1.1 不等关系
1.1 不等关系
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元” 可以表示为不等式 x - 2.5
（8 0.1 0.2）x ≥ 20.
5.通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计
算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5 m的地
方作为测量部位.某树栽种时的树围为5 cm，以后
树围每年增加约3 cm.这棵树至少生长多少年其树
(2)列不等关系.列出待求量具备哪些不等关系(即满
足什么条件).
(3)列不等式组.挖掘题意，建立已知量和待求量之
间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含 条件).
1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为 120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不 得小于10 m，用不等式表示为 ( B )
足的约束条件是__________________.
4.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万 本.据市场调查，若单价每提高0.1元,销售量就可能相 应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样 用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 分析 : 若杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元.
【抽象概括】 在数学意义上,不等关系可以体现为: 常量与常量之间的不等关系. 变量与常量之间的不等关系. 函数与函数之间的不等关系. 一组变量之间的不等关系.
【变式练习】
用不等式表示下列不等关系:
（1）今天的天气预报说：明天早晨的最低温度为
7 ℃，明天白天的最高温度为13 ℃． 7 ℃≤t≤13 ℃ （2）某公路立交桥对通过车辆的
文字表述 符号表示
1.2～1.5m
超过1.5m
不足1.2m
不超过160cm
【式练习】
某人为自己制定的月支出计划中，规定手机费不超
高中数学北师大版必修五课件：1.1不等关系
四、反馈练习
3.用今天所学的数学知识来解释生活中“糖水加糖 甜更甜”的现象.
即b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再添 加m克糖（m>0)，则糖水更甜了.试根据 这一事实，提炼出一个不等式.
am a bm b
四、反馈练习
4.经长期视察某港口水的深度y是时间t(0≤t≤24)的函数且近 似满足关系式y=3sin t+10. 一般情况下船舶航行时船底 离海底的距离为5m或5m以上认为安全. 某船的吃水深 度6.5m. 在同一天内，问该船何时能安全进出港口？ （不求解）
x kg y kg （100-x-y）kg
300x
+ 500y
+ 300(100-x-y)
维生素A 维生素B （单位/kg） （单位/kg）
成本 （元/kg）
大于等于
35000
甲 300
700
5
乙 500
100
4
丙 300
300
3
至少40000单位
700x + 100y + 300(100-x-y)
2
（这是二次函数问题）
三、数学应用
例2.下表给出了甲，乙，丙三种食物的维生素含量及成本：
维生素A（单位/kg） 维生素B（单位/kg） 成本（元/kg）
甲
300
700
5
乙
500
100
4
丙
300
300
3
某人将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含 35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设甲,乙这两种食物 各取x kg，y kg，那么x，y应满足怎样的关系？（不求解）
1.1不等关系
2
用适当的符号表示下列关系： 用适当的符号表示下列关系： 1、a是非负数； 是非负数； 、 是非负数 a≥0 2、直角三角形斜边c比它的两直角边 2、直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长； 比它的两直角边a、b都长 都长； c＞a，c＞b ＞ ， ＞ 3、x与17的和比它的 倍小； x＋17＜5x 的和比它的5倍小 、 与 的和比它的 倍小； ＋ ＜ 4、x的3倍与 的和比x的5倍大； 3x＋8＞5x 、 的 倍与8的和比 的 倍大； 倍与 的和比 倍大 ＋ ＞ 5、x2是非负数。 x2≥0 、 是非负数。
2012-5-8
初二数学组
主备人：孙道德
1、感受生活中存在着大量的不等关系， 感受生活中存在着大量的不等关系， 了解不等式的意义，初步体会不等式是 了解不等式的意义， 研究量与量之间关系的重要模型之一。 研究量与量之间关系的重要模型之一。 2、能根据实际问题列出相应的不等式。 能根据实际问题列出相应的不等式。
6.（1）x的5倍与 的差大于 与1的和的 倍，用不等式表示 （ ） 的 倍与 的差大于x与 的和的 倍与2的差大于 的和的3倍 － ＞ （ ） 为 5X－2＞3（x+1） ； （2）据统计，亚洲温带黄色人种足月胎儿正常体重指标 在 ）据统计，亚洲温带黄色人种足月胎儿正常体重指标m在 1800g到4750g之间，用不等式表示是 1800≤m≤4750 之间， 到 之间 ； （3）某城市建筑部门针对地下地质结构，从2009年1月1日 ）某城市建筑部门针对地下地质结构， 年 月 日 规定所有新建建筑物的抗震强度u不能小于里氏 不能小于里氏6.5级 起，规定所有新建建筑物的抗震强度 不能小于里氏 级，用 不等式表示为 ； u≥6.5 （4）用不等式表示“x的50﹪与2的差是非负 ）用不等式表示“ 的 ﹪ 的差是非负 数” 。 50﹪－2≥0 ﹪
1.1 不等关系
