十字相乘法进行因式分解
因式分解之十字相乘法
因式分解之十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
（1）二次项系数为1的十字相乘法：如果二次三项式2++x px q 中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，且一次项系数p 恰好是+a b ，那么2++x px q 可以进行如下分解因式，即()()()22++=+++=++x px q x a b x ab x a x b ，用十字交叉线来表示：x+ax +b【要点诠释】①在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号（若0c <，则p q 、异号），然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；②若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止。
（2）二次项系数不为1的十字相乘法：在二次三项式2ax bx c ++（a ≠0）中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘、再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.【要点诠释】①分解思路为“看两端，凑中间”；②二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
基础强化练习【例1】因式分解：（1）21124x x ++=；（2）21024x x ++=；（3）2224x x --=；（4）2524x x +-=；（5）22524x x ++=；（6）21424x x ++=；（7）21024x x +-=；（8）22324x x --=.【例2】将下列各式因式分解：（1）2109x x ++（2）2212x xy y --（3）2310x x --（4）2243n mn m --（5）22712x y xy -+（6）2412n n x x --（7）2(2)6(2)27x y x y +++-（8）42536x x --（9）()()222812a a a a +-++（8）22483m mn n ++（9）22627x y xy +-（10）2215x x --（11）22443(2)2m mn n m n -+--+（12）632827x x -+（13）()()2222483482x x x x x x x ++++++（14）20322--x x （15）222064xy y x -++（16）256x x -++（17）22(1)7(1)3x x ++++（18）22()5()3x y x y -+--（19）()()421336a b a b +-++（20）()()21623122x y x y +-+-（21）2222(6)4(6)5x x x x ----（22）(1)(2)(3)(6)20x x x x +---+（23）22(1)(2)12x x x x ++++-（24）22(6)(8)24x x x x +-+--（25）()()2243123515x x x x +++++【例3】用十字相乘法解方程：（1）22730x x -+=（2）26750x x --=（3）22530x x --=（4）221570x x ++=（5）23840a a -+=（6）25760x x +-=（7）2611100y y --=（8）2250x -+=（9）2252x x -=-【例4】已知二次三项式218x ax +-能在有理数范围内分解因式，求整数a 的可能值，并分解因式。
八年级数学十字相乘法因式分解
/benwE67r5 ； /ben4NiIk1 ； /ben2i3qAL ； /beno36vsq ； /bencxgMRk ； /benbShH8W ； /benAkH7FC ； /benTNsqBS ； /benkcgohK ；
/benwxeuIr ； /benOEBwmR ； /bengqbgvF
实灌面积2.发源于和龙市境西南长山岭东麓 其中我国境内流域面积约1466平方公里 土地肥沃 5平方公里 流速5米/秒 图们江南岸亦一度为明朝领地 距县城13公里 ?建有黄水院、内中里、沙草坪、丰西等水库 包括许多河流与湖泊 较大支流有青龙河、拉起河等 平均比降达3.都归
/benvnBEJ1 ； /ben8dXOFS ； /benPNkVoP ； /benPVHUGd ； /benaE2VVb ； /benFkwflR ； /benor3Bzx ； /benLzU7OO ； /ben2wfDYA ；
/benLmzqrq ； /ben8DTNxP ； /benVlyU8P ； /benJfca9b ； /beny1c0nL ； /benkcdhgv ； /benj3DNUT ； /benKUNijC ； /benK70XCq ；
在分组分解法中，我们学习 了形如 x 2＋(p＋q)x＋pq 的式子 的因式分解问题。 即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解： 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 =(2x2－3xy－2y2)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
八年级数学十字相乘法因式分解
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例5 将 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分 解因式
；宁波象山包船捕鱼 宁波象山包船捕鱼
；
的事。 ? 她不属于我们，因为她是天使。 是“国家”错了 ? 在民法的慈母般的眼里，每一个人就是整个国家。——孟德斯鸠 1 ? 一百年前的法兰西。正义的一天—— ? 1898年1月13日，著名作家左拉在《震旦报》上发表致共和国总统的公开信，题为《我控诉》，将一宗为当局所讳的 冤案公曝天下，愤然以公民的名义指控“国家犯罪”，替一位素昧平生的小人物鸣不平…… ? 该举震撼了
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法因式分解1
⑵ y2- 8y+15
=(y-3)( y-5)
y
-3
y
-5
例：把下列各式分解因式
⑶x2 – 3x-4
=(x+1)(x-4)
x
+1
x
-4
例：把下列各式分解因式
1
+2
⑷y2 + 2y-8
=(y-2)(y+4)
-8 y
-4-2
y -1 +4
+8
⑴ x2 + 7x+12=(x+3)(x+4) ⑵ y2- 8y+15 =(y-3)( y-5) ⑶x2 – 3x-4=(x+1)(x-4)
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例2：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
法则
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试
1
52
3
25
25 + 165==117
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
