双星模型、三星模型、四星模型

双星模型、三星模型、四星模型

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）

【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分

别为ω1、ω2。根据题意有

21ωω=

①

r r r =+21

②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

G

12

112

21r w m r

m m = ③

G

12

212

21r w m r

m m =

④

联立以上各式解得

2

121m m r

m r +=

⑤

根据解速度与周期的关系知

T

πωω221=

= ⑥

联立③⑤⑥式解得

3

22214r G

T m m π=+

【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两

星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.

(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m ′(用m 1、m 2表示).

(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式； (3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A 的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？

（G=6.67×10-11 N ·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）

解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，

设其为

。由牛顿运动定律，有12

1r m F A ω=，22

2r m F B ω=，B A F F =

设A 、B 间距离为，则21r r r += 由以上各式解得12

2

1r m m m r +=

由万有引力定律，有221r m

m G F A =，代入得2

1

2213

21)(r m m m m G F A += 令21

1r m m G

F A '=，通过比较得2

213

2

)

(m m m m +=' （2）由牛顿第二定律，有12

12

21r v m r m m G =

而可见星A 的轨道半径π

21vT

r = 将

代入上式解得G T

v m m m π2)

(32

213

2=+ （3）将s m m 61=代入上式得G T

v m m m s π2)6(32

23

2=+ 代入数据得s s m m m m 5.3)

26(2

3

2

=+ 设)0(2>=n nm m s ，将其代入上式得

s s s m m n

n

m m m 5.3)16(}

6(2232=+=+

s s s m m n

n

m m m 5.3)16(}

6(2232=+=+

可见，2

23

2

)6(m m m s +的值随的增大而增大，试令2=n ，得

s s s m m m n

n 4.3125.0)16

(2<=+

可见，若使以上等式成立，则必大于2，即暗星B 的质量s m 必大于s m 2，由此可得出结论：暗星B 有可能是黑洞。

【例题3】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为L ，质量分别为M 1、M 2，试计算（1）双星的轨道半径（2）双星运动的周期。

15.解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，即：

22

21212

21L M L M L

M M G

ωω==---------① ..L L L =+21-------② 由以上两式可得：L M M M L 2121+=

，L M M M L 2

12

2+=

又由1

2212214L T M L M M G π=.----------③ 得：)

(221M M G L

L T +=

【例题4】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 1和S 2

构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T,S 1到C 点的距离为r 1,S 1和S 2的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出S 2的质量为 （ D ）

A.2

12)(4GT r r r -2π

B.2

312π4GT

r

C.2

32π4GT

r

D. 2

122π4GT

r r 答案 ：D

解析 双星的运动周期是一样的,选S 1为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律得

22

1121π4T

r m =r m Gm 2,则m 2=2122π4GT r r .故正确选项D 正确.