§1.1 不等关系学习目标：1.理解不等式的意义.2.能根据条件列出不等式.3.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.4.通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.学习重点：用不等关系解决实际问题.学习难点：正确理解题意列出不等式.预习作业：请同学们预习作业教材P2-4的内容，在学习的过程中请弄清以下几个问题：1.不等式的概念：一般地，用符号“＜”（或≤），“＞”（或≥）连接的式子叫做______________ 2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆，绳长L应满足的关系式为_________________例1、用不等式表示（1）a是正数；（2）a是负数；（3）a与6的和小于5；（4）x与2的差小于－1；（5）x的4倍大于7；（6）y的一半小于3.变式训练：1、用适当的符号表示下列关系：(1) a是非负数；（2）直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；（3） X与17的和比它的5倍小。
2.（1）当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？（2）当x=1.5时，成立吗？（3）当x=－1呢？活动与探究：a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：图1－2用“＜”或“＞”号填空：（1）a__________b;（2）|a|__________|b|;（3）a+b__________0;（4）a－b__________0;（5）a+b__________a－b;（6）ab__________a拓展训练：1.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)。
1.1 不等关系课件-
如下图，用两根长度均为l cm 的绳子，分别围成一个正方形 和圆。
1、如果要使正方形的面积不大 于25cm2,那么绳长应满足怎样 的关系式？
l 4
2
l 2 25
4
l
2
2
即
l2 16
25
2、如果要使圆的面积不小于 100cm2，那么绳长L应满足怎 样的关系式？
要使圆的面积不小于100cm2，就
做一做：P4
通过测量一棵树的树围（树干的 周长）可以计算出它的树龄，通常规 定以树干离地面1.5cm的地方作为测 量部位。某树栽种时的树围为5cm， 以后树围每年增加约3cm。这棵树至 少生长多少年其树围才能超过2.4m？
解：设这棵树生长x年其树围才能超过 2.4m， 根据题意得：
5＋3x＞240
是
l
2
2 ≥100
即
l2
4
≥100
3、当l= 8时，正方形和圆的
面积哪个大？ l = 12呢?
当ℓ = 8 时，正方形的面积为
圆的面积为
82
4
≈5.1(cm)2
82 = 4(cm)2 16
当ℓ= 12时，正方形的面积为
圆的面积为
122
4
≈11.5(cm)2
122 = 9(cm)2
16
4、你能得到什么猜想？改 变 l的取值再试一试。
（9）-1<0;
某门票5元/张，一次性购满30张，每张 4元。27人去游览，团长这正准备买27张 票，小明却提议买30张，这岂不是“浪 费”吗？
想一想：团体至少多少人时， 多买票反而合算呢？
本节课你有那些体 会？
A .2个 B .3个
C. 4个 D.5个
1.1不等关系
课题：§1.1 不等关系【学习目标】1．理解实数范围内代数式的不等关系，并会用不等式进行表示.2. 能根据条件列出不等关系式.【学习重难点】重点：理解不等式的意义，能正确列出不等式.难点：准确应用不等号.【自学探究】用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆.（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长l应该满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的面积大于100㎝²，那么绳长l应满足怎样的关系式？（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？（4）由（3）你能发现什么？改变l的取值再试一试.观察上述问题的关系式，他们有什么共同特点？【师生合作】1不等式的概念一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（“或≥”）及“≠”连接的式子叫不等式.2常见不等号的读法和写法3典型例题：例1 .下列式子中，不等式的有哪些?(5) m -2=1 (6) 5121≥+b a (7)︒>∠30A (8) 532≥+m m例2.请用适当的符号表示下列关系：（1）x 的一半小于－1； （2）y 与4的和大于0.5；（3）x 与17的和比它的5倍小；（4）直角三角形斜边c 比它的两直角边a ，b 都长；（5）y 的3倍与8的和比x 的5倍大；（6）a 是负数； （7）x 2是非负数。
（8）老师的年龄比你年龄的2倍还大；（9）地球上海洋面积大于陆地面积；（10）铅球的质量比篮球的质量大；例3.小王4月份计划生产零件182个，前9天每天平均生产5个零件。
后来改进技术，提前2天并且超额完成任务，若小王9天后平均每天至少生产零件x 个，试写出x 所满足的关系式。
例4.通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄。
通常规定以树干离地面1.5m 的地方作为测量部位。
某棵树栽种时的树围为5cm ，以后树围每年增加约3cm ，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式）【随堂练习】 1. 课本P5知识技能1、2.(做在书上)2.用适当的符号表示下列关系.(注意关键词)（1）a 是非负数，b 是非正数.（2）a 的21与3的和小于1.（3）a与b两数和的平方不小于3.（4）a与b两数的平方和不大于5.3.下列由题意列出的不等关系中, 错误的是( )A.a不是是负数可表示为a>0B. x不大于3可表示为x≤3C. m与4的差是非负数,可表示为x-4≥0D.代数式 x2+3必大于3x-7,可表示为x2+3>3x-74.用不等式表示“a的5倍与b的和不大于8”为 _______.5.a是个非负数可表示为_______.6.某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩.该校骆红同学期中数学靠了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学至少应得多少分? (只列关系式)7.