海淀区2019届高三二模数学(理)试题
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--解析几何+答案
2019高三二模分类汇编—解析几何1.若直线l ：12x ty at=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)22.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为3.已知圆22:(1)4C x y -+=与曲线1y x =-相交于,M N 两点，则线段MN 的长度为 4.（本小题满分13分）已知椭圆222:14x y C b+=的左顶点 A 与上顶点B．(Ⅱ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ ∆为等边三角形，求点P 的横坐标．5.椭圆22124:1x y C b+=与曲线2C 关于直线y x =-对称，1C 与2C 分别在第一、二、三、四象限交于点1234,,,.P P P P 若四边形1234PP P P 的面积为4，则点1P 的坐标为_______, 1C 的离心率为__ ．6.设关于,x y 的不等式组0,20,10x x y mx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m 的取值范围是 . 7.（本小题13分）已知点()1,2P 到抛物线()2:20C y px p =>准线的距离为2.（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点.求MF NF ⋅的值.8.以椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为 ；此双曲线的渐近线方程为9.（本小题满分14分）已知抛物线2:2W y px =的准线方程为1x =-，焦点为F ，F 为抛物线上异于原点O 的一点。
(Ⅰ) 若5AF =，求以线段OA 为直径的圆的方程；(Ⅱ)设过点F 且平行于OA 的直线l 交抛物线W 于,B C 两点，判断四边形OABC 能否为等腰梯形？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由。
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--极坐标与参数方程+答案
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2019高三二模分类汇编—极坐标与参数方程
1.若直线l ：12x t y at
=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是
(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2
2.在极坐标系中，直线cos 2ρθ=与圆4cos ρθ=交于,A B 两点，则AB =
(A)
4
( B) (C) 2 (D)
3．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos ρθ-sin 10ρθ-=，圆心C 到直线l 的距离为____．
4.过原点作圆()3cos 63sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩
为参数的两条切线，则这两条切线所成的锐角为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2
π 5.在极坐标系中，圆θρ
sin 2=的圆心的极坐标是 A ．12⎛⎫ ⎪⎝⎭，π B. 12π⎛⎫ ⎪⎝⎭， C. ()01， D. ()10，
6.直线1,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数）的位置关系为 (A) 相离
(B) 相切 (C) 相交且直线过圆心 (D)相交但直线不过圆心
2019高三二模分类汇编—极坐标与参数方程
答案部分
1. D
2. A
3.
4. C
5. B
6. A。
最新2019届高三下学期期末练习(二模)数学(理)试题
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2019.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．(1)已知集合{}15A x x =≤≤，{}36B x x =≤≤，则A B =(A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6] (2)复数()z a i i R =+∈的实部是虚部的2倍，则a 的值为 (A) 12- (B) 12 (C) -2 (D)2(3，若直线l ：12x ty at =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2 (4)在5(2)x -的展开式中，2x 的系数是(A) -80 (B) -10 (C)5 (D) 40(5)把函数2xy =的图象向右平移t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为23xy =，则t 的值为(A) 12( B) 2log 3 (C) 3log 2 (D)(6)学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (7)已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1AC 上的动点（点P与1,A C 不重合）．则下面结论中错误的是(A)存在点P ，使得平面1A DP ∥平面11B CD(B)存在点P ，使得1AC ⊥平面1A DP(C) 12,S S 分别是△1A DP 在平面1111A B C D ，平面11BB C C 上 的正投影图形的面积，对任意点P ，12S S ≠(D)对任意点P ，△1A DP 的面积都不等于6第二部分（非选择题共1 10分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
海淀区2019年高三年级第二学期期中练习(理)答案
海淀区2019年高三年级第二学期期中练习数 学（理） 答案及评分参考选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.（共13分）解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =-- , …………………4分 所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-.…………………5分 （II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分 所以sin 5B =sin 10C =. …………9分由sin sin a cA C=得a =， …………………11分所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，又,AE EB EB EF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分 ∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BH DH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0）， C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分 ∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分HADFEBGC∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,6EB =<>==-θn ， …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为 …………………………14分 17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-=， ………………………2分 ………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分 （Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即 函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分 由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分 综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得m =，所以||OP =……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③ ……………8分 设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++. ……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP ===== ………………………12分因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP<≤. ………………………13分综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分(Ⅱ)另解：设,,A B P点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y、、，由,A B在椭圆上，可得2211222234123412x yx y⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y-++-+=③………………………7分由已知可得OP OA OB=+，所以120120x x xy y y+=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y ykx x-=-,即1212()y y k x x-=-⑥………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky=-………………………10分与22003412x