第五章 9(声波在管道中传播)

所以只要声源的频率低于1715Hz ,在管中就能产生唯一的 沿z 轴的平面波。一旦工作频率高于f0 ，在管中除了一维平面 波外，还会有其他高次波产生，管内声场就变得十分复杂．
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3 . 5 . 4毛细管声波传播特性
因为管子很细吸收系数就很大，而声速却要 比无界空间的情况小很多。
常用的吸声材料，如矿渣棉，玻璃绵等，以及声阻材 料，如羊毛毡与金属网等．它们的内部结构可以看成 是由许多毛细管组成．声波在这些物质中传播时，将 近似地表现出毛细管中的声学特性．
吸声材料一般应该满足两方面的要求：一是这些材料的特性阻抗应尽量 与外界介质的特性阻抗相接近，这样能使人射到这些材料上的声波尽量 多地透人到材料中去，二是传人到这些材料中的声波应受到较强的吸 收． 多孔状材料都具备了．因为一般多孔状材料的有效密度虽然会比其 单位体积重量（容重）小，但总要比空气大，但毛细管中的声速却比无 界空间小，所以其总效果就可导致二者的特性阻抗互相接近，此外毛细 管中的声波吸收系数是很大的，这自然会对声波产生强烈的吸收
声强透射系数: 3.4.1 共鸣器旁支
设:声阻很小,可以忽略
声抗为
代入上式:
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第3章 声波在管道传播
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3.4.1 共鸣器旁支
或表示成
当
即共鸣器共振时
(1)透射系数等于零表示人射声波被共鸣器旁支所阻拦 ,旁支起了滤波作用 (2)我们假定了旁支的声阻等于零，所以旁支并不消耗声能，而仅是对声波 起了阻拦作用
可以设想，如果声源的频率低于管中除零以外的最低一个 简正频率，那么管中所有的高次波都不能出现．因为（0 , 0 ） 次简正频率f0 =0 ，所以只要有声源存在任何频率都总是大于 零的
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第3章 声波在管道传播
3 . 6.1平面声波截止频率
我们称除零以外的一个最低简正频率为声波导管的截止频 率，简称管子的截止频率． 这就是说如果有一声管，已确定其截止频率，那么只要声 源的工作频率比它低，在这一管中就只能传播唯一的（0 , 0 ） 次波． 例如，有一矩形管内充空气，管子的宽度Lx =0.lm ，高 度Ly <Lx ，于是可确定声波导管的截止频率 :
穿孔板的声阻抗就可表示为
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3 . 5 . 4毛细管声波传播特性
如果管子非常细，以致满足: 从此关系可解得毛细管中的吸收系数与声速分别为:
管子必须很细,例如对于空气在20 0C 时, 那么半径那么半径a应小于15*10-5m
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第3章 声波在管道传播
我们知道仅当k z为实数时，在z 方向才表现有波的传播．而从式可以看 到， k z并不在任何条件下都为实数，因此欲在z 方向传播声波就必须满足 如下条件:
由此我们可以把管中产生沿z 方向传播声波的条件归结为
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3 . 6声波导理论及平面波截止频率
我们知道仅当k z为实数时，在z 方向才表现有波的传播．而从式可以看 到， k z并不在任何条件下都为实数，因此欲在z 方向传播声波就必须满足 如下条件:
显然（0 , 0 ）次波就是沿z 轴方向波阵面为平面的一维平面波模式． 现在看来，在管中这种平面波仅是可能存在的多种多样波中的一个，而 不是唯一的一个．再例如（0, 1）次波为 :
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第3章 声波在管道传播
3 . 6.1平面声波截止频率
从此看出，对于（0 , 1 ）次波在垂直于z 轴的平面上振幅将随 y 的位置而变化． 为了加以区别我们称（0, 0 ）次波为主波，除（0, 0 ）次 以外的波称高次波． 从上面分析可以指出，只有当声源的激发频率f 比管中某个 简正频率f高时，才能在管中激发出对应的（nx , ny ）次波．
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第3章 声波在管道传播
3 . 5 . 5毛细管声阻抗
其中声阻与声质量分别为 ：
从上面结果可以看出，多孔吸声材料的声阻通常是与毛细 孔长L成正比，与毛细孔面积S0 的平方，穿孔面积比，成反 比．
这就是说在同样面积时，材料愈厚或孔隙愈少，其声阻愈 大．
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3.4.1 共鸣器旁支
亥姆霍兹共鸣器可以相当于 电路中的一个电感和电容的 串联共振回路
通常声波就会在这一旁支通道中分流，而当此共振回路发生共振时，声 波就会在此通道中短路．从而全部阻断了声波向原主通道中传播
*旁支中的声阻是或多或少存在
它的存在使声强透射系数不会等于零，即不会阻断全部声波 的通过. 虽然会影响对某一很窄频带噪声的滤声效果，但却 可以适当展宽滤声频带宽度
