第二讲导数的运算与应用(2)
2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算
2．10导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数（1）平均变化率(2）导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）答案 （1）× （2)× (3）× （4）×2．教材衍化(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2（Δx ）2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为________． 答案错误!解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π4. 3．小题热身（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．答案y＝2e x－e解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.题型1导数的定义及应用错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则错误!错误!的值为（）A．－错误! B.错误! C.错误!D．0用定义法．答案A解析由导数定义，错误!错误!＝－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，故选A。
2022版高考数学大一轮复习第3章导数及其应用第2讲导数的简单应用2
第三章 导数及其应用第二讲 导数的简单应用1.［2021贵阳市四校第二次联考］ 已知y =x ·f'(x ）的图象如图3-2-1所示, 则f （x )的图象可能是( ）2。
［原创题］函数f （x ）=(12x —1)e x +12x 的极值点的个数为（ ）A.0B.1 C 。
2 D.33。
[2021安徽省示范高中联考］若函数f (x ）=(x —1）e x -ax （e 为自然对数的底数）有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )A 。
(-1e，0) B.（—∞，0）C 。
(-1e,+∞） D.(0，+∞）4。
[2021蓉城名校联考]已知函数f (x ）=e |x ｜+cos x ，设a =f （0。
3-1)，b =f （2-0.3)，c =f (log 20.2),则( ）A 。
c <b 〈a B.c <a <b C.b <a 〈c D 。
b <c 〈a5.[2021湖南六校联考]设函数f (x ）的定义域为R,f'（x ）是其导函数,若f （x ）+f'(x ）〈0,f (0)=1,则不等式f (x )〉e -x 的解集是( ）A.(0，+∞)B.（1，+∞）C.(—∞,0）D.（0,1)6.［2021四省八校联考]函数f （x ）=x 3-bx 2+c ，若f (1-x )+f （1+x )=2，则下列正确的是（ )A 。
f （ln 2）+f (ln 4)<2B .f （—2）+f （5)<2C .f (ln 2）+f （ln 3)〈2D 。
f （-1)+f （2）〉27.[2020皖中名校联考]已知函数f （x ）=(x 2—mx -m )e x +2m (m 〉-2,e 是自然对数的底数)有极小值0，则其极大值是 ( )A 。
4e -2或(4+ln 2)e -2+2ln 2B 。
4e -2或（4+ln 2）e 2+2ln 2C 。
初中数学知识归纳导数的计算和应用
初中数学知识归纳导数的计算和应用初中数学知识归纳：导数的计算和应用导数是微积分中的重要概念，可以衡量函数在某一点的变化率。
它在数学和实际问题中有广泛应用。
本文将对初中阶段数学中导数的计算和应用进行归纳总结。
一、导数的计算方法导数的计算方法主要包括基本导数公式和导数的四则运算。
1. 基本导数公式在初中阶段，我们主要掌握以下基本导数公式：- 常数函数的导数为0。
- 指数函数 y = a^x (其中a>0且a≠1) 的导数为 y' = a^x * ln(a)。
- 对数函数 y = log_a(x) 的导数为 y' = 1 / (x * ln(a))。
- 幂函数 y = x^n (其中n为正整数或分数) 的导数为 y' = n * x^(n-1)。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括加减乘除运算。
- 若函数 y = f(x) 和 g(x) 都可导，则 y = f(x) ± g(x) 的导数为 y' = f'(x) ± g'(x)。
- 若函数 y = f(x) 和 g(x) 都可导，则 y = f(x) * g(x) 的导数为 y' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
- 若函数 y = f(x) 可导，g(x) 不为0且可导，则 y = f(x) / g(x) 的导数为 y' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。
二、导数的应用导数在实际生活和学习中有广泛的应用，下面我们分别就函数的极值、函数的图像和函数的平均变化率三个方面进行介绍。
1. 函数的极值对于函数的极值问题，我们可以通过导数来进行分析。
若函数 f(x)在某一点 x0 处可导且导数为0，那么该点可能是函数的极值点。
我们可以通过导数的正负来判断极值的类型：若导数 f'(x) 在 x0 的左侧为正，在 x0 的右侧为负，那么 x0 是一个极大值点；反之，如果导数 f'(x) 在x0 的左侧为负，在 x0 的右侧为正，则 x0 是一个极小值点。
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
导数的运算法则 课件
(5)y′＝cos3x－π4·3x－π4′＝3cos3x－π4. (6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x.