y+=联立消x整理得202943yk=+……………………11分由22003412x y+=得2200443x y=-，所以222222000002413||4443343OP x y y y yk=+=-+=-=-+……………………12分因为12k≤，得23434k≤+≤，有2331443k≤≤+，2OP≤≤. ………………………13分所求OP的取值范围是. ………………………14分20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)jk k k k k j======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)mb b b b b m==+==++====112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤， 故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =，则当m M ≥时必有m b n =，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值：1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123()n M a a a a b =-+++++ 123()n a a a a n=-+++++…………………12分∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--导数及其应用+答案
2019高三二模分类汇编—导数及其应用1.（本小题满分14分） 已知函数22()(),ax a f x e x a+=-，其中0a ≠． (Ⅰ)求曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处切线的倾斜角；(Ⅱ)若函数()f x 的极小值小于0，求实数a 的取值范围．2.（本小题14分）已知函数()sin f x x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()cos f x ax x ≥在区间π[0,]2上恒成立，求实数a 的取值范围．3.（本小题满分13分） 已知函数()(ln 1)f x x x =+，其中0a ≠．(Ⅰ)若曲线()y f x =在点 00(,())x f x 处的切线的斜率小于1，求0x 的取值范围；(Ⅱ)设整数k 使得1()()2f x k x ≥-对(0,)x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值.4. （本小题满分13分）已知函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠). （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅰ）若函数()f x 的极小值为1a，试求a 的值. 5．（本小题13分）已知函数2()ln (21)1()f x x ax a x a =+-++≥0．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（Ⅱ）函数()f x 在区间(1,)+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：1()14g a a<-．6. （本小题共13分） 设函数()ln ,f x x a R=∈.（I ）若点()1,1在曲线()y f x =上，求在该点处曲线的切线方程； （II ）若()f x 有极小值2，求a .7．（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）当0k =时，求曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程； （Ⅱ）当0k ≠时，（ⅰ）求()f x 的单调区间；（ⅱ）若()f x 在区间()01，内单调递减，求k 的取值范围．8.（本小题14分）已知函数21()2sin +1,()cos 2f x x xg x x m x =-=+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在(0,)π上的单调区间；（Ⅲ）当1m >时，证明：()g x 在(0,)π上存在最小值.2019高三二模分类汇编—导数及其应用答案部分1．（共14分）解：（Ⅰ）因为22()e ()a x a f x x a+=-，所以2'()e (2(2))a x f x ax x a =+-+ 所以'(1)0f = 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为0（Ⅱ）方法1：()()2R kxe f x k x=∈因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122,1a x x a+=-= 当0a >时，x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而222(1)e (1)e (11)e ()0aa a a f a a a +=-=--=-<，符合题意 当1a =-时，1221a x x a+=-==， 2'()e (1)0a x f x x =-+≤,()f x 没有极值，不符合题意当10a -<<时，x >11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表而2(1)e ()0af a=->，不符合题意当1a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:所以2()2122()e[()()]0a a aa a f x a a+-++=--<， 解得2a <- 综上，a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞U方法2：因为函数()f x 的极小值小于0，所以()0f x <有解，即220a x a+-<有解 所以20a a+>，所以有0a >或2a <- 因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122,1a x x a+=-= 当0a >时， x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而222(1)e (1)e (11)e ()0aa a a f a a a+=-=--=-<，符合题意 当2a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而22()()212222(2)()e[()()]e 0a a a a aa a a a f x a a a ++--+++=--=<，符合题意综上，a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞U2.（共14分） 解： （Ⅰ）因为()sin f x x x =+，所以()1cos f x x '=+，()12f π'=，()122f ππ=+，所以曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程为1.y x =+ ............................5分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以sin 0x ≥，cos 0x ≥，当0a ≤时，()sin 0f x x x =+≥恒成立，cos 0ax x ≤恒成立，所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立.当0a >时，设()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x=-=+-，()1cos cos sin 1(1)cos sin g x x a x ax x a x ax x '=+-+=+-+，若01a <≤，(1)cos 0a x -≥，sin 0ax x ≥，所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；若12a <≤，110a -≤-<，1(1)cos 0a x +-≥，sin 0ax x ≥，所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；所以()g x 在区间[0,]2π上单调递增，min()(0)0,g x g ==所以当2a ≤时，不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立；当2a >时，令()()1(1)cos sin h x g x a x ax x '==+-+，()(21)sin cos h x a x ax x '=-+，()0h x '>在区间[0,]2π上恒成立，所以()g x '在区间[0,]2π上单调递增，min ()(0)20g x g a ''==-<，max ()()1022a g x g ππ''==+>，所以存在0[0,]2x π∈，使得0()0g x '=. 当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当02x x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当0x x =时，()0g x '=，()g x 取得极小值；而(0)0g =，所以0()0g x <，所以不等式()0g x ≥在区间[0,]2π上不能恒成立，所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立时实数a 的取值范围是(,2].-∞ (14)分3.4． (本小题满分13分)解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()yf x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分（Ⅱ）①当1a <-时，x 变化时变化情况如下表：此时1()ln()f a a a a a -=+-=,解得1ea =->-，故不成立. ②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a =-+2a =--.因为10a -<<，所以2a =-.