四年级奥数 奇偶分析法综合讲解及补充练习(含答案)doc
小学生奥数奇偶性知识点及练习题
【导语】奇偶性是函数的基本性质之⼀。
⼀般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意⼀个x，都有f(-x）=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。
⼀般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意⼀个x，都有f(-x)=-f(x），那么函数f(x)就叫奇函数。
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1.⼩学⽣奥数奇偶性知识点 奇数和偶数： 整数可以分成奇数和偶数两⼤类。
能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以⽤2k（k为整数）表⽰，奇数则可以⽤2k+1（k为整数）表⽰。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
奇数与偶数的运算性质： 性质1：偶数偶数=偶数， 奇数奇数=偶数。
性质2：偶数奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数奇数=偶数， 奇数奇数=奇数。
2.⼩学⽣奥数奇偶性练习题 1、同时能被2，3，5整除的最⼩⾃然数是⼏？ 2、不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数： （1）1＋2＋3＋…＋9＋10； （2）1＋3＋5＋…＋21＋23； 3、在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁⼤？⼤多少？ 4、数（42□+30-147）能被2整除，那么，□⾥可填什么数？ 5、判断25874和978651能否被3整除。
3.⼩学⽣奥数奇偶性练习题 1、20×21×22×…×49×50的积末尾有多少个0？ 2、同时能被2，3，5整除的最⼩⾃然数是⼏？ 3、有⼀筐苹果，2个、2个地拿，最后还剩1个，问这筐苹果的个数是单数还是双数？ 4、有⼀筐梨，2个、2个地拿，最后正好拿完，1个不剩，问这筐梨的个数是单数还是双数？ 5、想⼀想：11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19的和是单数还是双数？4.⼩学⽣奥数奇偶性练习题 1、不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数： （1）1＋2＋3＋…＋9＋10； （2）1＋3＋5＋…＋21＋23； 2、在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁⼤？⼤多少？ 3、数（42□+30-147）能被2整除，那么，□⾥可填什么数？ 4、判断25874和978651能否被3整除。
小学奥数经典专题点拨：奇数偶数与奇偶性分析
奇数偶数与奇偶性分析【奇数和偶数】例1用l、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。
问乘积中是偶数多还是奇数多？（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。
在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到3个不同的奇数积。
而偶数积共有7个。
所以，乘积中是偶数的多。
例2有两组数，甲组：1、3、5、7、9……、23；乙组：2、4、6、8、10、……24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到______个不同的和。
（《现代小学数学》邀请赛试题）讲析：甲组有12个奇数，乙组有12个偶数。
甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和，必为奇数，其中最大是47，最小是3。
从3到47不同的奇数共有23个。
所以，能得到23个不同的和。
本题中，我们不能认为12个奇数与12个偶数任意搭配相加，会得到12×12=144（个）不同的和。
因为其中有很多是相同的。
【奇偶性分析】例1某班同学参加学校的数学竞赛。
试题共50道。
评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。
请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。
（全国第三届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：如果50道题都答对，共可得150分，是一个偶数。
每答错一道题，就要相差4分，不管答错多少道题，4的倍数总是偶数。
150减偶数，差仍然是一个偶数。
同理，每不答一道题，就相差2分，不管有多少道题不答，2的倍数总是偶数，偶数加偶数之和为偶数。
所以，全班每个同学的分数都是偶数。
则全班同学的得分之和也一定是个偶数。
例25只杯子杯口全都朝上。
规定每次翻转4只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下？（美国小学数学奥林匹克通讯赛试题）讲析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必须翻转奇数次。
要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，则翻动的总次数也一定是奇数次才能办得到。
现在每次只翻转4只杯子，无论翻多少回，总次数一定是偶数。
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习奇数与偶数(一)(含答案)
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习奇数与偶数（一）(含答案)阅读思考：其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数.凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于零的奇数又叫单数.因为偶数是2的倍数，所以通常用这个式子来表示偶数（这里是整数）.因为任何奇数除以2其余数都是1，所以通常用式子来表示奇数（这里是整数）.奇数和偶数有许多性质，常用的有：性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数.例如：8+4=12，8-4=4等.两个奇数的和或差也是偶数.例如：9+3=12，9-3=6等.奇数与偶数的和或差是奇数.例如：9+4=13，9-4=5等.单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数.性质2 奇数与奇数的积是奇数.例如：等91199⨯=偶数与整数的积是偶数.例如：等.性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.例1.有5张扑克牌，画面向上.小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？分析与解答：同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下.要想使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次.5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下.而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数.所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下.例2.甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒.那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？分析与解答：不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒.所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子.如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个.否则甲盒子中的黑子数不变.也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数.由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数.所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子.例3.如图（1-1）是一张的正方形纸片.将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个的长方形纸片？图（1-1）图（1-2）分析与解答：如图1-2，我们在方格内顺序地填上奇、偶两字.这时就会发现，要从上面剪下一个的长方形纸片，不论怎样剪，都会包含一个奇，一个偶.我们再数一下奇字和偶字的个数，奇字有30个，偶字有32个.所以这张纸不能剪成若干个的长方形纸片.2. 一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，……那么这串数的第100个是奇数还是偶数？分析与解：这道题的规律是两奇一偶，第100个为奇数.【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？2.有6张扑克牌，画面都向上，小明每次翻转其中的5张.那么，要使6张牌的画面都向下，他至少需要翻动多少次？3.博物馆有并列的5间展室的电灯开关.他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……，走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯？4. 有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯口全部向下？为什么？【试题答案】1. 30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？答：和是奇数2.有6张扑克牌，画面都向上，小明每次翻转其中的5张.那么，要使6张牌的画面都向下，他至少需要翻动多少次？答：5次3.博物馆有并列的5间展室的电灯开关.他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……，走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯？答：第5展室灯亮着4. 有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯口全部向下？为什么？答：不能.。
奥数：5-1-1奇数与偶数题库doc
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