[方法规律总结] 应用复合函数的导数公式求导时，应把 握好以下环节：
(1)选取恰当的中间变量，使构成复合函数的基本函数，符 合导数公式中的函数结构．
(2)从外到内，层层剥皮，依次求导． (3)把中间变量转换成自变量的表达式．
(8)y′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin2x. (9)∵y＝sin2x－2sinx＋3，∴y′＝sin2x－2cosx. (10)y′＝cos2x′x·2x－cos2x＝－2xsinx2x2－cos2x ＝－xsin2x2＋x22cos2x.
典例探究学案
复合函数的导数
求下列函数的导数：
写出下列函数的导数：
(1)y＝lnsixnx，y′＝________________；
(2)y＝ 1－x x，y′＝________________；
(3)y＝sin2x1－2cos24x，y′＝________________.
[答案]
xcosx－sinx (1) xsinx
(2)12x－12(1－x)－32
1 x
(3)－
2
3 1－3x
(4)22xln2
(5)2e2x－ex
2lnx＋1 (6) x
sinx (7)cos2x
(8)sin2x (9)sin2x－2cosx
(10)－xsin2x2＋x22cos2x
[解析] (1)解法1：y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′ ＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. 解法2：y′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x. (2)解法1：∵y＝ln1－lnx＝－lnx， ∴y′＝－1x. 解法2：y′＝x·(1x)′＝－1x.
导数的基本运算与应用
导数的基本运算与应用导数是微积分中的重要概念，通过研究函数在某点附近的变化率，可以帮助我们了解函数的性质和行为。
导数的基本运算包括求导法则，而导数的应用则广泛涉及到各个领域，例如物理、经济学和工程学等。
本文将探讨导数的基本运算和应用，帮助读者更好地理解和运用导数。
一、导数的定义和求导法则导数的定义是函数在某一点处的变化率，可以用极限的方式来表示。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
求导法则是求导数的一些基本规则，下面是几个常用的求导法则：1. 常数法则：如果f(x) = c，其中c是一个常数，那么f'(x) = 0。
2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n是正整数，那么f'(x) =nx^(n-1)。
3. 和差法则：如果f(x) = g(x) ± h(x)，那么f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
4. 乘积法则：如果f(x) = g(x)h(x)，那么f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)。
5. 商法则：如果f(x) = g(x)/h(x)，那么f'(x) = [g'(x)h(x) -g(x)h'(x)]/h(x)^2。
6. 链式法则：如果f(x) = g(h(x))，那么f'(x) = g'(h(x))h'(x)。
通过使用求导法则，我们可以计算更复杂函数的导数。
然而，在应用导数之前，我们需要了解导数的物理意义和实际应用。
二、导数的物理意义导数不仅是函数的变化率，还可以表示函数的斜率。
对于函数y=f(x)，导数f'(x)可以表示曲线在某一点的切线斜率。
在物理学中，速度和加速度的概念可以通过导数来描述。
例如，我们考虑一个物体的位移函数x(t)，其中t表示时间。
物体的速度可以表示为x'(t)，即位移函数的导数。
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算第2课时导数的运算法则课件新人教A选修1_1
位:元）为：
c(x)= 5 284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时
变化率.
(1)90%.
(2)98%.
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费
用函数的导数。.
c '( x)=( 5 284 )' 100 x
(5 284)' (100 x) 5 284 (100 x)'
探究 导数的运算法则: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于 这两个函数的导数的和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个 函数的导数乘第二个函数,加上第一个函 数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g (x) f (x)g (x) f (x)g (x).
