二次函数线段、周长、面积最值问题

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二次函数线段、周长、面积最值问题

1.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C 点坐标是(4,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.

(变式)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x 轴交于点H.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值;

(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点( E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.

①求S与m的函数关系式;

②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.

2.已知:抛物线l1:y=-x2+bx+3交x轴于点A,B,(点A在点B的左侧),交y轴于点C,其对称轴为x=1,抛物线l2经过点A,与x轴的另一个交点为E(5,0),交y轴于点D(0,- 5/2).

(1)求抛物线l2的函数表达式;

(2)P为直线x=1上一动点,连接PA,PC,当PA=PC时,求点P的坐标;

(3)M为抛物线l2上一动点,过点M作直线MN∥y轴,交抛物线l1于点N,求点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值.

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