一、奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k 为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶模块一、奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数？【解析】 偶数。
原式中共有60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30个奇数，为偶数个。
【巩固】 (200201202288151152153233++++-++++……）（……）得数是奇数还是偶数？ 【解析】 200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。
(完整版)四年级奥数奇数与偶数(教师用含答案)
第二讲：奇数与偶数教学目标本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
知识点拨一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论：推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶模块一：奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数【巩固】 123456799100999897967654321+++++++++++++++++++++L L 的和是奇数还是偶数？为什么？【解析】 在算式中，1~99都出现了2次，所以123499999897964321++++++++++++++L L 是偶数，而100也是偶数，所以1234567991009998979676++++++++++++++++L L54321+++++的和是偶数．【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数？【解析】 偶数。
四年级奥数-构造论证之奇偶分析(二)
【例2】(★★) 桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问 能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？
【例3】(★★) 如下图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在每 一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
【例4】(★★★) 有20个1升的容器，分别盛有1，2，3，…，20立方厘米水。允许由容 器A向容器B倒进与B容器内相同的水（在A中的水不少于B中水的条件 下）。问：在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11立方厘米 的水？
【例1】(★★) 设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一 个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯 A开始顺次拉动开关，即从 开始顺次拉动开关 即从A到G，再从 再从A开始顺次拉动开关。他一共 开始顺次拉动开关 他 共 拉了999下开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？
【例8】(★★★☆) 在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。已知每枚伪币与 真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99枚真币的重量。 今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先 选择的 枚硬币是否伪币 选择的一枚硬币是否伪币。
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【例7】(★★) 一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种 是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实 人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部 的成员张三 “俱乐部里共有多少成员？”张三答 的成员张三： 俱乐部里共有多少成员？ 张三答：“共有 共有45人。 人 ” 另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗 子？
1
【例5】(★★★) 【例6】(★★) 桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚， 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚。下面我们 第三次翻动其中的1991枚，……，依此类推，第1993次翻动其中的一 对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚 枚。能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下 黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去。这样的操作， 的 面都朝上？ 的一面都朝上？ 实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过 枚棋子 那么 经过399次操作后，最后剩下 次操作后 最后剩下 的棋子是____颜色(填“黑”或者“白”)。
四年级上册数学奥数讲义-奇数、偶数与奇偶分析 含解析
奇数、偶数与奇偶分析整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：1．奇数≠偶数2．两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下表所示3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数．4．设m、n是整数，则m土n，nm±的奇偶性相同．5．设m是整数，则m与m，m n的奇偶性相同．奇偶性是整数的固有属性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法．例题【例1】三个质数之和为86，那么这三个质数是．思路点拨运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手．注：18世纪的哥尼斯堡，有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题．一个游人怎样才能不重复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点．1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简单的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不重复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人能够不重复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历．利用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去．因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连．简单地说，当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时，这个图形才能一笔画．【例2】如果a、b、c是三个任意的整数，那么222accbba+++、、（）．A．都不是整数B．至少有两个整数C．至少有一个整数D．都是整数思路点拨举例验证或从a、b、c的奇偶性说明．【例3】(1)设1，2，3，…，9的任一排列为a l，a2，a3…，a9．求证：(a l l一1)( a2—2)…(a9—9)是一个偶数．(2)在数11，22，33，44，54，…20022002，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003．思路点拨(1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2)由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手．【例4】已知n x x x x 、、、、Λ321都是+1或一1，并且011433221=+++++-x x x x x x x x x x n n n Λ，求证：n 是4的倍数．思路点拨 可以分两步，先证n 是偶数2k ，再证明k 是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式．【例5】 游戏机的“方块”中共有下面?种图形．每种“方块”都由4个l ×l 的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形(可以重复使用某些图形)．问：最多可以用这7种图形中的几种图形?思路点拨 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格．注：对同一个数学对象，从两个方向考虑(n 项和与积)，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等．在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明)能够达到一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性．一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法．所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，然后利用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法．【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下?思路点拨 这不可能．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l 变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与原来相同．所以，不论翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子全部朝下，和为7，是奇数，因此，不可能．整数可以分为奇数和偶数两类．【例7】在1，2，3，…，2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?