由此我们可以把管中产生沿z 方向传播声波的条件归结为
声波导管的简正频率
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3 . 6.1平面声波截止频率
分析上式可知，对于不同的一组（nx,ny ）数值将得到不同波的模 式．我们称对应于（nx,ny ）的波为（nx,ny ）次的简正波．例如对应于nx =0 , ny =0 的波称为（0 , 0 ）次波，其声压表示为 :
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3 . 5 . 1 管中黏滞运动 介质的切变黏滞系数
从此方程可以看到，介质质点速度不仅与轴向坐 标x 有关，而且也是径向坐标r 的函数 对整个截面取平均:
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3 . 5 . 2 细管中传播特性
假定管子半径满足|Ka|>10或者:
阻尼系数
平均质点速度表示式
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3.5 管中阻尼与声阻
3 . 5 . 1 管中黏滞运动
设有一平面声波沿着半径为a 的圆柱形管的 x 方向传播． 假定管壁是刚性的，管壁附近的介质质点粘 附于管壁，速度为零，而愈离管壁，介质质 点受管壁的约束愈小，速度就愈大，于是管 中就产生速度梯度
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3 . 6声波导理论及平面波截止频率
设有如图所示的一矩形管，其宽度为Ly ，高为 Lx，管长用z 坐标表示．设管口取在z =0 处，另一 端延伸到无限远． 在这样的管中一般说来声压在x , y , z 方向是 不均匀的，因而声波应采用三维坐标的波动方程 为:
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3 . 6声波导理论及平面波截止频率
声抗表现一声质量抗
将该声阻抗率除以管子的面积S ，可得细短管的声阻抗:
声抗表现一声质量抗
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3 . 5 . 3 细管的声阻抗
细短管的声阻与管长L ，管径a ，声波频率f 等都有关 管子愈长，管子愈细，频率愈高，声阻就愈大
在工程应用中常常是在一个板中穿有很多孔，组成穿孔结构． 设在板上每单位面积上穿有长为L的N 个小孔．每个孔的面积 为S0，可以定义b=NS0为穿孔面积比．
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3.4.2有限长封闭管旁支
旁支管口的声阻抗可表示为
显然，假如: 即旁支管长度等于声波波长1/4的奇数倍时,管口产生强烈 驻波共振使声波在旁支产生短路导致声波透射为零，全部 被旁支所阻断
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3.5 管中阻尼与声阻
在前面讨论管中声传播，没有考虑管中存在阻尼，认为 声波在管中传播时不会出现声的耗损． 虽然我们可以认为管中介质是理想的，或者说在频率不 太高的音频范围，介质本身对声波的吸收并不大而可以忽略 由于声波是在管道中传播的，管壁对介质运动要产生影 响．管子较细或者频率较高时，管中各层之间的质点速度会产 生速度梯度引起摩擦从而导致管中声波产生显著摩擦阻尼，造 成声传播过程的热耗损．
α 声波衰减系数或称细管黏滞吸收系数,愈大声波随x 距离衰 减得愈快,细管吸收系数与管子的半径a 成反比，与频率的平 方根成正比．管子愈细或者频率愈高，这种由黏滞产生的吸 收效应就愈显著．
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3 . 5 . 3 细管的声阻抗 短管的声质量元件还具有声阻特性．这种声阻由两方面原因所 引起：一是由于介质运动时管内发生内摩擦；二是由于介质运 动向管外辐射声波
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3.4 旁支的管传播
设旁支管的声阻抗为: 声压连续条件:
体积速度连续条件:
声压反射系数:
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3.4 旁支的管传播
声强透射系数: 3.4.1 共鸣器旁支
设:声阻很小,可以忽略
声抗为
代入上式:
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3.4 旁支的管传播
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第3章 声波在管道传播
3 . 5 . 5毛细管声阻抗
毛细管的声阻抗为
因为声学材料是由许多毛细管组成，所以一根毛细管的声阻抗 还不能充分反映其声学特性 。 假定声学材料由许多平行的毛细管组成，声波人射方向与毛细 管轴平行，即声波垂直人射于材料表面．设每单位面积材料有N 根 毛细管，或称在单位表面材料上有N 个毛细孔数．每个毛细管的横 截面积为S=πa2 ． 因为每一毛细管都是入射声波体积流的一个分支流，这一材料 的声阻抗应该是各个毛细管声阻抗的并联结果，由此可得材料的声 阻抗为 ：