幂的运算讲义
幂的运算讲义-刘丹.doc
3x
是同类项,那么这两个单项式的积进(
)
6
4
3
2
8
3
2
6
4
A.x
y
B.
x
y
C.
3x
y
D.
x
y
3.已知(x-y)·(x-y)3·(x-y)m=(x-y)12,求(4m2+2m+1)-2(2m2-m-5)的值.
4.212223......220085.am=6,an=2,求a2m-3n的值.
2007
22
例1计算:
(1)
2
3
(
)
a
3
2
()523
;
( )
x
32
x
23
3
;
2
;
3 m m
4
题型二幂的乘方的运算性质的逆用
例2
(1)已知am
2,求a3m;
(2)已知am
3, an
2,求a2m 3n
题型三 积的乘方的运算性质应用
例3
计算:
(1)
3x
3
;
( )
2
;
m
2 2; (4)
3 24
2
5ab
(3)x y
xy z
n1
aa0, n是正整数
(6)科学计数法
对于一个绝对值大于10的数,可以表示成a 10n1a10, n是正整数 的形式,对于一个绝对值
小于1且大 于0的数 ,也可以 表示 成a10n的 形式,只 不过 此时 的n是一个负 数, 如:
0.00000043
4.3
1
4.3
107
10000000
幂的运算 知识点总结及深度精讲
幂的运算 知识点总结及深度精讲一、运算法则精读(一)同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法的法则是:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.用字母可以表示为:a m ×a n =a m+n (m 、n 都是正整数).在这个表达式中,等式的左边是两个幂底数相同,且是乘积的关系;而右边是一个幂,与左边相比,底数不变,只是指数是左边的指数相加而得到.2、在同底数幂的乘法法则中的底数字母a 可以表示一个数,也可以表示一个单项式或一个多项式.如=323131⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-.24313131532-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3、法则a m ×a n =a m+n 还可以推广使用,即当三个或三个以上的同底数相同时,底数仍然不变,只要将指数分别相加即可,如a m ×a n ×a p =a m+n+p (m 、n 、p 都是正整数).如-a×a m+1×a m -1=-a 1+m+1+m -1=-a 2m+1.4、只有同底数的幂相乘时才能运用这个法则,千万不要出现形如y 5×(-y 4)=y 9的这类错误,因为这里的两个底数并不相同.5、法则a m ×a n =a m+n 还可以逆向使用,即可以写成a m+n =a m ×a n ,如y 7=y 2+5=y 2×y 5;又如=-1.()20052005200520055451421145145⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∙⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=-(二)幂的乘方1,幂的乘方的法则是:幂的乘方,底数不变,指数相乘.用字母可以表示为:(a m )n =a mn (m 、n 都是正整数).这个法则的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算,即底数不变,指数相乘.2,同样这个法则也可以进行逆向运用,即a mn =(a m )n =(a n ) m .(三)积的乘方1、积的乘方的法则是:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 用字母可以表示为: (a×b)n =a n ×b n (n 是正整数).2、法则可以推广使,即对于三个或三个以上的因式的积的乘方也适用这一法则.3、可以逆向运用这个法则,即a n ×b n =(a×b)n .(四)同底数幂的除法1、同底数幂的除法的法则是:同底数幂相除,底数不变,指数相减.用字母可以表示为:a m ÷a n =a m -n (a≠0,m 、n 都是正整数,且m >n ).可见这个法则成立的条件是:同底数幂相除,结论是:底数不变,指数相减.2、法则中的底数a 要不等于0,因为若a =0了,则除数为0,除法就没有意义了,另外,法则中不说零指数和负指数的概念,所以在这个法则必须规定m 、n 都是正整数,且m >n.3、法则也可以推广运用,即a m ÷a n ÷a p =a m -n -p (m 、n 、p 都是正整数,m >n >p ).如7272143333381.2222216--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(五)四个运算法则的异同点四个运算法则既有相同点又有不同点.它们的共同点是:①运算时底数不变,只对指数运算;②表达式中的底数具有普遍性,既可以是一个具体的数,也可以是一个单项式或多项式;③指数都是正整数.它们的不同点是:①同底数的幂相乘的指数是相加,而同底数的幂相除的指数是相减;②幂的乘方是指数相乘;③积的乘方是将每一个因式分别乘方.。
七年级数学8.1幂的运算讲解与例题
8.1 幂的运算1.了解幂的运算性质,会利用幂的运算性质进行计算.2.通过幂的运算性质的形成和应用,养成观察、归纳、猜想、论证的能力,提高计算和口算的能力.3.了解和体会“特殊—一般—特殊”的认知规律,体验和学习研究问题的方法,培养思维严谨性,做到步步有据,正确熟练,养成良好的学习习惯.1.同底数幂的乘法(1)同底数幂的意义“同底数幂”顾名思义,是指底数相同的幂.如32与35,(-5)2与(-5)6,(a+b)4与(a+b)3等表示的都是同底数的幂.(2)幂的运算性质1同底数幂相乘,底数不变,指数相加.用字母可以表示为:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).(3)性质的推广运用当三个或三个以上的同底数幂相乘时,也具有这一性质,如:a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p是正整数).(4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时,应注意以下几点:①幂的底数a可以是任意的有理数,也可以是单项式或多项式;底数是和、差或其他形式的幂相乘,应把这些和或差看作一个“整体”.②底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式,若底数不同,则不能使用;注意:-a n 与(-a)n不是同底数的幂,不能直接用性质.③不要忽视指数是1的因数或因式.【例1-1】(1)计算x3·x2的结果是______;(2)a4·(-a3)·(-a)3=__________.解析:(1)题中的底数都是x,是两个同底数幂相乘的运算式子,只需运用同底数幂相乘的性质进行运算,即x3·x2=x3+2=x5;(2)应先把底数分别是a,-a的幂化成同底数的幂,才能应用同底数幂的乘法性质,原式=a4·(-a3)·(-a3)=a4·a3·a3=a4+3+3=a10.答案:(1)x5(2)a10正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论.例如同底数幂的乘法,条件是底数相同,且运算是乘法运算,结论是底数不变,指数相加.【例1-2】计算:(1)(x+y)2·(x+y)3;(2)(a-2b)2·(2b-a)3.分析:(1)把(x+y)看作底数,可根据同底数幂的乘法性质来解;(2)题中(a-2b)2可转化为(2b-a)2,或者把(2b-a)3转化为-(a-2b)3,就是两个同底数的幂相乘了.解:(1)原式=(x+y)2+3=(x+y)5;(2)方法一:原式=(2b -a )2·(2b -a )3=(2b -a )5;方法二:原式=(a -2b )2·[-(a -2b )3]=-(a -2b )5.本题应用了整体的数学思想,把(x +y )和(a -2b )看作一个整体,(2)题中的两种解法所得的结果实质是相等的,因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数. 2.幂的乘方(1)幂的乘方的意义:幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如(a 5)3是指三个a 5相乘,读作“a 的五次幂的三次方”,即有(a 5)3=a 5·a 5·a 5=a 5+5+5=a 5×3;(a m )n 表示n 个a m 相乘,读作“a 的m 次幂的n 次方”,即有(a m )n =m m m n a a a ⋅⋅⋅L 1442443个=m m m n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L L 142431424314243144444424444443个个个个=a mn(m ,n 都是正整数) (2)幂的运算性质2幂的乘方,底数不变,指数相乘.用字母可以表示为:(a m )n =a mn(m ,n 都是正整数).这个性质的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算,即底数不变,指数相乘. (3)性质的推广运用幂的乘方性质可推广为: [(a m )n ]p =a mnp(m ,n ,p 均为正整数).(4)注意(a m )n 与am n的区别 (a m )n 表示n 个a m 相乘,而am n 表示m n 个a 相乘,例如:(52)3=52×3=56,523=58.因此,(a m )n ≠am n .【例2】(1)计算(x 3)2的结果是( ).A .x 5B .x 6C .x 8D .x 9(2)计算3(a 3)3+2(a 4)2·a =__________.解析:(1)根据性质,底数不变,指数相乘,结果应选B ;(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算,再合并同类项得到结果.3(a 3)3+2(a 4)2·a =3a 3×3+2a 4×2·a =3a 9+2a 8·a =3a 9+2a 9=5a 9.