两点间所有路径的遍历算法

两点间所有路径的遍历算法

中国海洋大学信息科学与工程学院熊建设梁磊

摘要：本文首先简单介绍图的深度优先遍历算法，接着根据图的深度优先遍历算法求出连通图中两点间所有路径。

一、深度优先遍历(Depth-First Traversal)

1．图的深度优先遍历的递归定义

假设给定图G的初态是所有顶点均未曾访问过。在G中任选一顶点v为初始出发点(源点)，则深度优先遍历可定义如下：首先访问出发点v，并将其标记为已访问过；然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w。若w未曾访问过，则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历，直至图中所有和源点v有路径相通的顶点(亦称为从源点可达的顶点)均已被访问为止。若此时图中仍有未访问的顶点，则另选一个尚未访问的顶点作为新的源点重复上述过程，直至图中所有顶点均已被访问为止。

图的深度优先遍历类似于树的前序遍历。采用的搜索方法的特点是尽可能先对纵深方向进行搜索。这种搜索方法称为深度优先搜索(Depth-First Search)。相应地，用此方法遍历图就很自然地称之为图的深度优先遍历。

2、深度优先搜索的过程

设x是当前被访问顶点，在对x做过访问标记后，选择一条从x出发的未检测过的边(x，y)。若发现顶点y已访问过，则重新选择另一条从x出发的未检测过的边，否则沿边(x，y)到达未曾访问过的y，对y访问并将其标记为已访问过；然后从y开始搜索，直到搜索完从y出发的所有路径，即访问完所有从y出发可达的顶点之后，才回溯到顶点x，并且再选择一条从x出发的未检测过的边。上述过程直至从x出发的所有边都已检测过为止。此时，若x 不是源点，则回溯到在x之前被访问过的顶点；否则图中所有和源点有路径相通的顶点(即从源点可达的所有顶点)都已被访问过，若图G是连通图，则遍历过程结束，否则继续选择一个尚未被访问的顶点作为新源点，进行新的搜索过程。

二、求两点间所有路径的算法

假设简单连通图如图1所示，那么它的邻接表存储结构如图2所示。假设我们要找出结点3到结点6的所有路径，那么，我们就设结点3为起点，结点6为终点。我们需要的存储结构有：一个保存路径的栈、一个保存已标记结点的数组，那么找到结点3到结点6的所有路径步骤如下：

1、我们建立一个存储结点的栈结构，将起点3入栈，将结点3标记为入栈状态；

2、从结点3出发，找到结点3的第一个非入栈状态的邻结点1，将结点1标记为入栈状态；

3、从结点1出发，找到结点1的第一个非入栈状态的邻结点0，将结点0标记为入栈状态；

4、从结点0出发，找到结点0的第一个非入栈状态的邻结点2，将结点2标记为入栈状态；

5、从结点2出发，找到结点2的第一个非入栈状态的邻结点5，将结点5标记为入栈状态；

6、从结点5出发，找到结点5的第一个非入栈状态的邻结点6，将结点6标记为入栈状态；

7、栈顶结点6是终点，那么，我们就找到了一条起点到终点的路径，输出这条路径；

8、从栈顶弹出结点6，将6标记为非入栈状态；

9、现在栈顶结点为5，结点5没有除终点外的非入栈状态的结点，所以从栈顶将结点5弹

出；

10、现在栈顶结点为2，结点2除了刚出栈的结点5之外，还有非入栈状态的结点6，那么

我们将结点6入栈；

11、现在栈顶为结点6，即找到了第二条路径，输出整个栈，即为第二条路径

12、重复步骤2-11，就可以找到从起点3到终点6的所有路径；

13、栈为空，算法结束。

三、总结

本算法利用无向图的邻接表存储结构，通过深度优先遍历来查找连通图中两点间所有路径。算法并不复杂，效率较高。由于有向图也可以用邻接表来存储，所以该算法对于有向图也是适用的。