思路点拨 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+…+2005的奇偶性即可．因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，…，2005中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+…+2005的奇偶性相同，而1+2+3+…+2005=21(1+ 2005)×2005=1003 ×2005为奇数；因此，所求代数和为奇数．注：抓住“a+b 与a —b 奇偶性相同”，通过特例1十2十3十…十2005得到答案．【例8】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数．”这句话正确吗?试证明你的结论．思路点拨 用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况．这句话是正确的．下面证明之．若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m 为整数)，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m —1)．那么，贺卡总张数为2m(2m —1)=4m 2-2m ，显然是偶数．若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m 为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m ，为偶数．贺卡总张数为(2m+1)·2m ，仍为偶数．故“用来交换的贺卡张数总是偶数”是对的．注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一．【例9】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由．思路点拨 若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应该翻动该硬币奇数次．因此，要把1993枚硬币原先朝下的一面都朝上，应该翻动这1993枚硬币的总次数为奇数．现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上．理由如下：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，而且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动： 第1次翻动全部1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚，第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上． 注：灵活、巧妙地利用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并有意想不到的效果．【例10】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的． 思路点拨 从反面人手，即设这6个数两两都不相等，利用bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．设6张卡片正面写的数是654321a a a a a a 、、、、、，反面写的数对应为654321b b b b b b 、、、、、，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．于是11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -=0+1+2+3+4+5=15是个奇数． 另一方面，bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同．所以11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -与(a 1一b 1)+(a 2一b 2)+(a 3一b 3)+(a 4一b 4)+(a 5一b 5)+(a 6一b 6)= )(654321a a a a a a +++++一)(654321b b b b b b +++++ =(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=O 的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．所以，11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -这6个数中至少有两个是相同的．注：反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法．【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：(1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数?如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢?(2)若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸?思路点拨 (1)小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河．因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．(2)通过(1)，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸．现在小船过河99次，是奇数次．因此，最后小船该停在右岸．注 关键是对过河次数的理解：一个单程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就过河一次；往返一个来回就过河两次．【例12】黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问原来的三个数能否是2、2、2？思路点拨 如果原来的三个整数是2、2、2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时如果擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇．如果擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇．因此，无论怎样操作，得到的三个数都是二偶一奇，不可能得到1995、1996、1997．所以，原来的三个数不可能是2、2、2．注 解决本题的诀窍在于考查数字变化后的奇偶性．【例13】将正偶数按下表排成五列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24… … 28 26根据上面的排列规律，则2000应位于( )A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列思路点拨 观察表格，第1行最右边的数为8，第2行最左边的数为16，第3行最右边的数为24，于是可猜测：当行数为奇数时，该行最右边的数为8×行数；当行数为偶数时，该行最左边的数为8×行数．通过验证第4行、第5行、第6行知，上述猜想是正确的，因为2000=8×250，所以2000应在第250行，又因为250为偶数，故2000应在第250行最左边，即第250行第1列，故应选C ．注：观察、寻找规律是解决这类问题的妙招．【例14】如图18—1，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．若左轮子上方的箭头指着的数字为a ，右轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有可能的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的个数为m ，则nm 等于( ) A ．21 B ．61 C ．125 D ．43 思路点拨 依题意可知所有的数对n=4×3=12，其中a+b 恰为偶数的数对m=3×1+1×2=5．因此，n m =125，故选C ． 【例15】已知a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，如果S=(a+2n+1)(b+2n 十2)(c+2n 十3)，那么( )A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ． S 的奇偶性不能确定思路点拨 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．依题得：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)．∵a+b+c 为偶数，6(n+1)为偶数，∴a+b+c+6(n+1)为偶数∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S 是偶数．故选A ．注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．学力训练 1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20022002是 数．2．能不能在下式， 的各个方 框中分别填人“+”号或“一”号，使等式成立?答： ．3．已知三个质数a 、b 、c 满足a+b+c+abc ＝99，那么a c c b b a -+-+-的值等于 ．4．已知n 为整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n 一1，其中，能表示“任意奇数”的( )A ．只有(1)B ．只有(2)C ．有(1)和(2)D ．一个也没有5．如果a ，b ，c 都是正整数，且a ，b 是奇数，则3a +(b 一1)2c 是( )．A ．只当c 为奇数时，其值为奇数B ．只当c 为偶数时，其值为奇数C ．只当c 为3的倍数，其值为奇数D ．无论c 为任何正楚数，其值均为奇数6．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，如果S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )．A ． S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能确定7．(1)是否有满足方程x 2－y 2=1998的整数解x 和y?如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由．(2)一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0?8．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌(A 作1，J ，Q ，K 分别作11，12，13，不同)，乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否确定?9．