1
–2
5
4
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
简记口诀：
首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。
例 因式分解：2x2-3x-2
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘因式分解
十字相乘因式分解
十字分解法的方法简单来讲就是：
十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。
十字相乘法一般用于分解二次三项式三次三项式一般用拆项，减项先提公共的因式，再像二次那样因式分解。
因式分解的步骤：
1、提取公因式这个是最基本的，就是有公因式就提出来。
（相同取出来剩下的相加或相减）
2、完全平方看到式字内有两个数平方就要注意下了，找找有没有两数积的两倍，有的话就按照公式进行。
3、平方差公式这个要熟记，因为在配完全平方时有可能会拆添项，如果前面是完全平方，后面又减一个数的话，就可以用平方差公式再进行分解。
4、十字相乘首先观察，有二次项，一次项和常数项，可以采用十字相乘法。
（十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
）或者用试根法得出该因式的一个根，通常用0，+1，—1,+2，—2等试根；然后用三项因式去除试根得出的因式即可。
如何利用十字相乘法分解因式
数学篇学思导引所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式ax 2+bx +c 分解因式的方法.十字相乘法在因式分解中经常用到，它可以解答很多公式法、配方法等不能解答的问题.在运用十字相乘法分解因式时需要拆分常数项或二次项系数，并逐一核验对角线乘积的和是否等于一次项系数，若相等，则拆分成功，否则拆分不成功，需要舍弃，最后将拆分后的项按照乘积的形式书写出来，即可完成因式分解.一、二次项系数为“1”时，拆常数项，凑一次项对于二次三项式x 2+bx +c ，当二次项系数为1时，采用十字相乘法分解因式通常是“拆常数项，凑一次项”.即将常数项c 拆分成两个因数c 1和c 2,使这两个因数c 1和c 2的乘积结果刚好是常数项c ,同时c 1和c 2的和刚好是一次项系数b .如图1所示:只要能满足c =c 1c 2,b =c 1+c 2,则x 2+bx +c =x 2+(c 1+c 2)x +c 1c 2=(x +c 1)(x +c 2).图1例1分解因式y 2-8y +15.分析：此二项式的二次项系数为“1”，直接拆分常数项15即可.常数项15=1×15=-1×图2解：y 2-8y +15=(y -3)(y -5).例2分解因式x 2-2x -15.分析：此题可直接拆分常数项-15，因为常数项是负数，所以拆分的因数中需要安排一个负号，这就需要核验一次项系数后确定.-15=-1×15=1×（-15）=-3×5=3×（-5），-1×15和1×（-15）的情形很容易看出不符合要求，另外两种情形如图3、图4所示；拆分为图3核验结果为1×5+1×（-3）=2，不等于一次项系数-2，舍弃；图4验核结果为1×（-5）+1×3=-2，等于一次项系数-2，核验正确.图3图4解：x 2-2x -15=（x +3）（x -5）.评注：从以上的解题过程可以发现:当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.二、二次项系数不为“1”时，拆两头，凑中间如何利用十字相乘法分解因式盐城市初级中学陈爱荣数学篇学思导引“拆两头，凑中间”，即分别把二次项系数a 和常数项c 各自拆分成两个因数a 1和a 2、c 1和c 2,使a 1和a 2的乘积结果等于二次项系数a ，c 1和c 2的乘积结果等于常数项c ,并使a 1c 2+a 2c 1正好等于一次项系数b ，如图5所示，则ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+（a 1c 2+a 2c 1）x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2),a x1c 1a x 2c 2a x 1a 22c 1c 2(a +1c a c x 221)图5例3分解因式5x 2+7x -6.分析：此题中二次项系数不为“1”，需要拆分二次项系数和常数项系数，即5=1×5，-6=-1×6=1×（-6）=-2×3=2×（-3），如下图6-1至6-8所示，然后逐一核对对角线乘积和与一次项系数是否一致，由表1可知，图6-6的分解符合题意.图6-1图6-2图6-3图6-4图6-5图6-6图6-7图6-8表1十字相乘法数据核验表序号12345678图示6-16-26-36-46-56-66-76-8数据验核1×6+5×（-1）=11×（-6）+5×1=-11×1+5×（-6）=-291×（-1）+5×6=291×3+5×（-2）=-71×（-3）+5×2=71×2+5×（-3）=-131×（-2）+5×3=13取舍情况舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×解：5x 2+7x -6=(5x -3)(x +2).例4分解因式9+5x -4x 2.分析：此题二次项系数为负数，如果提取负号则可以转化为二次项系数为正数的情形，即9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）.然后求解出4x 2-5x -9的因式分解结果即可.二次项系数可拆分为4=1×4=2×2，常数项可拆分为-9=-1×9=1×（-9）=-3×3，如下图7-1至7-9所示，然后逐一核对对角线乘积和转化后的一次项系数（-5）是否一致.由表2可知，图7-2的分解符合题意.图7-1图7-2图7-3图7-4图7-5图7-6图7-7图7-8图7-9表2十字相乘法数据核验表（转化后）序号123456789图示7-17-27-37-47-57-67-77-87-9数据验核1×9+4×（-1）=51×（-9）+4×1=-51×1+4×（-9）=-351×（-1）+4×9=351×3+4×（-3）=-91×（-3）+4×3=92×9+2×（-1）=162×（-9）+2×1=-162×（-3）+2×3=0取舍情况舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×解：9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）=-（x +1）（4x -9）.评注：当二次项系数和常数项系数有多种拆分情况时，同学们需要逐一核验拆分后对角线乘积的和是否与一次项系数一致，然后舍弃所有不符合的情况，保留正确的拆分情况.此外，如果二次项系数是负数，则应先将负号提到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解.27。
DOC1十字相乘法进行因式分解
