李贤平概率论基础 2.2

点构成:(正,红)，(正,白)，(正,黑)，(
反 , 红 )， ( 反 ,白 )， ( 反 ,黑 )。
定义：
“与第k次试验有关的事件”：这种事 件发生与否仅与第k次试验的结果有关。
因此判断某一样本点是否属于这个事 件，只需察看它的第k个分量。 必然事件与不可能事件可以认为与所 有的试验有关。
定义 Ak ——与第k次实验有关的事件全体。 若对于任意的
练习：某型号火炮的命中率为0.8, 现有一架 敌机即将入侵，如果欲以 99.9 % 的概率击 中它，则需配备此型号火炮多少门？ 解 设需配备 n 门此型号火炮 设事件 Ai 表示第 i 门火炮击中敌机
P( Ai ) 1 1 P( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
例4 甲、乙两人进行乒乓球 比赛, 每局甲胜的 概率为 p ( p 1 2) , 问对甲而言 , 采用三局二胜制 有利, 还是采用五局三胜制有 利. 设各局胜负相 互独立.
解 采用三局二胜制 , 甲最终获胜,
胜局情况可能是 :
“甲甲”, “乙甲甲”,
“甲乙甲”;
由于这三种情况互不相容,
于是由独立性得甲最终 获胜的概率为 :
p1 p2 2 p2 (1 p).
采用五局三胜制 ,甲最终获胜, 至少需比赛 3 局,
且最后一局必需是甲胜 , 而前面甲需胜二局.
例如, 比赛四局, 则甲的胜局情况可能是:
“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”; 由于这三种情况互不相容, 于是由独立性得 :
在五局三胜制下 ,甲最终获胜的概率为:
则称 A1 , A2 ,, An 为相互独立的事件.
n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立
定义：称无穷多个事件相互独立，如果其中任意 有限多个事件都相互独立。
两个结论
1. 若事件 A1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则 其中任意 k ( 2 k n)个事件也是相互独立 .
因此 A，B，C 不相互独立.
推广 设 A1 , A2 ,, An 是 n 个事件, 如果对于任意
k (1 k n), 任意 1 i1 i2 ik n, 具有等式
P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik ),
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两 事件是否独立.
例如
甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？ 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故 认为A、B独立 .
思考
两事件相互独立与两事件互斥的关系.
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB
n
ln 0.001 n 4.29 ln 0.2
故需配备 5 门此型号火炮 .
三、实验的独立性
直观定义：
若试验E1的任一事件与试验E2 的任一事件都是相互独立的事件， 则称这两个试验相互独立，或称独
立试验.
需要构造一个能描述所有试验的公共的样本空间
设试验E1的样本空间是 1 {(1) }，试 验E2的的样本空间是 2 {(2) } 本空间是 n {( n) } En ，… En的样 ，为描述这n次试验，应
B A
故 P ( AB) P ( A) P ( B ) .
由此可见两事件互斥但不独立. 说明：在概率均不为0的情况下，两事件互斥与独 立不能同时成立.
课堂练习
1、设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
构造复合试验E，他表示依次进行试验E1 … 其样本点为 {(1) , (2) , , ( n) }
这样的样本空间记作
1 2 n
例5
若试验E1是掷一枚硬币， 1={正,反
}，试验E2是从装有红白黑三球的袋子中
摸出一球，2 ={红,白,黑}，则复合试验 E表示先掷一枚硬币再摸出一球，它相应 的样本空间 1 2 由下列6个样本
0.70
C
A
0.95
0.95
B
0.70 0.70
D
0.75
F
E
0.75
G
0.95
H
解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立 工作，有 P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H) 其中 P(C+D+E)=1- P (C ) P ( D ) P ( E ) 0.973
P(F+G)=1- P ( F ) P (G ) 0.9375 代入得 P(W) 0.782
解 设事件 Ai 为“第 i 名射手击落飞机” ,
事件 B 为“击落飞机”,
i 1,2,,10.
则 B A1 A2 A10 ,
P ( B ) P ( A1 A2 A10 )
1 P ( A1 A2 A10 ) 1 P( A1 A2 A10 ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A10 )
注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立
伯恩斯坦反例 例2 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立?
解 由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面， 1 因此 P ( A) P ( B ) P ( C ) , 2 1 又由题意知 P ( AB ) P ( BC ) P ( AC ) , 4
直观说法：
对于两事件，若其中任何一个事件的发生不影响另 一个事件的发生，则这两事件是独立的.
P(A) = P(A|B) P(A|B) = P(AB)/P(B) P(AB) = P(A)P(B)
2. 定义
若事件A与B满足：
P(AB)=P(A)P(B)
则称A与B是统计独立的，简称A与B独立. 由对称性，也称A与B是相互独立的. 推论1 设 A, B 是两事件, 且 P ( A) 0. 若 A, B 相 互独立, 则 P ( B A) P ( B ). 反之亦然.
立的；
2. n次不放回摸球所构成的n个试验不独立。
故有
1 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 4 , 1 P ( BC ) P ( B ) P (C ) , 4 P ( AC ) P ( A) P (C ) 1 , 4
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于
1 1 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 4 8
2、设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
3.多个事件的独立性
三个事件的两两相互独立
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) 的相互独立
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
A A1，A A2，…，A Aｎ
均成立
(1)
(2)
(k )
P( A A A ) P( A )P( A )P( A )
(1) (2) ( n) (1) (2) ( n)
则称试验E1，E2，…，Eｎ是相互独立的.
思考：例5中试验E1与试验E2是否相互独立? 思考：是否还可以构造其它相互独立的试验? 例如: 1. n次有放回摸球所构成的n个试验是相互独
例如
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
B
AB
A
则 P ( AB) P ( A) P ( B ).
由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.
1 1 若 P ( A) , P ( B ) 2 2
则 P ( AB) 0,
1 P ( A) P ( B ) , 4
2. 若 n 个事件 A1 , A2 , , An ( n 2)相互独立, 则将 A1 , A2 , , An 中任意多个事件换成它 们的对 立事件, 所得的 n 个事件仍相互独立.
二、独立性与概率的计算
射击问题
例3 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2, 若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞 机的概率是多少?
2.2 条件概率与统计独立性
Ch2：条件概率与统计独立性
§2 事件独立性
一、事件的独立性 二、独立性与概率的计算 三、实验的独立性
一、事件的独立性
1.引例
盒中有a只黑球，b只白球, 每次取出一个, 有放回 地取两次.记 A 第一次抽取, 取到黑球, B 第二次抽取, 取到黑球,
则有 P ( B A) P ( B), 即：事件A发生与否, 对事件B发生的概率没有影响, 这时称事件A与事件B的出现有某种“独立性”。
若 A, B 相互独立, 则下列各对事件, 推论2 A 与 B, A 与 B , A 与 B 也相互独立.