某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不大或答错一题扣2分,某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?(只列关系式)8.一列火车有x节座车厢，每节车厢有116个座位，在春运期间，这列火车上有m人，其中有一些没有座位，请用不等式表示上述关系.9.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时, 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)【小结】【中考链接】1. (2006.哈尔滨)已知一个等腰三角形的底边长为5,这个等腰三角形的腰长为x,则x的取值范围是( )A. 205x << B.25≥x C.25>x D.100<<x2.(2006.济南)亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机,现在他已存有45元,计划从现在起以后每月节省30元,直到他至少有300元.设x 个月后, 他至少有300元,则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A.3004530≥-xB. 3004530≥+xC. 3004530≤-xD. 3004530≤+x【延伸拓展】某市移动通讯公司开设了两种通讯业务，A 类用户：先缴50元月租费，然后每通话1分钟话费0.4元；B 类用户：使用者不缴月租费，每通话1分钟话费0.6元（这里均指市内通话）。
1.1 不等关系-
1.1 不等关系●教学目标（一）教学知识点1.理解不等式的意义.2.能根据条件列出不等式.（二）能力训练要求通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.（三）情感与价值观要求通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.●教学重点用不等关系解决实际问题.●教学难点正确理解题意列出不等式.●教学方法讨论探索法.●教具准备投影片两张第一张（记作§1.1 A）第二张（记作§1.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用.Ⅱ.新课讲授［师］既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？［生］可以.比如我的身高比她的身高高5公分.用天平称重量时，两个托盘不平衡等.［师］很好.那么，如何用式子表示不等关系呢？请看例题. 投影片（§1.1 A ）图1－1）如果要使正方形的面积不大于25 cm 2， 那么绳长l 应满足怎样的关系式？另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.［生］正方形的面积等于边长的平方. 圆的面积是πR 2，其中R 是圆的半径.两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于. ［师］下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答.［生］（1）因为绳长l 为正方形的周长，所以正方形的边长为4l，得面积为（4l ）2，要使正方形的面积不大于25 cm 2，就是（4l ）2≤25.即162l ≤25. （2）因为圆的周长为l ，所以圆的半径为R=π2l. 要使圆的面积不小于100 cm 2，就是π·（π2l ）2≥100，即π42l ≥100（3）当l=8时，正方形的面积为1682=4（cm 2）.圆的面积为π482≈5.1（cm 2）.∵4＜5.1∴此时圆的面积大.当l=12时，正方形的面积为16122=9（cm 2）.圆的面积为π4122≈11.5（cm 2）此时还是圆的面积大.（4）我们可以猜想，用长度均为l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即π42l ＞162l .因为分子都是l 2相等、分母4π＜16，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l 取何值，都有π42l ＞162l .做一做投影片（§1.1 B ）［生］设这棵树至少生长x 年其树围才能超过2.4 m ，得 3x+5＞240 议一议观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？［生］由162l ≤25π42l >100 π42l ＞162l 3x+5＞240得，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality ）.例题： 用不等式表示 （1）a 是正数； （2）a 是负数； （3）a 与6的和小于5； （4）x 与2的差小于－1； （5）x 的4倍大于7； （6）y 的一半小于3.［生］解：（1）a ＞0;（2）a ＜0; （3）a+6＜5;（4）x －2＜－1; （5）4x ＞7;（6）21y ＜3. Ⅲ.随堂练习 2.解：（1）a ≥0; （2）c ＞a 且c ＞b ； （3）x+17＜5x. 补充练习当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？ 当x=1.5时，成立吗？ 当x=－1呢？解：当x=2时，x+3=2+3=5＞4成立， 当x=1.5时，x+3=1.5+3=4.5＞4成立； 当x=－1时，x+3=－1+3=2＞4,不成立. Ⅳ.课时小结能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解. 通过不等关系的式子归纳出不等式的概念. Ⅴ.课后作业 习题1.11.解：（1）3x+8＞5x; （2）x 2≥0;（3）设海洋面积为S海洋，陆地面积为S陆地，则有S海洋＞S陆地.（4）设老师的年龄为x，你的年龄为y,则有x＞2y.（5）m铅球＞m篮球.2.解：满足条件的数组有：1，3；1，5；1，7；3，5.3.解：所需甲种原料的质量为x千克，则所需乙种原料的质量为（10－x）千克，得600x+100（10－x）≥4200.4.解：8x+4（10－x）≤72.Ⅵ.