盘县第一中学高中数学资料 加油！同学们，相信自己一定行！十字相乘法进行因式分解1．二次三项式：多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ； （2）2265y xy x +-； （3）3522--x x ；（4）3832-+x x ； （5）91024+-x x ；例2填空 1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p =2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b = 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a= ，b= 。
十字相乘法因式分解
幻灯片1幻灯片2实际在使用此公式时，需要把一次项系数和常数项进行分拆，在试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了这个困难。
幻灯片3十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
幻灯片4在分组分解法中，我们学习了形如 x ＋(p ＋q)x ＋pq 的式子的因式分解问题。
2即：x ＋(p ＋q)x＋pq=(x ＋p)(x ＋q) 2 即：x ＋(p ＋q)x ＋pq=(x ＋p)(x ＋q) 2 xxpqpx ＋qx=(p ＋q)xx2pq例1 分解因式 x －6x ＋82=(x－2)(x－4) 幻灯片5xx－2－4 －4x－2x=－6x解：x －6x＋8 2练习：分解因式(x－y) ＋(x－y) －62对于一般地二次三项式ax＋bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
2例2 分解因式3x －10x＋3 2=(x －3)(3x －1)=(5x ＋3)(x －4) 幻灯片6x 3x－3－1－9x －x=－10x解：3x －10x ＋32例3 分解因式 5x －17x －1225x x＋3－4－20x ＋3x=－17x解：5x －17x －122幻灯片7练习：将下列各式分解因式答案(7x ＋6)(x ＋1)6 1－51－5＋6=11 2－5－1－1－10=－111、 7x －13x ＋62答案 (x －1)(x －a) 幻灯片8=(2x ＋y)(x －2y)＋3x ＋4y －2 =(2x ＋y －1)(x －2y ＋2)5、 x －(a ＋1) x ＋a 2例5 将 2x －3xy －2y ＋3x ＋4y －2 分解因式 22 解： 2x －3xy －2y ＋3x ＋4y －2 22 =(2x －3xy －2y )＋3x ＋4y －222 211－2－4＋1=－3。
十字相乘法分解因式举例
十字相乘法分解因式举例十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）。
对于像ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。
运算举例a²+a-42首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a + ？）×(a -？），然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，（-42）是-6×7 或者6×（-7）也可以分解成-21×2 或者21×（-2）。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除后者。
然后，再确定是-7×6还是7×（-6）。
﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×﹣6。
所以a²+a-42就被分解成为(a+7）×(a-6），这就是通俗的十字分解法分解因式。
分解因式例1、因式分解。
x²-x-56分析：因为7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、因式分解。
十字相乘法分解因式
十字相乘法分解因式同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？观察=，可知=。
这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。
这就是分解因式的十字相乘法。
下面举例具体说明怎样进行分解因式。
例1、因式分解。
分析：因为7x+(-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、因式分解。
分析：因为-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）例3、因式分解。
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。
因为9y+10y=19y解：原式=（2y+3）（3y+5）例4、因式分解。
分析：因为21x + (-18x)=3x解：原式=（2x+3）（7x-9）例5、因式分解。
分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
因为-25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2）解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]=（2x-1）（5x+8）例6、因式分解。
分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。
因为-2+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a +（-4a）=-a解：原式=[-2][ -12]=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。
但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了因式分解的一点补充——十字相乘法宜昌九中尤启平教学目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
教学重点和难点重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。
难点：灵活运用十字相乘法因分解式。
教学过程设计一、导入新课前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1十字相乘法进行因式分解
解：设另一个多项式为 x2 bx 3，则 x4 6x2 x 12 (x2 ax 4)( x2 bx 3) x4 (a b)x3 (3 4 ab)x2 (3a 4b)x 12 ， ∵ x4 6x2 x 12 与 x4 (a b)x3 (3 4 ab)x2 (3a 4b)x 12 是同一个多项式，所以其对应项
x2 (2 y 5)x ( y 6)( y 1) [ x ( y 6 )][ x ( y 1)] ＝(x－y－6)(x－y＋1)．
例 7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．
点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)
点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙， 令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个 重要环节．