④当0a >时，x 变化时变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a =-+2a =--，故不成立.综上所述2a =-+. ………….13分 5.（共13分） 解：（Ⅰ）当0a =时，()ln 1f x x x =-+，则1()1f x x'=-， ..................2分 因为[1,)x ∈+∞，所以()0f x '≤. ..................3分 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递减， ..................4分 所以()f x 区间[1,)+∞上最大值为(1)0f = . (5)分（Ⅱ）由题可知1()2(21)f x ax a x'=+-+ 22(21)1ax a x x-++=(21)(1)ax x x--=． ………………6分①当0a =时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 无最小值，此时不符合题意；………………7分②当12a ≥时，因为(1,)x ∈+∞，所以210ax ->．此时函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 无最小值，此时亦不符合题意； ……………8分③当102a <<时，此时112a <．函数()f x 在区间1(1,)2a上单调递减，在区间1(,)2a +∞上单调递增，所以min 111()()ln 224f x f a a a ==-， ………………9分即11()ln24g a a a =-. 要证1()14g a a<-，只需证当102a <<时，1()104g a a -+<成立. 即证111ln10(0)222a a a -+<<<， ………………10分 设12t a=，()ln 1(1)h t t t t =-+> ……………11分由（Ⅰ）知()(1)0h t h <= ………………12分即1()104g a a -+<成立. 所以1()14g a a<-. ………………13分6. 解：（I ）因为点()1,1在曲线()y f x =上，所以1a =，()ln f x x------------------------------------------1分又()1f x x '==------------------------------------------3分 所以()112f '=-------------------------------------------4分在该点处曲线的切线方程为()1112y x -=--即230x y +-=-----------------5分（II ）定义域为()0,+∞，()1222f x x x x '=-=-------------------------------6分 讨论：（1）当0a ≤时，()0f x '<此时()f x 在()0,+∞上单调递减，所以不存在极小值------------------------------8分 （2）当0a >时，令()=0f x '可得24=x a------------------------------------------9分 列表可得所以()f x 在240,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在24,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增----------------------11分 所以()24=f x f a ⎛⎫⎪⎝⎭极小值=242ln a -，所以242ln a -=2解得()2a =舍负------13分 7．解: （Ⅰ）当0k =时，()221f x x x -==，()3322f x x x-'=-=-. ..........1分 所以()12f '-=， ()11f -=. .........2分所以曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为()()()()111y f f x ⎡⎤'--=---⎣⎦， .....................................3分即230x y -+=； .....................................4分 （Ⅱ）0k ≠时，（ⅰ）()f x =，定义域为， ..........................5分所以()f x '==． .......... ........ ..............7分 令()0f x '=，得2x k=． .......... ........ ..........8分 ①当0k >时，在()0-∞，和，()0f x '>；在，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为()0-∞，和，单调递减区间为；.........9分 ②当0k <时，在，()0f x '>；在和，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为2k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和()0+∞，；....10分 （ⅱ）由()f x 在区间()01，内单调递减， ①当0k >时，()01，，有，所以； ..........11分 ②当0k <时, ()f x 在递减，符合题意． ..........12分 综上k 的取值范围是()(]002,,-∞U ． ..........13分 8.（本小题13分） （Ⅰ）因为()2sin 1f x x x =-+，所以'()12cos f x x =-则(0)1f =，'(0)1f =-，所以切线方程为1y x =-+ ……………………4分（Ⅱ）令'()0f x =，即1cos 2x =，()0,x ∈π，得3x π= 当x 变化时，'(),()f x f x 变化如下：2xe kx{}0|≠x x 422x x e x ke kx kx ⋅-⋅42)2xx kx e kx -⋅（),2(+∞k )2,0(k),2(+∞k )2,0(k）（0,2k ），（k2-∞），（∞+0）（0,2k⊆)2,0(k 12≥k20≤<k ），（∞+0所以函数()f x 的单调递减区间为(0,)3,单调递增区间为(,)3π…………………8分（Ⅲ）因为21()cos 2g x x m x =+，所以'()sin g x x m x =- 令'()()sin h x g x x m x ==-，则'()1cos h x m x =- ……………9分 因为1m >， 所以1(0,1)m∈ 所以'()1cos 0,h x m x =-=即1cos x m =在()0,π内有唯一解0x当()00,x x ∈时，'()0h x <，当()0,x x π∈时，'()0h x >，所以()h x 在()00,x 上单调递减,在()0,πx 上单调递增. ……………11分 所以0()(0)0h x h <=，又因为()0h ππ=>所以()sin h x x m x =-在0(,)(0,)x ππ⊆内有唯一零点1x……………12分当()10,x x ∈时，()0h x < 即'()0g x <，当()1,x x π∈时，()0h x > 即'()0g x >， ……………13分所以()g x 在()10,x 上单调递减,在()1,πx 上单调递增. 所以函数()g x 在1x x =处取得最小值 即1m >时，函数()g x 在()0,π上存在最小值……………………………………14分。
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--平面向量+答案
2019高三二模分类汇编—平面向量1.在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=u u u r u u u r u u u r ，且点P 在直线AC 上，则AE AF =u u u r u u u rg2.已知向量a 与b 不共线，且AB m =+u u u r a b (1)m ≠，.AC n =+u u u ra b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为(A)1m n += (B) 1m n +=- (C) 1mn = (D)1mn =- 3..在同一平面内,已知A 为动点,,B C 为定点,且3BAC π∠=,,2ACB π∠≠,1BC =,P 为BC 中点.过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ,则AQ uuu r 在BC uuur 方向上投影的最大值是A.,13,,,,,,,,,,,B.,12,,,,,,,,,C.,,,,,,,,,,D.234..,如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(4,0),(4,0),(0,2),(0,2)O M N P Q --，(4,2)H ,.线段OM 上的动点A 满足((0,1))OA OM λλ=∈u u u r u u u u r；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=u u u r u u u r.直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k '，则k k '⋅的值为_______；当λ变化时，动点L 一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.,5.．已知点P 是边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，若||1AP AB AD --=，则||AP u u u r的最大值是 （A ）1 （B ）（C ）1（D ）26..已知向量a ，b 满足| a |=1，| b |=2，且()0a a b -=r r rg ，则a 与b 的夹角为_________7.在以AB 为边，AC 为对角线的矩形中，(3,1),(2,)AB AC k ==u u u r u u u r，则实数k = .2019高三二模分类汇编—平面向量答案部分1.522.C3.C4.双曲线5.C6. 0607.4。
