高考数学函数与导数复习指导
高三数学复习方法整理归纳
高三数学复习方法整理归纳高三数学复习方法整理1第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二：平面向量和三角函数重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。
第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。
难度比较小。
第三：数列数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四：空间向量和立体几何在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五：概率和统计这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六：解析几何解析几何是比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，这一类题有以下五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。
考生应该掌握它的通法，第二类是动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时计算量十分大。
第七：压轴题考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难高三数学复习方法整理2数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
高考数学函数与导数的五点复习建议
高考数学函数与导数的五点复习建议函数导数与各大模块的关系都专门紧密，是整个高中数学的基础。
而在历年的高考试题中，函数差不多上重点考核的部分。
在高考试卷，一样三种题型均有显现。
所占的比例也比较大。
我们建议在复习中，应该注意如下几个方面：1.对函数概念的复习要“恰到好处”，求函数的解析式，定义域，零点，值域，一样显现在客观题中，属于中、低档题，因此复习时不宜拓展。
2.对差不多函数与函数性质的复习要全面而突出重点。
并注重横向联系。
历年来高考中考查对函数知识的应用。
既着眼于知识点的新颖巧妙组合，又关注对数学思想方法的考查。
试题多数围绕函数的概念，性质，图象等方面命题。
围绕二次函数，分段函数，指。
对数函数等几个差不多函数来进行，故在复习中，应该全面夯实基础，突出对上面所讲重点内容的复习。
3.另外，对函数性质单调性，奇偶性，周期性和图象对称性等内容的考查，多以组合形式，一题多角度考查，专门是利用导数解决函数的单调性与极值，最值问题，不等式问题，函数与方程的联系等重点考点。
考查力度还有可能加大。
而函数题的综合趋势几乎涉及所有模块，但重点依旧在与不等式综合。
在解答题中，对函数性质的考查要求有所提高，专门涉及到分类讨论，数形结合等高等数学的观点。
思维层次要求较高。
因此在复习中例题的选择及训练题的配备一定要放在学科整体高度上把握函数及其他模块知识的横向关系。
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。
高考数学一轮专项复习讲义-导数与函数的单调性(北师大版)
§3.2导数与函数的单调性课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上单调递增f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上单调递减f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f (x )的定义域；第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．(√)(2)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内单调递减．(√)(3)若函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则f (x )在定义域上一定单调递增．(×)(4)函数f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数．(√)2.(多选)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是()A ．在区间(－2,1)上f (x )单调递增B ．在区间(2,3)上f (x )单调递减C ．在区间(4,5)上f (x )单调递增D ．在区间(3,5)上f (x )单调递减答案BC解析在区间(－2,1)上，当x ∈－2，－32f ′(x )<0，当x ∈－32，1f ′(x )>0，故f (x )在区间－2，－32在区间－32，1A 错误；在区间(3,5)上，当x ∈(3,4)时，f ′(x )<0，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(3,4)上单调递减，在区间(4,5)上单调递增，C 正确，D 错误；在区间(2,3)上，f ′(x )<0，所以f (x )单调递减，B 正确．3．已知f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为________．答案(－∞，－1)，13，＋∞解析令f ′(x )＝3x 2＋2x －1>0，解得x >13或x <－1，所以f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为(－∞，－1)13，＋∞4．已知f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，5]解析f ′(x )＝4x －a ＋1x ＝4x 2－ax ＋1x，x ∈(1，＋∞)，故只需4x 2－ax ＋1≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，则a ≤4x ＋1x 在x ∈(1，＋∞)上恒成立，令y ＝4x ＋1x，因为y ′＝4－1x 2＝4x 2－1x 2>0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，所以y ＝4x ＋1x 在(1，＋∞)上单调递增，故4x ＋1x>5，所以a ≤5.题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f(x)＝x ln x－3x＋2的单调递减区间为________．答案(0，e2)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．(2)若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递增区间为________．答案(0,1)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1已知函数f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为()A.0，π2 B.π2，3π2C．(π，2π) D.3π2，2π答案B解析由题意f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f ′(x )＝x cos x ，当x f ′(x )>0，当x f ′(x )<0，故f (x )题型二含参数的函数的单调性例2已知函数g (x )＝(x －a －1)e x －(x －a )2，讨论函数g (x )的单调性．解g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝(x －a )e x －2(x －a )＝(x －a )(e x －2)，令g ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝ln 2，①若a >ln 2，则当x ∈(－∞，ln 2)∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，a )时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；②若a ＝ln 2，则g ′(x )≥0恒成立，∴g (x )在R 上单调递增；③若a <ln 2，则当x ∈(－∞，a )∪(ln 2，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(a ，ln 2)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．综上，当a >ln 2时，g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；当a ＝ln 2时，g (x )在R 上单调递增；当a <ln 2时，g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝2x －a(x ＋1)2.(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间．解(1)当a ＝0时，f (x )＝2x(x ＋1)2(x ≠－1)，则f (0)＝0，因为f ′(x )＝－2x ＋2(x ＋1)3，所以f ′(0)＝2.所以曲线y ＝f (x )在(0,0)处的切线方程为y ＝2x .(2)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．f ′(x )＝(－2x ＋2a ＋2)(x ＋1)(x ＋1)4＝－2(x －a －1)(x ＋1)3，令f ′(x )＝0，解得x ＝a ＋1.①当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，f ′(x )＝－2x －2(x ＋1)3＝－2(x ＋1)(x ＋1)3＝－2(x ＋1)2<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；②当a ＋1<－1，即a <－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，a ＋1)∪(－1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(a ＋1，－1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；③当a ＋1>－1，即a >－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，－1)∪(a ＋1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(－1，a ＋1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．综上所述，当a ＝－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；当a <－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；当a >－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)(2024·深圳模拟)若0<x 1<x 2<1，则()A ．21e e xx－>ln x 2＋1x 1＋1B ．21e e xx－<ln x 2＋1x 1＋1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <答案AC解析令f (x )＝e x －ln(x ＋1)且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x －1x ＋1>0，故f (x )在区间(0,1)上单调递增，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)<f (x 2)，即1e x－ln(x 1＋1)<2e x－ln(x 2＋1)，故21e e x x －>lnx 2＋1x 1＋1，所以A 正确，B 错误；令f (x )＝e xx 且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x (x －1)x 2<0，故f (x )在区间(0,1)上单调递减，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)>f (x 2)，即1212e e >x x x x ，故1221e e x x x x >，所以C 正确，D错误．常见组合函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．典例(多选)如果函数f (x )对定义域内的任意两实数x 1，x 2(x 1≠x 2)都有x 1f (x 1)－x 2f (x 2)x 1－x 2>0，则称函数y ＝f (x )为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是()A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x答案ACD解析依题意，函数g (x )＝xf (x )为定义域上的增函数．对于A ，g (x )＝x e x ，g ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，－1)上单调递减，故A 中函数不是“F 函数”；对于B ，g (x )＝x 3在R 上为增函数，故B 中函数为“F 函数”；对于C ，g (x )＝x ln x ，g ′(x )＝1＋ln x ，x >0，当x g ′(x )<0，∴g (x )故C 中函数不是“F 函数”；对于D ，g (x )＝x sin x ，g ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x －π2，g ′(x )<0，∴g (x )－π2，故D 中函数不是“F 函数”．(2)(2023·成都模拟)已知函数f (x )＝e x －e －x－2x ＋1，则不等式f (2x －3)＋f (x )>2的解集为________．答案(1，＋∞)解析令g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x ，定义域为R ，且g (－x )＝e －x －e x ＋2x ＝－g (x )，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 为奇函数，f (2x －3)＋f (x )>2变形为f (2x －3)－1>1－f (x )，即g (2x －3)>－g (x )＝g (－x )，g ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时，等号成立，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 在R 上单调递增，所以2x －3>－x ，解得x >1，所以所求不等式的解集为(1，＋∞)．命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)．(1)若f (x )在[1,4]上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解(1)因为f (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x 恒成立．设G (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1,4]，所以a ≥G (x )max ，而G (x )－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是－716，(0，＋∞)．(2)因为f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则f ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x 有解，又当x ∈[1,4]＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集．跟踪训练3(1)(2024·郑州模拟)函数f (x )的图象如图所示，设f (x )的导函数为f ′(x )，则f (x )·f ′(x )>0的解集为()A ．(1,6)B ．(1,4)C ．(－∞，1)∪(6，＋∞)D ．(1,4)∪(6，＋∞)答案D解析由图象可得，当x <4时，f ′(x )>0，当x >4时，f ′(x )<0.结合图象可得，当1<x <4时，f ′(x )>0，f (x )>0，即f (x )·f ′(x )>0；当x >6时，f ′(x )<0，f (x )<0，即f (x )·f ′(x )>0，所以f (x )·f ′(x )>0的解集为(1,4)∪(6，＋∞)．(2)已知函数f (x )＝(1－x )ln x ＋ax 在(1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是()A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案A解析依题意f ′(x )＝－ln x ＋1x＋a －1，故f ′(x )在(1，＋∞)上有零点，令g (x )＝－ln x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝0，得a ＝ln x －1x ＋1，令z (x )＝ln x －1x ＋1，则z ′(x )＝1x ＋1x2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )在(1，＋∞)上单调递增，又由z(1)＝0，得z(x)>0，故a＝z(x)>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．课时精练一、单项选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递减区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案A解析由已知得，f′(x)＝e x＋(x－3)e x＝(x－2)e x，当x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间是(2，＋∞)．2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析根据导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当0<x<2时，f′(x)>0，f(x)在(0,2)上单调递增；当x>2时，f′(x)<0，f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以只有D选项符合．3．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝13ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由题意知，f′(x)＝ax2＋2x＋1，若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，>0，＝4－4a≤0，解得a≥1，故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件．4．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝a e x－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为()A．e2B．e C．e－1D．e－2答案C解析依题可知，f′(x)＝a e x－1x≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以x e x≥1a在(1,2)上恒成立，设g(x)＝x e x，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)e x>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥1a，即a≥1e＝e－1，即a的最小值为e－1.5．(2024·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝e x＋sin x，则不等式f(2x－1)<eπ的解集是()答案D解析当x≥0时，f′(x)＝e x＋cos x，因为e x≥1，cos x∈[－1,1]，所以f′(x)＝e x＋cos x≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(－π)＝f(π)＝eπ，所以由f(2x－1)<eπ可得－π<2x－1<π，解得x6．