随机过程1(1.1)
清华大学随机过程答案1
3. 质点在直线上做随机运动，即在 t = 1, 2, 3, · · · 时质点可以在 x 轴上往右或往左做一个 单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的 概率为 q，即 P {ξ (i) = +1} = p，P {ξ (i) = −1} = q，p + q = 1，且各次游动是相互统 ∑n 计独立的。经过 n 次游走，质点所处的位置为 ηn = η (n) = ξi。
参考答案：
(1) V = a 时，一条样本轨道为典型的正弦曲线。 2
(2) ξ (0) = 0，fξ(0)(x) = δ(x)；ξ (π/2ω) = V ，其概率密度同 V 一样。
(π) ξ
4ω
=
V
√ 2
,
fξ(
π 4ω
)
(x)
=
√ 2 a
,
0
<
0, 其他
xHale Waihona Puke <√a 2() 5π
ξ 4ω
=
V
−
√ 2
n
pmqn−m = pn − qn。
m=0
m
∑n
解法二：因各次游走是相互统计独立的，则 E [η (n)] = E[ξi] = (p − q)n。
i=1
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3
(2) 假设 n1 < n2,
Rηη (n1, n2) = E [η (n1) η (n2)] = E {η (n1) [η (n1) + η (n2) − η (n1)]} = E[η (n1)]2 + E [η (n1)] E [η (n2) − η (n1)] = {E [η (n1)]}2 + V ar [η (n1)] + (p − q)2n1 (n2 − n1) = (p − q)2n21 + n1V ar [ξi] + (p − q)2n1 (n2 − n1) = (p − q)2n1n2 + n1[1 − (p − q)2]
第1章 随机过程
1.3 随机过程的数字特征
随机过程的集合平均 (Ensemble average)
随机过程就是由多个（无穷多个）随机变量按照一定的排列规则组成的； 完整描述随机过程的最完美方法是确定其联合概率密度函数； 如果随机过程的概率密度函数已确定，可根据其直接计算数字特征； 如果能够得到大量的样本，则数字特征也可根据样本的集合平均进行计算。
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1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）
结构设计
现在设计中如何考虑不确定性？
荷
载
结
构 响 为什么需要学习随机振动
应
结构自重 活荷载 地 风 震
构件尺寸 材料特性
静力响应 地震响应 风致振动
Division of Disaster Mitigation and Bridge Engineering
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1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）
教材与参考书
从数学观点 ：是随机过程理论在振动领域的应用，它是概率统计
方法与结构动力学相结合的产物。
哈尔滨工业大学 土木工程学院 防灾减灾与桥梁工程学科组
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1.2 随机过程的定义和分类
由于随机过程可由一系列随机变量描述，对于任意{t1 , t2 ,
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。
解：当时， ＝ ＝1.2 设离散型随机变量X 服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关 （2），所以 （3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
1.随机过程概论
{ X (t ) , t (,) } 是一随机过程 . 状态空间 I (,) . 样本函数空间 X { cos πt , t } .
H 发生
x( t )
x( t ) t
x( t ,T ) x( t )
1 1 1
T 发生
o
t t x( t , H )
1
2
x( t , T ) x( t ) x( t , H )
Ft
1 , t 2 ,, t n
( x1 , x2 ,, xn ) Ft ( xk ) , t1 , t 2 ,, t n T , n 1 ,
k 1
k
n
则称 X (t ) 具有独立性 , 或称 X (t ) 是独立过程 .
随机过程的独立性是指其在不同的时刻互不影响 , 一维分布
t1 , t 2 T .
当 A～N (0,1), B～U (0,2) 且 A, B 相互独立时 ,
EA 0,
EA2 DA ( EA)2 1,
EB 1,
EB 2 DB ( EB)2 4 3 ,
E ( AB ) EA EB 0,
所以可得
m X ( t ) t EA EB 1 , RX (t1 , t 2 ) t1t 2 EA2 ( t1 t 2 ) E ( AB) EB 2 t1t 2 4 3 , t1 , t 2 T .
o
称为统计平均或集平均 . 均值函数 m X ( t ) 表示了随机过程 X ( t ) 在各个时刻的摆动中心 .