在1，2，3，…,1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是 ．10．1，2，3，…，98共98个自然数，能够表示成两整数平方差的数的个数是 ．11．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人统计百这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有 名选手参加．12．已知p 、q 、pq+1都是质数，且p 一q>40，那么满足上述条件的最小质数p ＝ ； q ＝ ．13．设a ，b 为整数，给出下列4个结论(1)若a+5b 是偶数，则a 一3b 是偶数；(2)若a 十5b 是偶数，则a 一3b 是奇数；(3)若a+5b 是奇数，则a 一3b 是偶数；(4)若a+5b 是奇数，则a 一3b 是奇数，其中结论正确的个数是( )．A ．0个B ．2个C ．4个D ． 1个或3个14．下面的图形，共有( )个可以一笔画(不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸) ．A ．0B ．1C ．2D ．315．π的前24位数值为3.14159265358979323846264…，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2，…a24，则(a1一a2)( a3一a4)…(a23一a24)为( )．A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数16.没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A 到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的?17．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否经过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上?给出你的结论，并给予证明．18．对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求经过9次操作变为l的数有多少个？19．高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分(如图所示)边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面?试说明理由．参考答案。
四年级奥数 奇偶分析法综合讲解及补充练习(含答案)doc
四年级奥数奇偶分析法综合讲解及补充练习（含答案）doc 第六节奇偶分析法内容讲解整数按能否被2整除分为奇数和偶数两大类，除奇偶数的最基本性质以处，?我们还应掌握以下性质：①设a，b为整数，则a与an的奇偶性相同：a+b，a-b的奇偶性相同．②若m为整数，a为奇数，则m±a的奇偶性与m相反．若m为整数，b为偶数，?则m±b的奇偶性与m相同．③若m是整数，a为奇数，则ma的奇偶性与m相同．例题剖析例1 下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12?个整数中至少有几个偶数？□＋□＝□，□－□＝□，□×□＝□，□÷□＝□．分析：由于本题所涉及的奇数与偶数的和（差）或积（商），故可应用奇偶数的基本性质求解．解：根据条件和奇偶数的基本性质知，加法和减法中至少有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有两个偶数，故这12个整数中至少有6个偶数．评注：在解此题时，要注意将和与差，积与商并在一起共同研究．例2 在1，2，3，…，2021，2021的每一个数前，任意添上一个正号或负号，?试判断它们的代数和是奇数还是偶数？分析：由于任意添“＋”或“－”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，但可从1+2=3，2-1=1；3+4=7，4-3=1…．?可见两个整数之与这两个整数之差的奇偶性质是相同的，于是我们可以从这条性质入手．解：因为两个整数之和与两个整数之差的奇偶性相同，所以在给出的数字前面添上正号或负号不改变其奇偶性．而1+2+…＋2021+2021=2021(1?2021)=1004×2021为偶数．2 所以已知数字作为变换后的代数和仍为偶数．评注：此题通过对一些具体的数字的研究推出一般性结论，是由于已知数为有限整数．例3 已知x，y是质数，z是奇质数，且x（x+y）=z+8，求y（x+z）的值．分析：此题的关键是从x（x+y）=z+8求出x，y，z的值．解：由已知条件和质数，奇偶数性质知：（z+8）为奇数，所以x和（x+y）?为奇数，于是y为偶数，又y为质数，故y=2．则x，z应满足x（x+2）=z+8，即z=x2+2x-8=（x-2）（x+4）．由于z是奇质数，所以必有x-2=1，x+4=z，即x=3，z=7．故y（x+z）=2（3+7）=20．评注：奇偶分析法在解不定方程方面的应用也推广，大家仔细体会．例4 能否把1，1，2，2，…，30，30这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个30之间夹着三十个数？试说明理由．分析：我们知道30对数共60个，我们可将之分成奇，偶两类数加以讨论，?以便求解．解：假设能按要求排成一行，于是60个数被安排在60个位置上，为了方便起见，给他们所在的位置依次编上号，具体研究一个个对象较为困难，不妨把所有数分成奇数、偶数两大类进行．（1）先考察偶数，设一个偶数m，两个m之间有m个数，这说明若有一个m在奇数位置，则另一个m必在偶数位置，反之亦然．于是15对偶数分别占据了15个奇数位，15?个偶数位；（2）再研究一个奇数n，两个奇数n之间夹着n个数．只要一个n占据奇数位，则另一个n也占据着奇数位，即成对占据奇数位．设有k对奇数占据奇数位，因60个位置中有30个奇数位．?于是这些奇数位应被15个偶数和2k个奇数占据，则30=15+2k，即2k=15，这显然是不可能成立的，?所以不能按要求排成一行．评注：此题巧妙地利用了奇偶数的基本性质解决问题，可见数的奇偶性的作用．例5 在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1～6这6个整数，?然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．分析：从正面入手比较困难，我们不妨从反面去思考，即设这6个数两两都不相等，利用│ai-bi│与ai-bi（i=1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．解：设6张卡片正面写的数是a1，a2，a3，a4，a5，a6，反面写的数对应为b1，b2，b3，b4，b5，b6，则这6张卡片为│a1-b1│，│a2-b2│，│a3-b3│，│a4-b4│，│a5-b5│，│a6-b6│．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值，于是│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-?b4│+│a5-b5│+│a6-b6│=0+1+2+3+4+5=15是个奇数另一方面，│ai-bi│与ai-bi（i=1，2，…，6）的奇偶性相同，所以│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-b4│+│a5-b5│+│a6-b6│与（a1-b1）+（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4）+（a5-b5）+（a6-b6）=（a1+a2+…+a6）-（b1+b2+…+b6） =（1+2+…+6）-（1+2+…+6）=0的奇偶性相同，是个偶数．这与（*）矛盾，故│a1-b1│，│a2-b2│，…，│a6-b6│这6个数中至少有两个是相同的．评注：一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理，?引入字母是数学化的常用方式方法，另外赋值法也是数学化的常用方式方法．巩固练习 1．填空题（1）已知a，b，c分别是2021，2021，2021中的一个数，则（a-1）×（b-2）×（c-?3）?是________数（奇、偶数）；（2）三个相邻偶数之积是一个六位数，这个六位数的首位数字是8，末位数字是2，则这三个偶数是________；（3）将1到100这100个自然数任意排成一行，?其中所有相邻两数的和中，?至少有________个偶数，至多有_______个偶数． 2．选择题（1）若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是（ ?）（A）185 （B）183 （C）181 （D）179（2）两个十位数1111111111和9999999999的乘积有（）个数字是奇数．（A）7 （B）8 （C）9 （D）10（3）设x和y为两个自然数，它们的和与差相乘的积是偶数，则（x+y）与（x-y）（）（A）同为偶数（B）同为奇数（C）x+y是偶数，x-y是奇数（D）x+y是奇数，x-y是偶数3．一串数排成一行，它们的规律是：头两个数都是1，从第三个数开始，?每一个数都是前两个数之和，问这串数的前2021个数中有多少个偶数？4．设有n盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动n-1个拉线开关，试问：?能否把所有的灯都关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法．5．试说明：只用2×2及3×3的两种瓷砖不能恰好铺盖23×23的正方形地面．答案:1．（1）偶；（2）94，96，98；（3）0，98． 2．（1）C；（2）D；（3）A3．由条件和要求，可以先写出这一串数的奇偶数，然后寻找规律：1，1，2，3，5，?8，13，21，34，55，89，…即规律为奇奇偶奇奇偶…．?即两个奇数一个偶数且三个数一循环，而偶数恰在3，6，9，12…这些序号上，即只有序号为3的倍数的数是偶数．? 因2021=3×669+1，故这串数的前2021个数中有669个偶数． 4．从简单情况研究，当n=1时，显然不行；当n=2时，1号灯不动，2号关上；2?号灯不动，1号关上，可行．当n=3时，每盏灯拉动奇数次时才能关上，3个奇数的和仍为奇数，?而n-1=2，即按规定总拉动开关的次数是偶数，故不能把灯全关闭，由此猜测，当n为偶数时可以；当n为奇数是不行．5．将23×23的正方形地面中第1，4，7，10，13，16，19，22列中的小方格全涂成黑色，剩下的小方格涂成白色，于是白色的小方格总数为15×23是一个奇数，又因每块2×2砖总能盖住二黑格和二白格或四白格．每块3×3砖总能盖住三黑格和六白格，?故无论多少2×2及3×3砖盖住的白格数总是一个偶数，不可能盖住15×23个白格，所以只用2×2及3×3砖不能盖住23×23的地面．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
小学奥数 奇数与偶数的性质与应用 精选例题练习习题(含知识点拨)