(2023·信阳模拟)已知a＝1100，b＝99100e-，c＝ln101100，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案B解析设函数f(x)＝e x－x－1，x∈R，则f′(x)＝e x－1，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，即e x≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，∵e x≥1＋x，∴99100e->1－99100＝1100，∴b>a，由以上分析可知当x>0时，有e x－1≥x成立，当x＝1时取等号，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，∴ln 101100<101100－1＝1100，∴a>c，故b>a>c.二、多项选择题7．(2023·临汾模拟)若函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[m －1，m ＋1]上单调，则实数m 的值可以是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案BD解析f ′(x )＝x －9x ＝x 2－9x (x >0)，令f ′(x )>0，得x >3，令f ′(x )<0，得0<x <3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0,3)，因为函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调，－1>0，＋1≤3或m －1≥3，解得1<m ≤2或m ≥4.8．(2024·邯郸模拟)已知函数f (x )x ，且a ＝f b ＝f c ＝12(e )f ，则()A ．a >bB ．b >aC ．c >bD ．c >a答案ACD解析由f (x )x ，得f ′(x )x 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因为c ＝f 0<1e <23<45<1，所以f f f c >a >b .三、填空题9．函数f (x )＝e －x cos x (x ∈(0，π))的单调递增区间为________．答案解析f ′(x )＝－e －x cos x －e －x sin x ＝－e －x (cos x ＋sin x )＝－2e －x当x e －x >0，，则f ′(x )<0；当x e －x >0，，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，π)10．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为________．答案(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1，函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 有两个极值点，即f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1的图象与x 轴有两个交点，则判别式Δ＝4b 2－12>0，解得b >3或b <－ 3.所以实数b 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．11．(2024·上海模拟)已知定义在(－3,3)上的奇函数y ＝f (x )的导函数是f ′(x )，当x ≥0时，y ＝f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式f ′(x )x>0的解集为________．答案(－3，－1)∪(0,1)解析依题意f (x )是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f (x )在区间(－3，－1)，(1,3)上单调递减，f ′(x )<0；f (x )在区间(－1,1)上单调递增，f ′(x )>0.所以f ′(x )x>0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．12．已知函数f (x )＝3x a－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是________．答案解析f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在[1,2]上单调，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.因为f (x )在[1,2]上不单调，所以25<a <1.四、解答题13．(2024·毕节模拟)已知函数f (x )＝(a －x )ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (1)＝0，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x，∴f ′(1)＝a －1，∴曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝(a －1)(x －1)．(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x ＝－x ln x －x ＋a x，令g (x )＝－x ln x －x ＋a ，则g ′(x )＝－ln x －2，令g ′(x )＝0，则x ＝1e2，令g ′(x )>0，则0<x <1e2，令g ′(x )<0，则x >1e2，∴g (x )g (x )max ＝＝1e 2＋a ，∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，即1e2＋a ≤0，∴a ≤－1e2.14．(2023·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1.(1)若f (x )≤x ＋c ，求c 的取值范围；(2)设a >0，讨论函数g (x )＝f (x )－f (a )x －a的单调性．解(1)f (x )≤x ＋c 等价于ln x －x ≤c －1.令h (x )＝ln x －x ，x >0，则h ′(x )＝1x －1＝1－x x.当0<x <1时，h ′(x )>0，所以h (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减．故h (x )max ＝h (1)＝－1，所以c －1≥－1，即c ≥0，所以c 的取值范围是[0，＋∞)．(2)g (x )＝ln x ＋1－(ln a ＋1)x －a ＝ln x －ln a x －a(x >0且x ≠a )，因此g ′(x )＝x －a －x ln x ＋x ln a x (x －a )2，令m (x )＝x －a －x ln x ＋x ln a ，则m ′(x )＝ln a －ln x ，当x >a 时，ln x >ln a ，所以m ′(x )<0，m (x )在(a ，＋∞)上单调递减，当0<x <a 时，ln x <ln a ，所以m ′(x )>0，m (x )在(0，a )上单调递增，因此有m (x )<m (a )＝0，即g ′(x )<0在x >0且x ≠a 上恒成立，所以函数g (x )在区间(0，a )和(a ，＋∞)上单调递减．15．已知函数f (x )＝e x x －ax ，当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，e)B ．(－∞，e]－∞，e 2答案D解析因为当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，所以f (x 1)x 2<f (x 2)x 1，即x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，令g (x )＝xf (x )＝e x －ax 2，则g (x 1)<g (x 2)，又因为0<x 1<x 2，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )＝e x －2ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，分离参数得2a ≤e x x恒成立，令h (x )＝e x x(x >0)，则只需2a ≤h (x )min ，而h ′(x )＝e x ·x －1x2，令h ′(x )>0，得x >1，令h ′(x )<0，得0<x <1，所以h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )≥h (1)＝e ，故2a ≤e ，即a ≤e 2.16．已知偶函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，当x ＞0时，f (x )x＞－f ′(x )，且f (2)＝1，则不等式(x 2－x )f (x 2－x )＞2的解集为()A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)答案C 解析令g (x )＝xf (x )，由于f (x )为偶函数，则g (x )为奇函数，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )．因为当x ＞0时，f (x )x ＞－f ′(x )，即f (x )＋xf ′(x )x＞0，所以f(x)＋xf′(x)＞0，即g′(x)＞0.所以当x＞0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为g(x)在R上为奇函数且在R上存在导函数，所以g(x)在R上为增函数．因为f(2)＝1，所以g(2)＝2f(2)＝2，又(x2－x)f(x2－x)＞2等价于g(x2－x)＞g(2)，所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。
高考数学导数大题技巧(精选5篇)
高考数学导数大题技巧(精选5篇)高考数学导数大题技巧【篇1】1、选择题部分，高考的选择题部分题型考试的方向基本都是固定的，当你在一轮二轮复习过程中总结出题目的出题策略时，答题就变得很简单了。
比如立体几何三视图，概率计算，圆锥曲线离心率等等试题中都有一些特征，只要掌握思考的切入方法和要点，再适当训练基本就可以全面突破，但是如果不掌握核心方法，单纯做题训练就算做很多题目，突破也非常困难，学习就会进入一个死循环，对照答案可以理解，但自己遇到新的题目任然无从下手。
2、关于大题方面，基本上三角函数或解三角形、数列、立体几何和概率统计应该是考生努力把分数拿满的题目。
对于较难的原则曲线和导数两道题目基本要拿一半的分数，考生复习时可把数学大题的每一道题作为一个独立的版块章节，先总结每道大题常考的几种题型，再专项突破里面的运算方法，图形处理方法以及解题的思考突破口，只要把这些都归纳到位，那么总结的框架套路，都是可以直接秒刷的题目的高考数学导数大题技巧【篇2】1个、多项选择部分，高考选择题的方向基本是固定的，当你在二轮复习过程中总结出题策略时，答案变得很简单。
比如三维几何三视图，概率计算，试题中存在圆锥截面偏心等特点，只要掌握了入门方法和思维要点，经过适当的训练，基本可以全面突破，但是如果不掌握核心方法，单纯做练习题也算做了很多题，也很难突破，学习会进入死循环，比对答案，但是遇到新问题还是无从下手。
2个、关于大话题，基本上是三角函数或求解三角形、顺序、三维几何和概率统计应该是考生努力拿满分的科目。
比较难的原理曲线和导数，基本要一半分，考生在复习时可以将数学大题的每一题作为一个独立的section，先总结一下每个大题经常考的几类题型，然后在计算方法上特别突破，解题的图形处理方法与思维突破，把它全部放在适当的位置，然后总结框架套路，都是可以直接秒刷的话题高考数学导数大题技巧【篇3】1、函数与导数主要考查数学集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
高三一轮复习建议——单元五：函数与导数
1、13年11题【考题分析】：本题考查分段函数及导数的几 何意义。体现了数形结合思想和化归与转化思想，函数与 方程思想。
解析： 可画出 y1=|f(x)|的图象如图所示． 当 a＞0 时，y＝ax 与 y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C； 若 x ≤0，则以 y＝ax 与 y＝|－x2＋2x|相切为界限，由
' x
，可以看到，主要研究的是 ex 与一次函
数，应该说不难；
14 年第二问证明不等式，转化为 两个常见函数（xlnx 与 x/ ex ）的最值问题(最小值大于最大值)。
就是研究我们所说的
3.16 年与 17 年的第一问就开始提升难度（是否是刻意为之）；16 年的第一问是求通 过零点个数讨论参数范围，求导后核心函数是：
（一）本单元近五年来全国高考试题卷（Ⅰ）统计分析 （理科）
年份 （理） 题号 2013 11 16 21 3 2014 11 21 分值 5 5 12 5 5 12 题型 选择题 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 知识考点 分段函数 函数的对称性 导数的 几何意义，导 数与函数的最 值， 导数与函数的单调性 函数的奇偶性 函数与方程 导数的几何 意义， 导数与函数 的单调性， 两小一大 利用导数求函数的最值 22 分 12 2015 13 21 7 2016 8 21 5 2017 11 21 5 12 5 5 12 5 5 12 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 5 选择题 函数的 图象与性 质、导数公式 和导数运 算法则 函数的奇偶性 导数的 几何意义，分 段函数的处理 ，函 数的零点 函数的图象 幂函数、指数函数 、对数函数 函数的零点，不等式的 证明 函数的单调性、奇偶性 对数与对数函数 函数的零点，导数与函 数的单调性 22 分 22 分 两小一大 22 分 两小一大 两小一大 22 分 两小一大 说明
如何备考高考数学函数与导数部分重点知识点及解题思路
如何备考高考数学函数与导数部分重点知识点及解题思路高考数学是每位学生备战高考的关键科目之一，其中函数与导数部分作为数学的重点内容之一，需要我们充分理解其中的知识点和解题思路。
本文将详细介绍备考高考数学函数与导数部分的重点知识点和解题思路，帮助同学们在备考过程中更好地准备这一部分考试内容。
一、函数的基本概念与性质在备考高考数学函数与导数部分，首先要掌握函数的基本概念与性质。
函数是两个集合之间的一种对应关系，其中自变量和因变量之间存在确定的对应关系。
在学习函数的过程中，需要掌握函数的定义域、值域、图像和性质等相关概念。
在解题时，常用的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
每种函数都有自己的特点和主要的解题方法。
在备考过程中，我们需要深入理解每种函数的定义及其特点，同时掌握它们的常用解题方法。
例如，对于一元一次方程，可以通过求解方程组或消元法来确定方程的解。
二、函数的运算与复合函数函数的运算与复合函数也是备考高考数学函数与导数部分的重点内容。
在函数的运算中，我们常遇到的有函数的加减乘除、复合函数的概念和求导法则等。
同学们要熟练掌握函数的运算方法，能够熟练解答相关题目。
复合函数是由两个或多个函数按照一定的顺序组成的新函数。
在解题时，常用的方法是利用函数之间的复合关系求导，根据链式法则将复合函数的导数转化为基本函数的导数。
通过反复练习和掌握相关的解题技巧，我们能够更好地应对高考中的相关题目。
三、导数的基本概念和运算规则导数是函数在某一点的变化速率，也是备考高考函数与导数部分需要掌握的重点内容之一。
在备考过程中，我们需要理解导数的定义和运算规则，并能够熟练计算导数。
导数的定义是函数变化率的极限值，也可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率。
计算导数时，常用的方法有基本导数法则、导数的四则运算法则和复合函数求导法则等。
在备考过程中，我们要掌握这些法则的使用方法，能够熟练计算各种函数的导数。
四、函数的应用数学函数在实际问题中有着广泛的应用，备考高考数学函数与导数部分也需要理解其中的应用题。
高考数学“函数与导数”备考指导
２．已 知 斜 率 ，求 切 点 Байду номын сангаас（ ． ，（ 。）），即 解 方 程 厂 （ ｔ）：ｋ．
３．若 求 过 点 Ｐ（ Ｉｌ１ ）的 切 线 方 程 ，可 设 切 点 为 （ ， ，列 方 程 组 求 解 即 可 。
导 数 的 几 何 意 义
本 考 点 的命 题 点 主 要 包 括 ：已知 切 点 的切 线 方 程 问 题 、未 知 切 点 的 切 线 方 程 问 题 、和 切 线 有 关 的 参 数 问题 、导 数 与 函 数 图 像 的 关 系 问 题 等 。题 型 以 中 、低 档 题 为 主 ，考 生 在 平 常 复 习 时 多 加 留 意 即 可 。导 数 的 几 何 意 义 是 切 点 处 切 线 的 斜 率 ，应 用 时 主 要 体 现 在 以下 几 个 方 面 ：
４．函 数 图 像 在 每 一 点 处 的 切 线 斜 率 的变 化 情 况 反 映 函 数 图 像 在 相 应 点 处 的 变 化 情 况 ，田 切 线 的 倾 斜 程 度 可 以 判 断 出 函 数 图 像 升 降 的 快 慢 。
５ 对 于 求曲 线 的 切 线 万 程 没 有 明 确 切 点 的 情 况 ，要 先 判 断 切 线 所 、Ｌ寸点 足 否在 曲 线 上 ；若 所 过 点 在 曲 线 上 。要 对 该 点 是 否 为切 点 进 行 讨 论 。
导 数 与 函 数 的 单 调 性
本 考 点 主 要 包 括 ３个 命 题 点 。
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命 题 点 ｌ：不 含 参 数 的 函数 的 单 调 性 确 定 函 数 单 调 区 间 的 步 骤 ： （１）确 定 函 数 厂（ ）的 定 义 域 ； （２）求ｌ 厂 （ ）； （３）解 不 等 式厂 （ ）＞０，解 集 在 定 义 域 内 的 部 分 为 单 调 递 增 区 间 ； （４）解 不 等 式厂 （ ）＜０，解 集 在 定 义 域 内 的 部 分 为 单调 递 减 区 间 。 命题 点 ２：含 参 数 的 函 数 的 单 调 性 （１）研 究 含 参 数 的 函 数 的 单 调 性 ，要 依 据 参 数 对 不 等 式 解 集 的 影 响 进 行 分 类 讨 论 ； （２）划 分 函 数 的 单 调 区 间 日寸，要 在 函 数 定 义 域 内 讨 论 ，还 要 确 定 导 数 为 ０的 点 和 函 数 的 间 断 点 ； （３）个 别 导 数 为 ０的 点 不 影 响 所 在 区 间 的 单 调 性 ，如 ）＝ Ｘ （ ）＝３ｘ ≥Ｏ （ ）：０在 Ｘ＝０日寸取 到 ） ）在 ｜Ｒ上 是增 函 数 。 命 题 点 ３：利 用 函 数 单 调 性 求 参 数 已 知 函 数 单 调 性 ，求 参 数 范 围 有 两 个 方 法 ： （１）利 用 集 合 间 的 包 含 关 系 处 理 ：Ｙ＝＿厂（ ）在 （ａ，６）上 单调 ，贝 区 间 （“，６）是 相 应 单 调 区 间 的 子 集 ； （２）转 化 为 不 等 式 的 恒 成 立 问 题 ：即 “若 函 数 单 调 递 增 ，则 厂 （ ）≥Ｏ；若 函 数 单 调 递 减 ，则， （ ）≤０ 来 求 解 。 【易 错 提 醒 】 １．ｆ（ ）为 增 函 数 的 充 要 条 件 是 对 任 意 的 Ｘ∈ （ ，６）都 有 ， （ ）＞ １０且 在 （ｄ，６）内 的 任 一 非 空 子 区 间 上厂 ）不 恒 为 零 ，应 注 意 此 时 式 子 中 的 等 号 不 能 省 略 ，否 则 漏 解 。 ２．注 意 两 种 表 述 “函 数＿ 厂（ ）在 （ ，６）上 为 减 函 数 与 “函 数 ｌ厂（ ）的 减 区 间 为 （ｄ，６）”的 区 别 。 ３．讨论 函 数 单调 性 要 在 定 义 域 内 进 行 。不 要 忽 略 函 数 的 间 断 点 。 【考 点 小 结 】 １．已知 函数 解 析式 求 单调 区 间 ，实 质上 是 求－厂 ）＞０、厂 （ ）＜ ０的 解 区 间 ，并 注 意 定 义 域 。 ２．含参 函 数 的 单 调 性 要 分 类 讨 论 ，通 过 确 定 导 数 的 符 号 判 断 函 数 的 单 调 性 。 ３．已 知 函 数 单 调 性 可 以利 用 已 知 区 间 和 函 数 单 调 区 间 的 包 含 关 系 或 转 化 为 恒 成 立 问 题 两 种 思 路 解 决 。
2023年高考数学复习：规范答题 函数与导数
1分
当a≤0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；
2分
当 0<a<12时，若 x∈(－∞，ln(2a))，则 f′(x)>0，f(x)单调递增， 若x∈(ln(2a)，0)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；
步骤要点 (1)分类讨论：分类讨论确定函数的单调性. (2)选择条件：在所给的条件中选择一个适合自己的. (3)巧算、估算：根据选择的条件，结合单调性；估算出特殊函数值. (4)数形结合：结合单调性及特殊函数值，画出草图，利用函数零点存在 定理判断零点.