活动与探究a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：图1－2用“＜”或“＞”号填空：（1）a__________b;（2）|a|__________|b|;（3）a+b__________0;（4）a－b__________0;（5）a+b__________a－b;（6）ab__________a.解：由图可知：a＞0,b＜0,|a|＜|b|.（1）a＞b;（2）|a|＜|b|;（3）a+b＜0;（4）a－b＞0;（5）a+b＜a－b;（6）ab＜a.●板书设计参考练习 用不等式表示： （1）x 的32与5的差小于1； （2）x 与6的和大于9； （3）8与y 的2倍的和是正数； （4）a 的3倍与7的差是负数； （5）x 的4倍大于x 的3倍与7的差； （6）x 的54与1的和小于－2； （7）x 与8的差的32不大于0. 参考答案： 解：（1）32x －5＜1; （2）x+6＞9; （3）8+2y ＞0; （4）3a －7＜0; （5）4x ＞3x －7; （6）54x+1＜－2; （7）32（x －8）≤0.§1.1 不等关系教学目的和要求： 教学重点和难点： 重点： 难点： 快速反应：1. 表示不等式关系的符号有哪些?2. 用适当的符号表示下列关系:（1）x 的5倍与3的差比x 的4倍大； （2）a 的41的相反数是非负数； （3）x 的3倍不小于y 的8倍。
不等关系说课稿
不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的大小关系。
在数学的学习过程中，深入理解不等关系对于解决问题和推理判断都具有重要意义。
本文将从不等关系的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、不等关系的定义1.1 不等关系的基本概念不等关系是指两个数之间的大小关系，可以分为大于、小于、大于等于、小于等于四种情况。
用符号表示时，大于用 ">"，小于用 "<"，大于等于用"≥"，小于等于用"≤"。
1.2 不等关系的传递性不等关系具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。
这个性质在解决问题时非常实用，可以简化推理过程。
1.3 不等关系的对称性不等关系不具有对称性，即a>b不一定意味着b<a。
这是因为不等关系是基于数的大小进行比较，而不是数的本身。
二、不等关系的性质2.1 不等关系的反身性不等关系具有反身性，即对于任意的数a，都有a≥a或者a≤a。
2.2 不等关系的传递闭包不等关系的传递闭包是指将不等关系中的传递性扩展到所有可能的数对上。
通过传递闭包，我们可以得到更多的不等关系。
2.3 不等关系的等价关系不等关系可以看做是等价关系的一种特殊情况。
等价关系具有自反性、对称性和传递性，而不等关系只具有自反性和传递性。
三、不等关系的应用3.1 不等关系在数学推理中的应用不等关系在数学推理中起到了重要的作用，可以匡助我们解决各种问题。
例如，在证明不等式时，我们可以利用不等关系的传递性和性质来进行推导。
3.2 不等关系在实际问题中的应用不等关系在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在经济学中，不等关系可以描述不同商品的价格大小关系；在物理学中，不等关系可以描述物体的大小和分量关系等。
3.3 不等关系在计算机科学中的应用不等关系在计算机科学中也有重要的应用。
例如，在排序算法中，我们可以利用不等关系对元素进行比较和排序；在数据库查询中，不等关系可以用于筛选满足特定条件的数据。
2021-2022学年高中数学：第3章 1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式
素 养
为
．
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
正 [因为a＋b＋c＝0，
课
自 主
所以b＝－(a＋c)，
堂 小
预
习
所以b2＝a2＋c2＋2ac．
结 提
探
新 知
所以b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2．
素 养
因为a>c，
课
合
时
作 探
所以(a－c)2>0．
分 层
究
作
释 疑
所以b2－4ac>0，
层 作
释
业
疑
难
返 首 页
课
自
堂
主 预
1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是( )
小 结
习
提
探 新 知
A．1a＜1b
B． －a＜ b
素 养
C．a2＜b2
D．|a|＞|b|
课
合
时
作
分
探
A [A正确，B、C、D可举反例排除，如对B、C，设a＝－9， 层
究
作
释
疑 b＝1，对D，设a＝－1，b＝2即可．]
作 业
疑
难
返 首 页
2．比较大小
自
阅读教材P72～P73“练习”以上部分，完成下列问题．
课 堂
主
小
预 习
(1)作差法比较两实数大小
结 提
探
新
如果 a－b＞0 ，那么a＞b．
知依
素 养
如果 a－b＜0 ，那么a＜b．
第三章不等式1.1不等关系1.2不等关系与不等式课件北师大版必修5(优秀经典公开课比赛课件)
用不等式(组)表示不等关系 配制 A，B 两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一 剂 A 种药需甲料 3 克，乙料 5 克；配一剂 B 种药需甲料 5 克， 乙料 4 克．今有甲料 20 克，乙料 25 克，若 A，B 两种药至少 各配一剂，设 A，B 两种药分别配 x，y 剂(x，y∈N)，请写出 x， y 所满足的不等关系． 3x＋5y≤20，
(1)作差法的一般步骤 ①作差；②变形：常采用配方、因式分解等变形手段，将“差” 化成积；③定号：就是确定作差的结果是大于 0，等于 0，还 是小于 0；④得出结论，其中“定号”是目的，“变形”是关键． (2)作商法的一般步骤 比较两代数式的大小时，若两式均为积的形式且同号，可采用 作商法比较，其步骤为作商→变形→判断(与 1 比较大小)．
【解】 (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 因为 x≤1， 所以 x－1≤0， 而 3x2＋1>0. 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以 3x3≤3x2－x＋1.