答案:(1)B (2)5a 9防止“指数相乘”变为“指数相加”,同时防止“指数相乘”变为“指数乘方”.如(a 4)2=a 4+2=a 6与(a 2)3=a 23=a 8都是错误的.3.积的乘方(1)积的乘方的意义:积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如(2ab )3,(ab )n等.(2ab )3=(2ab )·(2ab )·(2ab )(乘方意义)=(2×2×2)(a ·a ·a )(b ·b ·b )(乘法交换律、结合律) =23a 3b 3.(ab )n =n ab ab ab ()()()L 1442443个=n a a a (⋅⋅⋅)L 14243个n b b b (⋅⋅⋅⋅)L 14243个=a n b n(n 为正整数).(2)幂的运算性质3积的乘方等于各因式乘方的积.也就是说,先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的结果相乘.用字母可以表示为:(ab )n =a n b n(n 是正整数). (3)性质的推广运用三个或三个以上的乘方也具有这一性质,如(abc )n =a n b n c n(n 是正整数).【例3】计算:(1)(-2x )3;(2)(-xy )2;(3)(xy 2)3·(-x 2y )2;(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫-12ab 2c 34.分析:(1)要注意-2x 含有-2,x 两个因数;(2)-xy 含有三个因数:-1,x ,y ;(3)把xy 2看作x 与y 2的积,把-x 2y 看作-1,x 2,y 的积;(4)-12ab 2c 3含有四个因数-12,a ,b 2,c 3,先运用积的乘方性质计算,再运用幂的乘方性质计算.解:(1)(-2x )3=(-2)3·x 3=-8x 3;(2)(-xy )2=(-1)2·x 2·y 2=x 2y 2;(3)(xy 2)3·(-x 2y )2=x 3(y 2)3·(-1)2·(x 2)2y 2=x 3y 6·x 4y 2=x 7y 8;(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫-12ab 2c 34=⎝ ⎛⎭⎪⎫-124a 4(b 2)4(c 3)4=116a 4b 8c 12.(1)在计算时,把x 2与y 2分别看成一个数,便于运用积的乘方的运算性质进行计算,这种把某个式子看成一个数或字母的方法的实质是换元法,它可以把复杂问题简单化,它是数学的常用方法.(2)此类题考查积的乘方运算,计算时应特别注意底数含有的因式,每个因式都分别乘方,不要漏掉,尤其要注意系数及系数的符号,对系数是-1的不可忽略.负数的奇次方是一个负数,负数的偶次方是一个正数.4.同底数幂的除法 (1)幂的运算性质4同底数幂相除,底数不变,指数相减.用字母可以表示为:a m ÷a n =a m -n(a ≠0,m ,n 都是正整数,且m >n ).这个性质成立的条件是:同底数幂相除,结论是:底数不变,指数相减.和同底数幂的乘法类似,被除式和除式都是幂的形式且底数一定要相同,商也是一个幂,其底数与被除式和除式的底数相同,商中幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差.因为零不能作除数,所以底数a ≠0.(2)性质的推广运用三个或三个以上的同底数幂连续相除时,该性质仍然成立,例如a m ÷a n ÷a p =a m -n -p(a ≠0,m ,n ,p 为正整数,m >n +p ).【例4】计算:(1)(-a )6÷(-a )3;(2)(a +1)4÷(a +1)2;(3)(-x )7÷(-x 3)÷(-x )2. 分析:利用同底数幂的除法性质进行运算时关键要找准底数和指数.(1)中的底数是-a ,(2)中的底数是(a +1),(3)中的底数可以是-x ,也可以是x .解:(1)(-a )6÷(-a )3=(-a )6-3=(-a )3=-a 3;(2)(a +1)4÷(a +1)2=(a +1)4-2=(a +1)2; (3)方法1:(-x )7÷(-x 3)÷(-x )2=(-x )7÷(-x )3÷(-x )2=(-x )7-3-2=(-x )2=x 2. 方法2:(-x )7÷(-x 3)÷(-x )2=(-x 7)÷(-x 3)÷x 2=x 7-3-2=x 2.运用同底数幂除法性质的关键是看底数是否相同,若不相同则不能运用该性质,指数相减是指被除式的指数减去除式的指数;幂的前三个运算性质中字母a ,b 可以表示任何实数,也可以表示单项式和多项式;第四个性质即同底数幂的除法性质中,字母a 只表示不为零的实数,或表示其值不为零的单项式和多项式.注意指数是“1”的情况,如a 5÷a =a 5-1,而不是a 5-0.5.零指数幂与负整数指数幂(1)零指数幂:任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.用字母可以表示为:a 0=1(a ≠0).a 0=1的前提是a ≠0,如(x -2)0=1成立的条件是x ≠2.(2)负整数指数幂:任何一个不等于零的数的-p (p 是正整数)次幂,等于这个数的p 次幂的倒数.用字母可以表示为:a -p=1ap (a ≠0,p 是正整数).a -p =1ap 的条件是a ≠0,p 为正整数,而0-2等是无意义的.当a >0时,a p 的值一定为正;当a <0时,a -p 的值视p 的奇偶性而定,如(-2)-3=-18,(-3)-2=19.规定了零指数幂和负整数指数幂的意义后,正整数指数幂的运算性质,就可以推广到整数指数幂了,于是同底数幂除法的性质推广到整数指数幂,即a m ÷a n =a m -n(a ≠0,m ,n 都是整数).如a ÷a 2=a 1-2=a -1=1a;正整数指数幂的某些运算,在负整数指数幂中也能适用.如a -2·a -3=a-2-3=a -5等.【例5】计算:(1)1.6×10-4;(2)(-3)-3;(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-53-2;(4)(π-3.14)0;(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫130+⎝ ⎛⎭⎪⎫-13-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-1.分析:此题是负整数指数幂和零指数幂的计算,可根据a -p=1ap (p 是正整数,a ≠0)和a 0=1(a ≠0)计算.其中(1)题应先求出10-4的值,再运用乘法性质求出结果.解:(1)1.6×10-4=1.6×1104=1.6×0.000 1=0.000 16.(2)(-3)-3=1-33=-127. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-53-2=⎝ ⎛⎭⎪⎫-352=925. (4)因为π=3.141 592 6…, 所以π-3.14≠0.故(π-3.14)0=1.(5)原式=1+1⎝ ⎛⎭⎪⎫-132+1⎝ ⎛⎭⎪⎫-231=1+9-32=812.只要底数不为零,而指数是零,不管底数多么复杂,其结果都是1.当一个负整数指数幂的底数是分数时,它等于底数倒数的正整数次幂,即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b -p =⎝ ⎛⎭⎪⎫b a p .6.用科学记数法表示绝对值较小的数(1)绝对值小于1的数可记成±a ×10-n的形式,其中1≤a <10,n 是正整数,n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零),这种记数方法也是科学记数法.(2)把一个绝对值小于1的数用科学记数法表示分两步:①确定a,1≤a <10,它是将原数小数点向右移动后的结果;②确定n ,n 是正整数,它等于原数化为a 后小数点移动的位数.(3)利用科学记数法表示数,不仅简便,而且更便于比较数的大小,如:2.57×10-5显然大于2.57×10-8,前者是后者的103倍.【例6-1】2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延,我们应通过注意个人卫生加强防范.研究表明,甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.000 001 56 m ,用科学记数法表示这个数是( ).A .0.156×10-5B .0.156×105C.1.56×10-6 D.1.56×106解析:本题考查科学记数法,将一个数用科学记数法表示为±a×10-n(1≤a<10)的形式,其中a是正整数数位只有一位的数,所以A、B不正确,n是正整数,n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零),所以n=6,即0.000 001 56=1.56×10-6.故选C.答案:Cn的值也等于将原数写成科学记数法±a×10-n时,小数点移动的位数.如本题中将0.000 001 56写成科学记数法表示时,a为1.56,即将原数的小数点向右移动了6位,所以n的值是6.【例6-2】已知空气的单位体积质量为 1.24×10-3 g/cm3,1.24×10-3用小数表示为( ).A.0.000 124 B.0.012 4C.-0.001 24 D.0.001 24解析:因为a=1.24,n=3,因此原数是1前面有3个零(包括小数点前面的一个零),即1.24×10-3=0.001 24.答案:D本题可把1.24的小数点向左移动3位得到原数,也可利用负整数指数幂算出10-3的值,再与1.24相乘得到原数.7.幂的混合运算幂的四个运算性质是整式乘(除)法的基础,也是整式乘(除)法的主要依据.进行幂的运算,关键是熟练掌握幂的四个运算性质,深刻理解每个性质的意义,避免互相混淆.幂的混合运算顺序是先乘方,再乘除,最后再加减,有括号的先算括号里面的.因此,运算时,应先细心观察,合理制定运算顺序,先算什么,后算什么,做到心中有数.(1)同底数幂相乘与幂的乘方运算性质混淆,从而导致错误.如:①a3·a2=a6;②(a3)2=a5.解题时应首先分清是哪种运算:若是同底数幂相乘,应将指数相加;若是幂的乘方,应将指数相乘.