规范解答
(1)解 由函数的解析式可得f′(x)＝x(ex－2a)，
当 x> 11－－ba时，(1－a)x2＋b－1>0，取 x0＝ 11－－ab＋1，
则 f(x0)>0，即 f(0)<0，f Leabharlann 11－－ba＋1>0，
而函数在区间(0，＋∞)上单调递增， 故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点. f(ln(2a))＝2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋b ≤2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋2a ＝2aln(2a)－a[ln(2a)]2 ＝aln(2a)[2－ln(2a)]， 由于 0<a<12，0<2a<1， 故aln(2a)[2－ln(2a)]<0， 结合函数的单调性可知函数在区间(－∞，0)上没有零点. 综上可得，题中的结论成立.
由于12<a≤e22，故 1<2a≤e2，则 b>2a>1，f(0)＝b－1>0，
高考数学函数与导数知识点
高考数学函数与导数知识点在高考数学中，函数与导数是重要的知识点。
理解和掌握这些知识点对于高考数学的学习非常关键。
本文将介绍函数与导数的基本概念、性质以及相关应用。
一、函数的基本概念函数是数学中一种重要的概念，定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，对于A中的每一个元素a，在B中都有唯一确定的元素b与之对应。
这样的对应关系称为函数，记作y=f(x)。
在函数的定义中，x是自变量，y是因变量，而f(x)则表示函数的值或函数表达式。
1.1 函数的表示方法函数可以通过多种方式来表示：1.1.1 函数的代数式表示：常用的代数式表示函数的方法有多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数等。
1.1.2 函数的图像表示：通过绘制函数的图像，可以更直观地理解函数的性质。
1.1.3 函数的表格表示：将自变量与因变量的对应关系记录在表格中，方便观察函数的规律。
1.2 函数的性质函数具有以下一些基本性质：1.2.1 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
1.2.2 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数关于y轴对称或关于原点对称的特点。
1.2.3 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的增减趋势。
1.2.4 周期性：周期函数是一类具有周期性规律的函数，如正弦函数、余弦函数等。
二、导数的基本概念导数是函数的一个重要性质，用来描述函数在某一点的变化率。
导数的定义如下：定义2：设函数y=f(x)在点x0处有定义，当自变量x在x0的邻域内取得不同值时，对应的函数值f(x)也随之变化。
如果存在一个常数k，使得当x趋近于x0时，函数值的变化量与x-x0的差的比趋近于k，那么称函数y=f(x)在点x0处可导，常数k称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。
2.1 导数的几何意义导数的几何意义可以从函数的图像中理解：2.1.1 函数的切线斜率：对于函数y=f(x)，在点(x0, f(x0))处的切线的斜率就是函数在该点处的导数。
高三数学二轮复习专题讲解14 函数与导数
高三数学二轮复习专题讲解 第14讲 易错点-函数与导数专题综述函数与导数是高考中的重点和难点，各种题型都有考查，也有一定的计算量！但我们要必拿选择填空的中等题分数，主要考查的知识点有函数的概念（函数的定义域、解析式、值域）、性质（单调性、奇偶性、对称性）、图象，导数的概念及其几何意义；对这些知识理解不到位或把握不全面或对题意理解不准确，就容易造成会而不对、对而不全的结果专题探究探究1:函数性质掌握不牢致错函数的单调性、奇偶性、周期性等在考题中不限制于以课本的定义给出，我们要关注它们等价变形形式和相关结论，如单调性的等价变形形式有： (1)若[]12,,x x a b ∀∈,12x x ≠,()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔>-()f x ⇔在[],a b 上是增函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔<-()f x ⇔在[],a b 上是减函数.(2) 若12x x ≠,且()()1212f x f x k x x ->-,则()y f x kx =-是增函数.奇偶性的相关结论有：(1)()f x 是偶函数⇔()()()()()()0f x f x f x f x f x f x =-⇔=⇔--=； (2)()f x 是奇函数⇔()()()()0f x f x f x f x -=-⇔+-=； (3)若函数()f x 在0x =处有意义,则()00f =；(4)()f x a +是偶函数,则()()f x a f x a +=-+,()f x 是偶函数,则()()f x a f x a +=-+. 利用函数的对称性与奇偶性会推导函数的周期性：(1)函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >）,若()f x 为奇函数,则其周期为4T a =；若()f x 为偶函数,则其周期为2T a =.(2)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数.(2022江苏联考)已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，且对x R ∀∈有()() 4.f x f x +-=当(0,2]x ∈时，() 2.f x x =+则下列说法正确的是(). ()f x 的最小正周期是8 . ()f x 的最大值为5 . (2022)0f = . (2)f x +为偶函数 【规范解析】解：.A 因为(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，所以()f x 关于直线2x =-对称；即有()(4)f x f x =--，()(4)f x f x -=-，又()()4f xf x +-=，所以(4)(4)4f x f x --++=，即()(4)4f x f x ++=，所以()4(f x f x =-+，又()4f x f x=--，()(4)(4)f x f x f x -=+=-，所以()(8)f x f x =+，所以()f x 的周期8T =，故 正确； .由 知(2022)(20228)f f =-(202288)(6)(2)4(2)440f f f f =--===-=-=-=，故 正确； .由 知()(4)f x f x -=+所以(2)(2)f x f x +=-+，则(2)f x +为偶函数，故 正确； .当(0,2]x ∈时，()2f x x =+，结合以上知函数图象大致为则()f x 的最大值为4，故 错误.故答案选：.ACD(2022福建联考)已知定义在 上的函数()f x ，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-，函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称，若当(0,1]x ∈时()f x x =，则()A. ()f x 为偶函数B. ()f x 为周期函数C. (2023)1f =-D. 当[3,4)x ∈时，()f x =探究2:函数图象识别时不细致致错函数图象是函数性质的直观反映,由函数表达式识别函数图象时由于我们平时形成的一些错误的认识,还有惯性思维,不做深入的研究,导致得出错误的结论.我们在辨别图象时可从奇偶性、单调性、特殊值等方面来排除不合适的，从而得到正确答案.(2022福建联考)函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟的图象大致为()A. B. C. D.【规范解析】解：函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟，满足3113()cos()cos ()3113x xx x f x x x f x -----=-==-++，()f x ∴为奇函数，()f x 的图象关于原点对称，排除 ，.B 当x π=时，13()013f πππ-=<+，排除.C 故选.D (2022福建省福州市期中)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.观察以下四个图象的特征，试判断与函数()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟相对应的图象是()A. B. C.D.探究3:比较大小时没有选对方法致错在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小.若比较指数式与对数式的大小，或同是指数式（对数式）但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较大小，常用的中间量是0,1,1-，有时也可借助13,2,22等中间量来比较大小.若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常利用式子的结构构造函数，然后利用函数单调性比较大小.(2022江苏联考)如果01a <<，那么下列不等式中正确的是()A. 1132(1)(1)a a ->- B. (1)log (1)0a a -+>C. 32(1)(1)a a ->+D. 1(1)1a a +->【规范解析】解：由题意 01a <<，所以()()10,1a -∈，()()11,2a +∈，得()1xy a =-为R 上的减函数，又1123>，所以()()113211a a ->-，10(1)(1=)1a a a +-<-而(1)log a y x -=单调递减，(1)(1)log (1)log 1=0a a a --+<， 32(1)1(1)a a -<<+，故选：.A(2022安徽省池州市单元测试)已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若ln3(4)a f =，(2)eb f -=，1(ln)(c f π=其中e 为自然对数的底数，π为圆周率)，则a ，b ，c 的大小关系为()A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. c b a >>探究4:混淆两类切线致错求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线,求过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.(2022山东模拟)已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =__________，实数m =__________. 【规范解析】解：设y kx =与x y e =和ln y x m =+的切点分别为11(,)x x e ，22(,ln )x x m +，x y e =的导数xy e '=，1x e k ∴=，且11x k x e=，解得11x =，k e ∴=；ln y x m =+的导数1y x'=，21k e x ∴==，21x e ∴=，又22ln kx x m =+，11ln 2.m e e e∴=⨯-=故答案为 ；2.(2022河南信阳月考)若曲线2y x =与ln()y x a =-有一条斜率为2的公切线，则()a =A. 1ln 22- B. 1ln 22C. ln 2-D. ln 2探究5:混淆导数与单调性的关系致错研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意:一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零.若研究函数的单调性可转化为解不等式()()()()1200a x x x x x --><>或0,首先根据a 的符号进行讨论,当a 的符号确定后,再根据12,x x 是否在定义域内讨论,当12,x x 都在定义域内时在根据12,x x 的大小进行讨论.(2022福建省福州市期中)已知函数()ln nx f x x mx xe =+-(1)当0n =时，讨论函数()f x 在区间(0,3)的单调性【规范解析】解：(1)当0n =时，函数()ln (03)f x x mx x x =+-<<，1(1)1()1m x f x m x x-+'=+-=当1m …时，(0,3)x ∈，()0f x '>，()f x ∴在(0,3)上单调递增， 当1m <时，令1()0,1f x x m'==-， ①当131m <-时，即23m <时， 由()0f x '>得：101x m <<-，由()0f x '<得：131x m<<-， ∴当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m-上单调递减. ②当131m-…时，即213m <…时，由03,()0x f x <<'>得03x <<，∴当213m <…时，函数()f x 在(0,3)上单调递增，综上所述：当23m …时，函数()f x 在(0,3)上单调递增；当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m -上单调递减.(2022河北联考)已知函数()ln sin f x a x x x =-+，其中a 为非零常数．(1)若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；探究6:混淆导数与极值的关系致错对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号,且0()0f x '=,即0()0f x '=是x 0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑0()0f x '=,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根．(2022河北省张家口市期中)已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图，则下列叙述正确的是()A. 函数()f x 只有一个极值点B. 函数()f x 满足(4)(1)f f -<-，且在4x =-处取得极小值C. 