X ( t ) 的二阶原点矩和二阶中 心矩分别记为
2 ΨX ( t ) EX 2 ( t ) 2 2 2 X ( t ) E[ X ( t ) m X ( t )]2 Ψ X (t ) m X (t )
《随机过程》孙文昌
设{Xt : t ∈ T }是随机过程, 对任意t1, · · · , tn ∈ T 以及(x1, · · · , xn) ∈ Rn, 记随机变 量Xt1, · · · , Xtn的n维联合分布函数为
Ft1,···,tn (x1, · · · , xn) = P (Xt1 < x1, · · · , Xtn < xn) 当n和tk变化时, 得到一族分布函数:
p(x) = 1 ∫ e−itxφ(x)dx. 2π R
对于随机向量(ξ1, · · · , ξn), 它的特征函数定义为
φ(t1, · · · , tn) = Eei(t1ξ1+···+tnξn).
定理 1.8 连续性定理.
(i). 若分布函数列Fn(x)弱收敛于分布函数F (x), 则相应的特征函数列φn(t) 收敛于相应的 特征函数φ(t), 且在t的任一有限区间内该收敛是一致的.
例 1.1 在研究生物群体的增长问题时,为了描述群体的发展或演变过程, 就要在每一 时刻t记录群体的数量xt, 每一xt是随机变量. 假设我们从t = 0开始连续地观测, 则{xt, t ∈ [0, +∞)}就是一个随机过程.
例 1.2 在海浪分析中,需要观测在固定点上海平面的垂直振动.设xt表示在固定点上, 于时刻t海平面相对于平均平面的高度, 则xt是随机变量,而{xt, t ∈ [0, +∞)}是随机过程.
函数, 即对任何x ∈ R,
{ω : ξ(ω) < x} ∈ F ,
则称ξ(ω)为(实)随机变量. 若ξ1(ω)和ξ2(ω)都是实随机变量, 则ξ(ω) = ξ1(ω) + iξ2(ω)称为复随机变量.
第一章 随机过程的一般理论
随机过程的基本概念与应用
随机过程的基本概念与应用随机过程是概率论中研究一系列随机事件在时间上的演化规律的重要分支。
它在各个领域都有着广泛的应用，在通信、控制、金融、生物、物理等方面都发挥着重要作用。
一、随机过程的基本概念1.1 随机过程的定义随机过程是指一组随机变量${X_t}$，其中$t$表示时间，$X_t$表示在时间$t$时刻随机变量的取值。
随机过程是随机变量的函数族，常用记号为${X_t:t\in T}$。
其中$t$取遍$T$所表示的时间集合，$T$可以是实数集、整数集或其他有限或无限集合。
1.2 随机过程的分类随机过程根据其时间变化的连续性与离散性可以分为连续时间随机过程和离散时间随机过程两种。
连续时间随机过程是指随机变量在时间上是连续的，如布朗运动、泊松过程等。
离散时间随机过程是指随机变量在时间上是离散的，如马尔可夫过程、随机游走等。
1.3 随机过程的性质随机过程具有多种性质，包括平稳性、独立性、齐次性等。
其中比较重要的平稳性是指在时间平移下，随机过程的统计性质保持不变，即一个随机过程是平稳的，当且仅当对于任意$t_1,t_2$，其一阶矩和二阶矩不随时间变化而改变。
例如，设随机过程${X_t:t\geq 0}$的均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$，则其平稳性条件为：$$\mathbb{E}[X_t]=\mu, \ \forall t\geq 0$$$$\mathbb{E}[(X_s-\mu)(X_t-\mu)]=\sigma^2, \ \forall s,t\geq 0$$二、随机过程的应用随机过程在许多领域中都有着广泛的应用。
以下列举其中几个典型应用。
2.1 通信领域随机过程在通信领域中是必不可少的工具。
通信信号可以看作是一种随时间变化的随机过程，而信道则可看作是一种将输入信号映射成输出信号的随机过程。
因此，随机过程在信号调制、信噪比估计、编码等方面都有着广泛的应用。
2.2 控制领域在控制领域中，随机过程被广泛用于表示、建模和分析控制系统的动态特性。
随机过程习题及答案
随机过程习题及答案第二章随机过程分析1.1学习指导1.1.1要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。
1.随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。
2.随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。
ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ξ(t 1)≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1,t 1)=P [ξ(t 1)≤x 1](2-1)如果F 1(x 1,t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1)≤x 1和ξ(t 2)≤x 2同时成立的概率称为随机过程?(t )的二维分布函数。
如果存在，则称f 2(x 1,x 2;t 1,t 2)为随机过程?(t )的二维概率密度函数。
对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程?(t )的n 维分布函数。
如果存在，则称f n (x 1,x 2,…,x n ;t 1,t 2,…,t n )为随机过程?(t )的n 维概率密度函数。
3.随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。
随机过程?(t )在任意给定时刻t 的取值?(t )是一个随机变量，其均值为其中，f 1(x ,t )为?(t )的概率密度函数。
随机过程?(t )的均值是时间的确定函数，记作a (t )，它表示随机过程?(t )的n 个样本函数曲线的摆动中心。
什么是随机过程(一)
什么是随机过程（一）引言概述:随机过程是概率论和数学统计学中的重要概念，用于描述随机事件在时间和空间上的演化规律。
它在实际问题建模和分析中具有广泛的应用，涵盖了大量的领域，如通信系统、金融市场、生物学等。
本文将介绍随机过程的基本概念和特征，并探讨其在实际中的应用。
正文:1. 随机过程的定义1.1 随机过程的基本概念1.2 随机变量与随机过程的关系1.3 不同类型的随机过程（如离散随机过程、连续随机过程等）2. 随机过程的特征2.1 随机过程的时间域特征2.2 随机过程的统计特征2.3 随机过程的独立性和相关性2.4 随机过程的平稳性2.5 随机过程的马尔可夫性质3. 随机过程的应用3.1 通信系统中的随机过程3.2 金融市场中的随机过程3.3 生物学中的随机过程3.4 物理学中的随机过程3.5 工程控制中的随机过程4. 随机过程的建模和分析方法4.1 马尔可夫链模型4.2 随机演化方程模型4.3 随机微分方程模型4.4 随机过程的仿真方法4.5 随机过程的参数估计方法5. 随机过程的未来发展5.1 随机过程在人工智能中的应用5.2 随机过程在时空数据分析中的应用5.3 随机过程在大数据分析中的应用5.4 新兴领域中的随机过程研究5.5 随机过程理论与实际应用的结合总结:本文介绍了随机过程的定义、特征和应用，并讨论了随机过程的建模和分析方法。
随机过程作为概率论和数学统计学的重要分支，具有广泛的应用前景。
随着人工智能和大数据分析的发展，随机过程在各个领域中的应用将进一步扩展。
值得期待的是，未来随机过程理论和实际应用的结合将推动该领域的进一步发展。
随机过程第一章 预备知识及补充
n
PAn,i.o. P(A) 0
命题 1.3（波莱尔－坎泰利（Borel-Cantelli）第二引理）：如果An , n 1 为独立的事件
序列，使得 P( An ) ，则 n1
PAn,i.o. 1
第一引理证明：
根据定义 1.4 对事件序列An , n 1 上极限的定义可知，因为样本点 在无穷多个事件
n1
n1
假定一些事件组成了一个可数的集合，那么这集合中的至少一个事件发生的概率不大于每个事件
发生的概率的和。）；
当 An , n 1, 2,两两互不相容时，则 P( An ) P( An ) ；
n1
n1
概率函数 P 的一个重要性质是连续性，为了更精确地阐明这一性质，需要引进极限事
件的概念。定义如下：
An , n 1发生，则在 An ,k 1也同样发生，从而在
An 亦发生；另一方面，如果
nk
k 1 nk
样本点 在
An ，则对于 k 1， 在 An 发生，从而对于 k 1至少有一个 n k ，
k 1 nk
nk
即 n k ，使得 在 An 发生，因此有 在无穷多个 An 发生。
若 An An1, n 1，称事件序列An , n 1 为递增的；
当 An An1, n 1，则事件序列An , n 1 为递减的。
如果
An
,
n
1
是一递增的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为
lim
n
An
：
lim
n
An
Ai ；
i 1
如果
An
,
n
1
是一递减的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为
随机过程第一章
b
b
a
x dF ( x)
E[g(X1 , X 2 , E[X1X 2
X n )]
n
g ( x1 , x2 ,
xn ) dF ( x1 , x2 ,
xn )
X n ] E[X i ]
i 1