【变式练习】
某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
4
-4t3+16t2.
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即 1 t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解
4
得t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻此物体在始点.
【变式练习】
求下列函数的导数:
12 (1) y x x2 .
x (2) y 1 x2 .
答案:
(1) y
14 x2 x3 .
(2)
y
1 x2 (1 x2 )2
.
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，
随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.
已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单
应用高等数学-2.2 导数的运算(2)
练习册第二章 练习三
1
3
(1 x2 )2
.
6. 设 y = sin(xln x)， 求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
§2-2 导数的运算(二）
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
3、 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
4、 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2
1
2xΒιβλιοθήκη 3(1 x2)
x x2 1
1 3( x
2)
5.
设 y x ,求 y .
1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
ex 2y y' y x y'， 解方程得
y' e x y . x 2y
例2 设 y y(x)由 sin y xe y 0 确定 ，求 y' . 解 对方程 sin y xe y 0两边同时关于x求导，得
(sin y) (xey ) 0
即 cos y y ey xey y 0
高二数学-2导数的运算法则公开课优秀课件(经典、值得收藏)
3
u2
2
1
2
x
3 2
即y
1
2
x
3 2
.
二、求复合函数的导数
例2 求下列函数的导数.
(2)y＝log2(2x＋1)；
解：设 y＝log2u，u＝2x＋1，
则yx log2 u2x 1
1 2 u ln 2
2x
2
1 ln
2
即y
2x
2
1ln
2
.
二、求复合函数的导数
例2 求下列函数的导数.
1
(3) y (sin x2 )3
(1)y＝(x2＋1)(2x－3)；
【解法：二y】′ ＝y＝(x(2x＋2＋1)1′)((22xx－－33))+＝(2xx2＋3－13) x(22＋x－2x3－) ′3 【化为和、差】 y＝′＝[(x(22) x′ 3＋) ′ －(1)(′3](x22x) －′ ＋3)(+2x(x)2′＋－1)(3[()2′x) ′ － (3) ′] ＝＝26xx·2(－2x6－x＋3)+2.(x2＋1)·2 ＝ 6x2－6x＋2
需弄清函数是怎样复合的，
1
解 设y u 3 ,u sin t,t x2
求导时由外到里逐层求导. 注意一定要到底，不要遗漏.
则yx
u
1 3
sin
t
x2
1 3
u
2 3
c
ost
2
x
1 3
sin
t
2 3
2 3
c os x 2
即y
2x
sin x2
cosx；
5
解： y x 3cosx
【化成幂指数形式】
导数的运算法则课件
乘除法则
总结词
导数的乘除法则是指两个函数的乘积或商的导数等于它们各自导数的乘积或商。
详细描述
对于两个函数的乘积或商，其导数可以通过将两个函数的导数相乘或相除来获得 。具体地，如果函数$u(x)$和$v(x)$的导数分别为$u'(x)$和$v'(x)$，则$(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$，$left(frac{u}{v}right)'(x) = frac{u'(x)v(x) u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$。
极值定理
利用导数，我们可以证明一些极 值定理，例如费马定理和罗尔定 理。这些定理在解决极值问题时
非常有用。
曲线的切线问题
切线斜率
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率。在几何上，切线 与x轴的夹角正切值等于该点的导数值。
切线方程
给定曲线上的一个点，我们可以利用导数求出该点的切线 方程。切线方程的一般形式为 y=mx+b，其中 m 是切线 的斜率，b 是切线在y轴上的截距。
导数在数学建模和实际问题中的应用
导数可以用来建立数学模型，例如在 经济、物理、工程等领域中，可以用 导数来描述和预测事物的变化趋势。
导数可以用来研究实际问题中的变化 规律，例如在物理学中的速度、加速 度、电流等物理量的变化规律可以用 导数来描述。
导数可以用来解决实际问题，例如在 优化问题、经济问题、物理问题等领 域中，可以用导数来求解问题。
速度函数的导数。
03
动能与势能
利用导数，我们可以计算物体在运动过程中的动能和势能。动能是速度
平方与质量乘积的一半，势能是位置函数与重力加速度乘积的一半。
邓正华高数基础02第二讲 导数及其应用
简单.