正解:①a3·a2=a5;②(a3)2=a6.(2)同底数幂相乘与合并同类项混淆,从而导致错误.如:①a3·a3=2a3;②a3+a3=a6.①是同底数幂相乘,应底数不变,指数相加;②是合并同类项,应系数相加作系数,字母和字母的指数不变.正解:①a3·a3=a6;②a3+a3=2a3.【例7-1】下列运算正确的是( ).A.a4+a5=a9B.a3·a3·a3=3a3C.2a4·3a5=6a9D.(-a3)4=a7解析:对于A,两者不是同类项,不能合并;对于B,结果应为a9;对于C,结果是正确的;对于D,(-a3)4=a3×4=a12.故选C.答案:C【例7-2】计算:(-2x2y)3+8(x2)2·(-x)2·(-y)6÷y3.分析:按照运算顺序,先利用积的乘方化简,即(-2x2y)3=-8(x2)3·y3,8(x2)2·(-x)2·(-y)6=8x4·x2·y6,再利用幂的乘方及同底数幂的乘法化简乘方后的结果,最后合并同类项.解:(-2x2y)3+8(x2)2·(-x)2·(-y)6÷y3=-8(x2)3·y3+8x4·x2·y6÷y3=-8x6y3+8x6y3=0.8.幂的运算性质的逆用对于幂的运算性质的正向运用大家一般比较熟练,但有时有些问题需要逆用幂的运算性质,可以使问题化难为易、求解更加简单.(1)逆用同底数幂的乘法性质:a m +n =a m ·a n (m ,n 为正整数).如25=23×22=2×24.当遇到幂的指数是和的形式时,为了计算的需要,往往逆用同底数幂的乘法性质,将幂转化成几个同底数幂的乘法.但是一定要注意,转化后指数的和应等于原指数.(2)逆用幂的乘方性质:a mn =(a m )n =(a n )m (m ,n 均为正整数).逆用幂的乘方性质的方法是:幂的底数不变,将幂的指数分解成两个因数的乘积,再转化成幂的乘方的形式.如x 6=(x 2)3=(x 3)2,至于选择哪一个变形结果,要具体问题具体分析.(3)逆用积的乘方性质: a n b n =(ab )n (n 为正整数).当遇到指数相差不大,且指数比较大时,可以考虑逆用积的乘方性质解题.注意,必须是同指数的幂才能逆用性质,逆用时一定要注意:底数相乘,指数不变.(4)逆用同底数幂的除法性质: a m -n =a m ÷a n (a ≠0,m ,n 为整数).当遇到幂的指数是差的形式时,为了计算的需要,往往逆用同底数幂的除法性质,将幂转化成几个同底数幂的除法.但是一定要注意,转化后指数的差应等于原指数.【例8-1】(1)已知3a =2,3b =6,则33a -2b的值为__________;(2)若m p =15,m 2q =7,m r =-75,则m 3p +4q -2r的值为__________.解析:(1)因为3a =2,3b=6,所以33a -2b =33a ÷32b =(3a )3÷(3b )2=23÷62=29.(2)m 3p +4q -2r =(m p )3·(m 2q )2÷(m r )2=⎝ ⎛⎭⎪⎫153×72÷⎝ ⎛⎭⎪⎫-752=15.答案:(1)29 (2)15【例8-2】(1)计算:⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×24 024;(2)已知10x =2,10y =3,求103x +2y的值.分析:(1)本题的指数较大,按常规方法计算很难,观察式子特点发现:4 024是2 012的两倍,可逆用幂的乘方性质,把24 024化为(22)2 012,这样再与22 012逆用积的乘方性质,此时发现与⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011底数互为倒数,但指数不相同,因此逆用同底数幂的乘法及逆用积的乘方性质,简化计算;(2)可逆用幂的乘方,把103x +2y化为条件中的形式.解:(1)原式=⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×(22)2 012(逆用幂的乘方)=⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×(2×22)2 012(逆用积的乘方) =⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 012 =⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 011×8(逆用同底数幂的乘法) =⎝ ⎛⎭⎪⎫18×8 2 011×8(逆用积的乘方) =8.(2)因为103x =(10x )3=23=8,102y =(10y )2=32=9,所以103x +2y =103x ·102y=8×9=72. 9.利用幂的运算性质比较大小 在幂的运算中,经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题.对于一些幂的指数较小的问题,可以直接计算出幂进行比较;但当幂的指数较大时,若通过先计算出幂再比较大小,就会很繁琐甚至不可能.这时可利用幂的运算性质比较幂的大小.比较幂的大小,一般有以下几种方法:(1)指数比较法:利用乘方,将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数,然后根据指数的大小关系确定出幂的大小.(2)底数比较法:利用乘方,将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数,然后根据底数的大小关系确定出幂的大小.(3)作商比较法:当a >0,b >0时,利用“若a b >1,则a >b ;若a b =1,则a =b ;若a b<1,则a <b ”比较.有关幂的大小比较的技巧和方法除灵活运用幂的有关性质外,还应注意策略,如利用特殊值法、放缩法等.【例9】(1)已知a =8131,b =2741,c =961,则a ,b ,c 的大小关系是( ). A .a >b >c B .a >c >b C .a <b <c D .b >c >a(2)350,440,530的大小关系是( ).A .350<440<530B .530<350<440C .530<440<350D .440<530<350(3)已知P =999999,Q =119990,那么P ,Q 的大小关系是( ).A .P >QB .P =QC .P <QD .无法比较解析:(1)因为a =8131=(34)31=3124,b =2741=(33)41=3123,c =961=(32)61=3122,又124>123>122,所以3124>3123>3122,即a >b >c .故选A .(2)因为350=(35)10=24310,440=(44)10=25610,530=(53)10=12510,而125<243<256,所以12510<24310<25610,即530<350<440.故选B .(3)因为P Q =999999×990119=9×119999×990119=99×119999×990119=1,所以P =Q .故选B . 答案:(1)A (2)B (3)B10.幂的运算性质的实际应用利用幂的运算可以解决一些实际问题,所以要熟练掌握好幂的运算性质,能在实际问题中灵活地运用幂的运算性质求解问题.解决此类问题时,必须认真审题,根据题意列出相关的算式,进而利用幂的运算性质进行运算或化简,特别地,当计算的结果是比较大的数时,一般要写成科学记数法的形式.【例10】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103m/s ,则卫星运行3×102s 所走的路程约是多少?分析:要计算卫星运行3×102s 所走的路程,根据路程等于时间乘以速度可解决问题.本题实际是一道同底数幂的乘法运算问题.解:因为7.9×103×3×102=(7.9×3)×(103×102)=23.7×105=2.37×106,所以卫星运行3×102 s 所走的路程约为2.37×106m . 11.幂的运算中的规律探究题探究发现型题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论,需要经过推断、补充并加以总结.它不像传统的解答题或证明题,在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论;或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律.规律探索题是指在一定条件下,需要探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目,要解答此类问题,首先要仔细阅读,弄清题意,并从阅读过程中找出其规律,然后进一步利用规律进行计算.【例11】(1)观察下列各式:由22×52=4×25=100,(2×5)2=102=100,可得22×52=(2×5)2;由23×53=8×125=1 000,(2×5)3=103=1 000,可得23×53=(2×5)3;….请你再写出两个类似的式子,你从中发现了什么规律?(2)x2表示两个x相乘,(x2)3表示3个__________相乘,因此(x2)3=__________,由此类推得(x m)n=__________.利用你发现的规律计算:①(x3)15;②(x3)6;③[(2a-b)3]8.解:(1)如:34×54=(3×5)4,45×55=(4×5)5,等等.规律:a n·b n=(ab)n,即两数n次幂的积等于这两个数的积的n次幂.(2)x2x2×3=x6x mn①(x3)15=x45;②(x3)6=x18;③[(2a-b)3]8=(2a-b)24.。
幂的运算讲义(无答案)