1.5.3 矩与联合矩 假设随机变量X 的概率密度函数为 f ( x)，则定 义 1）绝对原点矩和联合绝对原点矩
(1) (2) (3) (4)
g ( x)dF ( x) g ( x)dF ( x) g ( x)dF ( x) [m g ( x) ng ( x)]dF ( x) m g ( x)dF ( x) n g ( x)dF ( x) g ( x)d[mF ( x) n F (x)] m g ( x)dF ( x) n g( x)dF ( x) F(x)为X 连续随机变量的PDF g ( x) dF ( x)= g ( x)f ( x) dx
E [ XY ] E [ X ]E [ Y ]
2 2 2
2 2
1.6 特征函数和概率母函数
1.6.1 特征函数 随机变量X的特征函数定义为
( ) E[exp(j X )] exp( j x) f ( x)dx , 连续RV , R exp( j X i ) P(X X i ) , 离散RV i
4）事件域（ F ） 样本空间的若干子集构成的集合
事件域性质
（1） F， F
（2） A，B F ，则A B F ，A-B F
（3） A n F ， n 1,2,
（4） A F ，则A F
随机信号分析-1 随机过程(1)
X(ξ , t) 是随机过程的一个样本
X(ξ , t) 是一个随机变量 X(ξ , t) 是一个确定值
14
随机过程的定义
随机过程判断举例 例1.1 随机初相正弦波X(t)=A cos(ω0t+Φ )， A和ω0是正常数， Φ服从[0, 2π]上的均匀分布。判断其是否为随机过程. 从定义1的角度考虑： Φ是随机变量，每次观测其取值是随 机的，从而得到不同的样本函数，且该函数是时间函数； 从定义2的角度考虑，固定t时，X(t)是随机变量Φ的函数，也
18
随机过程的概率分布
根据定义2，对随机过程采样，可得多维随机变量。在满足 一定采样间隔要求下，随机过程的统计特性可由该多维随机 变量的统计特性反映；因此可将概率论中对随机变量的概率 统计特性的研究方法推广到随机过程的研究中。 随机过程的一维概率分布 定义3 设{X(t), t ∈T }是随机过程，对任意固定t1∈T 和实数x1 ∈R， 称Fx (x1 ; t1)=P {X(t1) ≤ x1} 为该过程的一维分布函数；若Fx
f X x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn
1
2
n 2
1 ' 1 exp X C X 1 2 2 C
C是协方差矩阵，X=(x1 , x2 , …, xn）
24
随机过程的数字特征
有限维概率密度函数族可完全确定随机过程的全部统计特性， 但有时得到该函数族相当困难，甚至不可能 幸运的是，很多时候只需要掌握随机过程的几个统计值即可； 这些统计值即为随机过程的数字特征，有数学期望、均方值、 方差、相关函数等。 数字特征既能描述随机过程的重要特性，又便于实际测量； 对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间t固定，然 后用随机变量的分析方法来计算。
随机过程第一章(1)
通信与控制问题的研究，如信号的接收、声音与图
像的再现，运动目标的自动跟踪，导航系统的设计，工业
生产过程中的控制系统的设计等. 服务系统的研究，如电话通信，船舶装卸，机器维
修，病人候诊，存货控制，水库调度，购物排队，红绿灯
转换. 经济学领域关于价格波动，商业循环，最优决策，
P( A | Bi ) P( Bi )
P( A | B ) P( B )
j 1 j j
n
上式称为贝叶斯公式。
全概率公式和贝叶斯公式
★ 全概率公式和贝叶斯公式的应用场合 全概率公式用于在许多情况(B1，B2，…，Bn)下都可能 发生事件A，求发生A的全概率；
贝叶斯公式则用于当A已经发生的情况下，求发生事件A
则称B1，B2，…，Bn为S的一个划分。反之，若B1，B2，…，Bn是S的一个 划分，则作一次试验E，事件B1，B2，…，Bn 中必有一个且仅有一个发生。 设A为E的事件， B1，B2，…，Bn为S的一个划分，则全概率公式为
P( A) P( A | B1 ) P( B1 ) P( A | B2 ) P( B2 ) ... P( A | Bn ) P( Bn ) P( A | Bi ) P( Bi )
4、设A，B为两事件，若 A B ，则有 P( A) P( B) 。
条件概率
★
条件概率的定义
设A，B为试验E的两个事件，在事件A发生的条件下，事件 B发生的概率叫做条件概率，记为 P( B | A) 。
★
概率的乘法定理
两个事件乘积的概率等于其中一个事件的概率乘以另一事件
在此事件发生的条件下的条件概率，即
稳定增长，人口控制及预测等问题的研究.
