四点共圆在解题中的应用

BC=4，△AOE 的面积为 6，则 cos∠BOE=＿＿＿.
A
D
如图 10 所示，∠ABC+∠COE = 180°，则 点 A、E、D、B 四点共圆，即：∠BOE=∠BCE。 （转化角）
由题目已知条件可求：CE=AE=6，
∴cos∠BOE= cos∠BCE= BC 4 2 CE 6 3
O E
CB
图1
C
图2
图 11
图 12
如图 12 所示，此题亦可过 O 点作 OM⊥AG，作 ON⊥BE，通过证明△BON≌△AOM，得到 OM=ON， 根据角平分线的判定得到 HO 平分∠BHG。
【知识拓展】
【思路五】相交弦定理的逆定理：对于凸四边形 ABCD 其对角线 AC、BD 交于 P，AP PC BP PD 四点共圆。（如图 13）
圆），∠A 与∠C 之间有什么关系？
由图 3，结合圆心角和圆周角的关系可得，∠A+∠C=180°，由此得圆周角定理的一个推论：
圆的内接四边形的对角互补。反之，若对于凸四边形 ABCD，对角互补，则四点共圆。
图1
图2
图3
结合圆的其他性质和推论，我们一起来梳理一下证明四点共圆的几种方法: 【思路一】先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。
【思路六】割线定理：对于凸四边形 ABCD 其边的延长线 AB、CD 交于 P，PA PB PC PD 四
点共圆。（如图 14）
【思路七】托勒密定理的逆定理：对于凸四边形 ABCD， AB CD AD BC AC BD 四点共
圆。（如图 15）
图 13
图 14
图6
图7
图8
【思路五】对于凸四边形 ABCD，对角互补，则四点共圆。
如上图 3 所示，若∠A+∠C=180°，则点 A、B、C、D 四点共圆。 【题目应用】
1.【2016 辽宁丹东】如图，在△ABC 中，AD 和 BE 是高，∠ABE=45°，点 F 是 AB 的中点，AD 与 FE、BE
分别交于点 G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD4S△ADF．其中正确的有________.（把你认为正确的都写上）
如图 9 所示，∠AEB=∠ADB = 90°,则点 A、E、
D、B 四点共圆，则 FD=FE= 1 AB.（半径） 2
图9
2.【2016 历城一模】如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作 OE⊥AC 交 AB 于 E,若
B
C
图 10
3.四边形 ABCD 是正方形，AC 与 BD ，相交于点 O ，点 E 、F 是直线 AD 上两动点，且 AE DF ，CF
所在直线与对角线 BD 所在直线交于点 G ，连接 AG ，直线 AG 交 BE 于点 H ．
（1）如图 1，当点 E 、 F 在线段 AD 上时，
①求证： DAG DCG ；
【知识铺垫】
四点共圆在解题中的应用
我们知道，在圆中，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，由此，可得圆周角定理的一
个推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
如图 1，若 AB 为直径，则∠ACB=90°；反之，若∠ACB=90°，则 AB 为直径。
如图 2，A，B，C，D 是⊙O 上的四点（这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接
A EF D A E F D
②猜想 AG 与 BE 的位置关系，并加以证明；
H G
H G
（2）如图 2，在（1）条件下，连接 HO，试说明 HO 平分∠BHG；
O
O
如图 11 所示，∠AHB=∠AOB = 90°，则点 A、E、D、B 四点共 B
圆，则∠BHO=∠BAO= 45°（转化角） ∴∠BHO=∠OHG= 45°,即 HO 平分∠BHG。
的距离等于定长 r 的点组成的图形。定点 O 叫做圆心，定长 r 叫做半径。
【思路三】共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。 如图 4 和图 5 所示，其中∠ACB=∠ADB = 90°，则点 A、B、C、D 四点共圆。
图4
图5
【思路四】共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆. 如图 6、图 7 和图 8 所示，其中△DAC 与△DBC 有公共边 CD，且∠DAC=∠DBC，则点 A、B、C、 D 四点共圆。
其中，由三点作圆，即为作三角形的外接圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三 角形的内心。
证明点在圆上转化为证明点到圆心的距离等于半径。 【思路二】四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆。
这一思路是根据圆的定义得到的：从集合观点看，圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O