函数()f x 在2x =处取得极大值D. 函数()f x 在(),4-∞-内单调递减【规范解析】解：由导函数的图象可得，当2x <时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递减区间为()2,+∞， 只有当2x =时函数取得极大值，无极小值. 故选：.AC(2022湖南联考)已知函数()(3)2.x f x x e x -=++(1)证明：()f x 恰有两个极值点;探究7:函数零点与方程的根不会转化致错确定函数零点所在区间、零点个数或已知函数零点情况求参数，常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，所以研究函数与方程问题不要得“意”忘“形”.(2022河北期中)已知函数,()e ,x xx a f x x x a⎧⎪=⎨⎪<⎩…，若存在不相等的1x ，2x ，3x ，满足123()()()f x f x f x ==，则实数a 的取值范围是__________.【规范解析】解：由题意可知，对于()xx f x e=，则1().x xf x e -'=当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x =时，函数()f x 取得最大值为1(1)f e =，如图，分别画出函数x xy e =和y x =在 上的图象，用一条平行于x 轴的直线y m =截图象，有3个交点时，即存在1x ，2x ，3x ，使得123()()()f x f x f x m ===，当(1,)a ∈+∞或(,0]a ∈-∞时，最多有2个交点，所以不成立;当(0,1)a ∈时，存在3个交点，所以a 的取值范围是(0,1). 故答案为：(0,1)(2022福建月考)函数()ln (),0()(2),(0)x x f x x x x ⎧-<=⎨-⎩…，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不相等的实数根，则a 的取值范围是__________.专题升华函数的定义域是研究函数图象与性质的第一要素，性质是函数的基本属性，图象是其性质的外在表现；把握各性质的定义和等价表达式是根本；导数是研究函数性质的的根本工具，遇到参数时要紧记“分类讨论”；导函数图象与原函数图象的关系不能混淆！复合函数要会分解，定义域先行，内层函数的值域是外层函数的定义域，要清醒对待两者的身份！【答案详解】变式训练1【答案】.ABD【解析】由函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称可知，函数()f x 的图象关于 轴对称， 故()f x 为偶函数.选项 正确;由(4)()f x f x +=-，得(44)(4)()f x f x f x ++=-+=，()f x ∴是周期8T =的偶函数，(2023)(25381)(1)(1) 1.f f f f ∴=⨯-=-==选项 正确，选项 错误;设[3,4)x ∈，则4[1,0),4(0,1],x x -∈--∈()f x 为偶函数，(4)(4)f x f x ∴-=-，由(0,1]x ∈时，()f x =，得(4)(4.f x f x -=--又(4)()f x f x +=-，()(4)f x f x ∴=--=选项 正确.故选：.ABD变式训练2【答案】【解析】因为()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟，所以()()1sin f x x x f x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除 、 选项； 又0x π<<时，()10f =，令6x π=，则6sin 0666f ππππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除 选项.故选：.D变式训练3【答案】【解析】根据题意，函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，则函数()f x 的图象关于 轴对称，即函数()f x 为偶函数，满足()()f x f x -=，则1(l n )(l n )c f f ππ==，ln31444ln ln 120e e π->=>>=>>， 又由(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，则有a c b >>；故选：.A变式训练4【答案】【解析】由2y x =得2y x '=，令22y x '==，解得1x =，由点斜式得切线方程：12(1)y x -=-，即21y x =-，由l n ()y x a =-，得1y x a '=-，令12y x a '==-，解得12x a =+，代入ln()y x a =-得：ln 2y =-，将1(,ln 2)2a +-代入21y x =-，得：11ln 22()1ln 222a a -=+-⇒=-，故选：.A变式训练5【解析】(1)由题知()cos 1(0)af x x x x'=-+>，若0a >，因为0x >，1cos 0x -…，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2a x <-，从而11 / 11 ()2cos 1(1cos )0f x x x '<--+=-+…，所以()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意，综上分析，a的取值范围是(0,).+∞变式训练6【解析】(1)证明：依题意()f x 的定义域为 ，()(2)2x f x x e -'=-++，令()(2)2x m x x e -=-++，()(1).x m x x e -'=+当(1,)x ∈-+∞时，()0m x '>，所以()f x '在(1,)-+∞单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()0m x '<，所以()f x '在(),1-∞-单调递减．又因为(1)20f e '-=-<，(0)0f '=，(2)20f '-=>，所以()f x '在(),1-∞-恰有1个零点0x ，在()1,-+∞恰有1个零点0，且当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，当0(,0)x x ∈时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0.f x '>所以()f x 在0(,)x -∞单调递增，在0(,0)x 单调递减，在(0,)+∞单调递增．所以()f x 恰有一个极大值点0x 和一个极小值点0，即()f x 恰有两个极值点．变式训练7【解析】函数()f x 的图象如图所示，令()t f x =，结合图象可知，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不等的实数根，则关于 的方程2210t at -+=在[0,1)有两个不等实数根，因为221y t at =-+的图象过点(0,1)，则280014210a a a ⎧∆=->⎪⎪<<⎨⎪-+>⎪⎩，解得3.a <<故答案为：。
高考数学函数与导数知识点梳理
高考数学函数与导数知识点梳理在高考数学中，函数与导数是非常重要的基础知识点。
掌握好这些知识点，对于高考数学的备考和解题都至关重要。
下面将对高考数学函数与导数知识点进行梳理，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、函数的概念和性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
2. 函数的符号表示：设函数为y=f(x)，x是自变量，y是因变量。
3. 函数的性质：3.1 定义域：函数的自变量的取值范围。
3.2 值域：函数的因变量的取值范围。
3.3 奇偶性：函数关于y轴对称为偶函数，关于原点对称为奇函数，否则为非奇非偶函数。
二、常见函数类型1. 一次函数：y=ax+b，其中a、b为常数，a不为0。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不为0。
3. 幂函数：y=x^a，其中a为常数。
4. 指数函数：y=a^x，其中a为常数且a大于0且不等于1。
5. 对数函数：y=log_a(x)，其中a为常数且a大于0且不等于1。
6. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
7. 反三角函数：包括正弦反函数、余弦反函数、正切反函数等。
三、函数的图像与性质1. 函数的图像：函数的图像是函数在坐标平面上的表示，可通过描点法或作图工具绘制。
2. 函数的增减性与极值：函数在某个区间上递增时，图像是上升的；在某个区间上递减时，图像是下降的。
3. 函数的奇偶性与轴对称：函数的奇偶性与轴对称与函数的性质有关。
四、导数的概念和性质1. 导数的定义：函数在某一点的导数是该点切线的斜率。
2. 导数的符号表示：函数f(x)的导数表示为f'(x)或dy/dx或y'。
3. 导数的性质：3.1 导数存在性：函数在某一点可导意味着该点的左导数和右导数都存在，且相等。
3.2 导数与函数图像的关系：函数图像在导数不为零的点处有切线。
五、常见函数的导数1. 一次函数的导数：一次函数y=ax+b的导数为a。
2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法：洛必达法则
第5讲洛必达法则知识与方法与函数导数相关的压轴题,一般需要确定函数的值域和参数的取值范围,其传统做法是构造函数,然后通过分类讨论,求导分析单调性进行,过程相对复杂繁琐,且分类的情况较多.并且我们采用分离参数时,往往还会出现最值难以求解的情况,这时,我们就可以考虑使用“洛必达法则”来简化解题过程,快速解题.下面,我们先来介绍一下洛必达法则：法则1:若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)lim x→a f(x)=0及lim x→a g(x)=0;(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导,且g′(x)≠0;(3)lim x→a f ′(x)g′(x)=l.那么lim x→a f(x)g(x)=lim x→a f′(x)g′(x)=l.法则2:若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)lim x→∞f(x)=0及lim x→∞g(x)=0;(2)∃A>0,f(x)和g(x)在(−∞,A)与(A,+∞)内可导,且g′(x)≠0;(3)lim x→∞f ′(x)g′(x)=l.那么lim x→∞f(x)g(x)=lim x→∞f′(x)g′(x)=l.法则3:若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)lim x→a f(x)=∞及lim x→a g(x)=∞;(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导,且g′(x)≠0;(3)lim x→a f ′(x)g′(x)=l.那么lim x→a f(x)g(x)=lim x→a f′(x)g′(x)=l.利用洛必达法则解题时,应点睛意:①将上面公式中的x→a,x→∞换成x→+∞,x→−∞,x→a+,x→a−,洛必达法则也成立.②洛必达法则可处理00,∞∞,0⋅∞,1∞,∞0,00,∞−∞型.③在着手求极限以前,首先要检查是否满足00,∞∞,0⋅∞,1∞,∞0,00,∞−∞型定式,否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限.④若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.典型例题【例1】已知f(x)=(x+1)lnx.(1)求f(x)的单调区间;(2)若对于任意x≥1,不等式x[f(x)x+1−ax]+a≤0成立,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1+1x,令g(x)=lnx+1+1x (x>0),则g′(x)=1x−1x2=x−1x2,所以当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0.所以g(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,所以x>0时,g(x)≥g(1)=2>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无减区间.(2)解法1:分离参数+洛必达法则对任意x≥1,不等式x[f(x)x+1−ax]+a≤0成立等价于对任意x≥1,lnx−a(x−1x)≤0恒成立.当x=1时,a∈R;对任意x>1,不等式x[f(x)x+1−ax]+a≤0恒成立等价于对任意x>1,a≥xlnxx2−1恒成立.记m(x)=xlnxx2−1(x>1),则m′(x)=(1+lnx)(x2−1)−2x2lnx(x2−1)2=x2−1−(1+x2)lnx(x2−1)2=1x2+1(1−2x2+1−lnx)(x2−1)2.记t(x)=1−21+x2−lnx(x>1),则t′(x)=4x(1+x2)2−1x=4x2−(1+x2)2x(1+x2)2=−(1−x2)2x(1+x2)2<0,所以t(x)在(1,+∞)单调递减,又t(1)=0,所以x>1时,t(x)<0,m′(x)<0,所以m(x)在(1,+∞)单调递减.所以m(x)max<m(1)=lim x→1xlnxx2−1=lim x→1xlnxx+1−0x−1=lim x→1x+1−lnx(x+1)2=12.综上所述,实数a的取值是[12,+∞).解法2:直接讨论+分类讨论“对任意x≥1,不等式x[f(x)x+1−ax]+a≤0恒成立”等价于“对任意x≥1,不等式x(lnx−ax)+a≤0恒成立”.令ℎ(x)=xlnx−ax2+a(x≥1),则ℎ′(x)=1+lnx−2ax,令m(x)=1+lnx−2ax(x≥1),则m′(x)=1x−2a.①当2a≥1,即a≥12时,因为x≥1,所以0<1x≤1,所以m′(x)≤0,从而m(x)在[1,+∞)上单调递减,又m(1)=1−2a≤0,所以x≥1时,m(x)≤0,即ℎ′(x)≤0,所以ℎ(x)在[1,+∞)上单调递减,又ℎ(1)=0,所以当x≥1时,ℎ(x)≤0,即a≥12符合题意;②若0<2a<1,即0<a<12时,所以1≤x<12a时,m(x)≥m(1)=1−2a>0,即ℎ′(x)>0,所以ℎ(x)在[1,12a)单调递增.所以当1≤x<12a时,ℎ(x)≥ℎ(1)=0,故0<2a<1不符合题意.