二次函数及其图像(复习)课件
合集下载
二次函数复习ppt课件
点坐标是（1/2，1） ； （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n 开口向下，顶点在第四象限，则 a ＜刀
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数(复习课)课件
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
二次函数及其图像(复习)课件
• 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线 y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位, 在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得 到.
例题
例题（09佛山科研测试题） 例题（09佛山科研测试题）已知二次函数 佛山科研测试题 y=x2-2x,请在坐标系中画出函数的大致图象， 指出函数的顶点位置并说明何时函数的值 y 是正的。 注：图中的网格边长为1。
九年级数学下册
二次函数回顾与思考
三水区龙坡中学 屈再良
萝卜白菜，各有所爱，你的所爱是？
在函数的大家庭里面，你最喜欢哪一个？ A、一次函数 B、正比例函数 C、反比例函数 D、二次函数 E、其它
心理测试
对号入座
选一次函数
你为人正直，不喜欢拐弯抹角，对 你为人正直，不喜欢拐弯抹角， 人有诚信，守信用， 人有诚信，守信用，但有时说话会得 罪人且有点急功近利， 罪人且有点急功近利，成绩有时会大 起大落。 起大落。
• 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图 象向左（或向右）平移得到： • 当h＞0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2 • 当h＜0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系
y=
例题讲解
【考点链接 考点链接】 考点链接
二次函数知识点
定义：一般地，形如 定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是 是 常数,a≠0)的函数叫做 的二次函数。 的函数叫做x的二次函数 常数 的函数叫做 的二次函数。
二次函数解析式
二次函数的解析式有两种形式： 1. 一般式： y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 2. 顶点式： y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为 一般式，列出三元一次方程组求出待定系 数。 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时， 通常设解析式为顶点式求出待定系数。
人教版九年级上册22.1二次函数的图象和性质 复习课件(共32张PPT)
o
2
x
5
10
15
D.(4,3)
4
例 3 （ 2 ） （ 山 东 中 考 ） 抛 物 线 y = a x ²+ b x + c 经 过 点 A （ - 2 , 7 ） ， B（6,7）C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是
例 3 （ 3 ） （ 上 海 中 考 ） 抛 物 线 2 （ x + m ) ²+ n ( m , n 是 常 数 ）
y
8
6
4
2
10
5
o
5
x
10
15
2
4
例 3 ， 如 图 已 知 抛 物 线 y = x ²+ b x + c 的 对 称 轴 为 x = 2 ， 点
A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为
（0,3），则点B的坐标为（
）
8y
6 4
x=2
A.(2,3) B.(3,2)
2A
B
C.(3,3)
5
二次函数的解析式（三种形式解析式）
一 般 式 ： y = a x ²+ b x + c ( a ≠ ﾷ )
顶 点 式 ： y = a ( x - h ) ²+ k ( a8, h , k 为 常 数 ， 且 a ≠ ﾷ )
两根式：y=a(x-x1)（x-x2)(a≠ﾷ,x1,x2是抛物线与x轴两交点
解析式为
6
y
4
2
A(-1,0)
B(3,0)
15
10
5
O
x5
10
2
4
∙x 3
2)2 2∙(x +例2) 43：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛8 物线C1的顶点为A（-1， -4），且过点B（-3,0）。
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
二次函数图像与性质复习课件
二次函数图像与性质复习 课件
这个课件将会回顾和讲解二次函数的定义和性质，标准形式，基本图像特征， 平移、伸缩和反转，最简化形式，以及二次函数在实际问题中的应用。
二次函数的定义和性质
定义
二次函数是一个具有形如 y = ax^2 + bx + c 的 方程的函数。
性质
二次函数的图像是一个平滑的弯曲线，可能 开口向上或向下。
二次函数的标准形式
标准形式方程
二次函数的标准形式方程是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。
二次函数的一些基本图像特征
1 凹向上还是凹向下？
当二次函数的系数 a 大于 0 时，图像凹向 上；当 a 小于 0 时，图像凹向下。
2 零点和顶点是什么？
二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的 x 坐标，顶点是函数图像的最低点或最高 点。
二次函数的平移、伸缩和反转
1
平移
改变二次函数的顶点位置，使图像在
伸缩
2
二维平面上上下左右移动。
改变二次函数的系数 a 的值，使图像
在纵轴上拉伸或压缩，改变开口的尖
锐程度。
3
反转
改变二次函数的系数 a 的符号，使图 像关于 x 轴或 y 轴进行翻转。
二次函数的最简化形式
最简化形式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
通过完成平方将二次函数方程转化为顶点形式的方程，例如 y = a(x - h)^2 + k。
二次函数和实际问题的应用
桥的设计
二次函数被广泛应用于桥梁设计，以确定最优弧 线形状。
反射望远镜