海淀区2019届高三一模数学(理)试题及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2019.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{}04P x x =<<，且M P ⊆，则M P ⊆可以是 (A) {}1，2 (B) {}2,4 (C) {}1,2- (D) {}0,5(2)若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+(3)已知等差数列{}n a 满足324=3a a ，则{}n a 中一定为零的项是 (A) 6a (B) 8a (C) 10a (D)12a (4)已知x y >，则下列各式中一定成立的是 (A)11x y< (B) 12x y +>(C) 11()()22x y > (D) 222x y -+>(5)执行如图所示的程序框图，输出的m 值为(A)18 (B) 16(C) 516(D) 13(6)已知复数()z a i a R =+∈，则下面结论正确的是 (A) z a i =-+ (B) 1z ≥(C) z 一定不是纯虚数 (D)在复平面上，z 对应的点可能在第三象限(7)椭圆221:14x C y +=与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为(A)6π，6π- (B) 3π，3π- (C) 6π，56π (D) 3π，23π (8)某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目(A)8种 (B) 10种 (C) 12种 (D) 14种第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9)已知,4,a c 成等比数列，且0a >，则22log log a c +=____． (10)在△ABC 中，14,5,cos 8a b C ===，则=c ，ABC S ∆= ( 11)已知向量a =（1，-2），同时满足条件①a ∥b ，②a b a +<的一个向量b 的坐标 为( 12)在极坐标系中，若圆2cos a ρθ=关于直线cos sin 10ρθθ+=对称，则a =(13)设关于,x y 的不等式组00,1x y y kx ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩，表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点(0,1)A -距离的最小值为()d k ，则(I)当=1k 时，(1)=d ； (Ⅱ)若()d k ≥，则k 的取值范围是____．( 14)已知函数()f x x =，2()g x ax x =-，其中0a >.若12[1,2],[1,2]x x ∀∈∃∈，使得1()f x 2()f x 1()g x =2()g x 成立，则a =____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明~演算步骤或证明过程。
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--数列+答案
2019高三二模分类汇编—数列1. 若数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，1,2,3,...,n =则满足0n a >的n 的最小值为_____2.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件3.能说明“设数列{}n a 的前n 项和n S ，对于任意的*n N ∈，若1n a +>n a ，则1n S +>n S ”为假命题的一个等差数列是 。
（写出数列的通项公式）4. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，能够说明“若数列{}n a 是递减数列，则数列{}n S 是递减数列”是假命题的数列{}n a 的一个通项公式为____．6.在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则7a = A ．32 B ．16 C ．8 D ．1167. （本小题共13分） 在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，n N *∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”．（Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c 的前n 项和为n T ．是否存在正整数n N *∈都成立？若存在，求出,p k8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，14a =，6812a a +=，则7S = .2019高三二模分类汇编—数列答案部分1. 52.C3.4.C5． 满足12,0,0a a d ><（答案不唯一）6.A7. 解：（Ⅰ）由{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，有22213D =-=，于是2232437b b D =+=+=，22437310b b D =+=+=------------------------------------------4分（Ⅱ）设数列是等比数列，所以，（为公比且）则，若为“平方等差数列”，则有2222222422(2)21111(1)n n n n n a a a q a q a q q D -----=-=-=（D 为与无关的常数） 所以21q =， 即或．-------------------------------------8分{}n a 11n n a a q -=q 0q ≠22221n n a a q -={}n a n 1q =1q =-（Ⅲ）因为数列{}n c 是“平方等差数列”，122,0n c c c ==>，则4D =，221(1)44(1)4n c c n D n n =+-=+-=∴n c = 所以数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和 -------------------------------------10分假设存在正整数,p k使不等式112>L 对一切1)++>L 当时，11)>，∴94p k +<又,p k 为正整数， ∴1p k ==．------------------------------------------11分对一切都成立．所以存在1pk ==使不等式1n T>对一切都成立． （注：也可用数学归纳法证明）------------------------------------------13分8. 35n 1...2n T =++*n N ∈1n =...1)++>*n N ∈*)n N =>=∈...1)...1)+>+++=*n N ∈。
2019届北京市海淀区高三年级第二学期期末练习(二模)数学(理)试题(解析版)
2019届北京市海淀区高三年级第二学期期末练习（二模）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则( )A．[1,3] B．[3,5] C．[5,6] D．[1,6]【答案】B【解析】由交集的概念，直接可得出结果.【详解】因为集合，，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．复数的实部是虚部的2倍，则的值为( )A．B．C．-2 D．2【答案】D【解析】根据复数的概念，可直接得出结果.【详解】的实部为，虚部为1，实部是虚部的2倍，所以，.故选D【点睛】本题主要考查由复数的实部与虚部的关系求参数，熟记复数概念即可，属于基础题型. 3．若直线：(为参数)，经过坐标原点，则直线的斜率是( )A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【解析】先由参数方程消去参数，再由直线过原点，即可得出结果.【详解】直线方程消去参数,得：，经过原点，代入直线方程，解得：，所以，直线方程为：，斜率为2.故选D本题主要考查直线的参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可，属于基础题型. 4．在的展开式中，的系数是( )A．-80 B．-10 C．5 D．40【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.【详解】因为的展开式的通项为，令，则的系数是.故选A【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型. 5．把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】先将函数按题意平移得到，再由题中条件得到＝3，进而可得出结果. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得：，所以，＝3，得：.故选B【点睛】本题主要考查函数的平移以及对数的运算，熟记函数平移的法则以及对数的定义即可，属于基础题型.6．学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为( )A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果.【详解】先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、2413。
2019高三二模海淀理数试卷及答案
所以 c 3
设 BC 边上的高为 h ，所以 h csin B 12 3 7
方法 2：
因为 b a ，所以 B A π ，所以 C π ，
3
3
所以 B 为 △ABC 中最大的角
6
2 2 2 (2 2)2 3
解得 2 或 2 （舍） 3
所以存在点 G ，使得二面角 G BE D1 的余弦值为
6 3
，且
AG
2 3
AD1 ，
得 AG 2 5 . 3
18.（共 13 分）
解：(Ⅰ)依题意，有 4 b2 6
16.（共 13 分）搜索北京高考在线网，获取更多试题及答案 解：(Ⅰ) 设事件 A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单”
依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于 65 单的频率分别为： 0.2，0.15，0.05
因为 0.2 0.15 0.05 0.4
)3
6 27
1 27
7 27
所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为 7 27
（Ⅲ）方法 1：
设骑手每日完成快递业务量为 X 件