随机过程-马尔可夫
实际中常常碰到具有下列性质的运动体系 Σ，如果已知它在 t = n 时 的状态，则关于它在 n 时以前所处的状态的补充知识，对预言 Σ 在 n 时 以后所处的状态不起任何作用。或者说， 在已知“现在”的条件下，“将 来”与“过去”是独立的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性” （简称“马氏性”） 或称“无后效性”。具有马氏性的随机过程称为马尔 可夫过程。 马尔可夫过程在理论上和实际应用中都十分重要，在工程、统计、物 理、生物学、数字计算方法、经济管理和市场预测等领域中 都有十分重要 的作用和广泛应用。
(k + l ) (k )
(m) =
证明：
r ∈E
r ∈E (k ) (l ) Pir (m)Prj (m +
Pir (m)Prj (m + k ) k)
(k )
(l )
=
r ∈E
P {X (m + k ) = r|X (m) = i}P {X (m + k + l) = j |X (m + k ) = r}
j1 ,··· ,jk ∈E
即： K -步转移矩阵由 1 步转移矩阵决定。 设P {X (0) = j } = pj , pj ≥ 0,
j ∈I
pj = 1， 称{pj }j ∈E 为 马 氏 链 的 初 始 分 pj n) = 1
(
布。 (n) (n) 称pj = P {X (n) = j }为绝对概率，满足pj ≥ 0,
(n+1) 由pj
j
= P {X (n + 1) = j } =
k
P {X (n + 1) = j |X (0) = k }P {X (0) = k }
随机过程第一章
• 常见随机变量的分布见下页的表:
x
f (t )dt .
表1 几种常见分布的均值与方差
分布 0－1分布
分布率或 密度函数
P( X k ) p k (1 p)1k k 0,1
数学期望 p
np
方差 p(1-p)
np(1-p)
k k 1 k 二项分布b(n,p) P( X k ) Cn p (1 p)
k
bij Cov( X i , X j )
称矩阵
i, j 1,2,, n
b1n b2 n bnn
b11 b21 B b n1 为协方差矩阵.
b12 b22 bn 2
定义3 若n维随机变量 ( X1 ,, X n )的联合概率 密度为
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
方差是衡量随机变量取值离散程度的一个量.
2 X 定义 设 是随机变量,若 E[ X E( X )] 存在,则称 2 E[ X E( X )] 为X的方差,记作D(X),即
D( X ) Var(X) E[ X E ( X )]
则称P是(Ω,F )上的概率. (Ω,F ,P)称为概率空 间,P(A)为事件A的概率.
1.2 随机变量及其分布 • 随机变量是概率论的主要研究对象,随机变量的统计规 律用分布函数来描述. 定义1.4 设(Ω,F ,P)是概率空间. X=X(e)是定义在Ω上 的实函数, 若对任意实数x,{e:X(e)≤x}∈F,则称X(e) 是F上的随机变量,简记为X. 称 F(x)=P(e:X(e)≤x), -∞＜x＜+∞ 为随机变量X的分布函数.
n维随机变量及其概率分布
随机过程 (1)
同济大学数学系
第一章 预备知识
1.1 1.2 1.3 特征函数 多元正态分布 条件分布与条件期望
第一章
1.1 特征函数 复值随机变量：
预备知识
Z
X iY， X 和 Y 是两
实值随机变量，Z 的分布定义为二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布 数字特征：
数学期望：
E(Z )
E ( X ) iE(Y )
解
(t ) P( X k )e Cnk p k (1 p)nk eikt
ikt k 0 k 0
n
n
Cnk ( peit )k (1 p)nk ( peit 1 p)n ( peit q)n .
k 0
n
其中 q 1 p . 特别地，若随机变量 X 服从 0-1 分布 B (1, p ) ， X 的特征函数为
tn 0
i j1 E X 1k1
k j
n
kn Xn
;
（ 5 ）设 Y k1 X 1 k n X n k 0 , 其中 k 0 , , k n 均为实常数,则
Y ~ Y (t ) eik0t k1t ,
c
, knt .