③若a≤0时,则m′(x)≥0恒成立,所以m(x)在[1,+∞)上单调递增,故当x≥1时,m(x)≥m(1)=1−2a>0,即ℎ′(x)>0,所以ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增,所以当x≥1时,ℎ(x)≥ℎ(1)=0,故x(lnx−ax)+a≥0恒成立.综上所述,实数a的取值范围是[12,+∞).解法3:构造函数+分类讨论对任意x≥1,不等式x[f(x)x+1−ax]+a≤0恒成立等价于对任意x≥1,lnx−a(x−1x)≤0恒成立.令t(x)=lnx−a(x−1x)(x≥1),则t′(x)=1x −a(1+1x2)=−ax2−x+ax2,记Δ=1−4a2.①当a≥12时,Δ≤0,此时t′(x)≤0,t(x)在[1,+∞)单调递减,又t(1)=0,所以x≥1时,t(x)≤0,即对任意x≥1,lnx−a(x−1x)≤0恒成立;②当a≤−12时,Δ≤0,此时t′(x)≥0,t(x)在[1,+∞)单调递增,又t(1)=0,所以x≥1时,t(x)≥0,即对任意x≥1,lnx−a(x−1x)≥0恒成立,不符合题意;③当a=0时,不等式转化为lnx≤0(x≥1),显然不成立;④当−12<a<12,且a≠0时,方程ax2−x+a=0的二根为x1=1+√1−4a22a,x2=1−√1−4a22a.若0<a<12,x1>1,0<x2<1,则t(x)在(1,x1)单调递增,又t(1)=0,所以x∈(1,x1),t(x)≥0,即不等式lnx−a(x−1x)≤0不恒成立;⑤若−12<a<0,x1<x2<0,则t(x)在(1,+∞)上单调递增,又t(1)=0,所以x∈[1,+∞)时,t(x)≥0,即不等式lnx−a(x−1x)≤0不恒成立,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是[12,+∞).【点睛】通过此例,我们可以发现使用“洛必达法则”的好处,可以较为简单地解决问题,在恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量分离较易理解,但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦,利用洛必达法则可以较好的处理它的最值,是一种值得借鉴的方法.【例2】设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2−x),其中a∈R.(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(2)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=ln(x+1)+a(x2−x),定义域为(−1,+∞)f′(x)=1x+1+a(2x−1)=a(2x−1)(x+1)+1x+1=2ax2+ax+1−ax+1,当a=0时,f′(x)=1x+1>0,函数f(x)在(−1,+∞)上为增函数,无极值点.设g(x)=2ax2+ax+1−a,g(−1)=1,g(−1)=1,Δ=a(9a−8)>0,当a≠0时,g(x)=0的根的个数就是函数f(x)极值点的个数.若Δ=a(9a−8)≤0,即0<a≤89时,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数f(x)在(−1,+∞)为增函数,无极值点.若Δ=a(9a−8)>0,即a>89或a<0,而当a<0时,g(−1)≥0,此时方程g(x)= 0在(−1,+∞)只有一个实数根,此时函数f(x)只有一个极值点;当a>89时,方程g(x)=0在(−1,+∞)有两个不相等的实数根,此时函数f(x)有两个极值点;综上可知:当0≤a≤89时,f(x)的极值点个数为0;当a<0时,f(x)的极值点个数为1;当a>89时,f(x)的极值点个数为2.(2)解法1:由(1)可知当0≤a≤89时f(x)在(0,+∞)单调递增,而f(0)=0,则当x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意;当a>89时,Δ=a(9a−8)>0,方程g(x)=0的两根为:x1=−a−√a(9a−8)4a ,x2=−a+√a(9a−8)4a,当89<a≤1时,g(0)≥0,x2≤0,f(x)在(0,+∞)单调递增,而f(0)=0,则当x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意;当a>1时,g(0)<0,x2>0,所以函数f(x)在(0,x2)单调递减,而f(0)=0, 则当x∈(0,x2)时,f(x)<0,不符合题意;当a <0时,设ℎ(x )=x −ln (x +1),当x ∈(0,+∞)时ℎ′(x )=1−1x+1=x1+x >0, ℎ(x )在(0,+∞)单调递增,因此当x ∈(0,+∞)时ℎ(x )>ℎ(0)=0,ln (x +1)<x , 于是f (x )<x +a (x 2−x )=ax 2+(1−a )x ,当x >1−1a 时ax 2+(1−a )x <0, 此时f (x )<0,不符合题意.综上所述,a 的取值范围是0≤a ≤1. 解法2:函数f (x )=ln (x +1)+a (x 2−x ),∀x >0,都有f (x )≥0成立, 即ln (x +1)+a (x 2−x )≥0恒成立, 设ℎ(x )=−ln (x+1)x 2−x ,则ℎ′(x )=−1x+1(x 2−x)+(2x−1)ln (x+1)(x 2−x )2=(2x−1)[−x 2−x(2x−1)(x+1)+ln (x+1)](x 2−x )2,设φ(x )=−x 2−x(2x−1)(x+1)+ln (x +1),则φ′(x )=(x 2−x)(4x+1)(2x−1)2(x+1)2,所以x ∈(0,12)和x ∈(12,1)时,φ′(x )<0,所以φ(x )在(0,12),(12,1)上单调递减, x ∈(1,+∞)时,φ′(x )>0,所以φ(x )在(1,+∞)上单调递增, 因为φ(0)=0,lim x→12−x 2−x (2x−1)(x+1)>0,φ(1)=ln2>0,所以x ∈(0,1)和x ∈(1,+∞)时,ℎ′(x )>0,所以ℎ(x )在(0,1)与(1,+∞)上递增. 当x ∈(0,1)时,x 2−x <0,所以a ≤−ln (x+1)x 2−x,由ℎ(x )的单调性可得,a ≤lim x→0−ln (x+1)x 2−x=lim x→0−1x+12x−1=lim x→0−1(2x−1)(x+1)=1;当x =1时,f (x )=0,恒成立; 当x ∈(1,+∞)时,x 2−x >0,所以a ≥−ln (x+1)x 2−x ,由ℎ(x )的单调性可得,a ≥−ln (x +1)x 2−x =lim x→+∞−ln (x +1)x 2−x=lim x→+∞−1x +12x −1=lim x→+∞−1(2x −1)(x +1)=0, 综上,a ∈[0,1].【例3】已知f (x )=(ax +1)lnx −ax .(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(3)令g(x)=f′(x),存在0<x1<x2,且x1+x2=1,g(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=(x+1)lnx−x,则f′(x)=lnx+x+1x −1=lnx+1x,所以f′′(x)=1x −1x2=x−1x2,当x∈(0,1)时,f′′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′′(x)>0,则f′(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又因为f′(1)=1>0,所以x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；(2)当a=0时,f(x)=lnx,f(x)在(0,+∞)上单调递增,则a=0时满足要求;当a≠0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)≥0恒成立,因为f′(x)=alnx+1x ,f′′(x)=ax−1x2,当a<0时,f′′(x)=ax−1x2<0,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递减,而f′(e−1a)=−1+1e−1a,因为a<0,e−1a≥1,所以f′(e−1a)=−1+1e−1a<0,所以x∈(e−1a,+∞)时,f′(x)<0,故a<0时不成立,当a>0时,f′′(x)=ax−1x2,当x∈(0,1a )时,f′′(x)<0,x∈(1a,+∞)时,f′′(x)>0,则f′(x)在(0,1a)上单调递减,在(1 a ,+∞)上单调递增,因为x∈(0,+∞)时,f′(x)≥0,只需f′(1a)≥0,即f′(1a)=aln1a+a=a(1−lna)≥0,因为a>0,所以1−lna≥0,则0<a≤e, 综上所述,实数a的取值范围是[0,e].(3)因为g(x)=f′(x)=alnx+1x ,所以g(x1)=alnx1+1x1,g(x2)=alnx2+1x2,因为g(x1)=g(x2),所以alnx1+1x1=alnx2+1x2,即aln x2x1+1x2−1x1=0,又x1+x2=1,所以aln x2x1+(x1+x2)x2−(x1+x2)x1=0,即aln x2x1+x1x2−x2x1=0，令t=x2x1,则t∈(1,+∞),即alnt+1t−t=0方程有解.解法1:分离参数+洛必达法则即a=t−1tlnt,令ℎ(t)=t−1tlnt,则ℎ′(t)=(1+1t2)lnt−(t−1t)×1t(lnt)2=(1+t2t2)lnt+1−t2t2(lnt)2,令F(t)=lnt+1−t 2t2+1,F′(t)=1t+−4t(t2+1)2=(t2+1)2−4t2t(t2+1)2≥0,所以当t∈(1,+∞)时,ℎ′(t)≥0,故ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增,故ℎ(t)=t−1tlnt>ℎ(1),由洛必达法则知:当t→1时,ℎ(t)=1+1t21t,则ℎ(1)→2,则a>2,所以实数a的取值范围是(2,+∞).解法2:令G(t)=alnt+1t−t,则t∈(1,+∞)时,G(t)=0有解,G′(t)=at −1t2−1=−t2+at−1t2,因为t∈(1,+∞)时,则t+1t>2,当a≤2时,−t 2+at−1t2=a−(t+1t)t≤0,即t∈(1,+∞)时,G′(t)≤0,则G(t)在(1,+∞)上单调递减,又G(1)=0,故t∈(1,+∞)时,G(t)=0无解,则a≤2时不成立;当a>2时,当t∈(1,a+√a2−42)时,G′(t)>0,t∈(a+√a2−42,+∞)时,G′(t)<0,又G(1)=0,则t∈(1,a+√a2−42),G(t)>0,而G(e a)=a2+1e a−e a<a2+1−e a(a>2),令H(x)=x2+1−e x(x>2),H′(x)=2x−e x,H′′(x)=2−e x,因为x>2,则H′′(x)=2−e x<0,则H′(x)在(2,+∞)单调递减,H′(x)≤H′(2)= 4−e2<0,则H(x)在(2,+∞)单调递减,则H(x)<H(2)=5−e2<0,即G(e a)<0,故存在x0∈(a+√a2−42,e a),使得G(x0)=0,故a>2时满足要求,综上所述,实数a 的取值范围是(2,+∞).【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性,求导得f ′(x )=lnx +1x ,则f ′′(x )=x−1x 2,由此得f ′(x )≥f ′(1)=1>0,从而得到函数的单调性;(2)分类讨论,当a =0时,f (x )=lnx ,满足要求;当a ≠0时,x ∈(0,+∞)时,f ′(x )≥0恒成立,而f ′(x )=alnx +1x ,f ′′(x )=a x −1x 2,再分a <0和a >0两种情况讨论即可求出答案;(3)由题意得alnx 1+1x 1=alnx 2+1x 2,即aln x 2x 1+1x 2−1x 1=0,进而有aln x 2x 1+x1x 2−x 2x 1=0,令t =x 2x 1,则转化为t ∈(1,+∞)时,alnt +1t −t =0方程有解.一般地,含有参数的函数恒成立问题往往从三个角度求解:一是直接求导,通过对参数的讨论来研究函数的单调性,进一步确定参数的取值范围;二是借助函数单调性确定参数的取值范围,然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意,即确定所求;三是分离参数,求相应函数的最值或取值范围,当函数的最值不容易求解时,利用“洛必达法则”往往能化难为易,使问题得到解决.强化训练1.已知函数f (x )=e x −x −1,若当x ≥0时,恒有|f (x )|≤mx 2e |x |成立,求实数m 的取值范围.【解析】因为f (x )=e x −x −1,所以f ′(x )=e x −1, 所以当x ∈(−∞,0)时,f ′(x )<0,即f (x )递减, 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0,即f (x )递增.若当x ≥0时,恒有|f (x )|≤mx 2e |x |成立,即恒有0≤f (x )≤mx 2e x 成立, 当x =0时,不等式恒成立.当x >0时,恒有0≤f (x )≤mx 2e x 成立,即m ≥e x −x−1x 2e x,令H (x )=e x −x−1x 2e x,则H ′(x )=x 2−2e x +2x+2x 3e x.今ℎ(x )=x 2−2e x +2x +2,则ℎ′(x )=2x −2e x +2,进一步ℎ′′(x )=2−2e x <0,所以ℎ′(x )=2x −2e x +2在(0,+∞)上单调递减,所以ℎ′(x )<ℎ′(0)=0,所以ℎ(x )=x 2−2e x +2x +2在(0,+∞)上单调递减,所以ℎ(x )<ℎ(0)=0, 即H ′(x )<0在(0,+∞)上恒成立,所以H (x )在(0,+∞)上单调递减. 所以lim x→0+e x −x−1x 2e x=lim x→0+e x −1e x (x 2+2x )=lim x→0+e xe x (x 2+4x+2)=12,所以m ≥12.综上,m 的取值范围为[12,+∞).2.已知函数f (x )=x 2−mx −e x +1.(1)若函数f (x )在点(1,f (1))处的切线l 经过点(2,4),求实数m 的值; (2)若关于x 的方程|f (x )|=mx 有唯一的实数解,求实数m 的取值范围. 