时间序列模型的地下水位预测

的 ２９������ ５１ ｍ， 平均年下降速率达 ０������ ２５ ｍ。 其中， ２００４—２００９ 年由于大量开采地下水， 导致补给量远小于排泄
量， 地下水位快速下降， 年均下降速率达 ０������ ４９ ｍ； ２０１０ 年以后， 由于节水灌溉技术的推广和水资源保护意
第３期
张展羽， 等： 基于主成分⁃时间序列模型的地下水位预测
图 １ ２００４—２０１４ 年地下水补排量及水位动态
均水位（ Ｘ １ ／ ｍ） 、 年降水量（ Ｘ ２ ／ ｍｍ） 、 年蒸发量 （ Ｘ ３ ／ ｍｍ） 、 地下水灌溉用水量 （ Ｘ ４ ／ 万ｍ ３ ） 、 生活用水量 （ Ｘ ５ ／ 万ｍ ３ ） ， 运用主成分分析方法确定其主成分。 成分能够基本代表原始数据的所有信息， 因此选取前 ３ 个主成分， 即 Ｙ１ ＝ ０������ ３３２ ２Ｘ １ － ０������ ５２９ ６Ｘ ２ ＋ ０������ ５２５ ２Ｘ ３ － ０������ ２６６ ７Ｘ ４ ＋ ０������ ５１２ ０Ｘ ５ Ｙ２ ＝ ０������ ３１４ ８Ｘ １ － ０������ ３６５ ８Ｘ ２ ＋ ０������ ２２３ ９Ｘ ３ ＋ ０������ ７２７ ４Ｘ ４ － ０������ ４３３ ４Ｘ ５ Ｙ３ ＝ ０������ ８５６ ７Ｘ １ ＋ ０������ １５１ １Ｘ ２ － ０������ ４６８ ０Ｘ ３ － ０������ １５０ ３Ｘ ４ ＋ ０������ ００１ ５Ｘ ５
摘要： 地下水位预测是区域水资源管理的重要依据。 针对地下水位在时间序列上表现出高度的随机性和滞后性， 建立了基于主成分分析与多变量时间序列 ＣＡＲ（ Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ Ａｕｔｏ⁃Ｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ） 模型耦合的地下水位预报模型， 将该模型 应用于济南市陡沟灌区地下水位预测， 结果显示， 模型模拟值与实测值的决定系数 Ｒ２ 和 Ｎａｓｈ⁃Ｓｕｔｔｃｌｉｆｆｅ 系数 Ｅ ｎｓ 均达 ０������ ４２ ｍ。 在区域水资源紧缺的背景下， 适当引入地表水灌溉， 减少地下水的开采， 灌区地下水位将逐步回升， 对于 灌区的可持续发展和区域水资源的合理利用具有重要意义。 关键词： 地下水位； 主成分分析； 多变量时间序列； 预测 万 ～ １３７������ ０ 万ｍ３ 地表水用于农业灌溉时， 到 ２０３０ 年灌区地下水位将维持在 ３０������ ９９ ～ ３１������ ２９ ｍ， 较基准年上升 ０������ １２ ～ 到 ０������ ９０ 以上； 以 ２０１１ 年为基准年， 当降水量减少 １０％ ～ ２０％， 蒸发量和生活用水量增加 １０％ ～ ２０％， 调入 ２７������ ３９
２０１７ 年 ５ 月
第 ２８ 卷 第 ３ 期
ＡＤＶＡＮＣＥＳ ＩＮ ＷＡＴＥＲ ＳＣＩＥＮＣＥ
水
科
学
进
展
Ｖｏｌ．２８，Ｎｏ．３ Ｍａｙ，２０１７
ＤＯＩ： １０������ １４０４２ ／ ｊ������ ｃｎｋｉ������ ３２������ １３０９������ ２０１７������ ０３������ ０１２
基于主成分 ⁃时间序列模型的地下水位预测
张展羽１，２ ， 梁振华１，２ ， 冯宝平１，２ ， 黄继文３ ， 吴 东１，２
３������ 山东省水利科学研究院， 山东 济南 ２５００１３）