方案（1）的日工资 Y1 50 3X ( X N*) ，
方案（2）的日工资 Y2
100, X 44, X N* 100 5(X 44), X
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数 学 （理科）
2019.05
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
北京市海淀区达标名校2019年高考二月质量检测数学试题含解析
北京市海淀区达标名校2019年高考二月质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．000(0,1),ln x x ex -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈< D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤2．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( )A ．13(,)34B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,1)23．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194B ．1695C ．311D ．10954．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)[5,)+∞ B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]55．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 ABC ．2D6．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >7．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A．152B ．102C ．153D ．1039．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ） A ．52B ．322C ．3D ．210．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．1911．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的焦距为（ ） A ．3B ．32C ．6D ．6212．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A．B．C ．5 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市海淀区2019届高三下学期期末练习数学理科试卷【含答案及解析】
北京市海淀区2019届高三下学期期末练习数学理科试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级_______________ 分数____________、选择题1.若集合-£ 2QI1I,:-詁住■■:或i-:-，贝V】1A.1；：' ； ]B.C. 1，"江」D.(2.0 n2.二项式：:忑的展开式的第二项是A.fix'B.-fir4C.D.-Pr4r —v-1 > 0.3.已知实数满足{x + F—3 二0.则一沽I的最小值为A. B. C. D.74.圆斗：二—2i? = 0与曲线| 的公共点个数为A. 4B. 3C . 2 _______________ D.05. 已知;为无穷等比数列，且公比，，记■■为】的前项和，则下面结论正确的是A. 忑> 仏B. 绚+口、> 0C. ｛碍‘｝是递增数列 ______________________D. 头存在最小值6. 已知/（.V）是耳上的奇函数，贝V “対+池=0 ”是”的A. 充分不必要条件_________B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为 • • ，大圆盘上所写的实数分别记为「,如图所示•将小圆盘逆时针旋转_ _ .:次，每次转动「I ，记「I 一二二d 为转动•次后各区域内两数乘积之和，例如 '--•若，，则以下结论正确的是A. T } T-..T, T.中至少有一个为正数 ____________B. T.T^I.T.中至少有一个为负数C.中至多有一个为正数 _________ D. 丁、工工工 中至多有一个为负数二、填空题9.在极坐标系中，极点到直线 ；1的距离为•10.已知复数二=——，则匕|= _________ .111.在 24百匚中， ， 阳=3占，贝V cosJJ _________ .1、图2、A.①B.①② C.7. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图 一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是12.已知函数/(r)=--2x，则/丄 _________________ /⑴ (填“ > ”或“ < ”)；/ (x)在区间_- —|上存在零点，则正整数打= __________ .v 7I冲"1丿13.在四边形点鹽羔中，心二-.若；(:;、门，则；存>■：-=14.已知椭圆G : 一—一•■ .■■■.的两个焦点分别为.■和，，短轴K A-的两个端点分别为站和& ，点P在椭圆G上，且满足p迓卅尸釦|殆出丹；当,变化时，给出下列三个命题：①点P的轨迹关于轴对称；②存在，使得椭圆—上满足条件的点仅有两个；③|0P|的最小值为,其中，所有正确命题的序号是________________ .三、解答题15.已知函数匸丨-| 「I —-I-. ' iv. ；■,—-.(I)求」丨的最小正周期和对称轴的方程；(n)求—在区间 | 上的最小值.16.为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.lAViFGH为自然科学类课程•为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取为研究样本组(以下简称“组M”).(I )在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？(n)为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元•(i )设随机变量■-表示选出的4名同学中选择课程-的人数，求随机变量的分布列；(ii)设随机变量•：表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量-：的期望•17.如图，三棱锥“遺二、，侧棱宀上.，底面三角形.■ 为正三角形，边长为，顶点.•在平面，上的射影为「，有，且(I)求证：: 平面■:丨;(n)求二面角的余弦值；一CF (川)线段-上是否存在点小使得」丄平面T ，如果存在，求——的CP18.已知动点 /到点「一」和直线I :，- 的距离相等(I)求动点 1 r的轨迹E的方程;(D)已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，以AP为直径作圆：•判断点，和圆：的位置关系，并证明你的结论.19.已知函数(I)若曲线•「I - |在| | - | | .处的切线与直线「AT二：垂直，求■的值；(H)当—时，求证：存在实数使.一.20.对于无穷数列；_•，记r - : v - :；. .■--，若数列i 满足：“存在F.>■，使得只要.(且)，必有迅.—环.7 ”，则称数列I 具有性质/(■ I .(I)若数列；.•.满足判断数列；.是否具有性质「•一 ? 2n-5t ni 3、是否具有性质 J ‘?(H)求证：是有限集”是“数列；_• 具有性质「…”的必要不充分条件； (川)已知I 是各项为正整数的数列，且；.：•：既具有性质一…_ I ,又具有性质. I ,求证：存在整数.，使得. , 是等差数列.参考答案及解析第1题【答案】C由題可知卜21}【解析】第2题【答案】做出如團可彳亍域：当目标函数经过点£（卸〉时取得最小值」故（bf第4题【答案】【解析】 当丈＞0时，y = x-i ■此时对＞匚所以/勻圆的无交点丿当灯0时'}■ = -.V- 1 J 此时岂园无交為 当沉=0时』显然也无交点 ,故综合得无交点第5题【答案】根据展幵式通项可得二第3题【答案】【解析】, / C *■N」亠 ---------- ■_JT/侔r y【解析】根据題意可feb M为无穷等比数列，且公比勾>1,但无法知道数列的项是大于雲还是小于零，故蚌器q + 6二叫〔1亠小因无法确定首项的符耳因此B融而和恒大于軌故孕巳51=A込所以｛^｝是递増数洌｝:正确・同理首顷符号无法确定，因此耳不一定存在最小11第6题【答案】【解析】若\ +=° ;所以一勺二乙,y/Cv)是R上的奇跚,则心s ,=>/(^)+/&i)=9 得/(^)+/(^>o ,所以原命题成立』若/« = 0 ,则伞’"时，/(^)+/(^)= 0仍成立而十广0不成立，所以逆命题不成立，故选A第7题【答案】第9题【答案】根据题意可得三个立体几诃图形湖嚮翩鶴鲫飆翩蒙戟 T 证明得结论,在画立初诃图形第8题【答案】【解析】根据題竟可知；（Xj F 5十X +） ＜片优切切）皿又（丐坨坷十工丿（巧划卢\忧）去掉括爭嚅:（ 旺+6性+耳）铝勺」:惴％）#+兀+F 卢兀山所以可知耳亏壬忑中至少有一个为正数 I 故呛点睛：借此题关犍是要很協题育明m GGG 匚所表达的育思「燃后容易发现（V ）性性+兀）＜+v ）埋帕 知）話+耳- ?； +打＞ Q 从而得岀涪论【解析】ACE 垂肯底面】團三可得侧面ABC.ADC^底面均垂直，园二观察可知无侧面与底面垂直故选B可得面1【解析】』故柢点到直线的距离为1第10题【答案】【解析】第11题【答案】【解析】、、S.IIL4-O£L2B.纟土丄=> —竺兰二2w詔-—=> COL S=—bib sutfi 2 4第12题【答案】> 2彳寸斗2；「又待讶八打=4 ,所心扌<0故如在区间（乎角上存在零点此时沪2= 1的普逋万程為：工"曽】= ；由零点定理：令和也则/2J 2-^2 > 0 ,而第13题【答案】,因为DA=y(p-i Ci) = CE .所以四边册AEB 为平行四边形I 所決AE 二DU1,所以忑 DC =2点暮 根擔题倉明日N 二说明四边形AE8为平行四边形』从而解题，注前化草團去 理解题育，同时要熟^向量曲线性运算第14题【答案】(D®【解析】 _ 由题可得因为呛桶圖吐，且;茜足昭卜|脛冋尸£田尸E| P 亦 净耳，所以可得酣蹴迹为以鬲 屍为焦点的椭圆，故①正确 ,②存在臼使得1SHG 上满足条件的点尸可以有四个.