高考数学一轮复习(北师大版理科)：第8章平面解析几何第8节曲线与方程学案

第八节 曲线与方程

[考纲传真] (教师用书独具)1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．

(对应学生用书第146页)

[基础知识填充]

1．曲线与方程

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这条曲线叫作方程的曲线；这个方程叫作曲线的方程． 2．求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．

(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

3．圆锥曲线的共同特征

圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e . (1)当0＜e ＜1时，圆锥曲线是椭圆． (2)当e ＞1时，圆锥曲线是双曲线． (3)当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．

4．两曲线的交点

设曲线C 1的方程为f 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为g (x ，y )＝0，则

(1)曲线C 1，C 2的任意一个交点坐标都满足方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

f 1(x ，y )＝0，

g (x ，y )＝0.

(2)反之，上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的坐标．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( ) (2)方程x 2

＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( )

(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2

表示同一曲线．( )

[解析] 对于(2)，由方程得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线

y ＝x 是曲线x ＝y 2的一部分，错误．

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2．(教材改编)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆

D ．抛物线

D [由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．]

3．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为

Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →

，则动点P 的轨迹C 的方程为( )

A ．x 2

＝4y B ．y 2

＝3x C ．x 2＝2y

D ．y 2

＝4x

A [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →

，

∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2

－2(y －1)，整理得x 2

＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2

＝4y .故选A ．]

4．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．

(x －10)2

＋y 2

＝36(y ≠0) [设A (x ，y )，

则D ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2，y

2 ∴|CD |＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2－52

＋y 2

4＝3， 化简得(x －10)2

＋y 2

＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.]

5．过椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨

迹方程是________．

x 2a 2＋4y 2b 2＝1 [设MN 的中点为P (x ，y )，则点M (x,2y )，又点M 在椭圆上，∴x 2a

2＋(2y )

2

b 2＝1，即所求的轨迹方程为x 2a 2＋4y 2

b

2＝1.]

(对应学生用书第147页)

设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →

，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程.

【导学号：79140299】

[解] 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →

＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 2

0＝0. 由MN →＝2MP →

得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，

∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩

⎪⎨⎪

⎧

x 0＝－x ，y 0＝1

2y ，

∴－x ＋y 2

4

＝0，即y 2

＝4x .

故所求的点N 的轨迹方程是y 2

＝4x .

的轨迹方程为( ) A ．y 2

＝2x B ．(x －1)2＋y 2

＝4 C ．y 2＝－2x

D ．(x －1)2

＋y 2

＝2

(2)已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2

＋y 2

＝2 B ．x 2＋y 2

＝4 C ．x 2

＋y 2

＝2(x ≠±2)

D ．x 2

＋y 2

＝4(x ≠±2)