图的基本知识

五、图的计算机存储表示
1、邻接矩阵表示法（顺序存储） 邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵，设 G={V，E}是一个度为n的图（顶点序号分别用 1,2,…,n 表 示），则 G的邻接矩阵是一个n 阶方阵，G[i,j]的值定义如下：
1 或权值 当 vi 与 vj 之间有边或弧时，取值为 1 或权值 0或∝ 当 vi 与 vj 之间无边或弧时，取值为 0或∝（无穷大）
program xy; type edge=record tfrom,tend,da:integer; end; var a:array[1..100] of edge;
//起点、终点、权值
图的基本知识
主讲人：山成虎
一、图的概念 二、图的表示法 三、图的相关概念 四、图的基本定理 五、图的计算机存储表示
柯尼斯堡七桥问题，能否从A地发出，各座桥恰好通过一次， 最后回到出发地A。
答案是否定的，因为，对于每一个顶点，不论如何经过，必 须有一条进路和一条出路，与每一个顶点相邻的线（关联边） 必须是偶数条（除起点和终点），而此图中不是所有点都有偶 数条关联边。
上面三个图的邻接矩阵见下图：
无向图的邻接矩阵是对称的，有向图的是不对称的。 采用邻接矩阵表示图，直观方便，很容易查找图中任两个顶点i 和j之间有无边（或弧），以及边上的权值，只要看A[i,j]的值即 可，因为可以根据i,j的值随机查找存取，所以时间复杂性பைடு நூலகம்O （1）。也很容易计算一个顶点的度（或入度、出度）和邻接点， 其时间复杂性均为O（n）。但是，邻接矩阵表示法的空间复杂 性为O（n*n），如果用来表示稀疏图，则会造成很大的空间浪 费。
图的阶：图中结点的个数。 结点的度：图中与结点 A 关联的边的数目，称为结点A 的度。 入度：在有向图中，把以结点 V 为终点的边的数目称为 V 的入 度； 出度：在有向图中，把以结点 U 为起点的边的数目称为 U 的 出度； 奇点：度数为奇数的结点； 偶点：度数为偶数的结点； 终端结点：在有向图中，出度为 0 的结点；
1736年，数学家欧拉首先解决了这个问题，由此开创了图 论研究。这事实上是欧拉图的“一笔画问题” 。
一、图的概念
顶点 弧 出度，入度
v1 v2
v3 v4
有向图G1
顶点
v1
v2
边 度
v3
v4 v5
无向图G2
图是由顶点(vertex)集合及顶点间的关系集合组成的一种数据结构： Graph＝( V, E )
四、图的基本定理
定理 1：图中所有结点的度数之和等于边数的2 倍； 定理 2：任意一个图一定有偶数个奇点；
连通：如果图中结点 U，V 之间存在一条从 U 通过若干条边、点到达 V 的通路，则称 U、V是连通的。 路(径） ：从一个结点出发，沿着某些边连续地移动而到达另一个指定的 结点，这种依次由结点和边组成的序列，叫“路”或者“路径” 。 路径长度：路径上边的数目。 简单路径：在一个路径上，各个结点都不相同，则称为简单路径。 回路：起点和终点相同的路径，称为回路，或“环” 。 连通图：对于图G 中的任一对不同顶点 U、V，都有一条（U，V）通路， 则称图G 是连通的。 强连通图：在有向图 G 中，每一对结点之间都有路径的图。 网络：带权的连通图。
其中 V = { x | x 某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合； E = {<x, y> | x, y V } 是顶点之间关系的有穷集合，也叫
做边(edge)的集合。
图又可以分为有向图和无向图
二、图的表示法
顶点 弧 出度，入度
v1 v2 v3 v4
v1 v2
顶点
v3
边
v4 v5
度
有向图G1
2、邻接表表示法（链式存储）
3、边集数组表示法
边集数组是利用一维数组存储图中所有边的一种图的表示方
法。每个数组元素存储一条边的起点、终点和权值（如果有的 话）。在边集数组中查找一条边或一个顶点的度都需要扫描整 个数组。
所以其时间复杂性为O（e），e为边数。这种表示方法适合 那些对边依次进行处理的运算，而不适合对顶点的运算和对任 意一条边的运算。从空间复杂性上讲，边集数组适合于存储稀 疏图。
无向图G2
G1=(V,E) V={v1,v2,v3,v4} E={<v1,v2>,<v1,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}
G2=(V,E) V={v1,v2,v3,v4,v5} E={(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v4),(v4,v5)}
三、图的相关概念