三星和多星模型问题

三星和多星模型问题1.三星模型：(1)如图1所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡，运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm2r2＋Gm2（2r）2＝ma向．两行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．(2)如图2所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供，即Gm2 L2×2×cos30°＝ma向，其中L＝2r cos30°. 三颗行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．2.四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．①另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．3.(1)记忆口诀：N星系统周期同，受力源自其他星；几何关系找半径，第二定律列方程．(2)思维导图【题型1】在宇宙中，单独存在的恒星占少数，更多的是双星、三星甚至多星系统。

如图所示为一个简化的直线三星系统模型：三个星球的质量均为m ，a 、b 两个星球绕处于二者中心的星球c 做半径为r 的匀速圆周运动。

已知引力常量为G ，忽略其他星体对他们的引力作用，则下列说法正确的是（ ）2GmC ．星球b 做匀速圆周运动的周期为Gmr 543 D ．若因某种原因中心星球c 的质量缓慢减小，则星球a 、b 的线速度均将缓慢增大 【题型2】宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，下列说法正确的是( )A.每颗星做圆周运动的角速度为GmL 3B.每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关C.若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D.若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍【题型3】进行科学研究有时需要大胆的想象，假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统(忽略其他星体对它们的引力作用)，这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上，并沿外接于正方形的圆形轨道运行，若此正方形边长变为原来的一半，要使此系统依然稳定存在，星体的角速度应变为原来的( ) A.1倍 B.2倍 C.12倍 D.22倍【题型4】(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M ，并设两种系统的运动周期相同，则 ( )A ．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B ．直线三星系统的运动周期T ＝4πRR5GMC ．三角形三星系统中星体间的距离L ＝3125RD ．三角形三星系统的线速度大小为125GMR 针对训练1.(多选)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M ，万有引力常量为G ，则( )A ．甲星所受合外力为5GM 24R 2B ．乙星所受合外力为5GM 24R 2C ．甲星和丙星的线速度相同D ．甲星和丙星的角速度相同2.(多选)如图所示，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动．已知引力常量为G ，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )A.三颗星的质量可能不相等B.某颗星的质量为4π2l 33GT 2C.它们的线速度大小均为23πl TD.它们两两之间的万有引力大小为16π4l 49GT 43.(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。

设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为L 的正方形的四个顶点上，其中L 远大于R 。

已知万有引力常量为G 。

忽略星体自转效应，关于四星系统，下列说法正确的是（ ） A.四颗星圆周运动的轨道半径均为L2B.四颗星圆周运动的线速度均为Gm L (2＋24) C.四颗星圆周运动的周期均为2π 2L 3(4＋2)GmD.四颗星表面的重力加速度均为G mR234.宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。

已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。

设每个星体的质量均为m 。

(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？54.由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m 、B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：(1)A 星体所受合力大小F A ； (2)B 星体所受合力大小F B ； (3)C 星体的轨道半径R C ； (4)三星体做圆周运动的周期T .三星和多星模型问题参考答案【题型1】【答案】C【解析】对星球a 有22224r m G r m G ma +=解得245r Gma =，故A 错误；对星球a 有222224r m G r m G r v m +=，解得r Gm v 45=，故B 错误；对星球b 有22222244rm G r m G r T m +=π，解得Gmr T 543π=，故C 正确；若因某种原因中心星球c 的质量缓慢减小，则星球a ，b做离心运动，线速度均将缓慢减小，故D 错误。