幂的运算【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式.(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即(都是正整数).(3)逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即(都是正整数).要点二、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方,底数不变,指数相乘.要点诠释:(1)公式的推广: (,均为正整数)(2)逆用公式:,根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形,从而解决问题.要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.要点诠释:(1)公式的推广:(为正整数).(2)逆用公式:逆用公式适当的变形可简化运算过程,尤其是遇到底数互为倒数时,计算更简便.如:要点四、注意事项(1)底数可以是任意实数,也可以是单项式、多项式.(2)同底数幂的乘法时,只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1,计算时不要遗漏.(3)幂的乘方运算时,指数相乘,而同底数幂的乘法中是指数相加.(4)积的乘方运算时须注意,积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.(5)灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁.(6)带有负号的幂的运算,要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算:(1);(2);(3)【变式】计算:(1);(2)(为正整数);(3)(为正整数).2、已知,求的值.类型二、幂的乘方法则3、计算:(1);(2);(3).4、已知,求的值.【变式1】已知,.求的值.【变式2】已知,,求的值.类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确,指出错误并说明原因:(1);(2);(3).1、计算:(1);(2) .2、计算:(1);(2);(3);(4).3、已知,,求的值.【变式】已知,则=.4、计算:(1)(2)【变式】下列等式正确的个数是( ).①②③④⑤A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【巩固练习】一.选择题1.下列计算正确的是( ).A. B.C. D.2.的结果是( ).A.0B.C.D.3.下列算式计算正确的是( ).A. B.C. D.4.可以写成( ).A. B. C. D.5.下列计算中,错误的个数是( ).①②③④⑤A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6.的个位数字是( )A.2 B.4 C.6 D.8 二.填空题7.化简:(1)=_______;(2)=_______.8.直接写出结果:(1)=; (2)=;(3)若,则=______.9..10.若,用,表示可以表示为.11.已知,那么、、、从小到大的顺序是.12.若整数、、满足,则=,=,=.三.解答题13.若,求的值.14.已知,,求的值.15.已知,则 .。
第11讲 幂函数(讲义)
第11讲 幂函数(讲义)1.10.0 幂指对函数的算术背景让我们从乘方运算谈起,设变量r q p ,,满足等式r p q =(例如8,2,3===r q p ),则称“r 是p 的q 次方”. 若其中一个变量的值确定,则另外两个变量之间可能具有函数关系. 所谓“可能具有”,是指某些情况下一个变量的值不足以唯一确定另外一个值,例如当确定变量2=q 时,变量p 的值可以唯一确定变量r 的值,因此r 是p 的函数,即2p r =;但是反过来,变量r 的值不足以唯一确定p 的值. 在后一种情况下,我们可以通过引入某种“单值化”条件来保证函数关系成立,例如,引入算术平方根的概念(也就是要求变量p 只能取非负值),就可以使p 是r 的函数,即r p =.现在,我们设三个变量中已确定具体值的为a ,另外两个分别称为y x ,,则这样的表达式总共有6种形式:①y a x =,②x a y =,③y x a =,④x y a =,⑤a x y =,⑥a y x =. 我们认为其中三种是重要的(①②③),因此为它们赋予专门的名称并加以研究:(A )幂函数:R a x y a ∈=,①;(B )指数函数:R a a y x ∈=,;(C )对数函数:*∈=R a x a y ,②;你可能会好奇另外三种为什么会被认为是不重要的?简单的代数变形可以帮我们看清楚上述选择的理由:④a a xy x y 1=⇒=与③本质上是一样的,⑤y y a x a x 1=⇒=与②本质上是一样的,⑥x x a y a y 1=⇒=本质上是一样的.补充:有理指数的乘方运算初中阶段我们已经学习过正整数指数的乘方运算,并给出了最重要的运算规则:()*+∈∈=⋅N n m R a a a a n m n m ,,下面我们将看到,如果保留这条基本性质并假设它对于指数不是正整数的情况也成立,就可以顺利地导出指数为任意有理数情况的意义.(1)整数指数考虑到n n n a a a a ==⋅+00,因此应该定义10=a ,同时保证除法运算n n n n a a aa ==-0的有效性,约定()010≠=a a . 接着,由于10==⋅-a a a n n ,定义()01≠=-a a a nn . 例如,① 不过在中学阶段,我们实际上只研究有理指数即Q a ∈的情况. 在各种场合下,如果没有特别加以说明,我们总是对Q a ∈的情况进行具体研究(并不加论证地假设研究结果可以推广到R a ∈的情况). ② 关于每一种函数对a 的取值范围以及定义域的要求,我们会在后继内容中详细讨论.()441121121,4917172222===⎪⎭⎫ ⎝⎛==--. (2)分数指数 最容易理解的分数指数当属开方运算:()a a a a a =⇒==⋅1212221,实际上平方后得a 的数通常是两个符号相反的实数,我们约定只考虑其中非负的那个(即算术平方根),就使得1a 具有唯一的意义. 类似地,a N n 1,*∈∀具了唯一的意义. 而()m nn m a a 1=也随之具有了唯一确定的含义. 例如,()()23834834333122216,12525252883======⋅,,()91313332722-23-32-332-=====⋅.*(3)实数指数:以23为例. 我们对实数2的认识是:存在一族闭区间[][][][] 415.1414.142.1,41.15.1,4.12,1,,,,使得2始终位于这个闭区间内,且这族闭区间的“长度”(即闭区间两端点所对应实数的距离)可以小于任意给定的正数,因为它们每次比原先缩小10倍,因此一定能够变到足够小③. 在此基础上我们可以理解23是一个什么样的实数,即考虑闭区间族[]213,3,[]5.14.13,3,[] ,5.141.13,3,由于每个端点所代表的实数是唯一确定的,因此它们自身也是确定的,并且确实将23包含于其中;此外,由于指数之间的差距可以充分小,因此闭区间的长度也随之而变得充分小,由此可知它们最终必将唯一确定某一实数,即23④.利用上述思想我们可以知道,任意实数指数的乘方运算是有明确意义的,它可以唯一确定一个实数. 当然,大多数情况下,我们可以借助计算器来完成这一工作.1.11.1 幂函数的定义与基本性质我们称形如()R a x y a∈=的函数为幂函数. 但是在这个约定中,我们还没有说明函数的定义域,因此这个“定义”还不够完整. 在下面的讨论,我们将针对a 的不同取值情况来加以考察.例1、画图象找规律(1)在同一坐标系内画出函数32x y x y x y ===、、的图象;(2)将函数5.25.1x y x y ==、的图象添加到该坐标系中;③这里我们实际上使用了实数的“阿基米德公理”:b an N n R b a >∈∃∈∀*+,,,. ④ 我们所使用的想法可以概括为:一族长度趋近于0的闭区间套唯一确定了一个实数,它是实数理论中一个具有基础性地位的定理.(3)将函数11x y x y ==、的图象添加到该坐标系中;接着观察图象,看看能发现哪些规律?将你的发现归纳出来. 解答:右图中包含12132x y x y x y x y x y =====、、、、的图象;(1)定义域:图中所有函数的定义域都包含()∞+,0,或者说,包含()∞+,0是一个必要条件;(2)在区间()∞+,0上各函数的值域是()∞+,0;(3)在5.1x y =的图象时,需保证它始终位于函数x y =与2x y =的图象之间,类似地,5.2x y =始终介于2x y =与3x y =之间;(4)()0>=a x y a 在()∞+,0上是增函数;(5)()02>=x x y 与21x y =关于x y =轴对称,()03>=x x y 与31x y =关于x y =轴对称;猜测更一般地,在()+∞,0上,()0>=a x y a 与()01>=a x y a 关于x y =轴对称; 例2、画图象研究性质:32xy =. 分析:由()122x x y ==可知它是偶函数,考虑到()23132x x y ==,列表描点时不妨代入一些可以开立方的x 值。
《幂函数》 讲义
《幂函数》讲义一、幂函数的定义形如y =x^α(α 为常数)的函数,叫做幂函数。
其中x 是自变量,α 是常数。
需要注意的是,幂函数的系数必须为 1 ,例如 y = 2x^3 就不是幂函数,而 y = x^3 就是幂函数。
二、幂函数的图像1、当α > 0 时(1)当α 为整数时若α 为偶数,幂函数的图像在第一、二象限,关于 y 轴对称,在第一象限,函数单调递增;在第二象限,函数单调递减。
例如,y = x^2 的图像是一个开口向上的抛物线,顶点在原点,对称轴为 y 轴。
若α 为奇数,幂函数的图像在第一、三象限,关于原点对称,在第一象限,函数单调递增;在第三象限,函数单调递减。
比如,y =x^3 的图像是一个经过原点,穿过第一、三象限的曲线。
(2)当α 为分数时若α 的分子为奇数,分母为偶数,幂函数的图像在第一象限,函数单调递增。
若α 的分子为偶数,分母为奇数,幂函数的图像在第一象限,函数单调递增,且图像在 x 轴上方。
2、当α < 0 时幂函数的图像在第一、二象限,在第一象限,函数单调递减。
例如,y = x^(-1) ,也就是 y = 1/x ,其图像是双曲线,分布在第一、三象限。
三、幂函数的性质1、定义域当α 为整数时,定义域为 R;当α 为分数时,分母为偶数时,定义域为 0, +∞),分母为奇数时,定义域为 R。
2、值域与定义域和α 的取值有关。
3、奇偶性当α 为整数时,若α 为偶数,函数为偶函数;若α 为奇数,函数为奇函数。
当α 为分数时,需要根据具体情况判断奇偶性。
4、单调性当α > 0 时,函数在第一象限单调递增;当α < 0 时,函数在第一象限单调递减。