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
一、奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k +1（k 为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a ,b ,有a +b 与a -b 同奇或同偶模块一、奇偶分析法之计算法【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【例 1】 从1开始的前2005个整数的和是______数(填：“奇”或“偶”)。
例题精讲知识点拨教学目标5-1奇数与偶数的性质与应用【巩固】2930318788……得数是奇数还是偶数？+++++【巩固】123456799100999897967654321+++++++++++++++++++++的和是奇数还是偶数？为什么？【巩固】(200201202288151152153233……）（……）得数是奇数还是偶数？++++-++++【例 2】12345679899+⨯+⨯+⨯++⨯的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【例 3】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038137564=⨯+，他做得对吗？【例 4】一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？【例 5】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
小学奥数数论上奇偶分析解析题
小学奥数数论上奇偶分析解析题【篇一】小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号(即由第1面一直编到第192面)。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。
试问，小丽所加得的和数能否为2000?【分析】不可能。
因为25个奇数相加的和是奇数，25个偶数相加是偶数，奇数加偶数=奇数有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。
试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和?并说明理由。
【分析】不可以。
一名为98个数中有49个奇数，奇数加偶数等于奇数，奇数不是二的倍数。
有20个1升的容器，分别盛有1，2，3，…，20立方厘米水。
允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水(在A中的水不少于B中水的条件下)。
问：在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11立方厘米的水?【分析】不可能，因为两个奇数相加等于偶数，两个偶数相加等于偶数，11是奇数，B是偶数，偶数不等于奇数。
一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话;一种是骗子，永远说假话。
某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。
外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员?”张三答：“共有45人。
”另一个成员李四说：“张三是老实人。
”请判断李四是老实人还是骗子?【分析】李四是骗子，老实人和说谎的人的人数相等，可是45是个奇数，所以张三是骗子。
【篇二】围棋盘上有19×19个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子(或白子)的上、下、左、右的交叉点上放着白子(或黑子)。
问：能否把黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全移到原来黑子的位置上?【分析】不可以，因为不是白字多黑字一个，就是黑子多白字一个，不可能相等。
某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。
高斯小学奥数四年级下册含答案第16讲_奇偶性分析
第十六讲奇偶性分析一个整数要么是奇数，要么是偶数，二者必居其一，这个属性叫做这个数的奇偶性．利用奇数与偶数的分类及其特殊性质，可以“简捷”地求解一些与整数有关的问题，我们把这种通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法称为“奇偶分析法”．在正式开始本讲的学习之前，我们首先需要较熟练的掌握以下结论，有助于我们更好的去思考问题：一、加减法性质+=奇奇偶，+=奇偶奇，+=偶偶偶-=奇奇偶，-=奇偶奇，-=偶奇奇，-=偶偶偶1、相邻2个自然数一定是一个是奇数、一个是偶数，其和一定是奇数．2、通过观察可以看出，一个数加偶数不会改变奇偶性，所以和的奇偶性是由奇数的个数决定的．奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；任意个偶数的和是偶数．3、可看出两个数的和与差奇偶性相同．一些数相加减，最后的结果的奇偶性也是由奇数的个数决定的，即“奇数个奇数的和差是奇数，偶数个奇数的和差是偶数；任意个偶数的和差是偶数”．二、乘除法性质⨯=奇奇奇，⨯=奇偶偶，⨯=偶偶偶当乘数都是奇数时，乘积是奇数（反过来，如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中的每一个乘数都是奇数）；只要乘数里出现至少1个偶数，那么乘积就是偶数（反过来，如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个乘数是偶数．）——所以乘积的奇偶性是由是否存在偶数决定的．÷奇偶（除不尽），÷=奇奇奇（在能除尽时），÷=偶奇偶（在能除尽时），÷偶偶（结果不确定，可奇、可偶）（在能除尽时）在做除法时不一定能除尽，所以我们讨论的都是除尽的情况，主要注意“”的情况不确定，其余的在五年级学完分解质因数后同学们会有更深刻的理解．÷偶偶例题1（1）12342012+++++L 的和是奇数还是偶数？（2）在1、2、3、…、2013的每一个数前，添上加号或减号，请问：能否找到一种添法，使得算式结果为0？「分析」加减法结果的奇偶性取决于算式中奇数的个数，你能计算出算式中有多少个奇数吗？练习1123456789201120122013-++-++-+++-+L 的结果是奇数还是偶数？例题2（1）12233499100⨯+⨯+⨯++⨯L 的结果是奇数还是偶数？（2）133599101⨯+⨯++⨯L 的结果是奇数还是偶数？「分析」（1）中每个乘积是奇数还是偶数？（2）中乘积都是奇数，那么到底是多少个奇数相加呢？练习213355720112013⨯+⨯+⨯++⨯L 的结果是奇数还是偶数？构造论证是一类很有意思的问题，它或者要求你设计一种巧妙的处理问题的方案，或者希望你帮忙说明一些事情的道理．事实上，设计方案就是构造．在所有的问题中，如果能够构造出一种合适的方案，那问题就解决了，但如果不能构造出，那就需要说明为什么不能构造，而这个叙述的过程就叫做论证．论证的方法有很多，今天主要是利用奇偶性分析来说明问题．例题3一次宴会上，客人们相互握手，每两人之间都握一次手，请问：所有人握手次数之和是奇数还是偶数？握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？「分析」大家好好思考一下：所有人握手次数之和是否等于总的握手次数呢？高思杯足球赛施行单循环赛，赛制规定：每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，所有队的得分总和是奇数还是偶数？接下来我们看构造论证模块中一类非常经典的翻硬币问题．例题4桌上放有5枚硬币，第一次翻动1枚，第二次翻动2枚，第三次翻动3枚，第四次翻动4枚，第五次翻动5枚．能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币都翻过来？如果桌上有6枚硬币，按类似的方法翻动6次，能否使得所有的硬币都翻过来？「分析」要想让一枚硬币翻过来，我们需要翻动几次？要想让5枚硬币都翻过来，那么我们要翻动的总次数应该是什么样的？练习4桌上放有6枚正面朝下的硬币，第一次翻动其中的5枚，第二次翻动其中的4枚，第三次翻动其中的3枚，第四次翻动2枚，第五次翻动1枚．请问：能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币正面都朝上？在构造论证中的“证明不可能”即“论证”环节，往往会用到“反证法”，即先假设“可以”，再进过推理得出矛盾，说明“假设不成立”．例题5（1）有2013个自然数的和是偶数，那么它们的乘积是奇数还是偶数？（2）有2012个自然数的和是奇数，那么它们的乘积是奇数还是偶数？「分析」（1）2013个数的和是偶数，那么关于这些加数，你能得出什么结论呢？（2）2012个什么样的自然数的和会是奇数呢？在1~15中选出10个数填入右下图的圆圈中，每两个有线相连的圆圈中的数相加，请问：这14个和能否恰好是5~18？「分析」数阵图中我们学习过了重数分析法，即把所有的和加起来，看每个数加了几次，然后再列算式进行分析．对本题我们不妨也试着用类似的方法试一下吧！课堂内外数论急先锋——神秘的奇偶数奇偶数有很多特别的性质，让我们来总结一下吧：（1）运算性质：在加减法运算中，出现偶数不改变奇偶，而每出现一个奇数就改变一次奇偶；乘法运算中，乘数中一旦出现偶数，结果就是偶数，否则结果就是奇数．（2）两个自然数的和与差同奇偶．（3）任意相邻的两个自然数必是一奇一偶，并且这两个数互质．（4）差为2n的两个奇数互质．（5）从1开始，前n个奇数的和等于n2．（6）任意两个奇数的平方差是8的倍数．（7）偶数的平方一定是4的倍数，奇数的平方除以4和8都余1．（8）相邻两个偶数的最大公约数是2，相邻两个奇数的最大公约数是1．（9）相邻两个偶数的最小公倍数是两数乘积的一半，相邻两个奇数的最小公倍数是两数之积．（10）完全平方数有奇数个不同的约数，非完全平方数有偶数个不同的约数．哥德巴赫猜想：任意一个不小于4的偶数都可以拆成两个质数的和．例如：422=+，633=+，=+，14311=+，835=+，1257=+，1037=+，……16313=+，18513作业1. 算式7563454343388⨯-+的结果是奇数还是偶数？2. 算式1234192021L的结果是奇数还是偶数？-+-++-+3. （1）能否在1、2、3、…、9、10的相邻两个数之间填入加号或减号（不能改变数的顺序），使得结果是25？（2）能否在1、2、3、…、9、10的相邻两个数之间填入加号或减号（不能改变数的顺序），使得结果是36？4. 请问是否存在两个自然数，它们的和比它们的差多5？若存在，请写出一组这样的数；若不存在，请说明理由．5．桌上放着七只杯子，有三只杯口朝上，四只杯口朝下，每个人任意将杯子翻动四次．请问：若干人翻动后，能否将七只杯子全变成杯口朝下？第十六讲 奇偶性分析1. 例题1答案：（1）偶数；（2）不能详解：（1）和的奇偶性只取决于加数中奇数的个数．1~2012中共有1006个奇数，所以和是偶数．（2）不可能．1232013++++L ，1~2013中共有1007个奇数，所以和为奇数；根据“和差奇偶性相同”可得，1232013++++L 任意把一些加号变为减号，结果也一定是一个奇数，不可能是0．