证据理论基础(1)

多源测试信息融合 证据理论基础（1）
万江文
.
主要内容
•引言 •证据理论基础 •证据理论研究现状 •未来研究方向
2020/5/25
.
2
主要内容
•引言 •证据理论基础 •证据理论研究现状 •未来研究方向
2020/5/25
.
3
1 引言
▪主观贝叶斯理论的缺点：
(1)要求概率（各证据之间）都是独立的； (2)要求先验概率P(Oi)和条件概率P(Dj|Oi)； (3)要求统一的识别框架，不能实现不同层
{1,2,L,n}
(2-1)
其中θi为识别框架的一个元素或事件。
2020/5/25
.
10
2 证据理论基础
（1) 识别框架（续1）
▪集合Θ的选取问题——识别框架的选取
集合Θ的选取依赖于我们的认识水平和知识结构,包含我 们所知道的和想要知道的。当一个命题对应于该识别框架的 一个子集时，称该框架能够识别该命题，否则认为识别框架 是无效的。因此， Θ的选取应当足够的丰富，使我们所考虑 的任何特定的命题集都可以对应于Θ的某一集类R，（Θ,R ） 称为命题空间。当Θ中含有N个元素时，R中最多有2N个子集。 需要说明的是，集合Θ可以为有限集也可以为无限集。本课 程只讨论有限集。
2020/5/25
.
21
2 证据理论基础——信任度函数
定义2:
信任度函数：集合A是识别框架Θ的任一子集，A中全部 子集对应的基本置信度之和称为信任函数Bel(A)，即
Bel：2 Θ →[0，1]
Bel(A)M(B)
BA
其中，Bel(A)成为事件A的信任值，它表示证据对A为真的 信任程度；空集的信任值为0。
模糊理论是处理此问题的有力工具。 认识的不确定性：是由于人们认识水平的局限以及知识缺乏所造成
的。 随机性和模糊性是客观的不确定性，认识的不确定性是主观的不确
定性。
2020/5/25
.
5
1 引言 ▪ 概率的解释
证据理论出现以前，概率的解释主要有客观 解释，个人主义解释及必要性解释。
客观解释概率：认为概率描述了一个可以重
2020/5/25
.
22
2 证据理论基础——信任度函数
信任度函数表示对假设的信任程度的下限估 计。由信任度分配函数的定义容易得到：
Bel() M() 0
Bel() M(B) 1 B
如果对于Θ中的任意两个子集A1,A2，满足：
B e l ( A 1 U A 2 ) B e l ( A 1 ) B e l ( A 2 ) B e l ( A 1 I A 2 )
P l(A )m (B )1B el(A )
B A
Pl(A) 表示A为非假的信任程度，A的上限估计，且Bel(A) ≤ Pl(A) ；Bel(Ā) 表示对A为假的信任程度，即对A的怀疑程度。
2020/5/25
.
27
2 证据理论基础——信任区间
信任区间——定义4：
信任区间表示事件发生的下限估计到上限估计的范围， 即：[Bel(A)，Pl(A)]称为命题A的信任区间，Pl(A)-Bel(A) 描述了对A的不确定性，有时也称为不确定区间。
复出现事件的客观事实，用试验次数趋于无穷时， 该事件发生的频率的极限来刻划。
个人主义解释：认为概率反映了个人的某种
偏好，它根据某个人在赌博中或其他带有不确定 性结果的事件中所表现出来的行为来推算。
2020/5/25
.
6
1 引言
必要性解释：则认为概率是测量一个命题推出另一个命题
程度的量，这个量由两个命题之间的逻辑关系完全决定，与个 人的偏好无任何关系，又称为逻辑主义解释。
Shafer指出以上三种概率的解释都没有涉及概率推断的构造
特征，因此， Shafer提出了对概率的第四种解释——构造性解 释:
概率是指某人在证据的基础上构造出的他对某一命题为真 的信任程度，简称信度。
2020/5/25
.
7
主要内容
•引言 •证据理论基础 •证据理论研究现状 •未来研究方向
2020/5/25
2020/5/25
.
11
2 证据理论基础
（1) 识别框架（续2） 由识别框架中所有子集构成的一个有限集合
称为Θ的幂集合，记作
2 { , { 1 } , { 2 } , L , { 1 ,2 } , { 1 ,3 } , { 1 ,2 ,3 } L , } (2-2 )
其中φ表示空集。 识别框架的任一子集A都对应于一个命题， 一般可描述为“问题的答案在A中”。
2020/5/25
.
