表达和终边相同的角集合
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小能够任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一种给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角含有代数和几何双重意义.
2.终边相似的角有无数个，在0°～360°范畴内与已知角β终边相似的角有且只有一种. 用 β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α 必须是正数），则α即为所找的角.
1.掌握终边相似的角的表达办法及鉴定 2.注意： 00到900的角； 00～3600的角；第一象限角；锐角；不大于900的角的区别

1.1.1任意角课件(21张)(优秀经典公开课比赛课件)

4. 下列命题：①一个角的终边在第几限，就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的
序号是 (1).(2).(4). .
5.在坐标平面内作出下列各角：30°，
390°，-330°;它们是一象限的角，
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
理论迁移例1 在0°～360°范围内，找出
与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并
把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素
写出来.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}. －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°.
。由于月球和太阳的引潮力作用，使水面发生周期性涨落的潮汐现象
伦敦之眼
各种电波
现实世界中的很多运动，变化都有着循环往复、周而复始的现象。如何用数学的方法来刻画这种变化规律呢？
本章要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型。
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线00 k 360 240 k 360,k Z} { 160 k 360 120 k 360,k Z}
2、若角、满足下列条件，
求它们的关系式？
（1）终边关于x轴对称 k 360(k Z) （2）终边关于y轴对称 180 k 360(k Z) （3）终边互为反向延长线 (2k 1)180(k Z)
1.1.1任意角（一）

人教高中数学必修四1.1.1-任意角课件

四、终边相同的角及其表示方法
注：所有与角终边相同的角，连同角
在内，可以构成一个集合
{ | k 360 0, k Z}
即任一与角终边相同的角，都可以表示
成角与整数个周角的和。
说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终
边一定相同
例题分析：
【例1】在 0 ～ 360 间，找出与下
2)始边重合于X轴的正半轴
Ⅲ Ⅳ
则角的终边落在第几象限就是第几象限角。
如果终边落在坐标轴上则它不属于任何象限，这样的角叫做轴上角。
做一做：
1 .在直角坐标系中，作出下列各角
（1） 30 （2）-120 °（3）-30 °
（4）120 ° （5） 240°（6） 6指90出°它们是第几象限角
列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
（1） 120 ；（2） 6600 ；
（1） 120 ；（2）6600 ；
解：∵ 120 240 (1) 360 ∴与 120 角终边相同的角是 240 角，
它是第三象限的角；
（2）∵ 660 300 1360
∴与660 角终边相同的角是300 角，
一、任意角的概念
角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形。记作： , ,...
B
终边
α
O
顶点
A
始边
二、角的分类：
说明：零角的终边正角：按逆时针方向旋转形成的角；与始边重合
负角：按顺时针方向旋转形成的角；
零角：如果一条射线没有作任何旋转，称为零角。
做一做
30° 是第一象限角120° 是第二象限 -120 °是第三象限角2角40° 是第三象限 -30 °是第四象限角角690° 是第四象限

任意角的概念公开课一等奖课件

4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同. ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到
360的角与k(k∈Z)个周角的和：
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)
6、若α是第四象限角，则180º －α是（ C ） A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（ D ）
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z
D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
8、若90º <β<α<135º ，则α－β的范围是 (0º ,45º ) ，α+β的范围是___________; (180º ,270º ) __________
9、若β的终边与60º 角的终边相同，那么在 [0º ,360º ]范围内，终边与角的终边相同的角
3
为______________; 解：β=k· 360º +60º ，k∈Z. 所以
高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语14பைடு நூலகம்分理综291分报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
解：⑴∵－120º =－360º +240º ， ∴240º 的角与－120º 的角终边相同，它是第三象限角． ⑵ ∵640º =360º +280º ， ∴280º 的角与640º 的角终边相同，它是第四象限角．

1.1.1任意角

{ | 90 n •180, n Z}
2.终边在象限内的角的表示：
(1)终边在第一象限内角的集合：
{ | k • 360 90 k • 360, k Z}
(2)终边在第二象限内角的集合：
{ | 90 k • 360 180 k • 360, k Z}
(3)终边在第三象限内角的集合：
3.角的表示：
★用1个希腊字母表示，如 , , ,
★用3个大写的英文字母表示（字母前面要写“ ”），其中中间字母表示角的顶点，如AOB, DEF ,
A
α
O
B
二、象限角与轴线角：
使角的顶点与原点重合，角的始边与轴x的非负半轴重合，
那么就把角放在了平面直角坐标系中。 1.象限角：
如果角的终边（除原点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。注：象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与坐标轴重合。
{ | 45 k •180, k Z} S适合 360 的元72素0是：
45 2180 315 45 1180 135 45 0180 45 45 1180 225 45 2180 405 45 3180 585 ∴满足条件的为：{315,135,45,225,405,585}
负半轴起，按逆时针方向把这12个区域依次循环标上号码1，2，3，4，则
标号是几的区域，就是为第几象限
的角时，的终边落在的区域，所在
3
3
的象限就可以直观地看出来了。
一般地，要确定所在的象限，就需要作出等分n 各象限的从
原点出发的射线。 n
例5：写出角的终边在图中阴影区域的角的集合（包括边界）
总结：
1.终边相同的角常用的三个结论：
(1)终边相同的角之间相差 36的0整数倍； (2)终边在同一直线上的角之间相差 18的0整数倍； (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90的整数倍；