小波变换与应用

(2) 1910: Alfred Haar发现Haar小波
哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅 里叶类似的基非常感兴趣。 1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets 他最早发现和使用了小波。
(3) 1945: Gabor提出STFT
20世纪40年代Gabor开发了STFT (short time Fourier transform) STFT的时间-频率关系图
(a) 二维图
(b) 三维图 连续小波变换分析图
(6) 三种变换的比较
(7) 1984: subband coding (Burt and Adelson)
SBC (subband coding)的基本概念： 把信号的频率分成几个子带，然后对每个子带 分别进行编码，并根据每个子带的重要性分配 不同的位数来表示数据 20世纪70年代，子带编码开始用在语音编码上 20世纪80年代中期开始在图像编码中使用 1986年Woods, J. W.等人曾经使用一维正交镜像 滤波器组(quadrature mirror filterbanks，QMF) 把信号的频带分解成4个相等的子带
An individual wavelet can be defined by
Then
and Calderó n's formula gives
A common type of wavelet is defined using Haar functions.
2. Wavelet Transform
(a)信号分解 (b)系数结构 (c)小波分解树 小波分解树
小波包分解树
小波分解树表示只对信号的低频分量进行 连续分解。如果不仅对信号的低频分量 连续进行分解，而且对高频分量也进行 连续分解，这样不仅可得到许多分辨率 较低的低频分量，而且也可得到许多分 辨率较低的高频分量。这样分解得到的 树叫做小波包分解树(wavelet packet decomposition tree)，这种树是一个完整 的二进制树。
3. 离散小波变换(续)
使用离散小波分析得到的小波系数、缩放 因子和时间关系如图所示。 图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的 短时傅里叶变换(short time Fourier transform，STFT)得到的时间-频率关 系图 图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的 小波变换得到的时间-缩放因子(反映频 率)关系图。
傅里叶变换的定义：A mathematical description of the relationship between functions of time and corresponding functions of frequency; a map for converting from one domain to the other. For example, if we have a signal that is a function of time--an impulse response-- then the Fourier Transform will convert that time domain data into frequency data, for example, a frequency response. (http://www.keithyates.com/glossary.htm)
Definition - Basis Functions: a set of linearly independent functions that can be used (e.g., as a weighted sum) to construct any given signal.


where: a = scale variable －缩放因子 k = time shift －时间平移 h* = wavelet function －小波函数 用y = scaled (dilated) and shifted (translated) Mother wavelet function, 在CWT中，scale和position是连续变化的
双通道滤波过程
在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频 部分起一个“添加剂”的作用。犹如声音那样，把高 频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够 听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉， 听起来就莫名其妙。在小波分析中，近似值是大的缩 放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值 是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。
小波变换
经过十几年的努力，这门学科的理论基 础已经基本建立，并成为应用数学的一 个新领域。这门新兴学科的出现引起了 许多数学家和工程技术人员的极大关注， 是国际科技界和众多学术团体高度关注 的前沿领域。
3. 离散小波变换
在计算连续小波变换时，实际上也是用离 散的数据进行计算的，只是所用的缩放 因子和平移参数比较小而已。不难想象， 连续小波变换的计算量是惊人的。 为了解决计算量的问题，缩放因子和平移 参数都选择 ( j.>0的整数)的倍数。使用这 样的缩放因子和平移参数的小波变换叫 做双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)，它是离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT)的一种形式。
离散小波变换分析图
DWT变换方法
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器
该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法 这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号 处理中称为双通道子带编码
用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示
S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A 和D两个信号 A表示信号的近似值(approximations) D表示信号的细节值(detail)
Mallat, Meyer等人提出multiresolution theory 法国科学家Y.Meyer创造性地构造出具有一定衰减性的 光滑函数，他用缩放(dilations)与平移(translations)均 为 2的j次幂的倍数构造了平方可积的实空间L2(R)的 规范正交基，使小波得到真正的发展 小波变换的主要算法由法国的科学家Stephane Mallat提 出 S.Mallat于1988年在构造正交小波基时提出了多分辨 率分析(multiresolution analysis)的概念, 从空间上形 象地说明了小波的多分辨率的特性 提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做Mallat 算法。该算法统一了在此之前构造正交小波基的 所有方法，它的地位相当于快速傅里叶变换在经 典傅里叶分析中的地位。