12
2 证据理论基础
•例1:
以掷骰子为例，要判断其可能所出现的点数，则识别 框架Θ={1,2,3,4,5,6}，而{1}则表示“掷出的点数为1”，则 {2,4,6}表示“掷出的点数为偶数”，{1,2,3,4,5}则表示 “掷出的点数不为6”，即“掷出的点数为1, 2, 3, 4, 5中 的某一个”。由此可见，幂集合中的每一个子集A都代 表一个命题。
2020/5/25
.
9
2 证据理论基础
（1) 识别框架
假设现有一个判决问题，对于该问题我们所能
认识到的所有可能答案的集合用Θ表示，且Θ中的所
有元素都满足两两互斥；任一时刻的问题答案只能
取Θ中的某一子集，答案可以是数值变量，也可以 是非数值变量，则称此互不相容命题的完备集合Θ 为识别框架，可表示为：
[0.5，0.5] [0.4，1] [0，0.7] [0.3，0.9]
意义 对命题A一无所知 命题A为假 命题A为真 对命题A的准确信任度为0.5 证据提供对命题A的部分支持度 证据对命题 的部分支持度 证据对命题A的信任区间为0.3-0.9
m(φ)=0，m({A1})=0.3，m({A2})=0，m({A3})=0.1 m({A1，A2})=0.2，m({A1，A3})=0.2， m({A2，A3})=0.1，m({A1，A2，A3})=0.1
2020/5/25
.
返20 例3
2 证据理论基础——基本置信度指派函数
当A ={A1}时，m(A)=0.3，它表示对命题“答案是大泄漏”的 精确信任度为0.3。
(1)B (1) (1){i} (1){i,j} L (1)A
BA
i
ij
0n1nn2L (1)nnn
(1(1))n 0
2020/5/25
(1)B 0 .
25
BA
2 证据理论基础——信任函数
▪引理2.2: 若A是有限集，且 BA ，则：
证明：
(1)C (1)A
BCA
0
AB 其它
(1) C
核就是识别框架的幂 集2Θ吗?
2020/5/25
.
18
2 证据理论基础——基本置信度指派函数
基本置信度指派函数的作用 把Θ的任一子集都映射到[0,1]上的一个数m(A)：
（1）当A由单个元素组成时，m(A)表示对相应命题A的精确 信任度；
（2）当 A 2 ，A≠Θ，且A由多个元素组成时，m(A)也是 相应命题A的精确信任程度，但却不知道这部分信任度该分给A中 的哪些元素；
.
8
4.2 证据理论基础
▪证据理论的起源
证 据 理 论 源 于 20 世 纪 60 年 代 美 国 哈 弗 大 学 的 数 学 家 A.P.Dempster 利用上、下概率来解决多值映射问题方面的研 究工作。后来他的学生G.Shafer对证据理论做了进一步的发 展和推广完善，引入了信任函数概念，形成了一套利用证据 和组合来处理不确定性推理问题的数学方法。它作为一种不 确定性推理方法，正受到越来越多的关注。称为（D-S）证 据理论和信任函数理论。
次的组合； (4)不能区分“不确定”和“不知道”。
2020/5/25
.
4
1 引言
▪不确定性分类 不确定性可以分为随机性、模糊性和认识不确定性三种。 随机性：在自然界中客观存在，可根据历史资料得到的统计数字来
描述，常用概率论和数理统计来解决这方面问题。 模糊性：通常指发生在概念上的模糊，如大、中、小界限的模糊等。
d) 证据合成。利用证据理论合成公式融合多个证据提供的信息，得 到各命题融合后的信任度。
e) 根据融合后的信任度进行决策，一般选择信任度最大的命题。
2020/5/25
.
14
2 证据理论基础——证据函数
▪ (2) 证据函数源自文库证据是整个证据理论的核心，证据函数又是
描述证据的有力工具。下面将详细介绍证据理论 中几个证据函数的基本概念及相关定理。
Bel({A1}) = m({A1}) =0.3
Bel({A1,A2})=m({A1})+m({A2})+m({A1,A2})=0.5.
2020/5/25
.