2. 例题2答案：（1）偶数；（2）偶数详解：（1）每个乘积都是偶数，所以和是偶数．（2）每个乘积都是奇数，和的奇偶性取决于加数中奇数的个数．1、3、5、…、99共有50个奇数，所以结果是偶数．3. 例题3答案：（1）偶数；（2）偶数详解：（1）每一次握手都是涉及两个人的，所以把所有人的握手次数相加时，每一次握手都是被计算了两次的，所以总和一定是偶数．（2）握手次数总和是偶数，所以加数中奇数的个数一定是偶数，即握过奇数次手的人数是偶数．4. 例题4答案：（1）可以；（2）不能详解：把硬币编号①②③④……（1）可以：第一次①、第二次②③、第三次①④⑤、第四次②③④⑤、第五次①②③④⑤．（2）不能：每一枚硬币要反过来，需要翻动奇数次，一共6枚，共需翻动6个奇数次，则翻动总次数是偶数；而12345621++++++=和为奇数，所以不能．5. 例题5答案：（1）偶数；（2）偶数详解：乘积的奇偶性取决于乘数中是否有偶数．（1）2013个数的和是偶数，那么这2013个数中一定有偶数（如果全是奇数，那么2013个奇数的和就一定是奇数了），所以它们的乘积一定是偶数．（2）2012个数的和是奇数，那么这2012个数中一定有偶数（如果全是奇数，那么2012个奇数的和就一定是偶数了），所以它们的乘积一定是偶数．6. 例题6答案：不能详解：反证法：假设恰好是5~18，则：把14个和相加，那么每一个圆圈中的数一定会出现偶数次（要么加了2次、要么加了4次），所以最后的结果应该是一个偶数．但是，5~18的和是奇数，所以矛盾，不可能．7. 练习1答案：奇数简答：同例1（2）分析，1232013++++L 和为奇数，把其中任意加号变为减号，结果也一定是奇数．8. 练习2答案：偶数简答：每个乘积都是奇数，和的奇偶性取决于加数中奇数的个数．1、3、5、…、2011共有1006个奇数，所以结果是偶数．9. 练习3答案：偶数简答：每一场比赛，无论是分胜负还是平局，两个队的得分之和都是2分．而所有队的得分总和即为所有场比赛的得分和之总和，即使若干个2相加，总和是偶数．10. 练习4答案：不能简答：一共翻动了5432115++++=次，奇数次；而要使得一枚硬币翻过来，需要翻动奇数次，所以一共要翻动6个奇数次，总次数应该是偶数，与15矛盾．11. 作业1答案：奇数简答：756345⨯乘积是偶数，4343是奇数，388是偶数，只有1个奇数，所以结果是奇数．12. 作业2答案：奇数简答：1~21中，奇数一共有11个，所以结果是奇数．13. 作业3答案：（1）可以，答案不唯一；（2）不能简答：1~10的和为55，和为奇数．根据“和、差奇偶性相同”，那么如果把一部分加号改为减号，那么结果应该仍是奇数，所以：（1）结果为25是可能的，可以是12345678910+++-++++-；（2）结果为36是不可能的．14.作业4答案：不存在简答：两个数的和与差奇偶性相同，所以两个自然数的“和-差”结果一定是偶数，不可能是5．15.作业5答案：不能简答：七只杯子，有三只口朝上、四只口朝下，口朝上的杯子要变成口朝下，需要翻动奇数次，而口朝上的杯子有奇数只，所以最后要将七只杯子全变成口朝下，那么一共需要翻动奇数次．但是每个人任意翻动四次，那么若干人翻动的总次数一定是偶数次，所以不可能．。
小学奥数 奇数与偶数的性质与应用 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
一、奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k +1（k 为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a ,b ,有a +b 与a -b 同奇或同偶模块一、奇偶分析法之计算法【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】解答【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【答案】奇数【例 1】 从1开始的前2005个整数的和是______数(填：“奇”或“偶”)。
例题精讲知识点拨教学目标5-1奇数与偶数的性质与应用【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，5题【解析】1+2+3+…+2004+2005=(1+2005)×2005÷2=1003×2005是奇数【答案】奇数【巩固】2930318788……得数是奇数还是偶数？+++++【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】偶数。
小学数学《奇偶分析法》练习题(含答案)
小学数学《奇偶分析法》练习题（含答案）奇数和偶数的概念：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数（双数），不能被2整除的数叫做奇数（单数）.奇数和偶数的表示方法：因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数）；因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k+1来表示奇数（这里k是整数）.特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数.最小的奇数是１，最小的偶数是０．奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数奇数±奇数=偶数偶数±奇数=奇数同性质（指奇偶性）两数加减得偶，不同性质得奇.性质2：偶数×奇数=偶数（推广开来我们还可以得到：偶数个奇数相加得偶数）偶数×偶数=偶数（推广开就是：偶数个偶数相加得偶数）奇数×奇数=奇数（推广开就是：奇数个奇数相加得奇数）对于乘法，见偶就得偶.性质3 ：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.你还记得吗【复习1】从3开始，依据后一数是前一数加上3，写出2000个数排成一行：3，6，9，12，15，18，21,……在这行数中第1991个数是奇数还是偶数?分析：由于奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数. 3是奇数，所以，每个数加上3后，奇偶性与原来相反，也就是说，在3，6，9，12，……中，每一个数与前一个数的奇偶性不同. 这行数的第一个数是奇数，并且是奇偶相间，由此可知，这行数的奇偶性与其序数的奇偶性相同．所以第1991个数是奇数. 由此可以得到以下一条性质：加上(或减去)一个偶数，奇偶性不变，而加上(或减去)一个奇数，奇偶性改变．【复习2】7只杯子口均向上，每次操作翻动四只杯子，使其杯口朝向改变，能否经过有限次操作，使7只杯子口均向下?分析：我们可以从两个角度来考虑所有杯子被翻动次数的总和：一是每次操作计4次，，z 次操作共计4z次，为一偶数；二是看杯子状态，每只杯子由“口向上”变为“口向下”，需奇数次翻动，7只杯子翻动次数总和必为奇数．这样，奇≠偶，因此结论是不能．【复习3】某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分.请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数.分析：对于一名参赛同学来说，如果他全部答对，他的成绩将是3×50=150，是偶数；有一道题未答，则他将丢2分，也是偶数；答错一道题，则他将丢4分，还是偶数；所以不论这位同学答的情况如何，他的成绩将是150减一个偶数，还将是偶数.所以，全班同学得分总和一定是偶数.【复习4】在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8，问：填入的81个数中，奇数多还是偶数多?多多少？分析：每两个相邻的方格，所填的数一奇一偶，将第一行的每个方格与它下面的相邻方格配对，可见第一、二行中奇数与偶数正好一样多.同理，前八行中奇数与偶数一样多.第九行的前八个方格也可两两配对，每对相邻的方格中的数一奇一偶，所以这八格中的奇数偶数也一样多.最后，第九行，第九列有一个方格填18(=9+9)，所以81个数中，偶数恰好比奇数多1个.例题精讲【例1】师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：78只，94只，86只，87只，82只，80只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗?分析：注意到6个标数只有一个为奇数，它肯定是徒弟制造的．原因很简单：师傅的产量是徒弟的2倍，一定是偶数，它是4只箩筐中产品数的和，在题目条件下只能为四个偶数的和．徒弟的另一筐产嗁就得通过以下计算来确定：利用求解“和倍问题”的方法，求出徒弟加工零件总数为：(78+94+86+87+82+80)÷(2+1)=169，那另一筐放有产品169-87=82(只)．所以，标明“82只”和“87只”这两筐中的产品是徒弟制造的．【前铺】某电影院共有2003个座位．有一天，这家电影院上、下午各演一场电影，看电影的是A、B两所中学的各2003名师生．同一学校的学生有的看上午场，有的看下午场，但每人恰看一场，有人断言：“这天看电影时，肯定有的座位上、下午坐的是两所不同学校的师生．”你认为这种断言正确吗?为什么?分析：此题读来费神，但仔细一想，道理却很简单．如果每个座位上、下午坐的都是同一所学校的，那么这所学校的人数就等于上午本校看电影人数的2倍，肯定为偶数，这就与人数为奇数2003矛盾．所以题中断言是正确的．【例2】把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
小学数学《奇偶分析法》练习题
小学数学《奇偶分析法》练习题内容概述奇数和偶数的概念：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数（双数），不能被2整除的数叫做奇数（单数）.奇数和偶数的表示方法：因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数）；因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k+1来表示奇数（这里k是整数）. 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数.最小的奇数是１，最小的偶数是０．奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数奇数±奇数=偶数偶数±奇数=奇数同性质（指奇偶性）两数加减得偶，不同性质得奇.性质2：偶数×奇数=偶数（推广开来我们还可以得到：偶数个奇数相加得偶数）偶数×偶数Ľ偶数（推广开就是：偶数个偶数相加得偶数）奇数×奇数=奇数（推广开就是：奇数个奇数相加得奇数）对于乘法，见偶就得偶.性质3 ：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.例题精讲【例1】师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：78只，94只，86只，87只，82只，80只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗?【例2】把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由.【例3】平面上有11个齿轮咬合成一圈．试问，能否使这些齿轮同时转动起来?【例4】在表中有15个数，选出5个数，使它们之和等于30，你能做到吗?为什么?【例5】用1、2、3、4、5这五个数两两相乘.可以得到10个不同的乘积.问乘积中是偶数多还是奇数多?【例6】在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到66，88，237．问：原来写的三个整数能否为1，3，5 ？【例7】能不能在下式：1口2口3口4口5口6口7口8口9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立?【例8】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格中，使得每个横行中的三个数之和都是偶数?【例9】是否存在自然数a和b，使得ab(a+5b)= 15015?【例10】下面的四个算式中(如图)，每个方框代表一个整数.其中每个算式至少有一个奇数和一个偶数.问：这12个整数中，共有几个偶数?口+口=口口-口=口口×口=口口÷口=口【例11】甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数?”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗?【例12】甲、乙二人做游戏，先任意指定7个整数(允许有相同的).甲先把这7个整数以任意的顺序填在图中第一行的方格内，然后，乙再将这7个数以任意的顺序填在图第二行的方格内。