二次函数的图像形状被用于反射望远镜的曲面设 计，以聚集光线到焦点。
总结和复习要点
这个课件将会回顾和讲解二次函数的定义和性质，标准形式，基本图像特征， 平移、伸缩和反转，最简化形式，以及二次函数在实际问题中的应用。
二次函数的定义和性质
定义
二次函数是一个具有形如 y = ax^2 + bx + c 的 方程的函数。
性质
二次函数的图像是一个平滑的弯曲线，可能 开口向上或向下。
二次函数的标准形式
标准形式方程
二次函数的标准形式方程是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。
二次函数的一些基本图像特征
1 凹向上还是凹向下？
当二次函数的系数 a 大于 0 时，图像凹向 上；当 a 小于 0 时，图像凹向下。
2 零点和顶点是什么？
二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的 x 坐标，顶点是函数图像的最低点或最高 点。
二次函数的平移、伸缩和反转
1
平移
改变二次函数的顶点位置，使图像在
伸缩
2
二维平面上上下左右移动。
改变二次函数的系数 a 的值，使图像
在纵轴上拉伸或压缩，改变开口的尖
锐程度。
3
反转
改变二次函数的系数 a 的符号，使图 像关于 x 轴或 y 轴进行翻转。
二次函数的最简化形式
最简化形式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
通过完成平方将二次函数方程转化为顶点形式的方程，例如 y = a(x - h)^2 + k。
二次函数和实际问题的应用
桥的设计
二次函数被广泛应用于桥梁设计，以确定最优弧 线形状。
反射望远镜
二次函数的图像形状被用于反射望远镜的曲面设 计，以聚集光线到焦点。
总结和复习要点
二次函数复习(共36张PPT)
y=ax2+bx+c的图 方程ax2+bx+c=0
象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
方程有两个不相等的 b2-4ac>0
实数根
只有一个交点
方程有两个相等的 b2-4ac=0
实数根
没有交点
方程没有实数根 b2-4ac<0
函数的图象
y
.
. ox
y
o
x
y
o
x
根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数 值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
(4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范
围.
二次函数的一般形式:
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
向上
直线X=-h
（-h，k）
a ＜ 0 向下
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
知识运用
（坐1标）是抛物线,图(y0象=,0过)x32 第2的开口向一象、,限对上二称；轴是
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a ＞ 0 向上 直线X=0 a ＜ 0 向下 （或y轴）
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
二次函数复习课课件
对称变换
总结词
对称变换是指二次函数的图像关 于某条直线进行对称。
详细描述
对称变换包括关于x轴、y轴或原点 对称。在对称变换过程中，二次函 数的开口方向、顶点和对称轴等性 质可能发生变化。
举例
将二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图 像关于x轴对称，得到新的函数$f(x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。 当$a > 0$时，抛物线开口向上； 当$a < 0$时，抛物线开口向下。 抛物线的对称轴是直线$x = frac{b}{2a}$，顶点位于该对称轴 上，坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
详细描述
顶点式是二次函数的一种特殊形式，它通过完全平方的形式简化了函数表达式 ，使得函数图像的顶点和对称轴更加直观。顶点式在解决与二次函数顶点相关 的问题时非常有用。
交点式
总结词
二次函数的交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
详细描述
交点式是二次函数的一种特殊形式，它通过将函数表示为两个一次因式的乘积， 突出了函数与x轴的交点。交点式在解决与二次函数与x轴交点相关的问题时非常 有用。
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在 平面坐标系中沿x轴或y轴方向移
动。
详细描述
平移变换包括向左或向右移动图 像，以及向上或向下移动图像。 在平移过程中，二次函数的开口 方向、顶点和对称轴等性质保持
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学下册
二次函数回顾与思考
三水区龙坡中学 屈再良
萝卜白菜，各有所爱，你的所爱是？
在函数的大家庭里面，你最喜欢哪一个？ A、一次函数 B、正比例函数 C、反比例函数 D、二次函数 E、其它
心理测试
对号入座
选一次函数
你为人正直，不喜欢拐弯抹角，对 人有诚信，守信用，但有时说话会得 罪人且有点急功近利，成绩有时会大 起大落。
O
x
解：列表
x
…
-1
0
1
2
y=x2-2x
…
3
y
0
-1 0
3 3
…
…
O
x
课堂测试
一座拱型桥，桥下的水面宽度AB是20米，拱高CD是4米.若水 面上升3米至EF，则水面宽度EF为多少？ （1）若把它看作抛物线的一部分，在坐标系中（如图①）， 可设抛物线的表达式为请你填空： a= ,c= ,EF= 米 （2）若把它看作圆的一部分，可构造图形（如图②）计算 如下： 设圆的半径为 r 米，在Rt⊿OCB中，易知同理，当水面上 升 3 米至 EF ，在Rt⊿OGF中可计算出 GF= 2 7 ，即水面宽度 EF= 4 7 米.（3）请估计（2）中EF与（1）中你计算出的EF的差的近 似值（误差小于0.1米）
选正比例函数
你富有正义感，待人大方，且乐 意助人，做人很有原则且很有冲劲， 但有时会附合人，不能坚持自己的 观点。
对号入座
选反比例函数
你富有反叛精神，能吃苦耐劳， 且有较强的发散思维能力，假以时日， 一定能成就一番事业，但有时会强出 风头，对某一件东西太执着，最后又 没有好的结果。