分别为以耳和坊馬点在渝的椭圆与焦点为 耳和2在屛由上的柵圆的交点，③由题可得椭圆庆 —+^—1 , P 的轨迹方程为椭圆：6t>-匸「36胪丁 ,二 一6护_十-犷+ &盼一弘八〉一一『丰6沪一36点睛：根將题青可得p 的轨迹方电便可峻证超两个结论，对于第三个可汰分析到点p 为两桶E1的交点 ,所決联立求出点P 再记住函数分析求出最值第15题【答案】【解析】D’丽匚蕊界岳，当用时刈取到最小值2 联立两方程解得F 的坐标；所決2皿［0•兀］,< I )见解析；(II) -1.试题分祈：（1）要求函数的周期 2x '—\再求解即可（2）求三 角函数在某个区间的最值先分析2x-^€,熬后根掳三角正弦函数的图像即可得出最值■ ■ 试题解析；所以/（x ）的最小正周期I = f得：V =耳匹+丄乃T.上w Z . 20 2屎2（工）的对称轴方程为x 弋*•辰Z •或者：M ）的对称轴方程为2x_¥专十2竝和*¥二-尹2竝.MZ , 即 丁 = 士、+加和X =—^kjl.kE Z .20 20■ ■< II ）因为"0,y ,収当L 牛专即"卸寸,所臥2x_^E 3JI 2n【解析】 令2r-—=第16 题【答案】I )12,8：(n)(l )见解析；(11)6500.【解析】 例抽样(2)根擔题直在自然学科中抽4人即C ；,然后设随机变量X 表示迭出的4名同学中选择课程 G 的人数故随机变量幷可取0, 1, 2•再根据超几何分布__列式即可写出分布列再求期望(3〉设随 机变量】.衰示选出的4名同学参加科学营的费用总和，贝I ］随机变量F =6000十500 X 所纸(】• )=6000+500^( X )试题解析：(I )选择人文类课程的人数为(80+200+400+20Q+300) 乂 1%=L2(A)5选择自然科学类课程的人数为(300十200+300) x 1也8(人).(U)⑴依题意,随机变量X 可取0, b 2.故随机变量X 的分布列为AO 1 23 4 3 p ——— 14 7 14(ii )法1:依题意，随机变量 r =2000 X +1500 (4 一 X) =^000+500 X , 所以随机变量y 的数学期望为3 4 3J(F ) =6000+500J( X )=6000+500(0X —+ lx -+ 2x —)=6500.14 7 14(il)法2；依题意，随机变量F 可取6000, 6500, 7000.所以随机变量y 的分布列为160006500 7000试题分析：(1)分层抽样即按比 p(x=1)=第17 题【答案】cZfiM —r(I)见解析：(II) ; (III)见解析.7【解析】试题分析：(1)证线面平行，则要在平面尸找一线与之平行即可，显然分析DB / /AC即得证，(2)求二面角可侣助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解(3)存在冋题可臥根据结论反推即可，容易得因为PC AB =(2 A-1)0)= -1 0 ;所以PC与曲不垂直，故不存在试题解析：(I )因为・如丄助；&£>5 = 1 , 4B = 2 ,所以血=方,ADBA= 60° •田为ABC为正三角形，所以ACAB = 60s J又由已知可知为平面四边形，所以DBHAC・因为/C(Z平面PDB , DB u平面PDB ,所以平面.(K )由点P在平面ABC上的射影为D可得PD丄平面ACBD ,所以FDJLQzl , PD 丄DB •臥DB、DA、DP分别为r.y.z建立空间直角坐标系，则由已矢呵知B(L0.0) , ^(0.73.0),P(0.0.1) ; C(2皿).平面JBC的法向fin = (0.0,1),设m = (x. y.二)为平面PAB的一个法向量，则由｛亘心①可得产⑥皿5P in-0 -工 + 二=0.令)口 ,则2也，忑,所以平面血B的一个法向量m二苗丄近),=-F—= ------ >V7xi 7第18 题【答案】(I ) ,v 2 =4x ; (ID 见解析•［解析】 试题分析 j 艮IB 抛物线定义 可得方程（2 ）次砂）直径作圆C ,判断点N 和圆C 的位置关系则只需脸证NA NP 等于零否从而 可得结论< I ）设动点站（2）,由拋物线定义可知点M 的轨迹碇叹"（L0）为焦点，直线止工二-1为准线的抛物线， 所臥轨迹硒］方程为y 2 = 4x .（1［〉法1；由題童可设直线/'：X = g+7 , r v 2 = 4x因为直线］与曲线硝唯一公共点厶戶砌、A= 16刃’十16” =0 > >7 = -nr •所以（*）可化简为y 1-4wv+4w 3 =0 ,因为打=一脚、,所叹而丽=［-2-山］=-2川十2-2-2?2 0所以Mi 丄,护,所次点N 在以閃为直径的圆C 上.法2；依题竜可设直线尸:厂后+人（疋=0）, 由｛"： 了•可得F/+2（*-2）X +，=O （*）,>■ =4x因为直线/'与曲线賄唯一公共点心且与直线/的交点为F ,令工二-1得心可得 y 2-4〃1+Q第19 题【答案】< I ) a=3 : (II)见解析.【解析】试题分析；(1)先根据題意可得在(0./3))处的切线/的斜率为2,从而求得a (2)对于存在冋题可根抿题青赋值验证，当aSO时,fi^W/(l)<e a-l<O<l ,即存在实数忌使/(耳)<1 ;当QA04穽】时分祈国数单调性，得函数最小值，若最小值小于1即得证试题解析：< I ) f (x)=a占 T ,因为曲线.u = /(X)在(O./(O))处的切线与直线"2y4 2 0垂直，所叹切线/的斜率为2,嬲f (0)",所以.(II)>±1：当必0时，显然有/(1)7七0<1 ,即存在实数兀ft/(x0)<l ；当"0,"1时，由/,(-V)= 0可得工二丄In丄,a a(11、/ 1 1、所以在XW -00,-111-1时，r(x)<0，所以函数/(工)在；Y,_ln—上递减；\ a a J \ a a J胡亠丄严］时，f(x)>0 ,所以函数/(X)在［丄11上严］上递増\a a J \a a }所叹/pm丄卜丄(1+111/7)ft/(x)的极小值.kCT a} a由函数/(gf可得/(0) = l ；由可得丄In丄HO ,a a\a a J综上，若"1,存在卖数耳-第20 题【答案】<I )数列S｝不具有性质尸(2);具有性质尸(4)：(］［)见解析：(III)见解析.【解析】试题分析；(1)根据新定冥直接验证即可的结论⑵对于5是有限集"是"数列& ｝具有性质P(0) ”的必要不充分条件，先证不充分性对于周期数列1丄2.2.L122.…，T = ｛-1.0.1｝是有限集，但罡由于a2 -竹=0.码_勺=1 ,所以不具有性质尸(0)、再证必要性因为数列匕｝具有性质尸(0儿所以一走存在一组最小的mMN'且m>k,满足弘-依“，即％二血，所以数列｛©｝中必然会以某个周期进行，所以数列"”｝中最多有血-1个不同的项，从而得证(3)因为数列｛心｝具有性质尸⑵,数列｛%｝具有性质卩⑴，所以存在6 N4 ,使得％卄-% = 2 , ,茸中p冷分别是满足上述关系式的最小的正整数，然后根据其性质列出相关等式可得结论，然后逐一分析取值讨论试题解析；<I)数列M不具有性质戸(2) 5具有性质戸⑷•(II)(不充分性)对于周期数列1.1.2.2.1.L2.2/ • , r = ｛>1.0.1)S有限集，但是由于仏-q =0•込=］，所以不具有性质沪(0)；〈必要性〉因为数列｛①｝具有性质卩(0)，所以一定存在一组最小的且rn>k ,满足a… = 0 ,即心=©由" (° )的含乂可■(寸=©-］、4力=①十］，…,的恿-*-) =“•》-］‘ ①in-R =^m，…所臥数列&｝中，从第k顷开始的各项呈现周期性规律；％叫,…•叽］为一个周期中的各项，所以数列｛偽｝中最多有W-1个不同的项、所以丁最多有个元素，即：T是有限集・<1ID因対数列｛©｝具有性质P(2),数列&｝具有性质P(5),所以存在M'.N' e N* ,使得他” 一Q” = 2 ,蚣十-农=5 ,其中P4分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质F(2).F(5)的含义可得VA-eN ,亿0仔大Pz =2.a v.^ -g眾=5 ,。
北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习(一模)数学(理科)试题(解析版)
北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习（一模）数学（理科）试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，且，则可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用子集概念即可作出判断.【详解】∵∴，即故选：A【点睛】本题考查子集的概念，属于基础题.2.若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角的终边在第二象限，＝＜0，A不符；＝＜0，B不符；＝＜0，C不符；＝＞0，所以，D正确故选：D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．3.已知等差数列满足，则中一定为零的项是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式即可得到结果.【详解】由得，，解得：，所以，，故选A【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题.4.已知，则下列各式中一定成立（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质与指数函数性质即可作出判断.【详解】x，y的符号不确定，当x＝2，y＝－1时，，对于A，不成立，所以错误；对于B、也错；对于C，是减函数，所以，也错；对于D，因为，所以，，正确，故选D【点睛】本题考查不等式的性质，指数函数的单调性及均值不等式，考查反例法，属于基础题.5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，即可得出结论．【详解】解：第1步：S＝2，x＝4，m＝2；第2步：S＝8，x＝6，m＝；第3步：S＝48，x＝8，m＝，退出循环，故选B【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.已知复数，则下面结论正确的是（）A. B.C. 一定不是纯虚数D. 在复平面上，对应的点可能在第三象限【答案】B【解析】【分析】利用共轭复数概念，模的计算，及几何意义即可作出判断.