【解析】(1)f ′(x )=2x −m −e x ,所以在点(1,f (1))处的切线l 的斜率k =f ′(1)=2−e −m ,又f (1)=2−e −m ,所以切线l 的方程为:y −(2−e −m )=(2−e −m )(x −1), 即l:y =(2−e −m )x ,由l 经过点(2,4)可得:4=2(2−e −m )⇒m =−e . (2)易知|f (0)|=0=m ×0,即x =0为方程的根,因此只需说明: 当x >0和x <0时,原方程均没有实数根即可. ① 当x >0时,若m <0,显然有mx <0,而|f (x )|≥0恒成立,此时方程显然无解; 若m =0,f (x )=x 2−e x +1⇒f ′(x )=2x −e x ,f ′′(x )=2−e x , 令f ′′(x )>0⇒x <ln2,故f ′(x )在(0,ln2)单调递增,在(ln2,+∞)单调递减, 故f ′(x )<f ′(ln2)=2ln2−2<0,所以f (x )在(0,+∞)单调递减,于是f (x )<f (0)=0,从而|f (x )|>0,mx =0×x =0,此时方程|f (x )|=mx 也无解; 若m >0,由|f (x )|=mx ⇒m =|x +1x −e x x −m|,记g (x )=x +1x −e x x−m ,则g ′(x )=(x−1)(x+1−e x )x 2,设ℎ(x )=x +1−e x ,则ℎ′(x )=1−e x <0对任意x ∈(0,+∞)恒成立, 所以ℎ(x )在(0,+∞)上单调递减,所以ℎ(x )<ℎ(0)=0恒成立, 令g ′(x )>0⇒0<x <1⇒g (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减所以g (x )≤g (1)=2−e −m <0⇒|g (x )|≥e −2+m >m ,可知原方程也无解.由上面的分析可知,当x >0时,∀m ∈R ,方程|f (x )|=mx 均无解.② 当x <0时,若m >0,显然有mx <0,而|f (x )|≥0恒成立,此时方程显然无解;若m =0,和(1)中的分析同理可知此时方程|f (x )|=mx 也无解.若m <0,由|f (x )|=mx ⇒−m =|x +1x −e x x −m|, 记g (x )=x +1x −e x x −m , 则g ′(x )=(x−1)(x+1−e x )x 2,由(1)中的分析可知:ℎ(x )=x +1−e x <0, 故g ′(x )>0对任意x ∈(−∞,0)恒成立,从而g (x )在(−∞,0)上单调递增,点睛意到lim x→0−g (x )=lim x→0−x 2+1−e x x −m =lim x→0−2x−e x 1−m =−1−m ,如果−1−m ≤0,即m ≥−1,则|g (x )|>m +1,要使方程无解,只需−m ≤m +1,即m ≥−12,所以−12≤m <0;如果−1−m >0,即m <−1,此时|g (x )|∈[0,+∞),方程−m =|g (x )|一定有解,不满足题意.由上面的分析可知:当x <0时,∀m ∈[−12,+∞),方程|f (x )|=mx 均无解, 综合①②可知,当且仅当m ∈[−12,+∞)时,方程|f (x )|=mx 有唯一解.。
高考数学复习知识点讲解教案第15讲 导数的概念及其意义、导数的运算
− e ,即 =
= e,所以 e, 1 ,
.
e
由曲线 = ln 的对称性，知另一条切线的方程为 =
− .
e
[总结反思]
（1）曲线 = 在点 0 , 0 处的切线方程为 − 0 = ′ 0 − 0 ;
（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.
1.变化率与导数
（1）
概念
几何意
义
平均变化率：
0 +Δ − 0
Δ
对于函数 = ,把比值
=________________叫作函数
= 从
Δ
Δ
平均
0 到0 + Δ的_______变化率
斜率
函数 = 在区间[0 , 0 + Δ]上对应的图象的两端点连线的_______
=− +1
sin
π
3.［教材改编］ 曲线 =
在点 π, 0 处的切线方程为______________.
[解析] 由题得′ =
则切线方程为 =
cos −sin
，∴
2
1
−
π
切线的斜率 = ′|=π =
− π ，即 =
−
π
+ 1.
1
− ，
π
题组二 常错题
◆ 索引：求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆′ 0 与[ 0 ]′;忽视
2
2cos
−
2
2sin
= 2cos 2.
5.已知
=
2
−8
+ 3′ 2 ，则 2 =_____.
高考数学一轮总复习函数与导数的关系
高考数学一轮总复习函数与导数的关系高考数学一轮总复习：函数与导数的关系函数与导数的关系在高考数学中占据着重要的地位。
函数的导数是描述函数变化规律的指标，通过对函数进行导数运算，我们可以更好地了解函数的性质与特点。
本文将系统地介绍函数与导数之间的关系，帮助大家全面认识和掌握这一知识点。
一、导数的定义与基本性质函数的导数是函数在某一点处的变化率。
用数学语言来描述，设函数f(x)在点x处连续，那么f(x)在点x处的导数可表示为f'(x)。
导数的定义如下：f'(x) = lim【(f(x+Δx) - f(x)) / Δx】，其中Δx ≠ 0。
导数的基本性质包括：1. 导数的存在性：导数存在的充要条件是函数在该点处连续。
2. 导数的几何意义：导数表示函数曲线在某一点处的切线斜率。
3. 导数的物理意义：导数还可以表示函数的变化率，如时速表征位移的变化率。
4. 导数的计算法则：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的导数可以通过一定的计算法则求得。
二、函数与导数的关系函数与导数之间有以下几种常见的关系。
1. 导数与函数的单调性如果一个函数在某一区间上的导数恒大于零（或小于零），则该函数在该区间上是单调递增（或递减）的。
即导数的正负性可以刻画函数的单调性。
2. 导数与函数的极值点对于函数f(x)在点x_0处的导数f'(x_0)，有以下两种情况：- 若f'(x_0)=0，且在x_0的邻域内f'(x)由正数变为负数，那么f(x)在x_0处取得一个极大值；- 若f'(x_0)=0，且在x_0的邻域内f'(x)由负数变为正数，那么f(x)在x_0处取得一个极小值。
3. 导数与函数的凸凹性函数的凸凹性与导数的性质密切相关。
对于函数f(x)在区间(a, b)上具有二阶导数的情况，有以下几个性质：- 如果对任意的x∈(a,b)，有f''(x)>0，则f(x)在(a,b)上是凸函数；- 如果对任意的x∈(a,b)，有f''(x)<0，则f(x)在(a,b)上是凹函数；- 如果存在x_0∈(a,b)，使得f''(x_0)=0，那么在x_0处可能是拐点。
高考数学：函数与导数知识点
高考数学：函数与导数知识点1．函数恒成立问题【知识点的认识】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单【解题方法点拨】一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．解：由题意可知：a≤恒成立即a≤x++2⇒a≤2+2【命题方向】恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．2．函数的零点【函数的零点】一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解法﹣﹣二分法】①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【总结】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．3．函数零点的判定定理【知识点的知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f （x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．4．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．5．函数在某点取得极值的条件【知识点的知识】极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．【典型例题分析】例1：求函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数．解：∵函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9∴f'（x）＝15x4﹣15x2令f'（x）＝0则x＝﹣1，x＝0或x＝1又∵当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0；当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0故函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数有2个．这个例题中首先判断的是其是否连续，然后在求导函数为0的点有几个，即它的极值点有几个．例2：已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x﹣x3的极大值点的坐标为（b，c），则ad等于．解：已知实数a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，∵y′＝3﹣3x2＝0，则x＝±1，经检验，x＝1是极大值点．极大值为2．∴b＝1，c＝2由等比数列的性质可得：ad＝bc＝2．这个有两个极值点，但要求的是极大值，这个时候我们可以联想到波峰，即在这个点的左边必须要大于0，要是单调递增的，右边必须小于0，既是单调递减的，这样这个点才处于波峰的位置，这个时候就是极大值，这里的验证其实就是做这个工作．【考点动向】这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．6．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．7．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．8．利用导数研究曲线上某点切线方程【考点描述】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【实例解析】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．9．数列与不等式的综合【知识点的知识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明．常用的放缩方法有：，，，＝[]﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），＜＝（）（n≥2），，2（）＝＜＝＜＝2（）．…+≥…+＝＝＜．【解题方法点拨】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：＞|a|；＞n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；＜；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性．（7）常见模型：①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．【典型例题分析】题型一：等比模型典例1：对于任意的n∈N*，数列{a n}满足＝n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，当n≥2时，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不适合上式．综上得；（Ⅱ）证明：当n≥2时，．∴＝．∴当n≥2时，．题型二：裂项相消模型典例2：数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．分析：（1）根据a n＝S n﹣S n﹣1，整理得a n﹣a n﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{a n}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2S n＝a n+a n2①成立∴（n≥2）②①﹣②得2a n＝a n+a n2﹣a n﹣1﹣a n﹣12，∴a n+a n﹣1＝（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）∵a n，a n﹣1均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝1（n≥2）∴数列{a n}是公差为1的等差数列又n＝1时，2S1＝a1+a12，解得a1＝1，∴a n＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴【解题方法点拨】（1）放缩的方向要一致．（2）放与缩要适度．（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．。