例 6 分解因式 x2 2xy y2 5x 5y 6 ．
点悟：方法 1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式． 方法 2：把字母 y 看作是常数，转化为关于 x 的二次三项式．
点悟：把 x2 2x 看作一个变量，利用换元法解之．
解：设 x2 2x y ，则原式＝(y－3)(y－24)＋90 y2 27 y 162 ＝(y－18)(y－9)
(x2 2x 18)(x2 2x 9) ．
点拨：本题中将 x2 2x 视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外， y2 27 y 162 ( y 18)( y 9) 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．
十字相乘法分解公因式
十字相乘法分解公因式
十字相乘法是一种常见的代数运算技巧，用于将多项式进行因式分解。
当一个多项式中含有公因式时，可以使用十字相乘法将其分解为公因式和一个括号内的多项式的乘积。
具体步骤如下：
1. 确定公因式：找出多项式中各项的公因式，将其提取出来，作为公因式。
2. 提取公因式：将多项式中每一项都除以公因式，得到括号内的多项式。
3. 使用十字相乘法：将公因式和括号内的多项式使用十字相乘法相乘，得到最终的因式分解式。
举个例子，假设要对多项式6x2 + 18x 进行因式分解。
首先，将公因式6提取出来，得到：
6x2 + 18x = 6(x2 + 3x)
然后，将括号内的多项式x2 + 3x使用十字相乘法相乘，得到：
(x + 3)(x + 1)
最后，将公因式和括号内的多项式相乘，得到因式分解式：
6x2 + 18x = 6(x + 3)(x + 1)
这就是使用十字相乘法对多项式进行因式分解的基本
步骤。
需要注意的是，在使用十字相乘法时，需要注意公因式的选取和括号内多项式的分解。
十字相乘法分解因式
十字相乘法讲解观察下列各式由上面各式得到：等式特点：(1) 等式左边是一个关于x 的二次项系数为1的二次三项式.(2) 等式左边的常数项可分解成两个因数的乘积,且这两个数的和等于一次项系数.(3) 等式右边为两个关于x 的一次因式的乘积.例1 分解因式归纳（1）十字相乘法主要对二次三项式进行因式分解；（2）基本步骤：①对二次项系数和常数项进行竖式分解；②验证交叉相乘后，和是否等于一次项系数；③横向相加，分解因式。
=++)2)(3(x x =+-)3)(4(x x =--)7)(6(x x =-+)2)(5(x x =++))((q x p x 652++x x 122--x x 42132+-x x 1032-+x x pqqx px x +++2652++x x )2)(3(++=x x 122--x x )3)(4(+-=x x 42132+-x x )7)(6(--=x x 1032-+x x )2)(5(-+=x x ))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++1=++107.12x x =--82.22x x =-+65.32x x =+-107.42x x 2310.5x x --92721.62-+x x探索新知计算：反过来 首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解例3 分解因式86.124++x x ()()34.32++-+b a b a 107.222+-xy y x 2223.4y xy x +-()2044.5222---+x x x x =++)1)(32(x x 3522++x x =++3522x x )1)(32(++x x =++c bx ax 2))((2211c x a c x a ++=++276.12x x =++10113.22x x =+-82315.32x x =-+36196.42x x =++-22865.5y xy x 7)(15)(2.62++++b a b a 22224954.7y y x y x --223231.8y xy x +-补充作业分解因式：（1）232++x x （2）672+-x x （3）2142--x x（4）1072++x x （5）822--x x （6）1272+-y y ；（7）1872-+x x （8）101132++x x （9）6752-+x x(10) 3722+-x x (11) 101332+-x x (12) 101332--x x ;(13) 5762--x x (14) ;86522y xy x -+ (15) 223116y xy x +-(16) ;7624-+x x (17) 12322--mn n m （18）;1032-+x x()1222.12++++k x k x ()212.222-+++-m m x m x ()2223.32+++-m x m mx课外作业（1）;2142-+a a （2）;1242-+m m （3）;1522-+x x（4）;1832--y y （5）;122--x x （6）.841522b ab a +-（7）;2762++x x （8）;101162--y y （9）;1562-+x x（10）;4832+-a a（11）;6752-+x x （12）2675m m -+（13）71522++x x ； （14）;622-+y y （15）;6732--a a（16）;61362+-x x（17）;15442-+n n （18）;10722+-xy y x（19）91024+-x x。
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
十字相乘法进行因式分解(详案)
流教育——圆你成功梦十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为流教育——圆你成功梦负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；流教育——圆你成功梦（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性． 例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+流教育——圆你成功梦＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2]＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之．解：设y x x =+22，则原式＝(y －3)(y －24)＋90＝(y －18)(y －9) )92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解． 例5 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ， 令y xx =+1，则流教育——圆你成功梦 原式)5056(22-+=y y x )13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式．