【详解】的共轭复数为：，所以A错误；，所以B正确；当时，是纯虚数，所以C错误；对应的点为（，1），因为纵坐标y＝1，所以，不可能在第三象限，D也错误.故选B.【点睛】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题．7.椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】运用椭圆和双曲线的离心率公式，可得关于a，b的方程，再由双曲线的渐近线方程，即可得到结论．【详解】椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝，离心率为，设双曲线的离心率为e则，得，双曲线中，即，又，所以，得，双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为倾斜角分别为，.故选C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于易错题．8.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在层班级，生物在层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）地理化学地理化学生物化学生物历史物理生物物理生物物理生物物理物理A. 8种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】B【解析】【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知成等比数列，且，则____．【答案】4【解析】【分析】利用等比中项可得＝16，结合对数运算性质可得结果.【详解】解：依题意，得：＝16，所以，＝4故答案为：4【点睛】本题考查了等比数列的性质，对数的运算性质，考查计算能力.10.在中，，则_______；_________.【答案】(1). 6(2).【解析】【分析】利用余弦定理可得c值，由平方关系得到，借助可得结果.【详解】解：由余弦定理，得：＝36，所以，c＝6，由得：，所以，＝【点睛】本题考查余弦定理，平方关系，以及三角形的面积公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．11.已知向量，同时满足条件①，②的一个向量的坐标为_____ .【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设＝（x，y），由∥得：y＝－2x，结合，可得x的范围，进而可得结果.【详解】解：设＝（x，y），由∥得：y＝－2x，＋＝（1＋x，－2＋y），由，得：，把y＝－2x代入，得：，化简，得：，解得：，取x＝－1，得y＝2，所以，＝（－1,2）（答案不唯一）故答案为：＝（－1,2）（答案不唯一）【点睛】本题考查向量共线的性质，考查平面向量的坐标运算，属于基础题.12.在极坐标系中，若圆关于直线对称，则_____.【答案】【解析】【分析】把极坐标方程化为普通直角方程，利用圆心在直线上，得到a值.【详解】解：圆方程化为：，化为直角坐标方程为：，直线化为直角坐标方程为：，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心（，0），所以，，解得：＝－1.故答案为：－1【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题.13.设关于的不等式组表示的平面区域为．记区域上的点与点距离的最小值为，则（1）当时，____；（2）若，则的取值范围是____．【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】(1)当时,作出可行域，数形结合即可得到结果，（2）恒过定点（0，1），对k分类讨论，数形结合即可得到结果.【详解】（1）当时，不等式组为，表示的平面区域如下图1，区域上的点B与点距离的最小，最小值为｜AB｜＝2，所以， 2（2）恒过定点（0，1），（i）当k＞0时，如图1，，符合题意（ii）当k＝0时，如图2，，符合题意（iii）当k＜0时，如图3，，解得：，综上可知的取值范围是.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.已知函数，，其中.若，使得成立，则____．【答案】【解析】【分析】根据题意可得，分别求两边的范围，利用子集关系，得到结果.【详解】解：依题意，得：，化简，得：，因为.，所以，，即，所以，，因为，且，因为，有成立，所以，，所以，所以，，所以，.故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明~演算步骤或证明过程15.已知函数的最大值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简f（x）为A sin（ωx+φ）+b的形式，根据最大值列出方程解出a；（2）结合正弦函数的单调性列出不等式解出【详解】（1）因为,所以函数的最大值为 ,所以, 所以 .（2）因为的单调递增区间为，,令 , 所以，函数的单调递增区间为，.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值及单调性，属于基础题. 16.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和） 单位：公顷（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过的概率是多少？（3）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）甘肃省，青海省；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根据表格即可得到结果；(2)利用古典概型概率公式即可得到结果；(3)的取值为0,1,2，分别求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望．【详解】(1) 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省,人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省.(2) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过，则.（3）新封山育林面积超过五万公顷有个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有个地区：内蒙、河北、重庆，所以的取值为所以，，.随机变量的分布列为.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查古典概型概率公式，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.17.如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.【解析】【分析】(1)方法一：取中点为,连结,，要证平面，即证：,；方法二：以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，又因为,即可得证.(2)方法一：要证平面平面，转证平面即证；方法二：分别求出两个平面的法向量即可得证.(3)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可得到结果.【详解】方法一：(1)取中点为,连结,由且,又点为中点，所以 ,又因为分别为,中点,所以 ,所以,所以共面于平面 ,因为,分别为中点, 所以,平面,平面,所以平面 .方法二：在直三棱柱中，平面又因为,以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，由题意得,.所以,,设平面的法向量为，则，即,令，得,于是 ,又因为,所以 ,又因为平面，所以平面 .（2）方法一：在直棱柱中，平面,因为，所以,又因为，且,所以平面 ,平面，所以,又，四边形为正方形,所以 ,又，所以,又，且,所以平面 ,又平面,所以平面平面 .方法二：设平面的法向量为，,，即 ,令，得,于是 ,,即，所以平面平面.（3）设直线与平面所成角为，则,设，则 ,,所以 ,解得或（舍）,所以点存在，即的中点，.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：函数存在极小值；（3）请直接写出函数的零点个数．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点.【解析】【分析】(1) 求出函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线的方程；(2)，说明有可变零点即可；(3)由题意可得函数的零点个数．【详解】（1）的定义域为因为所以切点的坐标为因为所以切线的斜率，所以切线的方程为（2）方法一：令因为且，所以，，从而得到在上恒成立所以在上单调递增且，所以在上递减，在递增；所以时，取得极小值，问题得证方法二：因为当时，当时，，所以当时，，所以所以在上递减，在递增；所以时，函数取得极小值，问题得证.（3）当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点.【点睛】本题考查函数的导数的运用：求切线的方程，确定函数的极值，考查函数的零点个数判断，以及分类讨论思想方法，属于中档题．19.已知抛物线，其中．点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.（1）求抛物线的方程和的坐标；（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．【答案】（1），；（2）平行.【解析】【分析】(1)由到的准线的距离是与距离的3倍可得p值，从而得到抛物线的方程和的坐标；(2)方法一：设直线的方程为，对m分类讨论，分别计算二者的斜率，即可作出判断.方法二：先考虑直线的斜率不存在时，在考虑直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立求点坐标，利用两点斜率公式求出，即可得出结论.【详解】(1)抛物线的准线方程为，焦点坐标为 ,所以有，解得 ,所以抛物线方程为，焦点坐标为 .