例
1.设，则 .
【100!】
2.设恒成立，则 .
【】
3.设在有定义，，且，有，求.
【】
解，
，
，又， 故. 问题8 如何求函数的阶导数？ 答 求阶导数的方法有 ⑴归纳法 依次求出，等，观察其规律，写出； ⑵分解法 将函数分解为某些简单函数之和； ⑶用莱布尼茨公式求乘积的阶导数； ⑷用泰勒公式求. 例 1.设，求.【】 2.设，求.【】 问题9 如何判别函数的单调性？
11.讨论曲线与的交点个数. 解 【零点个数问题，讨论方程根的个数】 令， 令，， 当时，，递减，只有惟一零点， 故只有惟一驻点，在，上单调， 又，，， 当，即时，方程无实根，当，即时，方程有惟一实根，当，即时， 方程有两个实根. 故当时，两条曲线无交点，当时，两条曲线有一个交点，当时，两 条曲线有两个交点. 12.在区间内，方程有几个实根？ 证 【零点个数问题】 令，此函数为偶函数且时，故只要讨论在内有几个实根. 时，，
答 根据函数单调性判别法知，函数单调区间的分界点是其导函数
的零点（称为函数的驻点）或者导数不存在的点.
判别函数单调性的步骤是：
⑴求出函数的驻点和不可导点；
⑵用这些点将函数的定义域分成若干小区间；
⑶确定各小区间上导数的符号（列表）；
⑷判别函数在各小区间上的单调性. 例 1.证明在上单调增加. 2.设在上二次可导且，,证明在上单调减少. 问题10 如何求函数的极值？
⑴若在上连续，则求出函数在驻点，不可导点、端点处的函数值，
其中最大（小）的为最大（小）值.
⑵若在区间内可导且只有惟一极值，则极小值就是最小值，极大值
就是最大值.
注 实际问题根据题意判别. 例 1.在抛物线上的第一象限部分求一点，过点作切线，使该切线与坐
( 人教A版第2课时导数的运算法则课件 (共36张PPT)
(5)y＝sincxo＋s 2cxos x ＝csoins2xx＋－csoins2xx＝cos x－sin x， ∴y′＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x. (6)y＝xln x＝12xln x， ∴y′＝12(x)′·ln x＋12x·(ln x)′＝12ln x＋12.
1．运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析 函数 y＝f(x)的结构和特征，若直接求导很烦琐，一定要先进行合理的化简 变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导． 2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角 函数公式对解析式进行化简、整理，然后再套用公式求导．
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第 2 课时 导数的运算法则
考纲定位
重难突破
1.能利用导数的四则运算法 则求解导函数. 2.能运用复合函数的求导法 则进行复合函数的求导.
重点：用导数的运算法则求 函数的导数. 难点：求复合函数的导数.
又点 P 在第二象限内，∴x0＝－2. 又点 P 在曲线 C 上， ∴y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15， ∴点 P 的坐标为(－2,15)．
求解与切线有关的综合问题： (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点 P 处的切线方程 和求曲线过点 P 的切线方程．在点 P 处的切线，一定是以点 P 为切点，过点 P 的切线，点 P 不一定是切点； (2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为(x0，y0)，然后写 出切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)，最后代入点 P 的坐标，求出(x0，y0)．切点 在解决此类问题时起着至关重要的作用．
人教版数学选择性必修二5_2导数的概念与运算、导数的几何意义课件
′ − ′
2
′＝______________________(g(x)≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f [g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的
y′u·u′x ， 即 y 对 x 的 导 数 等 于
导 数 间 的 关 系 为 y ′ x ＝ ________
求切线方程
[例2] (202X全国卷Ⅰ，13)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的
3x－y＝0
切线方程为________________．
解题技法
➢ 求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f ′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
0处的导数，记作f
即f
0 + − 0
lim
→0
′(x0)＝ lim
＝_____________________．
→0
′(x0)或y′|x=x0，
2．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数 f ′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上
切线的斜率
点P(x0，y0)处的____________．相应地，切线方程为
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
考点微练
1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点
A(1，3)，则2a＋b＝________.