选二次函数
你善于为人着想，做人比较圆滑， 且有较强的公关能力，能从逆境中走 出来，但有时候会被胜利冲昏头脑！
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系
• 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线 y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位, 在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得 到.
例题
例题（09佛山科研测试题）已知二次函数 y=x2-2x,请在坐标系中画出函数的大致图象， 指出函数的顶点位置并说明何时函数的值 y 是正的。 注：图中的网格边长为1。
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系
• 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图 象向左（或向右）平移得到： • 当h＞0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2 • 当h＜0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2
二次函数知识点
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是 常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。
二次函数解析式
二次函数的解析式有两种形式： 1. 一般式： y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 2. 顶点式： y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为 一般式，列出三元一次方程组求出待定系 数。 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时， 通常设解析式为顶点式求出待定系数。
思考
课前热身之方法提炼
如果二次函数 y 2x 4x 或者
2
y 2x 4
2
，上面问ห้องสมุดไป่ตู้的解答又是怎样的？
2 、写出一个二次函数，使它的开口方 向向下，并且图象经过点（ 1， 5 ）： 2 y ( x 1) 5 _______________________.
例题讲解
【考点链接】
05年佛山市中考题
• （06年佛山中考题）．已知：在四边形ABCD中，AB＝1， E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝ BF＝CG＝DH。设四边形EFGH的面积为S，AE＝ x(0≤x≤1)。 • (1)如图①，当四边形ABCD为正方形时， • <1>求S关于x的函数解析式，并求S的最小值S0； • <2>在图②中画出<1>中函数的草图，并估计S＝0.6时x的 近似值(精确到0.01)； • (2)如图③，当四边形ABCD为菱形，且∠A＝30°时，四 边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值； 若不存在，请说明理由。
y
D G C
方格边长0.1
D G C
H F A A E (第24题图①) B O (第24题图②)
F H
E
B
x
(第24题图③)
07佛山市中考题
（08 佛山中考题） . 如图，某隧道横截面的上下轮 廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分 构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O 点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
【考点链接】
二次函数的图象
图象：是一条抛物线。 图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。 （2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最 高点）。
y y
o
x
o
x
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系
y=2x2+2 y=2x2 y=2x2-2 • 二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上（或向下）平移得到： • 当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移k的绝对值 个单位，得y=ax2+k • 当k＜0时，抛物线y=ax2向下平移k的绝对值 个单位，得y=ax2+k
假设你是二次函数，请做 一下自我介绍吗？
作自我介绍
1
知识整理
课前热身之方法提炼
2 y x 2x 3 1．已知二次函数
，
请解决如下问题：
⑴函数图像的开口方向是 向下 ，对称轴 是 X=1 ，顶点坐标是__________ 。 (1,-2) ⑵函数有无最大（最小）值？如果有最大（最 小）值是多少？你是怎么得到的？
(1) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2) 求出这条抛物线的函数解析式； (3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB， 使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
y
P D 3 C
O
A 第24题图
B
M
x
结束寄语之名人名言
动脑就是人脑。 -----屈再良
二次函数回顾与思考
三水区龙坡中学 屈再良
萝卜白菜，各有所爱，你的所爱是？
在函数的大家庭里面，你最喜欢哪一个？ A、一次函数 B、正比例函数 C、反比例函数 D、二次函数 E、其它
心理测试
对号入座
选一次函数
你为人正直，不喜欢拐弯抹角，对 人有诚信，守信用，但有时说话会得 罪人且有点急功近利，成绩有时会大 起大落。
O
x
解：列表
x
…
-1
0
1
2
y=x2-2x
…
3
y
0
-1 0
3 3
…
…
O
x
课堂测试
