现代控制报告之一超精密车床振动控制系统设计

现代控制理论基础

上机实验报告之一

亚微纳米超精密机床振动控制系统的状态空间法设计

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哈尔滨工业大学

一、 工程背景及物理描述

超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素。为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系统的固有频率一般在2Hz 左右。

这种被动隔振方法难以满足超精密加工对隔振系统的要求。为了解决这个问题，有必要研究被动隔振和主动隔振控制相结合的混合控制技术。其中，主动隔振控制系统采用状态空间法设计，这就是本次上机实验的工程背景。

上图表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。

上图表示一个单自由度振动系统，空气弹簧具有一般弹性支承的低通滤波特性，其主要作用是隔离较高频率的基础振动，并支承机床系统；主动隔振系统具有高通滤波特性，其主要作用是有效地隔离较低频率的基础振动。主、被动隔振系统相结合可有效地隔离整个频率范围内的振动。

床身质量的运动方程为：

p a 0ms

F F ++= （1） p F ——空气弹簧所产生的被动控制力；

a F ——作动器所产生的主动控制力。

假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：

p 0r r r e e {1[/()]}n F cy

k y p V V A y A =++-+ （2） r V ——标准压力下的空气弹簧体积；

0y s s =-——相对位移（被控制量）；

r p ——空气弹簧的参考压力；

r A ——参考压力下单一弹簧的面积；

e r 4A A =——参考压力下空气弹簧的总面积； n ——绝热系数。

电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性。

由于系统工作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：

a e a F k I =（3）

e k ——力-电流转换系数；

a I ——电枢电流。

其中，电枢电流a I 满足微分方程：

a a a

(,)()LI RI E I y u t ++= （4） L ——控制回路电枢电感系数；

R ——控制回路电枢电阻；

E ——控制回路反电动势；

u ——控制电压。

二、 实验目的

通过本次上机实验，使同学们熟练掌握：

1. 控制系统机理建模；

2. 时域性能指标与极点配置的关系；

3. 状态反馈控制律设计；

4. MATLAB 语言的应用。 三、

闭环系统的性能指标

闭环系统单位阶跃响应的超调量不大于5%，过渡过程时间不大于0.5秒（0.02∆=）。

四、 实际给定参数

已知一个机床的实际参数如下：

01200N/m k =，980N/A e k =，kg 120=m ，2.0=c ，Ω300=R ，

H 95.0=L 。

五、 开环系统状态空间数学模型的推导

选取状态变量2x y =，1x y ∙

=，3a x I =

()1p a 1

x s F F m

∙

==-

+

21

00e 3123x x Rk Lk Rc k Lc Rm x x x x u

Lm Lm Lm Lm

∙

∙

=++=---- 0a e

my cy k y I k ω+++=- 0a e my cy k y I k ω+++=-

代入，得：

00a e e

(,)()my cy k y my

cy k y L R E I y

u t k k ωω++++++--+= ()()00e a e (,)()Lmy Lc Rm y Lk Rc y Rk y L R k E I y k u t ωω+++++++-=- 将非线性项e a (,)L R k E I y ωω+- 视为干扰信号，略去不计，可得线性化模型：

()()00e ()Lmy Lc Rm y

Lk Rc y Rk y k u t +++++=- 将参数代入，可得本系统的状态空间表达式：

[]112200e 33123010

00010100x x x x u

Rk Lk Rc k Lc Rm x x Lm Lm Lm Lm x y x x ⎧⎡

⎤⎡⎤

⎪⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎪⎣⎦⎣

⎦----⎢⎥⎢⎥

⎨⎣⎦⎣⎦

⎪

⎡⎤⎪

⎢⎥

⎪=⎢⎥⎪

⎢⎥⎪⎣⎦⎩

六、 状态反馈控制律的设计

本系统可以配置成为二阶系统，将多余的极点配置到较远处，从而产生两个

闭环主导极点。

根据性能指标p 100%5%e σ=⨯≤，解得0.69ζ≥，046.36θ≤；

根据性能指标s 4

0.5n

t ζω≈

≤，解得8n ζω≥。为留出一定的余量，取0

45θ=，

10n ζω=。取11010s j =-+，21010s j =--。第三个极点取为380s =-。于是，期望闭环特征多项式为

()()()()()()1231010101080s s s s s s s j s j s ---=+++-+

()()22020080s s s =+++32100180016000s s s =+++