（１． 河海大学水利水电学院， 江苏 南京 ２１００９８； ２． 河海大学南方地区高效灌排与农业水土环境教育部重点实验室， 江苏 南京 ２１００９８；
网络出版地址： ｈｔｔｐ： ／ ／ ｋｎｓ������ ｃｎｋｉ������ ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ３２������ １３０９������ Ｐ������ ２０１７０４２６������ ０９３１������ ００６������ ｈｔｍｌ Ｅ⁃ｍａｉｌ： ｚｈａｎｙｕ＠ ｈｈｕ������ ｅｄｕ������ ｃｎ
用递推最小二乘法对模型参数进行估计， 根据已知的 Ｎ 组观察值由低阶到高阶递增地对系统拟合 ＣＡＲ 模型， 得到模型的真实阶次及其时滞； 从所拟合的 ＣＡＲ 模型中剔除这些参数， 重新利用递推最小二乘法建立含较
２ 模型验证
２������ １ 研究区概况 陡沟灌区位于济南市南部， 玉符河下游， 属低山丘陵区； 灌区地下水资源丰富， 传统灌溉水源为浅层地
式中： ｛ ｈ ｉ ｝ 、 ｛ ｑ ｍｉ ｝ 为系数， ｍ ＝ １， ２， ｉ ＝ １， ２， …， ｎ， 其中 ｎ 为非负整数； ｙ ｔ－ｉ 、 ｘ ｍ，ｔ⁃ｋ 为时间序列变量， 其 中 ｋ ＝ ０， １， ２，．．．， ｎ， ｔ 为时间序列， ｔ ＞ｎ。 则 ｎ 阶 ＣＡＲ 模型的一般形式可写为 式中： ε ｔ 为残差。 （２） 根据已知的 Ｎ 组样本由低阶到高阶递增， 对系统拟合 ＣＡＲ 模型， 并依次对相邻的两个 ＣＡＲ 模型采用 Ｆ
基金项目： 国家自然科学基金资助项目（５１１７９０５０） ； 山东省水生态文明试点科技支撑计划（ ＺＣ２０１４５０５１９）
作者简介： 张展羽（１９５７—） ， 男， 江苏泰兴人， 教授， 博士研究生导师， 主要从事灌溉排水理论及技术研究。
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水
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第 ２８ 卷
１ 主成分⁃时间序列模型的构建原理
中图分类号： ＴＶ２１１������ １２ 文献 ０３⁃０４１５⁃０６
于受到自然条件和人类活动的综合影响， 地下水位在时间序列上常表现出高度的随机性和滞后性。 目前对地 下水位进行预测研究的方法较多， 主要有回归分析、 灰色理论等传统研究方式以及数值模拟、 小波分析等新 模型 ［１⁃４］ 。 这些预测模型各具优点， 无论是传统方式还是新模型， 在实际应用中均取得了一定的效果。 但实 践表明， 单一的预测方式在模拟地下水位复杂的动态特征方面仍旧不可避免地存在着一定的局限性。 组合来反映原变量所提供的绝大部分信息， 达到降低原始变量维数的目的。 主成分分析应用范围广泛， 主要 用于综合评价、 模型优化等领域 ［５⁃６］ 。 Ｙｉｎｇ ［７］ 运用主成分分析和主因子分析技术对 Ｓｔ������ Ｊｏｈｎｓ 河干流的地表水 监测网络进行分析评价， 结果表明， 其中 ３ 个监测站在评估河流水质年度变化的作用不太重要。 Ｂｅｎｇｒａｉｎｅ 和 Ｍａｒｈａｂａ ［８］ 对新泽西州 Ｐａｓｓａｉｃ 河的水质监测数据进行了主成分分析， 提取影响水质变化的主要因素和获得 了水质时空变化的规律。 多变量时间序列分析结合了回归分析和一维时间序列分析两种方法的优点， 预测精 度高， 能够较好地模拟观测数据和进行模型预报， 目前已广泛用于气候变化趋势、 水文预报等领域 ［９⁃１１］ 。 