(2)因为 5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy ＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， 所以 5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当 x＝y＝12且 z＝1 时取到等号．
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N＋)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒n a ＞ n b(n∈N＋)．
判断题. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 a 不大于－2，用不等式表示为 a≥－2.( × ) (2)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2.( √ ) (3)若 a<b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( √ ) (4)若 a>b，则 ac>bc 一定成立．( × ) (5)若 a＋c>b＋d，则 a>b，c>d.( × )
1·1不等关系
1.1 不等关系学习目的和要求：学习到不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 学习重点和难点：重点：对不等式概念的理解难点：学会建立量与量之间的不等关系。
一·自主学习用适当的符号表示下列关系:（1）x 的5倍与3的差比x 的4倍大；（2）a 的41的相反数是非负数；（3）x 的3倍不小于y 的8倍。
二·独立探究问题：问题一：不等式的定义：表示 _______________式子叫不等式。
问题二：不等号都有____________________________________。
“不大于”指的是__________________。
“不小于”指的是___________________。
三·小组合作探究： 1.议一议：如下图，用两根长度均为lcm 的绳子，分别围成一个正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？ 2.想一想：在上题中如果改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 四．知识的应用： 1. 用不等式表示：（1）a 的相反数是正数； （2）m 与2的差小于32；（3）x 的31与4的和不是正数； （4）y 的一半与x 的2倍的和不小于3。
（5）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地方作为测量部位。
某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式）（6）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。
已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 五．课堂小结： 1.不等式的定义2.不等号都有哪些？怎样读？ 3．会列不等式。
八年级数学下册《1.1 不等关系》教学设计
《1.1 不等关系》一、内容与分析内容：章导言，引出不等关系，会列式表示不等关系。
内容分析：一、章导言向同窗们介绍本章应学习的知识，通过具体事例让学生熟悉到生活中的不等关系比相等关系更多。
二、明白用数学符号表示不等关系，并能够将一些具体的数学问题用不等式列出，为后继学习做好铺垫。
二、目标与分析目标：一、明白得不等式的意义二、能依照条件列出不等式目标分析：同窗们在前面学习过等式，明白等式的含义，不等关系是咱们明白得不等式的前提，因此咱们要从不等关系中抽象出不等式的含义；同时要明白得一些数学语言的含义如“不大于”，“不超过”等，同时要学会从具体问题中抽象出不等关系并列出不等式，为后面应用问题做好预备。
三、问题诊断分析学生在明白得有些数学语言如“不大于”，“不小于”，“不超过”可能会碰到困难，从而可不能列出相应的不等式，因此在介绍这些关键词语的时候要从“大于”“小于”入手，通过具体事例慢慢介绍让学生明白得这些数学词语。
四、教学进程分析一、创设问题情景，引入新课咱们学过等式，明白利用等式能够解决许多问题，同时，咱们也明白现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系一样能够解决实际问题，本章我们就来了解不等式有关的内容。
二、新课教学问题一：你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工作原理吗？其实，翘翘板就是靠不断改变两头的重量对照来工作的．那么，如何用式子来表示不等关系呢？设计用意：在总结前面学生举例的基础上，提出该问题，引发学生进一步试探，培育学生深切试探问题的适应。
学生在层层深切的试探中，切身体会到不等关系在生活中的重要性，此刻再试探该问题正好激发了学生探讨的欲望。
向同窗们介绍不等符号“＞” ,“＜” ,“≤”,“≥”。
问题二： 例题1：用两根长度均为l cm 的绳索，别离围成一个正方形和圆.（1）若是要使正方形的面积不大于25 cm 2， 那么绳长l 应知足如何的关系式？（2）若是要使圆的面积不小于100 cm 2,那么绳长l 应知足如何的关系式？（3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？（4）你能取得什么猜想？改变l 的取值，再试一试 设计用意：学生自己总结出不等式的概念，培育学生总结归纳的能力。
1.1不等关系
y f ( x)反映了某公司产品的销售收入y万元与 例四.如图3-2， y g ( x)反映了该公司的销售成本与 销售量x t的函数关系， 销售量的函数关系。试问： 1.当销售量为多少时，该公司盈利（收入大于成本）； 2.当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于成本）？ 解： 1.当销售量大于at时，即x>a时， y f ( x) y/万元 公司盈利，即 f ( x) g ( x) y g ( x)
一．在数学意义上，不等关系可以 体现在以下几个方面：
(1) (2) (3) (4)
常量与常量
变量与常量 函数与函数 一组变量
之间的不等关系； 之间的不等关系； 之间的不等关系； 之间的不等关系．
二．表示不等关系的数学符号：
不等 关系
数学 符号 小于 不大于 大于 不小于 不等于
＜
≤
＞
≥
≠
三．不等式的概念： 用数学符号 “＜”“≤”“＞”“≥”“≠”等表示 不等关系的式子叫作不等式。
2. 当销售量小于at时，即x<a时， 公司亏损，即
b o a x/t
f ( x) g ( x)