高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习第1讲 变化率与导数、导数的计算知 识 梳 理1.导数的概念1函数y ＝fx 在x ＝x 0处的导数f ′x 0或y ′|x ＝x 0,即f ′x 0＝0lim x ∆→错误!. 2函数fx 的导函数f ′x ＝0lim x ∆→错误!为fx 的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝fx 在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝fx 在点Px 0,fx 0处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′x 0x －x 0.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′x ,g ′x 存在,则有：考点一 导数的计算例1 求下列函数的导数：1y ＝e x ln x ；2y ＝x 错误!；解 1y ′＝e x ′ln x ＋e x ln x ′＝e x ln x ＋e x 错误!＝错误!e x .2因为y ＝x 3＋1＋错误!, 所以y ′＝x 3′＋1′＋错误!′＝3x 2－错误!.训练1 1 已知函数fx 的导函数为f ′x ,且满足fx ＝2x ·f ′1＋ln x ,则f ′1等于A.－eB.－1解析由fx＝2xf′1＋ln x,得f′x＝2f′1＋错误!,∴f′1＝2f′1＋1,则f′1＝－1.答案B22015·天津卷已知函数fx＝ax ln x,x∈0,＋∞,其中a为实数,f′x为fx的导函数.若f′1＝3,则a的值为________.2f′x＝a错误!＝a1＋ln x.由于f′1＝a1＋ln 1＝a,又f′1＝3,所以a＝3.答案23考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程例22016·全国Ⅲ卷已知fx为偶函数,当x≤0时,fx＝e－x－1－x,则曲线y＝fx在点1,2处的切线方程是________.解析1设x>0,则－x<0,f－x＝e x－1＋x.又fx为偶函数,fx＝f－x＝e x－1＋x,所以当x>0时,fx＝e x－1＋x.因此,当x>0时,f′x＝e x－1＋1,f′1＝e0＋1＝2.则曲线y＝fx在点1,2处的切线的斜率为f′1＝2,所以切线方程为y－2＝2x－1,即2x－y＝0.答案2x－y＝0训练22017·威海质检已知函数fx＝x ln x,若直线l过点0,－1,并且与曲线y＝fx相切,则直线l的方程为＋y－1＝0 －y－1＝0 ＋y＋1＝0 －y＋1＝02∵点0,－1不在曲线fx＝x ln x上,∴设切点为x0,y0.又∵f′x＝1＋ln x,∴错误!解得x＝1,y0＝0.∴切点为1,0,∴f′1＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1,即x－y－1＝00.答案B命题角度二求切点坐标例32017·西安调研设曲线y＝e x在点0,1处的切线与曲线y＝错误!x>0上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.解析由y′＝e x,知曲线y＝e x在点0,1处的切线斜率k1＝e0＝1.设Pm,n,又y＝错误!x>0的导数y′＝－错误!,曲线y＝错误!x>0在点P处的切线斜率k2＝－错误!.依题意k1k2＝－1,所以m＝1,从而n＝1.则点P的坐标为1,1.答案1,1训练3若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0,则点P的坐标是________.解析1由题意得y′＝ln x＋x·错误!＝1＋ln x,直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设Pm,n,则1＋ln m＝2,解得m＝e,所以n＝eln e＝e,即点P的坐标为e,e. 答案1e,e命题角度三求与切线有关的参数值或范围例42015·全国Ⅱ卷已知曲线y＝x＋ln x在点1,1处的切线与曲线y＝ax2＋a＋2x＋1相切,则a＝________.解析由y＝x＋ln x,得y′＝1＋错误!,得曲线在点1,1处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2,所以切线方程为y－1＝2x－1,即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋a＋2x＋1相切,消去y,得ax2＋ax＋2＝0,∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0,解得a＝8.答案8训练41.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,则实数a的取值范围是________.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,即f′x＝2在0,＋∞上有解,而f′x＝错误!＋a,即错误!＋a在0,＋∞上有解,a＝2－错误!,因为a＞0,所以2－错误!＜2,所以a的取值范围是－∞,2.答案 2－∞,22.点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点,则点P到直线y＝x－2的最小距离为解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点,当过点P的切线和直线y＝x－2平行时,点P 到直线y＝x－2的距离最小,直线y＝x－2的斜率为1,令y＝x2－ln x,得y′＝2x－错误!＝1,解得x＝1或x＝－错误!舍去,故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为1,1,点1,1到直线y＝x－2的距离等于错误!,∴点P到直线y＝x－2的最小距离为错误!.答案D第2讲导数在研究函数中的应用知识梳理函数的单调性与导数的关系函数y＝fx在某个区间内可导,则：1若f′x>0,则fx在这个区间内单调递增；2若f′x<0,则fx在这个区间内单调递减；3若f′x＝0,则fx在这个区间内是常数函数.考点一利用导数研究函数的单调性例1设fx＝e x ax2＋x＋1a＞0,试讨论fx的单调性.解f′x＝e x ax2＋x＋1＋e x2ax＋1＝e x ax2＋2a＋1x＋2＝e x ax＋1x＋2＝a e x错误!x＋2①当a＝错误!时,f′x＝错误!e x x＋22≥0恒成立,∴函数fx在R上单调递增；②当0＜a＜错误!时,有错误!＞2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0,有x＞－2或x＜－错误!,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0,有－错误!＜x＜－2,∴函数fx在错误!和－2,＋∞上单调递增,在错误!上单调递减；③当a＞错误!时,有错误!＜2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0时,有x＞－错误!或x＜－2,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0时,有－2＜x＜－错误!,∴函数fx在－∞,－2和错误!上单调递增；在错误!上单调递减.训练12016·四川卷节选设函数fx＝ax2－a－ln x,gx＝错误!－错误!,其中a∈R,e＝…为自然对数的底数.1讨论fx的单调性；2证明：当x>1时,gx>0.1解由题意得f′x＝2ax－错误!＝错误!x>0.当a≤0时,f′x<0,fx在0,＋∞内单调递减.当a>0时,由f′x＝0有x＝错误!,当x∈错误!时,f′x<0,fx单调递减；当x∈错误!时,f′x>0,fx单调递增.2证明令sx＝e x－1－x,则s′x＝e x－1－1.当x>1时,s′x>0,所以e x－1>x,从而gx＝错误!－错误!>0.考点二求函数的单调区间例22015·重庆卷改编已知函数fx＝ax3＋x2a∈R在x＝－错误!处取得极值.1确定a的值；2若gx＝fx e x,求函数gx的单调减区间.解1对fx求导得f′x＝3ax2＋2x,因为fx在x＝－错误!处取得极值,所以f′错误!＝0,即3a·错误!＋2·错误!＝错误!－错误!＝0,解得a＝错误!.2由1得gx＝错误!e x故g′x＝错误!e x＋错误!e x＝错误!e x＝错误!xx＋1x＋4e x.令g′x<0,得xx＋1x＋4<0.解之得－1<x<0或x<－4.所以gx的单调减区间为－1,0,－∞,－4.训练2 已知函数fx＝错误!＋错误!－ln x－错误!,其中a∈R,且曲线y＝fx在点1,f1处的切线垂直于直线y＝错误!x.1求a的值；2求函数fx的单调区间.解1对fx求导得f′x＝错误!－错误!－错误!,由fx在点1,f1处的切线垂直于直线y ＝错误!x知f′1＝－错误!－a＝－2,解得a＝错误!.2由1知fx＝错误!＋错误!－ln x －错误!,x>0.则f′x＝错误!.令f′x＝0,解得x＝－1或x＝5.但－10,＋∞,舍去.当x∈0,5时,f′x<0；当x∈5,＋∞时,f′x>0.∴fx的增区间为5,＋∞,减区间为0,5.考点三已知函数的单调性求参数例32017·西安模拟已知函数fx＝ln x,gx＝错误!ax2＋2xa≠0.1若函数hx＝fx－gx存在单调递减区间,求a的取值范围；2若函数hx＝fx－gx在1,4上单调递减,求a的取值范围.解1hx＝ln x－错误!ax2－2x,x>0.∴h′x＝错误!－ax－2.若函数hx在0,＋∞上存在单调减区间,则当x>0时,错误!－ax－2<0有解,即a>错误!－错误!有解.设Gx＝错误!－错误!,所以只要a>Gx min.又Gx＝错误!错误!－1,所以Gx min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是－1,＋∞.2由hx在1,4上单调递减,∴当x∈1,4时,h′x＝错误!－ax－2≤0恒成立,则a≥错误!－错误!恒成立,所以a≥Gx max.又Gx＝错误!错误!－1,x∈1,4因为x∈1,4,所以错误!∈错误!,所以Gx max＝－错误!此时x＝4,所以a≥－错误!.当a＝－错误!时,h′x＝错误!＋错误!x－2＝错误!＝错误!,∵x∈1,4,∴h′x＝错误!≤0,当且仅当x＝4时等号成立.∴hx在1,4上为减函数.故实数a的取值范围是错误!.训练3已知函数fx＝x3－ax－1.1若fx在R上为增函数,求实数a的取值范围；2若函数fx的单调减区间为－1,1,求a的值.解1因为fx在R上是增函数,所以f′x＝3x2－a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a＝0时,f′x＝3x2≥0,当且仅当x＝0时取等号.∴fx＝x3－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是－∞,0.2f′x＝3x2－a.当a≤0时,f′x≥0,fx在－∞,＋∞上为增函数,所以a≤0不合题意.当a>0时,令3x2－a<0,得－错误!<x<错误!,∴fx的单调递减区间为错误!,依题意,错误!＝1,即a＝3.第3讲导数与函数的极值、最值知识梳理1.函数的极值与导数的关系1函数的极小值与极小值点:若函数fx在点x＝a处的函数值fa比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′a＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′x<0,右侧f′x>0,则点a叫做函数的极小值点,fa叫做函数的极小值.2函数的极大值与极大值点:若函数fx在点x＝b处的函数值fb比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′b＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′x>0,右侧f′x<0,则点b叫做函数的极大值点,fb叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系1函数fx在a,b上有最值的条件:如果在区间a,b上函数y＝fx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.2求y＝fx在a,b上的最大小值的步骤考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值例1设函数fx在R上可导,其导函数为f′x,且函数y＝1－xf′x的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是A.函数fx有极大值f2和极小值f1B.函数fx有极大值f－2和极小值f1C.函数fx有极大值f2和极小值f－2D.函数fx有极大值f－2和极小值f2解析由题图可知,当x<－2时,1－x>3,此时f′x>0；当－2<x<1时,0<1－x<3,此时f′x<0；当1<x<2时,－1<1－x<0,此时f′x<0；当x>2时,1－x<－1,此时f′x>0,由此可以得到函数fx在x＝－2处取得极大值,在x＝2处取得极小值.答案D命题角度二求函数的极值例2求函数fx＝x－a ln xa∈R的极值.解由f′x＝1－错误!＝错误!,x>0知：1当a≤0时,f′x>0,函数fx为0,＋∞上的增函数,函数fx无极值；2当a>0时,令f′x＝0,解得x＝a.又当x∈0,a时,f′x<0；当x∈a,＋∞,f′x>0,从而函数fx在x＝a处取得极小值,且极小值为fa＝a－a ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数fx无极值；当a>0时,函数fx在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.命题角度三已知极值求参数例3已知关于x的函数fx＝－错误!x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值－错误!,试求b,c 的值.解∵f′x＝－x2＋2bx＋c,由fx在x＝1处有极值－错误!,可得错误!解得错误!或错误!若b＝1,c＝－1,则f′x＝－x2＋2x－1＝－x－12≤0,fx没有极值.若b＝－1,c＝3,则f′x ＝－x2－2x＋3＝－x＋3x－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：∴当x＝1时,fx有极大值－错误!,满足题意.故b＝－1,c＝3为所求.训练1设函数fx＝ax3－2x2＋x＋ca>0.1当a＝1,且函数图象过0,1时,求函数的极小值；2若fx在R上无极值点,求a的取值范围.解由题意得f′x＝3ax2－4x＋1.1函数图象过0,1时,有f0＝c＝1.当a＝1时,f′x＝3x2－4x＋1.令f′x>0,解得x<错误!或x>1；令f′x<0,解得错误!<x<1.所以函数在错误!和1,＋∞上单调递增；在错误!上单调递减.故函数fx的极小值是f1＝13－2×12＋1＋1＝1. 2若fx在R上无极值点,则fx在R上是单调函数,故f′x≥0或f′x≤0恒成立.当a＝0时,f′x＝－4x＋1,显然不满足条件；当a≠0时,f′x≥0或f′1≤0恒成立的充要条件是Δ＝－42－4×3a×1≤0,即16－12a≤0,解得a≥错误!.综上,a的取值范围是错误!.考点二利用导数求函数的最值例4 2017·郑州模拟已知函数fx＝x－k e x.1求fx的单调区间；2求fx在区间0,1上的最小值.解1由fx＝x－k e x,得f′x＝x－k＋1e x,令f′x＝0,得x＝k－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：所以,fx的单调递减区间是－∞,k－1；单调递增区间是k－1,＋∞.2当k－1≤0,即k≤1时,函数fx在0,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为f0＝－k,当0<k－1<1,即1<k<2时,由1知fx在0,k－1上单调递减,在k－1,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为fk－1＝－e k－1.