小波变换与应用
一、小波变换 1.小波 2.小波变换 3. 离散小波变换 二、Haar小波变换 1.哈尔函数 2.求均值和差值 3. 哈尔变换的特性 4.一维哈尔小波变换
5. 二维哈尔小波变换
三、阅读和练习作业
一、Wavelet Transform
小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到 图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工 具。它是继110多年前的傅里叶(Joseph Fourier) 分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自 然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生 了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领 域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数 学知识。本教学提纲企图从工程应用角度出发， 用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用， 为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景 材料
1. What is wavelet
一种函数
具有有限的持续时间、突变的频率和振幅 波形可以是不规则的，也可以是不对称的 在整个时间范围里的幅度平均值为零 比较正弦波
部分小波波形
小波的定义
Wavelets are a class of a functions used to localize a given function in both space and scaling. A family of wavelets can be constructed from a ( x) function , sometimes known as a "mother wavelet," which is confined in a finite interval. "Daughter wavelets" ( a,b) ( x) are then formed by translation (b) and contraction (a). Wavelets are especially useful for compressing image data, since a wavelet transform has properties which are in some ways superior to a conventional Fourier transform.
小波分解得到的图像
(9Βιβλιοθήκη Baidu著名科学家
Inrid Daubechies，Ronald Coifman和 Victor Wickerhauser等著名科学家 把这个小波理论引入到工程应用方面做出了极其 重要的贡献 Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和 滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离散 小波分析变成为现实 在信号处理中，自从S.Mallat和Inrid Daubechies发 现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小 波在信号(如声音信号，图像信号等)处理中得 到极其广泛的应用。 ……
小波分解树
离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通 滤波器组成的一棵树
原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级 分解 信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。 如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续 进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，形 成如图所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分 解树(wavelet decomposition tree) 分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要
缩放(scaled)的概念
例1：正弦波的算法
缩放(scaled)的概念(续)
例2：小波的缩放
平移(translation)的概念
(5) CWT的变换过程
可分成如下5个步骤
步骤1: 把小波 和原始信号 的开始部分进行比较 步骤2: 计算系数c 。该系数表示该部分信号与小波的近似 程度。系数 c 的值越高表示信号与小波越相似，因此 系数c 可以反映这种波形的相关程度 步骤3: 把小波向右移，距离为 ，得到的小波函数为 ， 然后重复步骤1和2。再把小波向右移，得到小波 ，重 复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号 结 束 步骤4: 扩展小波 ，例如扩展一倍，得到的小波函数为 步骤5: 重复步骤1~4
(4) 1980: Morlet提出了CWT
CWT (continuous wavelet transform) 20世纪70年代，当时在法国石油公司工作 的年轻的地球物理学家Jean Morlet提出了 小波变换WT(wavelet transform)的概念。 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
老课题 函数的表示方法 新方法 Fourier Haar wavelet transform
(1) 1807: Joseph Fourier
傅里叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦 和余弦函数之和，叫做傅里叶展开式。 用傅里叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没 有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中 包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的 信号出现在什么时候。 为了继承傅里叶分析的优点，同时又克服它的缺 点，人们一直在寻找新的方法。
图(a) 正交镜像滤波器(QMF)
图(b) 表示其相应的频谱
图中的符号 表示频带降低1/2，HH表示频率最 高的子带，LL表示频率最低的子带。这个过程 可以重复，直到符合应用要求为止。这样的滤 波器组称为分解滤波器树(decomposition filter trees)
(8) 20世纪80年代