例五.某用户计划购买单价分别为60元，70元的单 片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元。根据 需要软件至少买3片，磁盘至少买两盒，问：软件 数与磁盘数应满足什么条件？
解：设软件数为x，磁盘数为y，根据题意 可得 60x 70 y 500 x 3且x N , y 2且y N . 这是一个不等式组的问题。
1.1 不等关系
赵
用来解释这种现象的数学关系是：
x xm 0.58 0.618 y ym
怎样判断“＜”的关系成立？ m又是怎样的数？
1.1 不等关系(2019)
导学稿★高一数学必修一★总计第11期札记：课题：§1.1不等关系主备：李建章审核: 审批:课型：新授课班级: 学习小组：学生姓名：【学习目标】1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.学生学会用不等式或不等式组解决简单的实际问题.【学习重点】1.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；2.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.【学习难点】1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.【自主预习】1.旧知回顾（1）回忆初中学过的不等式，试说出“不等关系”与“不等式”的异同？（2）在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，你能举出一些实际例子吗？2.应知应会（1）数学意义上的不等关系体现为：①常量与常量之间的不等关系.②变量与常量之间的不等关系.③函数与函数之间的不等关系.④一组变量之间的不等关系.（2）表示不等关系的数学符号：不等关系小于不大于大于不小于不等于数学符号（3）不等式的概念：________________________________________________.3.预习自测:（1）已知：x∈R，用“>”，“≥”表示x2,x2+1,0之间的大小关系 . （2）下列不等式中不成立的是（）A -1 ≤ 2B -1< 2C -1 ≤-1D -1 ≥2（3）用不等式表示下面的不等关系①a与b的和是非负数；②某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；【探究活动】探究活动一常量与常量之间的不等关系阅读课本P69—P71完成课本例1--例3表格及填空.探究活动二变量与常量之间的不等关系例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?探究活动三一组变量之间的不等关系例2、某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500元.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,问:软件与磁盘应满足什么条件?札记：【达标测评】1.某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?2.若需在长为4 000 mm的圆钢上，截出长为698 mm和518 mm两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?3.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.札记：今日作业：札记：.1.（1）已知：x∈R，用“>”，“≥”表示-x2,x2+1,0之间的大小关系 . （2）下列不等式中不成立的是（）A -1 ≤ 2B -1< 2C -1 ≤-1D -1 ≥2（3）用不等式表示下面的不等关系①a与b的和是非正数；②某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；用不等式表示为2.某矿山车队有4辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车，有9名驾驶员。
1.1不等关系讲学稿
八年级数学（下）讲学稿课题：1.1不等关系课型：新授课（一课时）时间：2月14日主备人：谢明芳参备人：刘来君、谢响亮审核：赖新浪学习目标：1、理解不等式的意义；2、能根据条件列出不等式，认识实际问题中的不等式关系；3、通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并激发学生学习数学的信心和兴趣。
学习重难点:通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。
学习过程一、课前准备：1、一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做。
2、用不等号的类型填空：读作不等于，表示两个量之间的关系是不相等的，没有谁大谁小。
读作大于，表示左边的数比右边的数大。
读作小于，表示左边的数比右边的数小。
读作大于或等于，表示左边的数不小于右边的数。
(不小于)读作小于或等于，表示左边的数不大于右边的数。
（不大于）3、常见不等式的基本语言：①X〉0,则X是正数。
②X〈0,则X是负数。
③X≥0,则X是非负数。
④X≤0,则X是非正数。
⑤X-Y〉0，则X大于Y。
⑥X-Y〈0，则X小于Y。
⑦ X-Y≥0，则X不小于Y。
⑧X-Y≤0，则X不大于Y。
⑨XY〉0（或X/Y〉0）,则X、Y同号。
⑩XY〈0（或X/Y〈0）,则X、Y异号。
4、小组活动：自习课本第2页至第6页，写下疑惑和摘要：（比如圆的周长和面积公式和正方形的周长和面积公式）二、探究活动活动内容：在抗击“非典”时期，某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为xm(x<5m)的装潢条镶嵌（不计接缝），8年级3:两数比较有大于、等于、小于三种情况，不大于就是等于或小于下面请大家讨论，按题意进行解答。
三、学习体会：1、你会辨别出以下为不等式的式子吗？①-2〈0，②2X+1≥0，③X+，④3X≤2Y,⑤-x2-1〈0，⑥y=-22、你能用适当的符号表示下列关系吗？① X与3的和的一半是非负数。
② Y比5小。
③ a2是非负数。
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4
1 不等关系
不相等 处处可见
在古代,我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理, 在古代,我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理, 并且根据这一原理设计出了一些简单机械, 并且根据这一原理设计出了一些简单机械, 并把它们用到了生活实践当中. 并把它们用到了生活实践当中.