当k－1≥1,即k≥2时,函数fx在0,1上单调递减,所以fx在区间0,1上的最小值为f1＝1－k e.综上可知,当k≤1时,fx min＝－k；当1<k<2时,fx min＝－e k－1；当k≥2时,fx min＝1－k e.训练2设函数fx＝a ln x－bx2x>0,若函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切,1求实数a,b的值；2求函数fx在错误!上的最大值.解1由fx＝a ln x－bx2,得f′x＝错误!－2bxx>0.∵函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切.∴错误!解得错误!2由1知fx＝ln x－错误!x2,则f′x＝错误!－x＝错误!,当错误!≤x≤e时,令f′x>0,得错误!<x<1,令f′x<0,得1<x<e,∴fx在错误!上单调递增,在1,e上单调递减,∴fx max＝f1＝－错误!.考点三函数极值与最值的综合问题例5已知函数fx＝错误!a>0的导函数y＝f′x的两个零点为－3和0.1求fx的单调区间；2若fx的极小值为－e3,求fx在区间－5,＋∞上的最大值.解1f′x＝错误!＝错误!.令gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c,由于e x>0.令f′x＝0,则gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c＝0,∴－3和0是y＝gx的零点,且f′x与gx的符号相同.又因为a>0,所以－3<x<0时,gx>0,即f′x>0,当x<－3或x>0时,gx<0,即f′x<0,所以fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.2由1知,x＝－3是fx的极小值点,所以有错误!解得a＝1,b＝5,c＝5,所以fx＝错误!.因为fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.所以f0＝5为函数fx的极大值,故fx在区间－5,＋∞上的最大值取f－5和f0中的最大者,又f－5＝错误!＝5e5>5＝f0,所数fx在区间－5,＋∞上的最大值是5e5.训练3 2017·衡水中学月考已知函数fx＝ax－1－ln xa∈R.1讨论函数fx在定义域内的极值点的个数；2若函数fx在x＝1处取得极值,x∈0,＋∞,fx≥bx－2恒成立,求实数b的最大值.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝a－错误!＝错误!.当a≤0时,f′x≤0在0,＋∞上恒成立,函数fx在0,＋∞上单调递减.∴fx在0,＋∞上没有极值点.当a>0时,由f′x<0,得0<x<错误!；由f′x>0,得x>错误!,∴fx在错误!上递减,在错误!上递增,即fx在x＝错误!处有极小值.综上,当a≤0时,fx在0,＋∞上没有极值点；当a>0时,fx在0,＋∞上有一个极值点.2∵函数fx在x＝1处取得极值,∴f′1＝a－1＝0,则a＝1,从而fx＝x－1－ln x.因此fx≥bx－21＋错误!－错误!≥b,令gx＝1＋错误!－错误!,则g′x＝错误!,令g′x＝0,得x＝e2,则gx在0,e2上递减,在e2,＋∞上递增,∴gx min＝g e2＝1－错误!,即b≤1－错误!.故实数b的最大值是1－错误!.第4讲导数与函数的综合应用考点一利用导数研究函数的性质例12015·全国Ⅱ卷已知函数fx＝ln x＋a1－x.1讨论fx的单调性；2当fx有最大值,且最大值大于2a－2时,求a的取值范围.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝错误!－a.若a≤0,则f′x>0,所以fx在0,＋∞上单调递增.若a>0,则当x∈错误!时,f′x>0；当x∈错误!时,f′x<0.所以fx在错误!上单调递增,在错误!上单调递减.2由1知,当a≤0,fx在0,＋∞上无最大值；当a>0时,fx在x＝错误!取得最大值,最大值为f 错误!＝ln错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1.因此f 错误!>2a－2等价于ln a＋a－1<0.令ga＝ln a＋a－1,则ga在0,＋∞上单调递增,g1＝0.于是,当0<a<1时,ga<0；当a>1时,ga>0.因此,a的取值范围是0,1.训练1设fx＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax.1若fx在错误!上存在单调递增区间,求a的取值范围；2当0＜a＜2时,fx在1,4上的最小值为－错误!,求fx在该区间上的最大值.解1由f′x＝－x2＋x＋2a＝－错误!错误!＋错误!＋2a,当x∈错误!时,f′x的最大值为f′错误!＝错误!＋2a；令错误!＋2a＞0,得a＞－错误!.所以,当a＞－错误!时,fx在错误!上存在单调递增区间.2已知0＜a＜2,fx在1,4上取到最小值－错误!,而f′x＝－x2＋x＋2a的图象开口向下,且对称轴x＝错误!,∴f′1＝－1＋1＋2a＝2a＞0,f′4＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0,则必有一点x0∈1,4,使得f′x0＝0,此时函数fx在1,x0上单调递增,在x0,4上单调递减,f1＝－错误!＋错误!＋2a＝错误!＋2a＞0,∴f4＝－错误!×64＋错误!×16＋8a＝－错误!＋8a＝－错误!a＝1.此时,由f′x0＝－x错误!＋x0＋2＝0x0＝2或－1舍去,所以函数fx max＝f2＝错误!.考点二利用导数研究函数的零点或方程的根例2 2015·北京卷设函数fx＝错误!－k ln x,k>0.1求fx的单调区间和极值；2证明：若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点. 1解由fx＝错误!－k ln xk>0,得x>0且f′x＝x－错误!＝错误!.由f′x＝0,解得x＝错误!负值舍去.fx与f′x在区间0,＋∞上的情况如下：所以fx的单调递减区间是0,错误!,单调递增区间是错误!,＋∞.fx在x＝错误!处取得极小值f错误!＝错误!.2证明由1知,fx在区间0,＋∞上的最小值为f错误!＝错误!.因为fx存在零点,所以错误!≤0,从而k≥e.当k＝e时,fx在区间1,错误!上单调递减,且f错误!＝0,所以x＝错误!是fx 在区间1,错误!上的唯一零点.当k>e时,fx在区间0,错误!上单调递减,且f1＝错误!>0,f错误!＝错误!<0,所以fx在区间1,错误!上仅有一个零点.综上可知,若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点.训练22016·北京卷节选设函数fx＝x3＋ax2＋bx＋c.1求曲线y＝fx在点0,f0处的切线方程；2设a＝b＝4,若函数fx有三个不同零点,求c的取值范围.解1由fx＝x3＋ax2＋bx＋c,得f′x＝3x2＋2ax＋b.因为f0＝c,f′0＝b,所以曲线y＝fx 在点0,f0处的切线方程为y＝bx＋c.2当a＝b＝4时,fx＝x3＋4x2＋4x＋c,所以f′x＝3x2＋8x＋4.令f′x＝0,得3x2＋8x＋4＝0,解得x＝－2或x＝－错误!.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下：所以,当c>0且c－错误!<0,存在x1∈－4,－2,x2∈错误!,x3∈错误!,使得fx1＝fx2＝fx3＝0.由fx的单调性知,当且仅当c∈错误!时,函数fx＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.考点三导数在不等式中的应用命题角度一不等式恒成立问题例32017·合肥模拟已知fx＝x ln x,gx＝x3＋ax2－x＋2.1如果函数gx的单调递减区间为错误!,求函数gx的解析式；2对任意x∈0,＋∞,2fx≤g′x＋2恒成立,求实数a的取值范围.解1g′x＝3x2＋2ax－1,由题意3x2＋2ax－1<0的解集是错误!,即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－错误!,1.将x＝1或－错误!代入方程3x2＋2ax－1＝0,得a＝－1.所以gx＝x3－x2－x ＋2.2由题意2x ln x≤3x2＋2ax－1＋2在x∈0,＋∞上恒成立,可得a≥ln x－错误!x－错误!,设hx＝ln x－错误!x－错误!,则h′x＝错误!－错误!＋错误!＝－错误!,令h′x＝0,得x＝1或－错误!舍,当0<x<1时,h′x>0,当x>1时,h′x<0,所以当x＝1时,hx取得最大值,hx max＝－2,所以a≥－2,所以a的取值范围是－2,＋∞.训练3已知函数fx＝x2－ln x－ax,a∈R.1当a＝1时,求fx的最小值；2若fx>x,求a的取值范围.解1当a＝1时,fx＝x2－ln x－x,f′x＝错误!.当x∈0,1时,f′x<0；当x∈1,＋∞时,f′x>0.所以fx的最小值为f1＝0.2由fx>x,得fx－x＝x2－ln x－a＋1x>0.由于x>0,所以fx>x等价于x－错误!>a＋1.令gx ＝x－错误!,则g′x＝错误!.当x∈0,1时,g′x<0；当x∈1,＋∞时,g′x>0.故gx有最小值g1＝1.故a＋1<1,a<0,即a的取值范围是－∞,0.命题角度二证明不等式例42017·昆明一中月考已知函数fx＝ln x－错误!.1求函数fx的单调递增区间；2证明：当x>1时,fx<x－1.1解f′x＝错误!－x＋1＝错误!,x∈0,＋∞.由f′x>0得错误!解得0<x<错误!.故fx的单调递增区间是错误!.2证明令Fx＝fx－x－1,x∈0,＋∞.则有F′x＝错误!.当x∈1,＋∞时,F′x<0,所以Fx在1,＋∞上单调递减,故当x>1时,Fx<F1＝0,即当x>1时,fx<x－1.故当x>1时,fx<x－1.训练4 2017·泰安模拟已知函数fx＝ln x.1求函数Fx＝错误!＋错误!的最大值；2证明：错误!＋错误!<x－fx；1解Fx＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!,F′x＝错误!,当F′x>0时,0<x<e；当F′x<0时,x>e,故Fx在0,e上是增函数,在e,＋∞上是减函数,故Fx max＝F e＝错误!＋错误!.2证明令hx＝x－fx＝x－ln x,则h′x＝1－错误!＝错误!,当h′x<0时,0<x<1；当h′x>0时,x>1,故hx在0,1上是减函数,在1＋∞上是增函数,故hx min＝h1＝1.又Fx max＝错误!＋错误!<1,故Fx<hx,即错误!＋错误!<x－fx.。
高考数学复习导数与函数的凹凸性
高考数学复习导数与函数的凹凸性导数与函数的凹凸性随着高考的临近，数学复习成为了每一位考生必须要面对的重要任务。
而导数与函数的凹凸性正是数学中一个重要的概念，它在高考数学文科试卷中占有很大的比重。
因此，了解和掌握导数与函数的凹凸性的概念和性质对于考生们来说是至关重要的。
本文将介绍导数的概念、凹凸性的定义与判定以及应用实例，帮助考生更好地理解和应用这一知识点。
一、导数的概念导数是微积分中的重要概念，用来描述函数变化的快慢程度。
在数学中，导数描述了一个函数在某一点上的斜率或者切线的斜率，可以理解为函数在该点上的瞬时变化率。
具体定义如下：设函数y=f(x)，若极限lim [f(x+h)-f(x)]/hh→0存在，且与x的选取无关，那么称这个极限为函数f(x)在x处的导数，记作f'(x)或dy/dx。
在导数的定义中，h是一个变量，表示x的增量。
导数的定义是通过求极限来得到的，因此导数是一个极限概念。
它不仅能够解释函数在某一点上的瞬时变化率，还可以用来研究函数的凹凸性。
二、凹凸性的定义与判定凹凸性是函数的一个重要性质，它描述了函数曲线的形状。
在数学中，我们可以通过导数的符号变化来判定函数的凹凸性。
具体定义如下：（1）凹函数：若函数的导数单调递增，则称该函数为凹函数。
即对于函数f(x)，如果f'(x)在[a,b]上单调递增，则称f(x)在[a,b]上是凹函数。
（2）凸函数：若函数的导数单调递减，则称该函数为凸函数。
即对于函数f(x)，如果f'(x)在[a,b]上单调递减，则称f(x)在[a,b]上是凸函数。
根据凹凸函数的定义，我们可以通过计算函数的导数来判断函数的凹凸性。
如果导数单调递增，则函数为凹函数；如果导数单调递减，则函数为凸函数；如果导数在某一区间内既递增又递减，则函数在该区间上既是凹函数又是凸函数。
三、凹凸性的应用实例除了基本的凹凸性的定义与判定外，导数与函数的凹凸性在问题求解过程中还有很多实际应用。
高考数学函数与导数复习指导
高考数学函数与导数复，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。
8.求极值，函数单调性，应用题，与三角函数或向量结合。
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2019高考数学函数与导数复习指导
函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，在近几年的高考中，函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分。
一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题，而且常考常新。
在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。
在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。
其主要表现在：
1.通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。
2.在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。
3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。
4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。
5.涌现了一些函数新题型。
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素
养煞费苦心。
其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练
工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
8.求极值，函数单调性，应用题，与三角函数或向量结合。