四、幂函数的应用1、在物理学中的应用例如在研究自由落体运动时,下落的距离与时间的关系可以用幂函数来表示。
2、在经济学中的应用如成本与产量的关系,可能符合幂函数的特征。
3、在数学建模中的应用通过建立幂函数模型来解决实际问题,如人口增长、资源消耗等。
七年级下册数学第8章《幂的运算》考点+易错讲义
第8章《幂的运算》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用幂的基本性质进行运算【考点解读】掌握幂的基本性质是解决问题的关键,要根据算式的特点确定运算的顺序,并选择幂的基本性质进行正确计算,不要混淆同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方. 例1 (2017·江西)下列运算正确的是( )A. 5210()a a -=B. 22236a a a =gC. 23a a a -+=-D. 623623a a a -÷=-分析: 5210()a a -=,故选项A 正确;23236a a a =g,故选项B 错误;2a a a -+=-,故选项C 错误;624623a a a -÷=-,故选项D 错误.答案:A【规律·技法】根据合并同类项、幂的乘方及同底数幂的乘法的定义解答. 【反馈练习】1.下列计算正确的是( )A. 224x x x +=B. 3332x x x -=C. 236x x x =g D. 236()x x =点拨:正确应用各类计算法则计算. 2.计算:201320111(3)()3-⨯-= .点拨:应用积的乘方的逆运算,把2013(3)-折分成20112(3)(3)-⨯-.考点2 运用零指数、负整数指数幂的意义进行运算【考点解读】明确零指数、负整数指数幂的规定,同时区分一些形式上相似而实质上不一样的算式,如03与03-,12-与12--等. 例2 计算0112()2-+的结果是 . 分析:0112()1232-+=+=.答案:3 【规律·技法】本题考查了0次幂和负整数指数幂的意义,解答本题的关键是熟记相关法则. 【反馈练习】3.计算018()2---的结果是( )A. 7-B. 7C. 172D. 9 点拨:018()8172---=-=. 4.计算2133-⨯的结果是( )A. 3B. 3-C. 2D. 2- 点拨: 1133-=. 考点3 用科学记数法表示数【考点解读】要善于总结用科学记数法表示数的一般性规律,如:40.000110-=,50.0000110-=,60.00000110-=,70.000000110-=等.例3 (2017·济宁)某桑蚕丝的直径为0.000 016 m ,将0.000 016用科学记数法表示是() A. 41.610-⨯ B. 51.610-⨯ C. 61.610-⨯ D. 61610-⨯ 分析:绝时值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为10na -⨯,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定,则50.000016 1.610-=⨯.答案:B【规律·技法】用科学记数法表示较小的数,一般形式为10na -⨯,其中110a ≤<,n 由原数左边起第一个非零数字前面0的个数所决定. 【反馈练习】5.生物学家发现了一种病毒,其长度为0.000 000 32 mm ,数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是( )A. 73.210⨯ B. 53.210-⨯ C. 73.210-⨯ D. 83.210-⨯ 点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.6.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料,其厚度约为0.000 073 m ,将0.000 073用科学记数法表示为 .点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.考点4 幂的相关运算【考点解读】熟练掌握有关幂的运算法则. 例4 下列运算正确的是( )A. 320a a -=B. 23a a a =gC. 432a a a ÷= D. 325()a a =分析:32a a a -=,故选项A 不正确;23a a a =g ,故选项B 正确;43a a a ÷=,故选项C 不正确;326()a a =,故选项D 不正确.答案:B【规律·技法】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方,这些运算很容易混淆,一定要记准不同的运算法则. 【反馈练习】7.下列计算结果正确的是( )A. 842a a a ÷=B. 236a a a =g C. 248()a a = D. 236(2)8a a -= 点拨mnm na a a-÷=;m n m na a a+⨯= ;()m n mna a=(m ,n 是整数).8.下列运算正确的是( )A. 5210()a a = B. 1644x x x ÷=C. 224235a a a +=D. 3332b b b =g点拨m n m na a a-÷=;m n m na a a+⨯= ;()m n mna a=(m ,n 是整数).易错题辨析易错点 1 运用同底数幂的乘法法则计算时,漏掉了指数是“1”的因式例1计算: 32m m m ∙g . 错误解答: 32325m m m mm +∙==g s.错因分析:本题错在忽视最后一个因式m 的指数是1,误认为它的指数是0. 正确解答:323216m m m mm ++∙==g .易错辨析:单个字母的指数是1而不是0,只不过指数为1时可以省略不写,但不能认为指数是0.易错点2 运算法则使用不当例2计算:(1) 43(3)xy -; (2) 22(3)a b . 错误解答:(1) 4312(3)3xy xy -=-. (2) 2242(3)6a b a b =.错因分析:积的乘方是将积中的每一个因式分别乘方,而(1)中只将最后一个因式乘方,忽略了3-,x 两个因式的乘方,而(2)中错误地将乘方的次数乘以系数了. 正确解答:(1) 43312(3)27xy x y -=-. (2) 2242(3)9a b a b =.易错辨析:运用积的乘方法则时,要注意不能遗漏因式.易错点3 错用合并同类项法则例3计算: 3223()()x x +.错误解答: 32236612()()x x x x x +=+=.错因分析:本题错在将合并同类项法则与同底数幂乘法法则相混淆,错解中既运用了合并同类项法则,又运用了同底数幂相乘的法则.本题实际上是合并同类项,利用合并同类项法则将系数相加作为和的系数,字母和字母指数不变. 正确解答:3223666()()2x x x x x +=+=. 易错辨析:正确区分合并同类项与同底数幕乘法.易错点4 错用同底数幂除法法则例4计算:62x x ÷. 错误解答: 62623x x xx ÷÷==.错因分析:上面的解法用错了法则,同底数幂相除,底数不变,指数相减,而不是相除. 正确解答: 62624x x xx -÷==.易错辨析:同底数幕除法法则为mnm na a a -÷= (其中m ,n 是整数),注意m n -不能写成m n ÷.易错点5 运算中符号出错例5 计算:62()()y y -÷-. 错误解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=-.错因分析: 44444()(1)(1)y y y y -=-=-=g g . 正确解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=.易错辨析:当n 为奇数时,()nna a -=-;当n 为偶数时,()nna a -=.反馈练习1.给出下列算式:①43272()()a a c a c --=-g ;②326()a a -=-;③3342()a a a -÷=;④633()()a a a -÷-=-.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 点拨:注意运算的顺序,正确运用法则运算.2.若20.3a =-,23b -=-,21()3c -=-,01()3d =-,则( )A. a b c d <<<B. b a d c <<<C. a d c b <<<D. c a d b <<<点拨:分别计算出,,,a b c d 的值,比较即可.3.给出下列各式:①523[()]a a --g;②43()a a -g ;③2332()()a a -g ;④43[()]a --.其中计算结果为12a -的有( )A.①和③B.①和②C.②和③D.③和④点拨:注意“偶次方”和“奇次方”的符号处理. 4.计算: 23()()p p --=g ;231()2a b -= . 点拨:正确运用法则计算,最后结果化为最简形式.5.计算: 2018201952()()25-⨯-= . 点拨:把20192()5-分解为201822()()55--g 即可。
《幂的乘方与积的乘方》 讲义
《幂的乘方与积的乘方》讲义一、幂的乘方在数学中,幂的乘方是一个重要的运算规则。
首先,我们来了解一下什么是幂的乘方。
假设我们有一个幂 a^m,其中 a 是底数,m 是指数。
现在要对这个幂进行乘方运算,也就是将它的指数再次乘以一个整数 n,得到(a^m)^n。
那么幂的乘方的运算规则是什么呢?很简单,就是底数不变,指数相乘。
即:(a^m)^n = a^(m×n)为了更好地理解这个规则,我们来看几个例子。
例 1:计算(2^3)^2根据幂的乘方法则,底数 2 不变,指数 3×2 = 6,所以(2^3)^2 = 2^6 = 64例 2:计算(x^2)^5底数 x 不变,指数 2×5 = 10,所以(x^2)^5 = x^10接下来,我们思考一下为什么幂的乘方会有这样的运算规则。
我们可以通过实际的计算来验证。
比如,(2^3)^2 = 2^3 × 2^3 =2^(3 + 3) = 2^6,这就符合了我们的规则。
再深入一点,从指数的意义来理解。
指数表示的是相同因数的个数,当一个幂再次进行乘方时,实际上就是相同因数的个数再次乘以一个倍数,所以指数就要相乘。
在解决实际问题中,幂的乘方运算规则能给我们带来很大的便利。
比如,在计算一些较大数的幂时,如果能合理运用幂的乘方规则,就可以将复杂的计算简化。