由此可见, 不相等"处处可见. 由此可见,"不相等"处处可见. 从今天起,我们开始学习一类新的数学知识:不等式. 从今天起,我们开始学习一类新的数学知识:不等式.
6
1
想一想
如下图, 如下图, 用两根长度均为 cm 的绳子, 的绳子, 分别围成一个 正方形和圆. 正方形和圆.
想一想 解 答
1,如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长 如果要使正方形的面积不大于25cm 不大于25 应满足怎样的关系式? 应满足怎样的关系式? 在上面的问题中, 在上面的问题中,所围成的正方形的面积可以表示 2 l 2 为 l ,圆的面积可以表示为π( ) 4 2π 要使正方形的面积不大于25 要使正方形的面积不大于25cm2,就是 25cm
2
(2) π l ≥100
2
2π
l2 16
(4) 5+3x>240
一般地,用符号" )," 一般地,用符号"<"(或"≤"),">"(或 " ≥" ) 连接的式子叫做不等式 不等式. 连接的式子叫做不等式.) (inequality inequality)
12
1
练 一 练
1,用"<"或">"号填空: 号填空: < (1) -7____-5; 7____- (2) (-3)4____34; (- = > < (3) (-4)2____(-3)2; (4) |-0.5|____|-1000|; (- ____(- |-0.5|____|-1000|; > > (5) 3+4____1+4; (6) 5+3____12-5; 3+4____1+ 5+3____12- > < (7) 6×3____4×3; (8) 6×(-3)____4×(-3) 6×3____4× 6× 3)____4× 2,用适当的符号表示下列关系: 用适当的符号表示下列关系: (1) a是负数;a<0 是负数; (2) a是非负数;a≥0 a是非负数 是非负数; (3) a与b的和小于5; 的和小于5 (4) x与2的差大于-1; 的差大于- x-2>-1 >-1 a+b<5 (5) x的4倍不大于7; 倍不大于7 (6) y的一半不小于3. 的一半不小于3 1 4x≤7 y ≥3 2
重点:了解不等式的意义. 重点:了解不等式的意义.
运用不等符号表示不等量的关系. 运用不等符号表示不等量的关系. 难点: 难点:
3
1 不等关系
看 一 看
你还记得小孩玩的翘翘板吗?你想过它的 你还记得小孩玩的翘翘板吗? 工作原理吗? 工作原理吗? 其实, 其实,翘翘板就是靠不断改变两端的重量 对比来工作的. 对比来工作的.
17
小
结:
通过本节课的学习,你学到了哪些数学知 识? 表示不等关系的符号(不等号)都有哪几 种? 什么叫做不等式? 你能从现实生活中举出几个表示不等关系 的不等式吗?
18
补充练习:(用不等式表示)
a绝对值是非负数. 绝对值是非负数. 的一半比y的一半比-3大,比3小. 倍与2的差不大6 m的5倍与2的差不大6. 除以2的商加上2 x除以2的商加上2,至多 为 5. 要求独立完成) (要求独立完成) 1 2 3 4
维生素及价格 原料 甲种原料 600 8 乙种原料 100 4
维生素C 单位/千克) 维生素C(单位/千克) 原料价格( 千克) 原料价格(元/千克)
现配制这种饮料10千克,要求至少含有4200单 现配制这种饮料10千克,要求至少含有4200单 10千克 4200 位的维生素C 试写出所需甲种原料的质量X 位的维生素C,试写出所需甲种原料的质量X 千克) (千克)应满足的不等式
21
�
北 师 大
大级 《 数 学 ( 下 ) ) 北 师年 八 年 级《 数 学 ( 下 》》 八 课首
Байду номын сангаас
1
1
不等关系
目
录
教学目标, 教学目标, 重点, 重点,难点 看一看 想一想
做一做 议一议 练一练 作业
2
1 不等关系
教学目标,重点,难点 教学目标,重点,
感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式 感受生活中存在着大量的不等关系, 的意义, 的意义,初步体会不等式是研究量与量之间关系的重 要模型之一. 要模型之一. 经历由具体实例建立不等式模型的过程, 经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步 发展符号感与数学化的能力. 发展符号感与数学化的能力.