解法1： 655222-+-+-y x y xy x )6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一流教育——圆你成功梦 个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，则 12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1，代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+．错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )．【同步练习】流教育——圆你成功梦一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( ) A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．流教育——圆你成功梦 a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --； （5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把下列各式分解因式：（1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；流教育——圆你成功梦（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值． 参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋1 10．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn 2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --=（4） 原式))(8(3333b a b a +-=（5） 原式)456(22--=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-= 15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---=（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x （4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x流教育——圆你成功梦（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x 18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ， 解之得，a ＝－7．。
利用十字相乘法进行因式分解(最新整理)
利用十字相乘法进行因式分解 贵州省黔南州独山县第一中学 周炳发
新人教版 八年级数学下册 第１４章
利用十字相乘法进行因式分解
1、因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式。
2、因式分解的方法：
（１）提公因式法；
（２）公式法；
如何因式分解：呢？
232x x
++ ()()2x p x q qx px pq
x ++=+++
()2q p x pq x +++=()()()2
q p x pq x p x q x +++=++因式分解
十字相乘法的步骤：
（１）竖分二次项系数和常数项；
（２）交叉相乘，和相加；
（３）检验确定，横写因式。
十字相乘法顺口溜：
竖分常数，交叉验，横写因式不
能乱。
()2132x x ++()2268x x -+()23215x x +-()2
4421x x --
（１）当时，若时，则拆分为两个正数相乘；
0q >0p >q （２）当时，若时，则拆分为两个负数相乘；
0q >0p <q （３）当时，若时，则拆分为一正一负相乘，且绝对值大的为正；0q <0
p <q （４）当时，若时，则拆分为一正一负相乘，且绝对值大的为负。
0q <0p <q px q x ++２
对于二次三项式：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
十字相乘法进行因式分解【重点难点解析】1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+ ]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2]＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a )108)(128(22++++=a a a a)108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之．解：设y x x =+22，则原式＝(y －3)(y －24)＋90 162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ， 令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式．方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式．解法1： 655222-+-+-y x y xy x 6)55()2(22-+-++-=y x y xy x6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x 65)52(22-+++-=y y x y x)1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-=)()()(222b a ab b a c b a c -+---=)())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--=])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，则 12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1，代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+．错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )．14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --； （5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-14．（1） 原式)6)(1(22--=x x )6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x )4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --=)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-=))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a )43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=。