二、积的乘方说完了幂的乘方,我们再来看看积的乘方。
如果我们有几个因数相乘的形式,比如(ab)^n,这就是积的乘方。
积的乘方的运算规则是:先把积中的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘。
即:(ab)^n = a^n × b^n同样,我们通过例子来加深理解。
例 1:计算(2×3)^2先分别计算 2^2 = 4,3^2 = 9,然后相乘 4×9 = 36,所以(2×3)^2 = 36例 2:计算(2x)^32^3 = 8,x^3 = x^3,所以(2x)^3 = 8x^3为什么会有这样的规则呢?我们还是通过实际的计算来看看。
七年级下册幂的运算讲义
七年级下册数学讲义课 题:幂的运算教学目标:1、同底数幂的乘法及其运用;2、幂的乘方及其运用;3、积得乘方及其运用。
教学过程:一、知识梳理(一) 同底数幂的乘法1、文字语言叙述:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
2、表达式: n m n m a a a +=⋅(m ,n 都是正整数)3、注意:(1)对于三个(或三个以上)同底数幂相乘,也具有底数不变,指数相加的性质。
(2)同底数幂的乘法运算中的“同底数”,不仅可以是数,也可 以是代数式。
(3)要注意分清底数和指数。
(二)幂的乘方1.、文字语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘2、表达式: ()mn nm a a =(m ,n 都是正整数)3.、注意:(1)()p n m mnp a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(m ,n ,p 都是正整数)仍成立。
(2)幂的乘法中的底数“a ” 可以是数,也可以是代数式(3)要注意区分幂的乘法运算法则和同底数幂的乘法法则。
(三)积得乘方1、文字语言叙述:积的乘方,等于每个因式分别乘方2、 表达式: ()n n nb a ab =(n 都是正整数) 3、 注意:(1)三个(或三个以上)的积的乘方,也具有这一特性,即()n n n n abc a b c =(n 都是正整数)。
(2)这里的“a ”,“b ” 可以是数,也可以是代数式(3)应抓住“每一个因数乘方”这一要点。
二、例题分析题型一:比较幂的大小1、化幂的底数为相同后,通过比较指数的大小来确定幂的大小【例题1—1】314161a=b=27c=9a b c 若81,,,则比较、、的大小关系是2、化幂的知识为相同后,通过比较底数大大小来确定幂的大小【例题1—2】444333222a=b=3c=5a b c 已知1,,,则比较、、的大小关系是3、将幂乘方后,通过比较乘方所得数的大小来确定幂的大小【例题1—3】35a =3b =4a b 已知,,则比较、的大小关系是4、利用中间量传递来确定幂的大小【例题1—4】16131533比较和的大小5.计算()()()()()541053423223a a a a a a a ---⋅+--⋅-⋅- 题型二、法则的逆用1、 逆用同底数幂的乘法法则【例题2—1】m m+n 5=4,535n =已知,求的值。
七年级数学幂的运算
七年级数学幂的运算一、幂的定义。
1. 一般地,a^n表示n个a相乘,其中a叫做底数,n叫做指数,a^n叫做幂。
例如2^3 = 2×2×2 = 8,这里2是底数,3是指数,8是幂。
二、同底数幂的乘法。
1. 法则。
- 同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即a^m×a^n=a^m + n(m,n都是正整数)。
- 例如:2^3×2^4 = 2^3+4=2^7 = 128。
2. 推导。
- 根据幂的定义,a^m表示m个a相乘,a^n表示n个a相乘,那么a^m×a^n 就是(m + n)个a相乘,所以a^m×a^n=a^m + n。
三、幂的乘方。
1. 法则。
- 幂的乘方,底数不变,指数相乘。
即(a^m)^n=a^mn(m,n都是正整数)。
- 例如:(2^3)^4=2^3×4=2^12。
2. 推导。
- 根据幂的定义,(a^m)^n表示n个a^m相乘,a^m = a×a×·s×a(m个a),那么(a^m)^n=a^m×a^m×·s×a^m(n个a^m),所以(a^m)^n=a^mn。
四、积的乘方。
1. 法则。
- 积的乘方等于乘方的积。
即(ab)^n=a^n b^n(n是正整数)。
- 例如:(2×3)^2 = 2^2×3^2=4×9 = 36。
2. 推导。
- 根据幂的定义,(ab)^n=(ab)×(ab)×·s×(ab)(n个ab),利用乘法交换律和结合律可得(ab)^n=(a×a×·s×a)×(b×b×·s×b)=a^n b^n。
五、同底数幂的除法。
1. 法则。
- 同底数幂相除,底数不变,指数相减。
即a^m÷a^n=a^m - n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n)。
《幂的运算》复习课课件讲课
幂的乘方
总结词
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
详细描述
当一个幂再次被取幂时,可以将它们的指数相乘,底数保持不变。例如,$(a^m)^n = a^{m times n}$。
积的乘方
总结词
积的乘方等于各因式乘方的积。
详细描述
当几个项的乘积被取幂时,可以将每个项分别取幂后再相乘。例如,$(ab)^n = a^n times b^n$。
《幂的运算》复习课课件讲课
汇报人: 202X-12-28
目录
• 幂的定义与性质 • 幂的运算规则 • 幂运算的应用 • 幂运算的注意事项 • 幂运算的练习题与解析
01
幂的定义与性质
Chapter
幂的定义
总结词
幂是乘方运算的结果,表示一个 数连续与一个相同的数相乘的次 数。
详细描述
幂运算是一种数学运算,表示一 个数连续与一个相同的数相乘的 次数。例如,2的3次幂表示2乘 以自己2次,即2×2×2=8。
幂的性质
总结词
幂的性质包括同底数幂相乘、同底数 幂相除、幂的乘方和积的乘方等。
详细描述
同底数幂相乘时,指数相加;同底数 幂相除时,指数相减;幂的乘方时, 底数不变,指数相乘;积的乘方时, 将每个因式分别乘方,然后相乘。
幂的性质的推导过程
总结词
通过实例和证明,理解幂的性质的推导过程。
详细描述
通过具体的实例和证明,深入理解幂的性质的推导过程。例如,对于同底数幂 相乘的性质,可以设两个同底数幂为a^m和a^n,则它们的乘积为a^(m+n), 从而证明了同底数幂相乘时,指数相加的性质。
03
幂运算的应用
Chapter
02
幂的运算规则
幂的运算—讲义-副本
【知识要点】一,同底数幂的乘法1 .同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
IP a m • a n = a m +n (m, n 都是正整数).注意:①三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质.如: a m - a n - a p = a m +n +p (m ,n , p 都是正整数).②此性质可以逆用: a m +n = a m , a n说明:在幂的运算中,经常会用到以下的一些变形:二.幂、积、商的乘方1 .幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
即(a m )n = a mn (m, n 都是正整 数).注意:①在形式上,底数本身就是一个幂,②不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运 算,是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法, 是转化为指数的加法运算(底数不变).③ 此性质可以逆用:a mn = (a m )n = (a n )m .2 .积的乘方的法则:积的乘方,等于各因数乘方的积.即(ab)n = a n - b n (n 为正整数)。
同理:三个或三个以上的因数的积的乘方,也具备这一性质.如(abc)n = a n - b n - c n • 注意:此性质可逆用:a n - b n = (ab)n .3 .零指数、负指数: (1) a o = 1 (a=0)(2) a -p =— (a=0) a p 三.同底数幂的除法法则:同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减。
即a m + a n = a m -n (m, n 都是正整数). 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则(逆用)同底数幂的乘法法则:同底数帚相乘,底数不变,指数相加。
幂的运算(—a ) n =v a n (n 为偶数), [—a n (n 为奇(b —a ) n = (a — b ) n (n 为偶数),- —1.计算(―2 ) 2007+ ( —2 ) 2008 的结果是2.当a<0, n为正整数时,(—a) 5 •(—a) 2n的值为()A.正数B.负数C.非正数D.非负数3、已知n是大于1的自然数,则(一)n-1 •(—J+1等于.4.计算:(a—b) 2m-1 ・(b —a) 2m ・(a—b) 2m+i,其中 m 为正整数.5.已知 X m=3, X n=5,求X2m+n ;二.幂的乘方的意义及运算法则(逆用)幂的乘方的法则:帚的乘方,底数不变,指数相乘1.计算(-a2) 5+ (-a5) 2的结果是2.下列各式成立的是()A. (a3) x= (a x) 3B. (a n) 3=a n+3C. (a+b) 3=a2+b2D. (-a) m=-a m3.如果(9n) 2=312,则n的值是()A.4 B .3 C .2 D .14.已知X2+3x+5的值为7,那么3x2+9x-2的值是5.计算:(1) a2 - a4 + a3 - a3 + (a3)2 (2) 2• (a2)4 + a4 • (a2)2三. 积的乘方意义及运算法则(逆用)积的乘方运算法则:积的乘方,等于各因式乘方的积。
幂的运算-ppt课件
(2)系数应连同它的符号一起乘方,尤其是当系数是-1时,不
可忽略.