13
1 1 不等关系
小
测
用适当的符号表示下列关系: 用适当的符号表示下列关系: (1)直角三角形斜边比它的两直角边a ,b都长. (1)直角三角形斜边比它的两直角边 直角三角形斜边比它的两直角边a 都长. c>a c>b (2) x与17的和比它的5倍小. 17的和比它的 倍小. 的和比它的5 (3) x的3倍与8的和比x的5倍大. 倍与8的和比x 倍大. x+17<5x +17< 3x+8>5x +8> s1>s2 m1 > m2
l ≤ 25 4
2
l 2 ≤ 25 即 16
7
1
想一想
如下图, 如下图, 用两根长度均为 cm 的绳子, 的绳子, 分别围成一个 正方形和圆. 正方形和圆.
想一想 解 答
在上面的问题中,所围成的正方形的面积可以表示 在上面的问题中, 2 2 为 l ,圆的面积可以表示为 π l 4 2π 如果要使圆的面积不小于100cm 不小于100 2,如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长 应满足怎样的关系式? 应满足怎样的关系式? 要使圆的面积不小于100 要使圆的面积不小于100cm2,就是 100cm
19
1 1
不等关系
作
业
P5
习 题 1.1
1,(2),(4) (2), 3,4,
20
1 不等关系
注:
不等关系符号
", " 表示. 表示.
"不大于" 指的是 " 小于或等于 不大于" 通常用 符号 "
≤
例如, 不大于10 例如,x 不大于10 可以表示为 x≤10(读作:"x小于或等于10"). ≤10(读作: 小于或等于10 10" 类似地, 不小于"指的是"大于或等于" 类似地,"不小于"指的是"大于或等于". 通常用符号" 通常用符号"≥"表示.(读作:"大于或等于"). 表示.(读作: 大于或等于" .(读作
π l ≥100 2π
2
即
l 2 ≥100 4π
8
1
想一想
想一想 解 答
如下图, 如下图,用两根长度均 的绳子, 为 cm 的绳子, 分别围成一个 正方形和圆. 正方形和圆. 在上面的问题中, 在上面的问题中,所围成的正方形的面积可以表示 2 2 为 l ,圆的面积可以表示为 π l 4 2π
122 = 9(cm)2 = 12 呢? =8 正方形和圆的面积哪个大? 3当= 12时,正方形的面积为 ,当 12时 时,正方形和圆的面积哪个大? 1682
= 4(cm)2 当 = 8 时122 ,正方形的面积为 2 圆的面积为 16 4π 2≈11.5(cm)2 8 ≈5.1(cm) 圆的面积为 4π ∵9< 11.5 ∵4< 5.1 ∴此时的圆的面积大. 此时的圆的面积大. 此时还是圆的面积大. ∴此时还是圆的面积大.
9
1
想一想
想一想 解 答
如下图, 如下图,用两根长度均 的绳子, 为 cm 的绳子, 分别围成一个 正方形和圆. 正方形和圆. 在上面的问题中, 在上面的问题中,所围成的正方形的面积可以表示 2 2 l l 为 4 ,圆的面积可以表示为 π π . 2 当 = 8, = 12 时,都是圆的面积大. 8, 都是圆的面积大. 4,你能得到什么猜想?改变 的取值再试一试. 你能得到什么猜想?改变 的取值再试一试. 我们可以猜想,用长度均为cm的两根绳子分别围成 我们可以猜想,用长度均为cm的两根绳子分别围成 一个正方形和圆,无论取何值, 一个正方形和圆,无论取何值,圆的面积总大于正 方形的面积, 方形的面积, l 2 l2 即 4π > 16
3
3x >235,
答:这棵树生长大于78年零4个月其树围才能超过2.4m 这棵树生长大于78年零 个月其树围才能超过2.4m 年零4
11
1
不等式的定义
观察由上述问题得到的如下关系式,它们有 观察由上述问题得到的如下关系式, 什么共同特点? 什么共同特点?
l ≤ 25 (1) 4
l2 (3) > 4π
14
(4) 地球上海洋面积s1大于陆地面积s2. 地球上海洋面积s 大于陆地面积s (5) 铅球的质量m1比篮球的质量m2大. 铅球的质量m 比篮球的质量m
练一练(一)
1试举几个用不等式表示的例子 2用适当的符号表示下列关系: (1)a是非负数; a ≥ 0 (2)直角三角形斜边c比它的两 直角边a,b都长;C>a且c>b C>a且 (3)x与17的和比它的5倍小. )x与17的和比它的5