（6）分布函数与特征函数一一对应.
2
).
伽玛(Gamma)分布 度函数为
若连续型随机 变量 X 的密
a x a 1 x e ,x 0 f ( x) ( a ) 0, x 0
其中 0, a 0, (a) x a1e x dx ，称 X 服从伽玛（Gamma） 0 分布 G ( , a ) .同样可计算得到它的特征函数为：
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案1. 题目：简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性质。
答案：离散时间马尔可夫链（Discrete-time Markov Chain）是指在时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
其基本概念和性质如下：1.1 基本概念：- 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合，记作S。
离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。
- 转移概率：转移概率是指在给定前一个状态的条件下，系统转移到下一个状态的概率。
用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率，其中i和j属于状态空间S。
- 转移概率矩阵：转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。
对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵是一个方形矩阵，维数与状态空间大小相同。
- 平稳概率分布：对于离散时间马尔可夫链，如果存在一个概率分布π，满足π = πP，其中π是一个行向量，P是转移概率矩阵，则称π为马尔可夫链的平稳概率分布。
1.2 性质：- 马尔可夫性：离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性，即将来状态的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。
- 遍历性：若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率大于零，则称该马尔可夫链是遍历的。
遍历性保证了马尔可夫链具有长期稳定的性质。
- 正常概率性：对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵P的元素都是非负的，并且每一行的元素之和等于1。
- 可约性和不可约性：如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。
反之，则称它是可约的。
不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。
- 周期性：对于不可约的离散时间马尔可夫链，如果存在某个状态，从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1，则称该状态是周期的。
若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。
2. 题目：连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些？答案：连续时间马尔可夫链（Continuous-time Markov Chain）是指在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
随机过程第1章 引论
12
1.1 概率
于是，我们有
因此，三人中没有人选到他自己的帽子的概率是
13
1.1 概率
独立事件
如果
那么两个事件E和F称为独立的(independent). 这蕴含了如果P(E|F)=P(E)，那么E和F是独立的(它也蕴含了P(F|E)=P(F)). 这就是，如果F已经发生这个事实并不影响E发生的概率，那么E和F就是独立 的. 也就是E的发生独立于F是否发生.
我们则称 为事件 的概率.
例1.1 在掷硬币的例子中，如果我们假定硬币出现正面与出现反面是等可 能的，那么我们有：P({正面})=P({反面})=1/2. 如果我们有一枚不均匀的硬币，它出现正面的可能是出现反面的两倍，那么 P({正面})=2/3， P({反面})=1/3.
7
1.1 概率
例1.2 在掷骰子的例子中，如果我们假定6个数的出现是等可能的，那么我
M.）著，龚光鲁 译，人民邮电出版社，2011.5
2
第1章 引论
1.1 概率 1.2 随机变量、分布函数及数字特征 1.3 条件期望和矩母函数 1.4 随机过程的概念及分类
3
1.1 概率
随机试验、样本空间与事件
概率论的一个基本概念是随机试验. 一个试验(或观察)，若它的结果预先无
法确定，则称之为随机试验，简称试验(experiment). 所有试验的可能结果组 成的集合，称为样本空间，记作 . 中的元素则称为样本点，用 表示.
P( FE ) P( F ) P( E | F )
7 6 42 . 12 11 132
例1.8 假定参加聚会的三个人都将帽子扔到房间的中央. 这些帽子先被弄混了,
随后每个人在其中随机地选取一个. 问三人中没有人选到他自己的帽子的概率 是多少？
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例5.利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程
X
(t)
cos t ,出现正面
2t,
出现反面
0 t
称{Ｘt，t＝０，１，2，….，} 是随机过程．
以上4个例子的共同特点是: 对某参数集中的任意一个参数t,就有一个 随机变量X(t)与之对应.