小学四年级奥数题含答案：奇数偶数
小学四年级奥数题含答案：奇数偶数
导读：本文小学四年级奥数题含答案：奇数偶数，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
由数字0，1，2，3，4组成三位数，可以组成多少个无重复数字的三位偶数?
【解答】因为要求组成无重复数字的三位偶数，那么个位只能填0，2，4。
(1)若个位填0，从剩下的4个非零数字中选一个填百位，再从剩下的3个数字中选任选一个来天填十位，有：1×4×3=12个;
(2)若个位填2或4，从剩下的三个非零数字中选一个来填百位，再从剩下的3个数字中任选一个来填十位，有2×3×3=18个。
因此，所有满足条件的三位数共有：12+18=30(个)。
小学奥数 奇数与偶数的性质与应用 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
一、奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k +1（k 为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a ,b ,有a +b 与a -b 同奇或同偶模块一、奇偶分析法之计算法【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法 【难度】2星 【题型】解答【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【答案】奇数【例 1】 从1开始的前2005个整数的和是______数(填：“奇”或“偶”)。
例题精讲知识点拨教学目标5-1奇数与偶数的性质与应用【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，5题【解析】1+2+3+…+2004+2005=(1+2005)×2005÷2=1003×2005是奇数【答案】奇数【巩固】2930318788……得数是奇数还是偶数？+++++【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】偶数。
高斯小学奥数四年级下册含答案第16讲_奇偶性分析
第十六讲奇偶性分析一个整数要么是奇数，要么是偶数，二者必居其一，这个属性叫做这个数的奇偶性．利用奇数与偶数的分类及其特殊性质，可以“简捷”地求解一些与整数有关的问题，我们把这种通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法称为“奇偶分析法”．在正式开始本讲的学习之前，我们首先需要较熟练的掌握以下结论，有助于我们更好的去思考问题：一、加减法性质+=奇奇偶，+=奇偶奇，+=偶偶偶-=奇奇偶，-=奇偶奇，-=偶奇奇，-=偶偶偶1、相邻2个自然数一定是一个是奇数、一个是偶数，其和一定是奇数．2、通过观察可以看出，一个数加偶数不会改变奇偶性，所以和的奇偶性是由奇数的个数决定的．奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；任意个偶数的和是偶数．3、可看出两个数的和与差奇偶性相同．一些数相加减，最后的结果的奇偶性也是由奇数的个数决定的，即“奇数个奇数的和差是奇数，偶数个奇数的和差是偶数；任意个偶数的和差是偶数”．二、乘除法性质⨯=奇奇奇，⨯=奇偶偶，⨯=偶偶偶当乘数都是奇数时，乘积是奇数（反过来，如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中的每一个乘数都是奇数）；只要乘数里出现至少1个偶数，那么乘积就是偶数（反过来，如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个乘数是偶数．）——所以乘积的奇偶性是由是否存在偶数决定的．÷奇偶（除不尽），÷=奇奇奇（在能除尽时），÷=偶奇偶（在能除尽时），÷偶偶（结果不确定，可奇、可偶）（在能除尽时）在做除法时不一定能除尽，所以我们讨论的都是除尽的情况，主要注意“”的情况不确定，其余的在五年级学完分解质因数后同学们会有更深刻的理解．÷偶偶例题1（1）12342012+++++L 的和是奇数还是偶数？（2）在1、2、3、…、2013的每一个数前，添上加号或减号，请问：能否找到一种添法，使得算式结果为0？「分析」加减法结果的奇偶性取决于算式中奇数的个数，你能计算出算式中有多少个奇数吗？练习1123456789201120122013-++-++-+++-+L 的结果是奇数还是偶数？例题2（1）12233499100⨯+⨯+⨯++⨯L 的结果是奇数还是偶数？（2）133599101⨯+⨯++⨯L 的结果是奇数还是偶数？「分析」（1）中每个乘积是奇数还是偶数？（2）中乘积都是奇数，那么到底是多少个奇数相加呢？练习213355720112013⨯+⨯+⨯++⨯L 的结果是奇数还是偶数？构造论证是一类很有意思的问题，它或者要求你设计一种巧妙的处理问题的方案，或者希望你帮忙说明一些事情的道理．事实上，设计方案就是构造．在所有的问题中，如果能够构造出一种合适的方案，那问题就解决了，但如果不能构造出，那就需要说明为什么不能构造，而这个叙述的过程就叫做论证．论证的方法有很多，今天主要是利用奇偶性分析来说明问题．例题3一次宴会上，客人们相互握手，每两人之间都握一次手，请问：所有人握手次数之和是奇数还是偶数？握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？「分析」大家好好思考一下：所有人握手次数之和是否等于总的握手次数呢？高思杯足球赛施行单循环赛，赛制规定：每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，所有队的得分总和是奇数还是偶数？接下来我们看构造论证模块中一类非常经典的翻硬币问题．例题4桌上放有5枚硬币，第一次翻动1枚，第二次翻动2枚，第三次翻动3枚，第四次翻动4枚，第五次翻动5枚．能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币都翻过来？如果桌上有6枚硬币，按类似的方法翻动6次，能否使得所有的硬币都翻过来？「分析」要想让一枚硬币翻过来，我们需要翻动几次？要想让5枚硬币都翻过来，那么我们要翻动的总次数应该是什么样的？练习4桌上放有6枚正面朝下的硬币，第一次翻动其中的5枚，第二次翻动其中的4枚，第三次翻动其中的3枚，第四次翻动2枚，第五次翻动1枚．请问：能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币正面都朝上？在构造论证中的“证明不可能”即“论证”环节，往往会用到“反证法”，即先假设“可以”，再进过推理得出矛盾，说明“假设不成立”．例题5（1）有2013个自然数的和是偶数，那么它们的乘积是奇数还是偶数？（2）有2012个自然数的和是奇数，那么它们的乘积是奇数还是偶数？「分析」（1）2013个数的和是偶数，那么关于这些加数，你能得出什么结论呢？（2）2012个什么样的自然数的和会是奇数呢？在1~15中选出10个数填入右下图的圆圈中，每两个有线相连的圆圈中的数相加，请问：这14个和能否恰好是5~18？「分析」数阵图中我们学习过了重数分析法，即把所有的和加起来，看每个数加了几次，然后再列算式进行分析．对本题我们不妨也试着用类似的方法试一下吧！课堂内外数论急先锋——神秘的奇偶数奇偶数有很多特别的性质，让我们来总结一下吧：（1）运算性质：在加减法运算中，出现偶数不改变奇偶，而每出现一个奇数就改变一次奇偶；乘法运算中，乘数中一旦出现偶数，结果就是偶数，否则结果就是奇数．（2）两个自然数的和与差同奇偶．（3）任意相邻的两个自然数必是一奇一偶，并且这两个数互质．（4）差为2n的两个奇数互质．（5）从1开始，前n个奇数的和等于n2．（6）任意两个奇数的平方差是8的倍数．（7）偶数的平方一定是4的倍数，奇数的平方除以4和8都余1．（8）相邻两个偶数的最大公约数是2，相邻两个奇数的最大公约数是1．（9）相邻两个偶数的最小公倍数是两数乘积的一半，相邻两个奇数的最小公倍数是两数之积．（10）完全平方数有奇数个不同的约数，非完全平方数有偶数个不同的约数．哥德巴赫猜想：任意一个不小于4的偶数都可以拆成两个质数的和．例如：422=+，633=+，=+，14311=+，835=+，1257=+，1037=+，……16313=+，18513作业1. 算式7563454343388⨯-+的结果是奇数还是偶数？2. 算式1234192021L的结果是奇数还是偶数？-+-++-+3. （1）能否在1、2、3、…、9、10的相邻两个数之间填入加号或减号（不能改变数的顺序），使得结果是25？（2）能否在1、2、3、…、9、10的相邻两个数之间填入加号或减号（不能改变数的顺序），使得结果是36？4. 请问是否存在两个自然数，它们的和比它们的差多5？若存在，请写出一组这样的数；若不存在，请说明理由．5．桌上放着七只杯子，有三只杯口朝上，四只杯口朝下，每个人任意将杯子翻动四次．请问：若干人翻动后，能否将七只杯子全变成杯口朝下？第十六讲 奇偶性分析1. 例题1答案：（1）偶数；（2）不能详解：（1）和的奇偶性只取决于加数中奇数的个数．1~2012中共有1006个奇数，所以和是偶数．（2）不可能．1232013++++L ，1~2013中共有1007个奇数，所以和为奇数；根据“和差奇偶性相同”可得，1232013++++L 任意把一些加号变为减号，结果也一定是一个奇数，不可能是0．2. 例题2答案：（1）偶数；（2）偶数详解：（1）每个乘积都是偶数，所以和是偶数．（2）每个乘积都是奇数，和的奇偶性取决于加数中奇数的个数．1、3、5、…、99共有50个奇数，所以结果是偶数．3. 例题3答案：（1）偶数；（2）偶数详解：（1）每一次握手都是涉及两个人的，所以把所有人的握手次数相加时，每一次握手都是被计算了两次的，所以总和一定是偶数．