(2)直线 ,方法一：设，，设直线的方程为联立方程消元得，,所以， ,,显然，直线的方程为 ,令，则，则,因为，所以 ,直线的方程为，令，则，则① 当时，直线的斜率不存在，，可知，直线的斜率不存在，则② 当时，，，则综上所述，方法二：直线(i) 若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨设，直线的方程为，则直线的方程为，即，令，则，则直线的斜率不存在，因此(ii) 设，，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，消元得，，整理得，由韦达定理，可得，，因为，可得.显然，直线的方程为令，则，则因为，所以直线的方程为，令，则，则，则综上所述， .【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，直线和抛物线的位置关系，直线的斜率和直线的位置关系，属于中档题．20.首项为O的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②.（1）请直接写出的所有可能值；（2）记，若对任意成立，求的通项公式；（3）对于给定的正整数，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）当为奇数时的最大值为; 当为偶数时，的最大值为.【解析】【分析】(1)由递推关系得到的所有可能值；(2)由题意可知数列的偶数项是单调递增数列，先证明数列中相邻两项不可能同时为非负数，即可得到结果；(3)由（2）的证明知，不能都为非负数，分类讨论即可得到结果.【详解】（1）的值可以取 .（2）因为，因为对任意成立，所以为单调递增数列，即数列的偶数项是单调递增数列，根据条件，，所以当对成立，下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数”，假设数列中存在同时为非负数，因为，若则有，与条件矛盾，若则有，与条件矛盾，所以假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负数，此时对成立，所以当时，，即，所以，，所以，即，其中，即，其中，又，，所以是以，公差为的等差数列，所以 .（3）记，由（2）的证明知，不能都为非负数，当，则，根据，得到，所以，当，则，根据，得到，所以，所以，总有成立，当为奇数时，，故的奇偶性不同，则，当为偶数时，，当为奇数时，，考虑数列：，，可以验证，所给的数列满足条件，且,所以的最大值为，当为偶数时，，考虑数列：，，-，， ,可以验证，所给的数列满足条件，且，所以的最大值为.【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考查了转化能力和运算能力，属于难题.。
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海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理科） 2019.5
本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
(1)已知集合{}15A x x =≤≤，{}36B x x =≤≤，则A
B = (A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6]
(2)复数()z a i i R =+∈的实部是虚部的2倍，则a 的值为
(A) 12- (B) 12
(C) -2 (D)2
(3，若直线l ：12x t y at =+⎧⎨=+⎩
(t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是 (A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2
(4)在5
(2)x -的展开式中，2x 的系数是 (A) -80 (B) -10 (C)5 (D) 40
(5)把函数2x
y =的图象向右平移t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为23x
y =，则t 的值为
(A) 12 ( B) 2log 3 (C) 3log 2 (D)
(6)学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
(7)已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（
4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π
）”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1AC 上的动点（点P 与1,A C 不重合）．则下面结论中错误的是
(A)存在点P ，使得平面1A DP ∥平面11B CD
(B)存在点P ，使得1AC ⊥平面1A DP
(C) 12,S S 分别是△1A DP 在平面1111A B C D ，平面11BB C C 上
的正投影图形的面积，对任意点P ，12S S ≠
(D)对任意点P ，△1A DP 的面积都不等于
6
第二部分（非选择题共1 10分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为 ( 10)已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =
( 11)若数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，1,2,3,...,n =则满足0n a >的n 的最小值为 (12)已知圆22:(1)4C x y -+=与曲线1y x =-相交于,M N 两点，则线段MN 的长度为
(13)在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则AE AF =
(14)已知集合{}
001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1n
n A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数
()y f x =具有性质“ ”． (I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ；
(Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②21y x =+；③cos()22
y x π=+，其中具有性质“9”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
( 15)（本小题满分13分）
在ABC ∆中，7,8,3a b A π
===．
(Ⅰ)求sin B 的值；
(Ⅱ)若ABC ∆是钝角三角形，求BC 边上的高．
某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐
连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)
规定每日底薪50元，快递业务每完成一单
提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，
快递业务的前44单没有提成，从第45单
开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店
记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取
100天的数据，将样本数据分为[ 25，35），
[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。
(Ⅱ)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；
(Ⅱ)从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为13，
选择方案(2)的概率 为23
．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独 立，求至少有两名骑手选择方案(1)的概率；
(Ⅲ)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
( 17)（本小题满分14分）
如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足
为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，
使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 上一个动点。
(Ⅱ)当点G 为棱1AD 中点时，求证：BG ∥平面1D EC t
(Ⅱ)求证：AB ⊥平面1D BE ;
(Ⅲ)是否存在点G ，使得二面角1G BE D --的余弦值为
3
若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由．
已知椭圆22
2
:14x y C b +=的左顶点 A 与上顶点B ． (Ⅱ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；
(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ ∆为等边三角形，求点P 的横坐标．
(19)（本小题满分14分）
已知函数22()(),ax a f x e x a
+=-，其中0a ≠． (Ⅰ)求曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处切线的倾斜角；
(Ⅱ)若函数()f x 的极小值小于0，求实数a 的取值范围．
( 20)（本小题满分13分）
对于给定的奇数,(3)m m ≥ ，设A 是由m m ⨯个数组成的m 行m 列的数表，数表中第i 行，第j 列的数{}0,1ij a ∈，记()c i 为A 的第i 行所有数之和，()r j 为A 的第j 列所有数之和，其中{},1,2,...,i j m ∈.
对于{},1,2,...,i j m ∈，若()2ij m ma c i -<且2
m j <同时成立，则称数对(,)i j
为数表A 的一个“好位置”
(Ⅱ)直接写出右面所给的33⨯数表A 的所有的“好位置”；
(Ⅱ)当5m =时，若对任意的15i ≤≤ 都有()3c i ≥成立，求数表
A 中的“好位置”个数的最小值；
(Ⅲ)求证：数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -．。