随机过程定义
设(Ω,F,P)为一概率空间,T为一参数集,T R,
若对每一 t ∈T,均有定义在(Ω,F,P)上的一个 随机变量X(ω,t),(ω∈Ω)与之对应,
1, x1 3
2x2 3
( x1 2x2 )
例4.利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程
X
(t)
cos t ,出现正面
2t,
出现反面
0 t
出现正面与反面的概率相等.
⑴ 求X(t)的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x).
⑵ 求X(t) 的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).
E(A Bt1)(A Bt2 ) 1 t1t2
所以协方差矩阵为
M 11tt11t22
1 t1t2 1 t22
而( X(t1), X(t2) ) 的均值向量为 μ=(0, 0) 所以该S.P.的二维分布为
(X (t1) X (t2)) ~ N(, M ),t1 0,t2 0
3.对每一个确定的ω0∈Ω,X(ω0,t)是定义在T上的普通 函数. 记为 x(ω0,t), 称为为随机过程的一个样本函数. 也称轨道或实现.样本函数的图形称为样本曲线．
X(t)
例1的样本曲线与状态
状态X(t0)=4
样本曲线x1(t) x1(t)
状态X(t0)=5
t
样本曲线x2(t) x2(t)
t t0 状态空间S={0,1,2,….}, T=[0,+∞)
解 对任意的t≥0, X(t)=A+Bt, 有题意知X(t)是正态分布. 又 E[X(t)]=0, D[X(t)]=1+t2
所以S.P.的一维分布为X(t) ～N(0,1+t2)
又对任意的t1≥0, t2≥0, X(t1)=A+Bt1 ～N(0,1+t12), X(t2)=A+Bt2 ～N(0,1+t22),
F (t1,t2; x1, x2)=P(X(t1) ≤x1, X(t2) ≤x2 ), x1, x2∈R
为随机过程{X(t),t∈T}的二维分布函数.
3. n维分布函数
对任意固定的t1,t2, …,tn∈T, X (t1) ,X (t2),…, X (tn)为n个随机变量.称其联合分布函数
F (t1,t2 ,…,tn ; x1, x2,…, xn) = P(X(t1) ≤x1, X(t2) ≤x2 … X(tn) ≤xn )
4
4 2
由于函数x 2 V的反函数为V h(x) 2x, 2
其导数为h(x) 2,则利用公式
f
X(
3 4
)
(
x)
fV
(h(
x)) 0
h(
x)
0 h(x) 1 其它
2
0
2
0
0 2x 1 其它
2 x0 2 其它
例3. 设S.P.X(t) Acost,t 0其中A具有以下概率分布
P(A i) 1 ,i 1,2,3. 3
试求 (1)该S.P.的一维分布函数 F( , x), F( , x)
4
2
(2)该S.P.的二维分布函数
F (0,
3
; x1, x2 )
解（1）Q X ( ) Acos 2 A,
则称X(ω,t)为(Ω,F,P)上的一个随机过程(S.P.)
记{X(ω,t), ω∈Ω,t∈T},
简记{X(t),t∈T},或X(t).
T称为参数集或参数空间, t称为参数,一般表 示时间或空间. 参数集通常有以下形式: ⑴ T={0,1,2,…}或 T= {…-2,-1,0,1,2,…} ⑵ T=[a,b],其中a 可以为－∞, b可以为+∞.
例2 的样本曲线与状态
X(t) X(t) Acos(t )
状态X(t0)
样本曲线x1(t)
t0
状态X(t0)
t 样本曲线x2(t)
状态空间S=[-A,A],参数集T=[-∞,+ ∞]
X(t)
例3 的样本曲线与状态
70
60
50
状态X(t0)=40
40
30
状态X(t0)=25
20
状态X(t0)=18
随机过程是概率论的深入和发展. 它是研究客观世界中随机演变过程的规律性的 学科.
随机过程的理论与方法在自动控制、雷达与通信、 生物工程、天文气象、地质能源、社会科学及工 程技术、经济管理等许多领域有着极为广泛的应 用。
课程任务
掌握随机过程的基本概念.
掌握随机过程的基本理论和分析方法.
