高考数学一轮复习(北师大版理科)：第8章平面解析几何第8节曲线与方程学案

第八节 曲线与方程[考纲传真] (教师用书独具)1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．(对应学生用书第146页)[基础知识填充]1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这条曲线叫作方程的曲线；这个方程叫作曲线的方程． 2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e . (1)当0＜e ＜1时，圆锥曲线是椭圆． (2)当e ＞1时，圆锥曲线是双曲线． (3)当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．4．两曲线的交点设曲线C 1的方程为f 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为g (x ，y )＝0，则(1)曲线C 1，C 2的任意一个交点坐标都满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.(2)反之，上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的坐标．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( )(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( )[解析] 对于(2)，由方程得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y ＝x 是曲线x ＝y 2的一部分，错误．[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆D ．抛物线D [由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．]3．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .故选A ．]4．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2 ∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y 24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.]5．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________．x 2a 2＋4y 2b 2＝1 [设MN 的中点为P (x ，y )，则点M (x,2y )，又点M 在椭圆上，∴x 2a2＋(2y )2b 2＝1，即所求的轨迹方程为x 2a 2＋4y 2b2＝1.](对应学生用书第147页)设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程.【导学号：79140299】[解] 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2(2)已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)(1)D (2)D [(1)如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2， ∴(x －1)2＋y 2＝2.(2)设P (x ，y )，∵△MPN 为以MN 为斜边的直角三角形， ∴|MP |2＋|NP |2＝|MN |2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16， 整理得x 2＋y 2＝4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，故选D ．]如图8­8­1所示，已知点C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)．P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 所在的直线上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2 AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．图8­8­1[解] 由(x ＋2)2＋y 2＝4知圆心C (－2，0)，半径r ＝2. ∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →， ∴MQ ⊥AP ，点M 为AP 的中点， 因此QM 垂直平分线段AP . 如图，连接AQ ，则|AQ |＝|QP |，∴||QC |－|QA ||＝||QC |－|QP ||＝|CP |＝2. 又|AC |＝22>2，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线．由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1， 因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.若将本例中的条件“圆C 的方程(x ＋2)2＋y 2＝4”改为“圆C 的方程(x ＋2)2＋y 2＝16”，其他条件不变，求点Q 的轨迹方程．[解] 由(x ＋2)2＋y 2＝16知圆心C (－2，0)，半径r ＝4.∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2 AM →， ∴QM 垂直平分AP ，连接AQ ， 则|AQ |＝|QP |，∴|QC |＋|QA |＝|QC |＋|QP |＝r ＝4.根据椭圆定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，长轴长为4的椭圆． 由c ＝2，a ＝2，得b ＝ 2. 因此点Q 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.[规律方法] 定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点 1求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程. 2关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.3利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，的轨迹方程是( ) A ．x ＝－4 B ．x ＝4 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x(2)已知A (－5,0)，B (5,0)，动点P 满足|PB →|，12|PA →|，8成等差数列，则点P 的轨迹方程为________．(1)D (2)x 216－y 29＝1(x ≥4) [(1)依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x＝－4的距离，因此点M 的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，p ＝8，所以点M 的轨迹的方程为y 2＝16x ，故选D ． (2)由已知得|PA →|－|PB →|＝8，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支， 且a ＝4，b ＝3，c ＝5，所以点P 的轨迹方程为x 216－y 29＝1(x ≥4)．](·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[解] (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[规律方法] “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 1设点：设被动点坐标为x ，y ，主动点坐标为x 1，y 1.2求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y ).3代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.[跟踪训练] (·武汉模拟)P 是椭圆a 2＋b2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是__________.【导学号：79140300】x 24a 2＋y 24b2＝1 [作P 关于O 的对称点M ，连接F 1M ，F 2M ，则四边形F 1PF 2M 为平行四边形，所以PF 1→＋PF 2→＝PM →＝－2OP →. 又OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 所以OP →＝－12OQ →.设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 0＝－x 2，且y 0＝－y2，又点P (x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.]。