【题型2】【答案】 C【解析】 任意两星间的万有引力F ＝G m 2L 2，对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关系知r ＝33L ，F 合＝2F cos 30°＝3F ，由牛顿第二定律可得F 合＝mω2r ，联立可得ω＝3GmL 3，a n ＝ω2r ＝3Gm L 2，选项A 、B 错误；由周期公式可得T ＝2πω＝2πL 33Gm，L 和m 都变为原来的2倍，则周期T ′＝2T ，选项C 正确；由速度公式可得v ＝ωr ＝GmL，L 和m 都变为原来的2倍，则线速度v ′＝v ，大小不变，选项D 错误.【题型3】【答案】 D【解析】 设正方形边长为L ，每颗星的轨道半径为r ＝22L ，对其中一颗星受力分析，如图所示，由合力提供向心力：2×Gm 2L 2cos 45°＋Gm 22L 2＝mω2r 得：ω＝(2＋22)Gm L L，所以当边长变为原来的一半，星体的角速度变为原来的22倍，故D 项正确.【题型4】【答案】BC【解析】直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A 错误；三星系统中，对直线三星系统有G M 2R 2＋G M 2（2R ）2＝M 4π2T 2R ，解得T ＝4πRR5GM，选项B 正确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律可得2G M 2L 2cos 30°＝M 4π2T 2·L2cos 30°，联立解得L ＝3125R ，选项C 正确；三角形三星系统的线速度大小为v ＝2πrT ＝2πL2cos 30°T ，代入解得v ＝36·3125·5GMR，选项D 错误． 针对训练1.【答案】AD【解析】甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F 甲＝GM 2R 2＋GM 2（2R ）2＝5GM 24R 2，选项A 正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为零，选项B 错误；由于甲、丙位于同一轨道上，甲、丙的角速度相同，由v ＝ωR 可知，甲、丙两星的线速度大小相同，但方向相反，故选项C 错误，D 正确． 2.【答案】BD【解析】轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r ＝l2cos 30°＝33l .根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m ，则2G m 2l 2cos 30°＝m ·4π2T 2·33l ，解得m ＝4π2l 33GT 2，它们两两之间的万有引力F ＝G m 2l 2＝G⎝⎛⎭⎫4π2l 33GT 22l 2＝16π4l 49GT 4，A 错误，B 、D 正确；线速度大小为v ＝2πr T ＝2πT ·3l 3＝23πl 3T ，C 错误． 3.【答案】CD【解析】如图所示，四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均为r ＝22L 。

取任一顶点上的星体为研究对象，它受到相邻的两个星体与对角线上的星体的万有引力的合力为F 合＝2G m 2L 2＋G m 2(2L )2。

由F 合＝F 向＝m v 2r ＝m 4π2T 2·r ，可解得：v ＝Gm L (1＋24)，T ＝2π2L 3(4＋2)Gm。

故A 、B 项错误，C 项正确。

对于星体表面质量为m 0的物体，受到的重力等于万有引力，则有m 0g ＝G mm 0R 2，故g ＝G mR 2，D 项正确。

4.【答案】(1)v =54GmR T =4πR 5R Gm(2)3125R 【解析】(1)第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得()222222m m v G G m R R R += 解得星体运动的线速度 v =54GmR星体运动的周期T =2R vπ=4πR 5RGm 。

(2)设第二种形式下星体做圆周运动的半径为r ，则相邻两星体之间的距离s=3r ，相邻两星体之间的万有引力F=G()23mmr=223Gm r由星体做圆周运动可得3F=m 22T π⎛⎫⎪⎝⎭r 解得34315r R =相邻两星体之间的距离s=3r =3125R . 5.【答案】(1)23G m 2a 2 (2)7G m 2a 2 (3)74a (4)πa 3Gm【解析】(1)由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2＝F CA方向如图所示则合力大小为F A ＝F BA ·cos 30°＋F CA ·cos 30°＝23G m 2a 2(2)同上，B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为 F AB ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2F CB ＝G m C m B r 2＝G m 2a2方向如图所示，由余弦定理得合力为： F B ＝F 2AB ＋F 2CB－2F AB ·F CB ·cos 120°＝7G m 2a2 (3)由于m A ＝2m ，m B ＝m C ＝m通过分析可知，圆心O 在BC 的中垂线AD 的中点，则R C ＝⎝⎛⎭⎫34a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝74a (4)三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m (2πT)2R C ，可得T ＝πa 3Gm.。