微积分方法及应用

微积分方法及应用(部分）

1.求导公式

()0'=c ()1'-=n n nx x

()Ina a a x

x

=' ()=

'l o g x a

x I n a

1 ()x x cos 'sin = ()x x s i n 'c o s -=

()x x 2sec 'tan = ()x x 2c s c 'c o t -=

()x x x tan sec 'sec = ()x x x c o t c s c 'c s c -= ()2

11'arcsin x

x -= ()2

11'a r c c o

s x

x --=

()211'arctan x x +=

()2

11

'a r c t a n x x +-=

【应用】

求()x e x f =的导数.

解：由公式知，()x x e Ine e x f =='.

2.链法则与导数法则运算

链法则： 二次复合：()[]{}()[]()x g x g f x g f '''=

三次复合：()[]{}

{}''f x g f =ϕ()[]{}()[]()x x g x g ''ϕϕϕ 运算法则：

加法减法： ()()[]()()'''x v x u x v x u ±=± 乘法： ()()[]()()x v x u x v x u ''=()()x v x u '+

除法： ()()()()()()()[]2

'''x v x u x v x v x u x v x u -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 【应用】

求y=()[]

x

x e Inx x cos sin -+的导数

解：设()x e Inx x cos sin -+为u ，则原式为：xInu x e u =，对其求导，有

()单,'''xInx xInu e u x u Inu e xInu y ⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+==独求

()()()()x e Inx x x x e Inx x Inx x u u x x sin cos 11'cos cos '','cos cos ++⎪⎭⎫

⎝⎛+=-++=，再将

.'代入即可与u u

隐函数求导

隐函数是隐藏的函数，不易求出，其导数却较易求出.

在求导时，只需将y 看作含x 的式子，求导时写作y ’即可 例如:.0'.,2,时的导数值并求出的导数求隐函数满足已知=+=y y y e x y x y xy

()()'1'22'1'22y e xy y In y e xy In y xy y xy +=+⇒+=解：两边求导得

.2

2122''In x e y In y y xy y xy --=提至一边，有：将

1'',00-===y y x y ，求出再一起代入代入原式，得将

3.极限公式与用法

★★★注：以下x 可任意替换成含.,322

等的式子，如ax x x -

极限四则运算

()()()[]()()()()()[]()()()()()()()

.lim lim lim 3;lim lim lim 2;lim lim lim 10

00

x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x →→→→→→→→→==±=±∙∙

无穷小代换：

;sin :0x x x ≈→时x e x ≈-1.

()x

x In x x n x x x x x x x x n

≈+≈-≈-+≈≈≈1 (2)

cos 1.........11..........arcsin .........arctan .........tan 2 特殊求法：

()[]()

()()()[]

()

()()

x u x v x v x x x v x x e

x u x v x u x x x u y 0

lim 01lim ,01→=+∞→→→+=→，时，中，,

是其一种特殊情况，

e x x

x =⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞→11lim .可归为一类 洛必达法则：

如果函数：

()()()()()()()()()()()

.lim 3;020lim lim 10

00存在或为无穷大可导，且点可除外的某邻域内

在；

或满足如下三个条件：

与x g x f x g x x x g x f x g x f x x x

x x x →→→≠∞==

则有：()()()()

x g x f x g x f x x x x ''lim lim 00

→→=.

【应用】 ★求().

1

cos 1lim

的值--+→x x

x In x

上下求导，得：

上下仍满足法则，继续可知原式等同于解：运用洛必达法则，,sin 1

11lim 0x x x --+→

()()

.10,cos 11

lim 2

0代入得极限=-+-→x x x x

()

()故化为：

而公式中是原式看作解：将的值求,1,-1lim ,cos -1.

cos lim 10

cos 110

t t t x x t

x x

x +=→-→

()[]()111

1--⨯-=-+e t t

()()()[]()()可将原式化为：

由解求x x x g x f x g x f b a x bx

ax x x x x x x x ≈±=±≠-→→→→sin ,lim lim lim :.

sin sin lim

0 .lim lim sin lim sin lim

0000b a x bx

x ax x bx x ax x x x x -=-=-→→→→

4.极限求法汇总

1.直接代入法

★适用于简单的在某点连续的函数极限. 例1:求f(x)=x^3一x 在x=1处的极限

解:f(X)在点x=1处连续，故直接代入得，lim x →1f(x)=13

一1=0.

2.约式法(去零因子法）

★适用于有公因式的分式型。

例2:求f(X)=(x^2一1)/(x+1)在点x=-1处的极限.

解:f(x)在x=-1处无定义，不能直接代入，当x →-1时，x^2一1 →0，x+1→0，两式相除，无法直接得出，若将上下共约去(x+1)， 得(X 一1)，-1代入，得出极限-2.