粘弹性方程-开题报告

开题报告表

课题名称一类非线性粘弹性方程解的整体存在性

课题来源自选题目课题类型DX 指导老师李文清

学生姓名樊辰光学号200911002104 专业信息与计算科学1.调研资料的准备，设计的目的、要求、思路与预期成果

偏微分方程作为数学的一个分支出现于18世纪，最早得到系统研究的是三种基本的数学物理方程：波动方程，热传导方程和调和方程．所采用的主要工具是经典分析。到了20世纪，随着现代科学技术和其他各数学分支的发展，偏微分方程理论的研究已经突破了经典理论的局限，而在更一般的框架中讨论问题已经成为十分必要和可能了。人们发现，固体力学、电磁学、生物学甚至金融等众多应用领域的基本规律，都可以转化为微分方程来研究。这不仅可以洞察现象的本质、得到定性特征、还能够做出新的预言。人们将它应用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效。

随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题已经日益引起人们的广泛关注，非线性偏微分方程初边值问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前非线性科学领域中最为活跃的研究课题之一。

粘弹性理论是固体力学的研究分支，有不少工程材料，如混凝土、高聚合材料、某些生物组织以及处于高速变形状态的金属材料，既具有弹性性质，又具有粘性性质，这种兼具弹性性质和粘性性质的材料称为粘弹性体。在外力作用下，粘弹性体产生弹性变形，而且变形还随时间而变化，因此用弹性力学方法来研究粘弹性体就不能反映实际情况。粘弹性理论与弹性力学的主要区别在于应力－应变关系不同。因此,粘弹性体的应力－应变关系就成为粘弹性理论的主要研究内容。

近几年，非线性粘弹性本构理论，断裂理论和应用都取得了很大进展。人们借助于非线性模型来充分研究年弹性固体的行为，随着研究广度和研究深度的进步，不少学者推导出其运动方程是积分-偏微分方程，用经典的Galerkin方法可把它简化为非线性积分-微分方程。最者粘弹性力学的理论进展和广泛应用，粘弹性方程初边植问题成为近几年数学界讨论的热点话题之一。含有记忆项的粘弹性方程的研究成为偏微分方程中的重要课题。

1.1 调研资料：

[1]Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J. Existence and uniform decay for

a nonlinear viscoalastic equation with strong damping [M].2001 .

[2]Tater N,Messaoudi S A. Exponential and polynomial decay for a quasilinear viscoelastic equation[M]Nonlinear Analysis,2008(68)785-793

[3]韩小森，王明新，带非线性阻尼的粘弹方程解的整体存在性和一致衰减性，[M].2009

[4]Shuntang Wu.General decay of solutions for a viscoelastic equation with nonlinear damping and source terms [M].2011.

[5]Xiaosen Han,Mingxin Wang,General decay of energy for a viscoelastic equat ion with nonlinear damping [M].2009

[6]Wenjun Liu. Exponential or polynomial decay of solutions to a viscoelastic equation

with nonlinear localized damping [M].2010.

[7]同济大学数学系主编，高等数学[M].高等教育出版社，1979.

[8]张全德，非线性波动方程整体解的存在性与唯一性[J].陕西师大学报(自然科学

版),20(1992)81—82.

[9]Messaoudi A,Berrimi S. Existence and decay of solutions of a viscoalastic equ ation with a nonlinear source[M].Nonlinear Analysis,2006,2314-2331

[10]Tater N,Messaoudi S A. Global existence and uniform stability of solutions for a quasilinear viscoelastic problem. [M].

[11]苗长兴 非线性波动方程的现代方法[M].2005.

[12]Lions J L,Strauss W A. Some nonlinear evolution equations[M]. 1965(01).

[13]Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differe ntial Equations [M].1983.

[14]谷超豪，李大潜，沈玮熙，应用偏微分方程[M].高等教育出版社，1993.

[15]陆启韶，常微分方程的定性方法和分叉[M].北京航天大学出版社，1989.

[16]Tater N,Messaoudi S A.Global Existence and Asymptotic Behavior for a Nonlinear Viscoelastic Problem[M].

[17]张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜，微分方程定性理论[M].科学出版社，1985.

1.2 设计目的

综合以上参考文献，Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J 已经研究过方程 ⎰=∆-∆-+∆-∆-t

t tt tt t u d u t g u u u u 00)()(γτττρ ,0x t ∈Ω≥ （1.1） 具有初边值01(,0)(),(,0)(),,t u x u x u x u x x ==∈Ω

(,)0u x t =，,0x t ∈∂Ω≥。

他们得出松弛函数以指数形式衰减时，得到了能量的一致衰减。

Tater N,Messaoudi S A 研究过如下方程

u u b u d u t g u u u u p t t tt tt t 20)()(-⎰=∆-∆-+∆-∆-γτττρ ,0x t ∈Ω≥ （1.2）

初边值条件同（1.1）。用改进的位势井方法得出了整体解的存在性且能量以指数形式衰减。

吴舜堂研究了方程

u u u u d u t g u u u u p

t t m t tt tt t ⎰=+∆-+∆-∆-0)()(τττρ ,0x t ∈Ω≥ （1.3） 刘文俊研究了方程

⎰=++∆-+∆-t t m t tt u u b u u x a d u t g u u 00)()()(γ

τττ ,0x t ∈Ω≥ （1.4） 受上述文献的启发，本课题拟研究如下方程