具备处理随机现象的思想与方法.
x1 x2,…, xn ∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的n维分布函数.
有限维分布函数族定义
称随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数,二维 分布函数,…,n维分布函数,…,的全体 为随机 过程的有限维分布函数族.
注: 有限维分布函数族能够描述随机过程的 统计特性.
有限维分布函数族的性质
对称性 设i1,i2, ,in是1,2, , n的任意一个排列，则
具有应用随机过程的理论和方法来分析问题和 解决问题的能力.
基本内容
随机过程基本概念 随机分析 平稳过程 马尔科夫过程（链）
教材 《随机过程》张卓奎 陈慧婵 西安电子科技大学出版社 2003 《随机过程同步学习指导》 张卓奎 陈慧婵
西安电子科技大学出版社 2004
参考教材 1.《随机过程》毛用才 胡奇英 西安电子科技大学出版社 1998 2.《随机过程理论》 周荫清 电子工业出版社 第二版 2006 3.《 An introduction to stochastic processes 》
随机过程 Stochasstic processes
西安电子科技大学 教师宋月
E-mail songyue25@
引言
本课程的研究对象
概率论主要是以一个或有限个随机变量为研究 对象的. 随着科学技术的不断发展,人们发现几乎一切可 观察现象都具有随机性. 必须对一些随机现象的变化过程进行研究.即需 要研究无穷多个随机变量
P(
A
x1,
A 2
x2
)
P( A x1, A 2x2 )
P( A x1) P( A 2x2 )
x1 2x2 x1 2x2
0,
Leabharlann 1,
3 2
,
3
x1 1
1 x1 2 (x1 2x2 ) 或 2 x1 3
2x2 1 1 2x2 2 2 2x2 3
F (ti1 , ti2 , , tin ; xi1 , xi2 , , xin )
F(t1,t2, ,tn; x1, x2, , xn )
相容性 设m<n,则
F(t1,t2, ,tm; x1, x2, , xm ) F(t1,t2, ,tm,tm1, ,tn; x1, x2, , xm,, )
例２. 具有随机初位相的简谐波
X(t) Acos(t )
其中Ａ ω为常数，φ服从[0,2π]上的均匀分布.
由于初位相的随机性，在某时刻t＝t0， Ｘ(t0)是一个随机变量．
若要观察任一时刻t的波形，则需要用一族随机变量 Ｘ(t)描述. 则称｛Ｘ(t)，t∈[0 ，+∞)｝为随机过程．
例３.生物群体的增长问题.以Ｘt表示在时刻t某种 生物群体的个数,则对每一个固定的t,Ｘt是一 个随机变量．
Edward P.C. kao Thomson 2003
第一章 随机过程的基本概念
● 随机过程的定义及其有限维分布函数族 ● 随机过程的数字特征 ● 几类重要的随机过程
重点 随机过程的定义、数字特征、正态过程、 Poisson过程．
要求（1）准确理解随机过程的定义，熟悉研究 随机过程的方法．
(2)熟练求出样本函数、有限维分布、 数字特征、特征函数．
10
样本曲线x1(t) 样本曲线x2(t)
样本曲线x3(t)
t
0 24 …
t0
状态空间S={0,1,2,….}, T=[0,24,……)
4.根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为
●离散参数,离散状态的随机过程 (例3) ● 离散参数,连续状态的随机过程 (例4) ● 连续参数,离散状态的随机过程 (例1) ● 连续参数,连续状态的随机过程 (例2) 参数集为离散的随机过程也称为随机序列， 或时间序列．
难点 有限维分布和Poisson过程．
§1 随机过程的定义
例1. 考察 [0，t0]时间内某网站收到的访问次数Ｘ(t０), 则Ｘ(t０)是一个随机变量．
如果要长时间内该网站的访问次数, 则需要让t 变化起来,即t趋于无穷大,则 Ｘ(t)是一族随机变量．
此时Ｘ(t) 是与时间有关系的随机变量，称 {Ｘ(t), t∈［0,∞）}是随机过程．
即
1 1
( X (t1)
X (t2 )) ( A
B)
t1
t2
由A,B独立知, (A,B)服从二维正态分布
(定理 正态变量的线性变换是正态变量)
page24 定理1.5.3(3)