（2）握手次数总和是偶数，所以加数中奇数的个数一定是偶数，即握过奇数次手的人数是偶数．4. 例题4答案：（1）可以；（2）不能详解：把硬币编号①②③④……（1）可以：第一次①、第二次②③、第三次①④⑤、第四次②③④⑤、第五次①②③④⑤．（2）不能：每一枚硬币要反过来，需要翻动奇数次，一共6枚，共需翻动6个奇数次，则翻动总次数是偶数；而12345621++++++=和为奇数，所以不能．5. 例题5答案：（1）偶数；（2）偶数详解：乘积的奇偶性取决于乘数中是否有偶数．（1）2013个数的和是偶数，那么这2013个数中一定有偶数（如果全是奇数，那么2013个奇数的和就一定是奇数了），所以它们的乘积一定是偶数．（2）2012个数的和是奇数，那么这2012个数中一定有偶数（如果全是奇数，那么2012个奇数的和就一定是偶数了），所以它们的乘积一定是偶数．6. 例题6答案：不能详解：反证法：假设恰好是5~18，则：把14个和相加，那么每一个圆圈中的数一定会出现偶数次（要么加了2次、要么加了4次），所以最后的结果应该是一个偶数．但是，5~18的和是奇数，所以矛盾，不可能．7. 练习1答案：奇数简答：同例1（2）分析，1232013++++L 和为奇数，把其中任意加号变为减号，结果也一定是奇数．8. 练习2答案：偶数简答：每个乘积都是奇数，和的奇偶性取决于加数中奇数的个数．1、3、5、…、2011共有1006个奇数，所以结果是偶数．9. 练习3答案：偶数简答：每一场比赛，无论是分胜负还是平局，两个队的得分之和都是2分．而所有队的得分总和即为所有场比赛的得分和之总和，即使若干个2相加，总和是偶数．10. 练习4答案：不能简答：一共翻动了5432115++++=次，奇数次；而要使得一枚硬币翻过来，需要翻动奇数次，所以一共要翻动6个奇数次，总次数应该是偶数，与15矛盾．11. 作业1答案：奇数简答：756345⨯乘积是偶数，4343是奇数，388是偶数，只有1个奇数，所以结果是奇数．12. 作业2答案：奇数简答：1~21中，奇数一共有11个，所以结果是奇数．13. 作业3答案：（1）可以，答案不唯一；（2）不能简答：1~10的和为55，和为奇数．根据“和、差奇偶性相同”，那么如果把一部分加号改为减号，那么结果应该仍是奇数，所以：（1）结果为25是可能的，可以是12345678910+++-++++-；（2）结果为36是不可能的．14.作业4答案：不存在简答：两个数的和与差奇偶性相同，所以两个自然数的“和-差”结果一定是偶数，不可能是5．15.作业5答案：不能简答：七只杯子，有三只口朝上、四只口朝下，口朝上的杯子要变成口朝下，需要翻动奇数次，而口朝上的杯子有奇数只，所以最后要将七只杯子全变成口朝下，那么一共需要翻动奇数次．但是每个人任意翻动四次，那么若干人翻动的总次数一定是偶数次，所以不可能．。
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第六节奇偶分析法
内容讲解
整数按能否被2整除分为奇数和偶数两大类，除奇偶数的最基本性质以处，•我们还应掌握以下性质：①设a，b为整数，则a与a n的奇偶性相同：a+b，a-b的奇偶性相同．②若m为整数，a为奇数，则m±a的奇偶性与m相反．若m为整数，b为偶数，•则m±b的奇偶性与m 相同．③若m是整数，a为奇数，则ma的奇偶性与m相同．
例题剖析
例1下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12•个整数中至少有几个偶数？
□＋□＝□，□－□＝□，
□×□＝□，□÷□＝□．
分析：由于本题所涉及的奇数与偶数的和（差）或积（商），故可应用奇偶数的基本性质求解．
解：根据条件和奇偶数的基本性质知，加法和减法中至少有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有两个偶数，故这12个整数中至少有6个偶数．
评注：在解此题时，要注意将和与差，积与商并在一起共同研究．
例2 在1，2，3，…，2007，2008的每一个数前，任意添上一个正号或负号，•试判断它们的代数和是奇数还是偶数？
分析：由于任意添“＋”或“－”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，但可从
1+2=3，2-1=1；3+4=7，4-3=1…．•可见两个整数之与这两个整数之差的奇偶性质是相同的，于是我们可以从这条性质入手．
解：因为两个整数之和与两个整数之差的奇偶性相同，所以在给出的数字前面添上正号
或负号不改变其奇偶性．而1+2+…＋2007+2008=2008(12008)
2
=1004×2009为偶数．
所以已知数字作为变换后的代数和仍为偶数．
评注：此题通过对一些具体的数字的研究推出一般性结论，是由于已知数为有限整数．例3已知x，y是质数，z是奇质数，且x（x+y）=z+8，求y（x+z）的值．
分析：此题的关键是从x（x+y）=z+8求出x，y，z的值．
解：由已知条件和质数，奇偶数性质知：（z+8）为奇数，
所以x和（x+y）•为奇数，于是y为偶数，又y为质数，故y=2．
则x，z应满足x（x+2）=z+8，即z=x2+2x-8=（x-2）（x+4）．
由于z是奇质数，所以必有x-2=1，x+4=z，即x=3，z=7．
故y（x+z）=2（3+7）=20．
评注：奇偶分析法在解不定方程方面的应用也推广，大家仔细体会．
例4 能否把1，1，2，2，…，30，30这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个30之间夹着三十个数？试说明理由．
分析：我们知道30对数共60个，我们可将之分成奇，偶两类数加以讨论，•以便求解．解：假设能按要求排成一行，于是60个数被安排在60个位置上，为了方便起见，给他们所在的位置依次编上号，具体研究一个个对象较为困难，不妨把所有数分成奇数、偶数两大类进行．
（1）先考察偶数，设一个偶数m，两个m之间有m个数，这说明若有一个m在奇数位置，则另一个m必在偶数位置，反之亦然．于是15对偶数分别占据了15个奇数位，15•个偶数位；
（2）再研究一个奇数n，两个奇数n之间夹着n个数．只要一个n占据奇数位，则另一个n 也占据着奇数位，即成对占据奇数位．
设有k对奇数占据奇数位，因60个位置中有30个奇数位．•于是这些奇数位应被15个偶数和2k个奇数占据，则30=15+2k，即2k=15，这显然是不可能成立的，•所以不能按要求排成一行．
评注：此题巧妙地利用了奇偶数的基本性质解决问题，可见数的奇偶性的作用．
例5 在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1～6这6个整数，•然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．
分析：从正面入手比较困难，我们不妨从反面去思考，即设这6个数两两都不相等，利用│a i-b i│与a i-b i（i=1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．解：设6张卡片正面写的数是a1，a2，a3，a4，a5，a6，
反面写的数对应为b1，b2，b3，b4，b5，b6，
则这6张卡片为│a1-b1│，│a2-b2│，│a3-b3│，│a4-b4│，│a5-b5│，│a6-b6│．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值，
于是│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-•b4│+│a5-b5│+│a6-b6│=0+1+2+3+4+5=15是个奇数
另一方面，│a i-b i│与a i-b i（i=1，2，…，6）的奇偶性相同，
所以│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-b4│+│a5-b5│+│a6-b6│
与（a1-b1）+（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4）+（a5-b5）+（a6-b6）=（a1+a2+…+a6）-（b1+b2+…+b6）=（1+2+…+6）-（1+2+…+6）=0的奇偶性相同，是个偶数．
这与（*）矛盾，故│a1-b1│，│a2-b2│，…，│a6-b6│这6个数中至少有两个是相同的．评注：一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理，•引入字母是数学化的常用方式方法，另外赋值法也是数学化的常用方式方法．
巩固练习
1．填空题
（1）已知a，b，c分别是2007，2008，2009中的一个数，则（a-1）×（b-2）×（c-•3）•是________数（奇、偶数）；
（2）三个相邻偶数之积是一个六位数，这个六位数的首位数字是8，末位数字是2，则这三个偶数是________；
（3）将1到100这100个自然数任意排成一行，•其中所有相邻两数的和中，•至少有
________个偶数，至多有_______个偶数．
2．选择题
（1）若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是（ •）
（A）185 （B）183 （C）181 （D）179
（2）两个十位数1111111111和9999999999的乘积有（）个数字是奇数．
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
（3）设x和y为两个自然数，它们的和与差相乘的积是偶数，则（x+y）与（x-y）（）
（A）同为偶数（B）同为奇数
（C）x+y是偶数，x-y是奇数（D）x+y是奇数，x-y是偶数
3．一串数排成一行，它们的规律是：头两个数都是1，从第三个数开始，•每一个数都是前两个数之和，问这串数的前2008个数中有多少个偶数？
4．设有n盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动n-1个拉线开关，试问：•能否把所有的灯都关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法．
5．试说明：只用2×2及3×3的两种瓷砖不能恰好铺盖23×23的正方形地面．
答案:
1．（1）偶；（2）94，96，98；（3）0，98．
2．（1）C；（2）D；（3）A
3．由条件和要求，可以先写出这一串数的奇偶数，
然后寻找规律：1，1，2，3，5，•8，13，21，34，55，89，…
即规律为奇奇偶奇奇偶…．•即两个奇数一个偶数且三个数一循环，
而偶数恰在3，6，9，12…这些序号上，即只有序号为3的倍数的数是偶数．•
因2008=3×669+1，故这串数的前2008个数中有669个偶数．
4．从简单情况研究，当n=1时，显然不行；
当n=2时，1号灯不动，2号关上；2•号灯不动，1号关上，可行．
当n=3时，每盏灯拉动奇数次时才能关上，3个奇数的和仍为奇数，•
而n-1=2，即按规定总拉动开关的次数是偶数，
故不能把灯全关闭，由此猜测，
当n为偶数时可以；
当n为奇数是不行．
5．将23×23的正方形地面中第1，4，7，10，13，16，19，22列中的小方格全涂成黑色，剩下的小方格涂成白色，
于是白色的小方格总数为15×23是一个奇数，
又因每块2×2砖总能盖住二黑格和二白格或四白格．
每块3×3砖总能盖住三黑格和六白格，•
故无论多少2×2及3×3砖盖住的白格数总是一个偶数，不可能盖住15×23个白格，所以只用2×2及3×3砖不能盖住23×23的地面．。