勾股定理--最短距离问题

勾股定理--最短距离问题

蚂蚁爬行的最短路径

正方体

4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）

A．APBB．AQBC．ARBD．ASB

解：根据两点之间线段最短可知选A．故选A．

2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.

第6题

解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线．AB=

22125．

8.正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M 点的最短距离为.

第7题

解：将正方体展开，连接M、D1，根据两点之间线段最短，

MD=MC+CD=1+2=3，

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MD1=

MD2DD1322213．

25．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，

正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）11A

解：如图，AB=

2B1221210．故选C．

9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3某3个小

正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点

A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用2.5秒钟．

解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再

从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面右面由勾股定理得AB=（2）展开底面右面由勾股定理

得AB=

所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．

==5cm；

cm；

长方体

10．（2022恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点

B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是

解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=

=25．

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11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对

角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长

为.D1C1

1A1DB1

C

2AB4

解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1，△ABC1是直角三角形，∴AC1=

18．（2022荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为

5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬

行的最短路径长为cm．

AB2BC1421242325

22

解：

∵PA=2某（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．

故答案为：13．

19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地

面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路

径是多少？

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解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程．

解：在Rt△ABD中，

因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8，所以

AB2=AD2+BD2=152+82=289=172．所以AB=17cm．

故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．

49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm,8cm,30cm.

(1)在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？

(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少

A

DC30B812

12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。

.

解：由题意得，路径一：AB=路径二：AB=路径三：AB=

==5；=

；；

∵＞5，

∴5米为最短路径．

13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；

（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．

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解：（1）AB的长就为最短路线．

然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为或

（cm）所以蚂蚁经过的最短路程是

（cm）；（cm），cm．

（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是30cm．

15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，则所走的最短线段是

=6

cm；

第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，所以走的最短线段是

=

cm；

第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长

方形的长和宽分别是14cm和4cm，所以走的最短线段是

=2

cm；

三种情况比较而言，第二种情况最短．

51．圆柱形坡璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底

1cm点S处有一蜘蛛，与

蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，

试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。

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16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、

3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想

到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为

cm

解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）某3cm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿

台阶面爬行到B点最短路程为某cm，由勾股定理得：某2=202+[（2+3）

某3]2=252，解得某=25．故答案为25．

17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想

到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面

爬到B点，最短线路是cm。