感悟新知
知3-练
例 5 计算:
(1)(x·y3)2; (2)(-3×102)3;
(3) -
2;
(4)(-a2b3)3.
解题秘方:运用积的乘方、幂的乘方的运算法则
进行计算.
感悟新知
知3-练
最后结果要符合科
学记数法的要求
(2)(-3×102)3=(-3)3×(102)3=-27×106=-2.7×107;
解:(1)(x·y3)2=x2·(y3)2=x2y6;
(3) -
12
a ;
2=
-
· () 2 =
2
2
=
·(a6)2 =
系数乘方时,要带前面的符号,特
a4n-a6n用a2n表示,再把a2n=3 整体代入求值.
解:a4n-a6n=(a2n)2-(a2n)3=32-33=9-27=-18.
感悟新知
知2-练
4-1.已知10m=3,10n=2,求下列各式的值:
(1)103m;
解:103m=(10m)3=33=27;
(2)102n;
102n=(10n)2=22=4;
感悟新知
知3-练
6-1. [中考·淄博] 计算(-2a3b)2-3a6b2的结果是( C )
A.-7a6b2
B. -5a6b2
C. a6b2
D. 7a6b2
感悟新知
知3-练
6-2. 计算:
(1)(-2anb3n)2+(a2b6)n;
第八章幂的运算PPT课件
①10m·10m- 1·100=
②3×27×9×3m=
102m+1 3m+6
-
10
③(m-n)4·(m-n) 5·(n-m)6=
(m-n)15
④ (x-2y)4·(2y-x) 5·(x- 2y)6=
(2y-x)15
-
11
练习四、选择 1.下列各式中,与x5m+1 相等的是( c )
(A)(x5)m+1 (B)(xm+1)5
(C) x(x5)m (D) xx5xm
-
12
2.x14不可以写成( c )
(A) x5(x3)3
(B) (-x)(-x2)(-x3)(-x8)
(C) (x7)7
(D) x3x4x5x2
-
13
3.计算(-32)5-(-35)2的结 果是( B )
(A)0 (B) -2×310
(C)2×310(D) -2×37
= (2)(-4)2005×(0.25)2005 =
-(8×0.125)2000× (-0.125) -1× (-0.125) = 0.125
= (-4×0.25)2005
= -1
-
23
练习十一
1、下列算式中,
①a3·a3=2a3;②10×109=1019;③
(xy2)3=xy6;④(-ab2)2= a2b4其中错c误的是
-
18
练习七、计算( 口答) (1) (ab) 2 = a 2 b 2
(2)(ab)3 = a 3 b 3
(3)(ab)4 -
= a4 b 4
19
练习八、 计算:
(1)(2b)3
=23b3 =8b3
(2)(2a)3 =22×(a3)2
幂的有关运算(讲义)
知识梳理一、同底数幂的乘法法则:a m·a n=a m+n(m、n都是正整数)。
二、幂的乘方的法则:(a m)n=a mn(m、n是正整数)三、积的乘方运算法则:(ab)n=a n b n(n是正整数)四、同底数幂的除法法则:a m÷a n=a m-n(m、n是正整数,m >n)五、零指数幂:a0=1(a≠0)负指数幂:1ppaa-⎛⎫= ⎪⎝⎭(a≠0,p为正整数)教学重、难点知识点1 同底数幂的乘法【典型例题】1.计算(-2)2007+(-2)2008的结果是()A.22015B.22007C.-2 D.-22008 2.当a<0,n为正整数时,(-a)5·(-a)2n的值为()A.正数B.负数C.非正数D.非负数3.计算:(a-b)2m-1·(b-a)2m·(a-b)2m+1,其中m为正整数.知识点2 逆用同底数幂的法则逆用法则为:a m+n = a m·a n(m、n都是正整数)【典型例题】(1)已知x m=3,x n=5,求x m+n.(2)变式:已知x m=3,x n=5,求x2m+n;知识点3 幂的乘方【典型例题】1.计算(-a 2)5+(-a 5)2的结果是( )A .0B .2a 10C .-2a 10D .2a 72.下列各式成立的是( )A .(a 3)x =(a x )3B .(a n )3=a n+3C .(a+b )3=a 3+b 3D .(-a )m =-a m3.如果(9n )2=312,则n 的值是( )A .4B .3C .2D .14.已知x 2+3x+5的值为7,那么3x 2+9x-2的值是( )A .0B .2C .4D .65.若2x+5y —3=0,求4x -1·32y 的值6. 已知a x =2,a y =3(x ,y 为正整数),求a3x +2y 的值.知识点4 积的乘方【典型例题】 1.化简(a 2m ·a n+1)2·(-2a 2)3所得的结果为____________________________。
七年级幂的运算培优讲义
幂的运算培优讲义 【知识精要】:一.幂的四种运算法则:a a a a a ab a b m n m n m n mn m m m ·,,·===+()()a a a m n m n ÷=-(a m n ≠0,、为正整数,m n >)二.零次幂及负整数次幂的运算: )0(10≠=a a ,p p aa 1=-(0≠a ,p 是正整数)。
三.科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的数记为a ×10n 的形式的记法。
(其中1≤|a|<10)【易错点剖析】:1.注意法则的拓展性对于含有三个或三个以上同底数幂相乘(除)、幂(积)的乘方等运算,法则仍然适用。
如: 234a a a a ⋅⋅⋅= 423()ab ⎡⎤=⎣⎦ 4()xyz -=2.注意法则的底数和指数的广泛性运算法则中的底数和指数,可取一个或几个具体的数;也可取单独一个字母或一个单项式或多项式。
如:()m n m n y -+= ,()()()x y x y x y m n n m+÷+÷+++32222= 3.注意法则的可逆性逆向应用运算法则,由结论推出条件,或将某些指数进行分解。
如:已知10m =4,10n =5,求103m +2n 的值.4.注意法则应用的灵活性在运用法则时,要仔细观察题目的特点,采取恰当、巧妙的解法,使解题过程简便。
如:125256255÷⨯÷n m=5. 注意符号使用的准确性如:判断下列等式是否成立:①(-x )2=-x 2, ②(-x 3)=-(-x )3, ③(x -y )2=(y -x )2,④(x -y )3=(y -x )3,⑤x -a -b =x -(a +b ), ⑥x +a -b =x -(b -a ).【拓展训练】:1.若2x =4y +1,27y =3x -1,求xy 的值。
教师寄语: . 人的一生没有一帆风顺的坦途。
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思路引导:①观察该式的特点可知本题需利用乘法的结合律和逆用积的乘方公式求解;② ,故知该式需逆用同底数幂的乘法和积的乘方公式求解。
解:①
= = =1×1=1;
② = = = =-8;
(3)① 已知 , ,求 的值。
解: = = ;
② 已知 ,试用a,b表示 的值。
思路引导: = ,已知条件是 的值,所以 ;
课后
作业
签
字
解:① = =2× ;
② = ;
(5) 同底数幂的乘法在科学计数法中的应用:
① 光的速度大约是 千米/秒,如果一束光线从地球上向火星发射,大约需要20分钟才能到达火星,求火星距离地球大约多少千米
② 09年全年生产总值比2008年增长%,达到19367亿元,19367亿用科学计数法表示为:
思路引导:① 根据“路程=速度×时间”可以求出火星与地球的大约距离。②科学计数法的一般形式是a×10 (1≤a<10);
综合发展题:1. ;思路引导:先由“两非负数和为0,则每个非负数均为0,”得到x,y的值,然后化简求值;
2. ;思路引导:先由“三个非负数和为0,则每个非负数均为0,”得到x,y,z的值,然后代入求值;
;思路引导:∵ ,∴ ,同理有 ,
∴ ,即 ,∴ xy=x+y,即 =1;
或12或16;思路引导:由已知条件可以列出方程组 ,∴
2.已知 ,求 的值(n为正整数);
3.已知 , ,求 的值;
4.无论a、b为何值时,都有 成立,其中x、y、m是正整数且m不大于8,求x+2y+m的值;
5.设 能被10整除,试说明: 也能被10整除;
学后反思
附: 题型练习答案
计算: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; ; 8.
9. ; ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ;
幂的乘方法则的推广:即 (m、n、p为正整数);
幂的乘方法则还可以逆用: (m、n为正整数);
巩固训练:
(1)计算:① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ ;
思路引导:运用幂的乘方法则进行运算时,一定要注意底数不变,指数相乘。
解:① = ; ② = ; ③ = =
④ = ; ⑤ = ;
点拨:注意分清底数,特别是有负号的时候。
解:① 。 ② 。
③ 。
方法总结:同底数幂相乘,先确定符号,负因数出现奇数个就取负号,出现偶数个就取正号,然后按照同底数幂的乘法法则进行计算。
(2)计算:① ; ② ; ③ ;
④ ;
思路引导:将a+b,x+2看成是一个整体,然后运用同底数幂的乘法法则进行计算;若底数为互为相反数的幂相乘时,可以利用幂确定符号的方法先转化为同底数幂再按法则计算。
思路引导:本题所给的幂比较复杂,直接计算比较困难,经过观察可发现其底数都可以化成 的形式,故逆用幂的乘方性质把底数都化成2,再比较它们的指数的大小即可。因为a= = = ,b= ,c= ,由乘方的意义,可知 ,即b>a>c,故应选C。
答案:C。
三、积的乘方法则: (n为正整数),即把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
解:① 。
② 。
③ 。
④ 。
方法总结:若底数为互为相反数的幂相乘时,在统一底数时,尽可能地改变偶次幂的底数,这样可以减少符号的变化。
(3)已知 ,且m比n大3,求mn的值。
思路引导:运用同底数幂的运算法则计算,然后由指数相等列出关于m,n的一个方程,与“m比n大3”列出的方程组成方程组可解得m,n的值,进而可求mn的值。
积的乘方的逆用: (n为正整数);
巩固训练:
(1)计算:① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ 。
思路引导:利用积的乘方法则计算,计算顺序为:先算积的乘方,再算幂的乘方,最后算同底数幂的乘法,有同类项的要先合并同类项。
解:;
⑤ = = ;
易错警示:运用积的乘方时,每个因式都要乘方,不能漏掉任何一个因式;系数连同他的符号一起乘方,系数是-1时不可忽略。
即 也能被13整除。
方法二:∵( - )= = = = ,
∴ 与 也能被13整除,又∵ 能被13整除,∴ 也能被13整除。
题型训练:
计算:1. = 2. = 3. =
4. = 5. = 6.
7. 8. 9.
10. 11.
12. 13.
14. 15.
16. 17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
又∵ m≤8,∴ 2y+2≤8,∴ y≤3; ∵y是正整数,∴y只能去1、2、3。则:
① 当y=1时,m=4,x+2y+m=8;② 当y=2时,m=6,x+2y+m=12;
③ 当y=3时,m=8,x+2y+m=16;
5.证明略。
课堂
检测
听课及知识掌握情况反馈
教学需: 加快□;保持□;放慢□;增加内容□
计算:① ; ② ; ③ ;④ ;
⑤ ; ⑥ ;⑦ ;
思路引导:按照从左到右的顺序进行计算,底数不相同要先化为同底数幂再计算;
解 ① = ; ② = ;
③ 原式= = ; ④ 原式= = ;
⑤ 原式= = ; ⑥ 原式= = = = ;
⑦ 原式= = = ;
方法总结:多个同底数幂相除要按照从左到右的顺序进行计算。
解: = = ;
在积的乘方运算比较复杂时,可以利用积的乘方法则展开,并把其转化为由已知幂表示的式子,然后采用整体带入的方法求其值。
四、同底数幂的除法法则: (a≠0,m,n为正整数,并且m>n);
同底数幂的除法法则逆用: (a≠0,m,n为正整数,并且m>n);
巩固训练:
(1)判断下列各式是否正确,错误的请改正:
解:∵ ,∴ ,∴1+m+n=14 .①
又∵m比n大3,∴m-n=3 .②
①②组成方程组为 ,解得 , ∴mn=8×5=40.
方法总结:解此类问题,首先要根据同底数幂的乘法法则构造方程或方程组,再通过解方程或方程组求出指数中的字母,通过转化和方程组呃综合运用来解决问题。
(4)计算:① ; ② ;
思路引导:先算同底数幂相乘,再合并同类项。
(2)计算:① ; ② ;
思路引导:把底数a-2b看成一个整体,然后进行计算;
解:① = = ;
② = = = = ;
(3)若 (a>0且a≠1,m,n是正整数),则m=n。利用这个结论解决以下两个问题:①如果 ,求x的值;如果 ,求x的值;
思路引导:首先分析题意,分析结论的使用条件,即只要有 (a>0且a≠1,m,n是正整数),则可知m=n,即指数相等,然后在解题中应用即可。
解:①×10 ×20×60=×10 (千米);答:火星距离地球大约×10 千米;
② 科学计数法的一般形式是a×10 (1≤a<10),对于大于1的数,其指数n等于改数的整数位数减1,所以19367亿元转换为科学计数法×10 元。
二、幂的乘方法则: (m、n为正整数),即,幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(3)如果 能被13整除,试说明: 也能被13整除。
思路引导:方法一:可以逆用同底数幂的乘法运算将 变形成 ,根据已知条件 能被13整除,可以说明 也能被13整除;方法二:如果 能被13整除,且 与 的差也能被13整除,那么 也能被13整除。
解:方法一: = ,
∵ 和 都能被13整除, ∴ 能被13整除,
同底数幂相乘时,底数可以是单项式,也可以是多项式,若底数是多项式,可以用字母表示为: ;
同底数幂的乘法法则还可以逆用: (m、n为正整数);
同底数幂相乘时,底数可以是单项式,也可以是多项式,再幂的运算中常用到下面两种变形:
① = ②
巩固训练:
(1)计算:① ; ② ; ③ 。
思路引导:将式子中不同的底数转化成相同的底数,然后再用同底数幂乘法的法则进行计算:
(2)① 解方程: ; ② 解不等式: < ;
解:① 原方程可化为 ,即 ;∴x-1=2,解得x=3;
② ∵ < ,∴ 2x-1> ,
∴ 2x-1>-3(1-x), ∴ 2x-1>3+3x, ∴ -x>-2, ∴ x<2。
方法总结:在含有幂的运算的等式(不等式)中,确定指数中的字母取值(范围)的方法:通过符号(等号)两边各自计算,使左右两边底数相同,然后由指数相等(不等)构造方程(不等式)来求解字母的取值范围。
25.
26.
能力提升题:1.已知 , ,求 的值;
2.已知 ,求 的值;
3.已知 , ,求 的值;
4.已知 , ,求 的值;
5.若 , ,求 的值;
6.已知 , , ,比较a、b、c三个数的大小;
7.若 ,求m、n的值;
8.解下列关于x的方程或不等式:
① ; ② ; ③
④ ;
综合发展题:1.已知 ,求代数式 的值;
① ; ② ;
③ ; ④ 。
解:① 不正确,应改为: ,法则中底数不变,指数相减,而不是指数相除;
② 不正确,应改为: , 与 底数不同,要先化为同底数,即 ,再计算;
③ 不正确,应改为 ,x-y与y-x互为相反数,先化同底数再计算;
④ 不正确,应改为 ,指数相减应为(m-1)-(m-2)=1;
方法总结:底数不同时不能直接与运用同底数幂的除法法则计算,一定要先化成相同底数的幂再运算。
解:① ∵ ,∴1+3x+4x=22,解得x=3,即x的值为3;
② ∵ ,∴6x=6,解得x=1,即x的值为1;
方法总结:综合运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则将问题转化为方程,运用方程确定字母的值是解决这类问题的常用方法。