Ｚｅｎｇ 等 ［１２］ 运用多变量时间序列分析， 建立了洞庭湖地区地下水资源预测模型， 模型拟合精度较高， 适用性 良好， 并对不同方案下的地下水资源量进行了预测。 Ｍａｎｚｉｏｎｅ 等 ［１３］ 建立了基于多变量时间序列分析与地质 统计学的耦合模型， 并应用于巴西东南部 Ｇｕａｒａｎｉ 含水层系统出露地区的地下水位预测， 为地下水管理决策 和土地利用规划提供依据。 主成分分析与多变量时间序列在各自领域都得到了广泛应用， 但目前在地下水位 象， 尝试将主成分分析与多变量时间序列 ＣＡＲ（ Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ Ａｕｔｏ⁃Ｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ） 模型耦合， 并应用于地下水位预 测， 为当地调入地表水置换地下水提供决策依据。
（１）
便得到第 ｉ 个样本主成分的 ｎ 个观测值 ｙ ｋｉ（ ｋ ＝ １， ２， …， ｎ ） ， 并称为第 ｉ 个主成分的得分。 将第 ｉ 个特征值 与各特征值之和的比值称为第 ｉ 个样本主成分的贡献率， 选取前 ｍ 个样本主成分， 使其累计贡献率达到一定 １������ ２ 多变量时间序列 ＣＡＲ 模型 的要求（ 如 ８０％ 以上） ， 并以前 ｍ 个样本主成分的得分代替原始数据作分析。 多变量时间序列 ＣＡＲ 模型主要采用递推最小二乘法进行模型参数估计的建模方法 ［１５⁃１６］ ， 令 ｚ ｔ ＝ { ｙ ｔ － １ ， ｙ ｔ － ２ ， …， ｙ ｔ －ｎ ； ｘ １， ｔ － ０ ， …， ｘ １， ｔ －ｎ ； ｘ ２， ｔ － ０ ， …， ｘ ２， ｔ －ｎ } ｙｔ ＝ ｚｔ θＴ ＋ εｔ θ ＝ { ｈ １ ， ｈ ２ ， …， ｈ ｎ ； ｑ １０ ， ｑ １１ ， …， ｑ １ｎ ； ｑ ２０ ， ｑ ２１ ， …， ｑ ２ｎ }
Ｔ
式中： ｘ ＝ （ ｘ １ ， ｘ ２ ， …， ｘ ｐ ） 为 Ｘ 的任一观测值， ｅ ｉ ＝ （ ｅ ｉ １ ， ｅ ｉ ２ ， …， ｅ ｉｐ ） 。 当依次代入 Ｘ 的 ｎ 个观测值时，
Ｔ
＝ ｅ ｉ１ ｘ １ ＋ ｅ ｉ２ ｘ ２ ＋ … ＋ ｅ ｉｐ ｘ ｐ ｉ ＝ １， ２， …， ｐ ｙ ｉ ＝ ｅＴ ｉ ｘ
１������ １ 主成分分析 设 Ｘ １ ， Ｘ ２ ， …， Ｘ ｐ 为 ｐ 个随机变量 ［１４］ ， 记 Ｘ ＝ （ Ｘ １ ， Ｘ ２ ， …， Ｘ ｐ ） Ｔ 。 设取自 Ｘ 的一个容量为 ｎ 的简单随
机样本为 ｘ ｉ ， （ ｉ ＝ １， ２， …， ｎ） ， Ｓ 为 ｘ ｉ 的样本协方差矩阵， 其特征值及相应的单位正交向量为 λ １ ≥ λ ２ ≥… ≥λ ｐ ≥０ 和 ｅ１ ， ｅ２ ， …， ｅ ｐ ， 则第 ｉ 个样本主成分 ｙ ｉ 为
检验的方法来判断模型阶次的增加是否合适， 从而找到最合适的模型。 对模型中的某些参数是否为 ０ 进行 Ｆ １������ ３ 主成分⁃时间序列模型 检验， 以决定模型的真实阶及其时滞， 从而得到真实模型的参数估计。 运用主成分分析对研究变量的影响因子进行分析， 通过线性组合构造综合因子， 分别计算各综合因子的
收稿日期： ２０１６⁃０６⁃２９； 网络出版时间： ２０１７⁃０４⁃２６
地下水位预测是地下水资源管理的重要依据， 对区域水资源合理配置和可持续利用具有重要意义。 但由
主成分分析是将多个指标化为少数几个综合指标的一种统计分析方法， 其通过构造原变量的一系列线性