1
2．(202X届河南郑州一中高考适应性考试)已知l为曲线y＝
+ln
在(1，a)处的切线，当直线l与坐标轴围成的三角形的面积为
第二节导数的运算ppt课件
(u v)' u' v u v'.
证 设自变量在x取得增量x 时，函数u，v分别取得增
量u，v ，则
(uv) u(x x) v(x x) u(x)v(x)
(u u) (v v) u v
u v u v u v,
dy dy du dx du dx
3u2 cos x 3sin 2 x cos x.
例9 设y=ln(cos x)，求 y'. 解 令 y ln u，u cos x，则
dy dy du dx du dx
1 (sin x) u
1 (sin x) cos x
例13 设y=ln(x+tan x)，求 y'.
解 y' (ln(x tan x))' 1 (x tan x)' x tan x 1 (1 sec2 x) x tan x 1 sec2 x . x tan x
(u )' v
u'v uv' v2
.
证 设自变量在x取得增量 x时，函数u，v分别取得
增量u，v ，则
(u) u(x x) u(x) v v(x x) v(x)
u u u v v v
u v u v , v(v v)
因此
x0 x
x0 x
lim u lim v x0 x x0 x
u' v'.
此定理可以推广到有限个函数相加减的情况.例
如，若u,v,w分别可导，则
(u v w)' u' v' w' .
导数的运算及应用
导数的运算及应用1.导数运算法则(1)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； (2)[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅， 特别地，[()]()cf x cf x ''=()c 为常数； (3) ()2()()()()()[]()0()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ''-'=≠ 2.函数的单调性与导数(1)在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内单调 递减 . (2)判断函数单调性的步骤：因为()f x = …… ，所以()f x '= …… . 当()0f x '>，即 …… 时，函数()f x =单调递增； 当()0f x '<，即 …… 时，函数()f x =单调递减.函数()f x =的单调增区间为 …… ，单调减区间为 …… .(4) 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.3.求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性． 4.函数的极值与导数(1).一般地,设函数()f x 在点0x 附近有定义.如果对0x 附近的所有点,都有0x x <,就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值,记作0()y f x =极大值，其中0x x =称为函数()f x 的极大值点；如果对0x 附近的所有点,都有0x x >,就称0()f x 是函数()f x 的一个极小值,记作0()y f x =极小值，其中0x x =称为函数()f x 的极小值点。
(整理)函数求导的运算及导数的简单的应用
【本讲教育信息】一. 教学内容：导数计算二. 教学目标：（1）掌握简单函数的定义求导的方法。
理解导数与导函数的区别。
（2）掌握导数运算加、减、乘、除及复合函数求导运算法则及函数求导公式的应用。
（3）体会化归数学思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想的应用。
三. 教学重、难点：重点：函数求导的运算及导数的简单的应用 难点：复合函数求导。
四. 知识要点分析：1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限） （1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00。
（3）取极限求导数=)(0'x f xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0002．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。
3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nxx⑤a a a x x ln )('=⑥xx e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '=⑧x x 1)(ln '= ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（x x 2'sin 1)cot -= （2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±，)()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f += )()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 4. 复合函数求导：（1）复合函数定义：对于函数y=f （u ）和u=)(x ϕ，给定x 的一个值，就得到u 的一个值，进而确定y 值，这样y 可以表示成x 的函数，称这个函数是y=f （u ）和u=)(x ϕ的复合函数。