一座拱型桥，桥下的水面宽度AB是20米，拱高CD是4米.若水 面上升3米至EF，则水面宽度EF为多少？ （1）若把它看作抛物线的一部分，在坐标系中（如图①）， 可设抛物线的表达式为请你填空： a= ,c= ,EF= 米 （2）若把它看作圆的一部分，可构造图形（如图②）计算 如下： 设圆的半径为 r 米，在Rt⊿OCB中，易知同理，当水面上 升 3 米至 EF ，在Rt⊿OGF中可计算出 GF= 2 7 ，即水面宽度 EF= 4 7 米.（3）请估计（2）中EF与（1）中你计算出的EF的差的近 似值（误差小于0.1米）
选正比例函数
你富有正义感，待人大方，且乐 意助人，做人很有原则且很有冲劲， 但有时会附合人，不能坚持自己的 观点。
对号入座
选反比例函数
你富有反叛精神，能吃苦耐劳， 且有较强的发散思维能力，假以时日， 一定能成就一番事业，但有时会强出 风头，对某一件东西太执着，最后又 没有好的结果。
选二次函数
你善于为人着想，做人比较圆滑， 且有较强的公关能力，能从逆境中走 出来，但有时候会被胜利冲昏头脑！
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系
• 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线 y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位, 在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得 到.
例题
例题（09佛山科研测试题）已知二次函数 y=x2-2x,请在坐标系中画出函数的大致图象， 指出函数的顶点位置并说明何时函数的值 y 是正的。 注：图中的网格边长为1。
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系
• 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图 象向左（或向右）平移得到： • 当h＞0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2 • 当h＜0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2
二次函数知识点
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是 常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。
二次函数解析式
二次函数的解析式有两种形式： 1. 一般式： y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 2. 顶点式： y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为 一般式，列出三元一次方程组求出待定系 数。 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时， 通常设解析式为顶点式求出待定系数。
思考
课前热身之方法提炼
如果二次函数 y 2x 4x 或者
2
y 2x 4
2
，上面问ห้องสมุดไป่ตู้的解答又是怎样的？
2 、写出一个二次函数，使它的开口方 向向下，并且图象经过点（ 1， 5 ）： 2 y ( x 1) 5 _______________________.
例题讲解
【考点链接】
05年佛山市中考题
• （06年佛山中考题）．已知：在四边形ABCD中，AB＝1， E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝ BF＝CG＝DH。设四边形EFGH的面积为S，AE＝ x(0≤x≤1)。 • (1)如图①，当四边形ABCD为正方形时， • <1>求S关于x的函数解析式，并求S的最小值S0； • <2>在图②中画出<1>中函数的草图，并估计S＝0.6时x的 近似值(精确到0.01)； • (2)如图③，当四边形ABCD为菱形，且∠A＝30°时，四 边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值； 若不存在，请说明理由。
y
D G C
方格边长0.1
D G C
H F A A E (第24题图①) B O (第24题图②)
F H
E
B
x
(第24题图③)
07佛山市中考题
（08 佛山中考题） . 如图，某隧道横截面的上下轮 廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分 构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O 点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
【考点链接】
二次函数的图象
图象：是一条抛物线。 图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。 （2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最 高点）。
y y
o
x
o
x
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系
y=2x2+2 y=2x2 y=2x2-2 • 二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上（或向下）平移得到： • 当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移k的绝对值 个单位，得y=ax2+k • 当k＜0时，抛物线y=ax2向下平移k的绝对值 个单位，得y=ax2+k
假设你是二次函数，请做 一下自我介绍吗？
作自我介绍
1
知识整理
课前热身之方法提炼
2 y x 2x 3 1．已知二次函数
，
请解决如下问题：
⑴函数图像的开口方向是 向下 ，对称轴 是 X=1 ，顶点坐标是__________ 。 (1,-2) ⑵函数有无最大（最小）值？如果有最大（最 小）值是多少？你是怎么得到的？
(1) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2) 求出这条抛物线的函数解析式； (3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB， 使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
y
P D 3 C
O
A 第24题图
B
M
x
结束寄语之名人名言
动脑就是人脑。 -----屈再良