24
2 证据理论基础——信任度函数
引理1: 假设A是一个有限集合，则下式成
立
(1)B
BA
10
A 其它
•证明：令 A1,2,L,n 是一个有限的非空集 合，其中n为正整数，则有
(1) BD
BC A
B(BD) A
(1) BD
D( AB)
(1) B
(1) D
D( AB)
根据引理2.1，可证。
2020/5/25
.
26
2 证据理论基础——似真度函数
定义3：
似真度函数：设识别框架Θ ，幂集2 Θ→[0,1]映射，A为 识别框架内的任一子集，似真度函数Pl(A)定义为对A的非假 信任度，即对A似乎可能成立的不确定性度 A ，此时有：
mass函数。m(A) 为命题A的基本置信度指派值，表示证
据对A的信任程度，空集φ的基本信任分配值为0。
2020/5/25
.
16
2 证据理论基础——基本置信度指派函数 基本置信度指派函数相关的几个定义（1）
对于识别框架的任一子集A，只要满足 m(A)>0，则称A为证据的焦元。
证据的焦元和它的基本置信度指派构成的 二元体(A, m(A))称为证据体,证据是由若干证据 体组成。
当A ={A1，A2}时，m(A)=0.2，它表示对命题“答案或是大 泄漏，或是小泄漏”的精确信任度为0.2，但却不知道该把这0.2分 给{大泄漏}还是分给{小泄漏}。
当A ={A1，A2，A3}时，m(A)=0.1，它表示不知道该把它如 何分配；它不属于{A1}，就属于{A2}或{A3}，只是基于现有的知 识，还不知道该如何进行分配。
2020/5/25
.
13
2 证据理论基础
证据理论是建立在识别框架基础上的推理模型，其 基本思路如下：
a) 建立识别框架。利用集合论方法来研究命题；
b) 建立初始信任分配。根据证据提供的信息，分配证据对每一集合 （命题）A本身的支持程度，该支持程度不能再细分给A的真子集。
c) 根据因果关系，计算所有命题的信任度。一个命题的信任度等于 证据对它的所有前提的初始信任度之和。这是因为，若证据支持一个命 题，则他同样支持该命题的推论。
基本置信度指派函数； 信任度函数； 似真度函数等
2020/5/25
.
15
2 证据理论基础——基本置信度指派函数
定义1:设Θ为一识别框架，函数m是2Θ→[0,1]的映射，A为
2Θ任一子集，记作
，且满足：
A 2
(2-3)
m ( ) 0
m(A) 1
A 2
则称m是2Θ上的基本置信度分配函数，也称为质量函数或
区间的下限等于直接证据对命题的支持程度，即命
题的信任度；区间的上限等于潜在证据对命题的支持程
度，即命题的似真度。
0
Bel
Pl
1
支持区间
信任区间
拒绝区间
证据区间划分示意图
2020/5/25
.
28
2 证据理论基础——信任区间
•例4：
说说下列信任区间，对命题A表示的实际意 义：
[ Bel(A), Pl(A) ] [0，1] [0，0] [1，1]
2020/5/25
.
17
2 证据理论基础——基本置信度指派函数
基本置信度指派函数相关的几个定义（2）
焦元中所包含识别框架中的元素个数称为该焦元
的基，记作 |A|。
当子集A中只包含一个元素时，即 |A|=1，称为单
元素焦元。当子集A中包含i个元素时，即 |A|=i，称为
i元素焦元。
全体焦元的集合称为证据的核。
（3）当A=Θ时，m(A)是对Θ的各个子集进行信任分配后剩下 的部分，它表示不知道该如何对它进行分配。
2020/5/25
.
19
2 证据理论基础——基本置信度指派函数
例2： 泄漏诊断时，设识别框架Θ={A1，A2，A3}，A1 表示“发生大泄漏”，A2表示“发生小泄漏”， A3表示无泄漏，基本置信度指派分别为
则称为弱信任度函数。
2020/5/25
.
23
2 证据理论基础——信任度函数
例3：同例2，已知： m(φ)=0，m({A1})=0.3，m({A2})=0，m({A3})=0.1 m({A1，A2})=0.2，m({A1，A3})=0.2， m({A2，A3})=0.1，m({A1，A2，A3})=0.1 求.Bel({A1})和Bel({A1,A2})的信任度值. 解：根据题意，可得