05 第五节 事件的独立性

第五节 事件的独立性
分布图示
★ 引例
★ 两个事件的独立性 ★ 例1
★ 关于事件独立性的判断 ★ 有限个事件的独立性
★ 相互独立性的性质
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 伯努利概型
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 例10
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题1-5
内容要点
一、两个事件的独立性
定义 若两事件A ,B 满足
)()()(B P A P AB P = (1)
则称A ,B 独立, 或称A ,B 相互独立.
注: 当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但∅与S 既相互独立又互不相容(自证).
定理1 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然.
定理2 设事件A ,B 相互独立,则下列各对事件也相互独立:
A 与
B ,A 与B ,A 与B .
二、有限个事件的独立性
定义 设C B A ,,为三个事件, 若满足等式
),
()()()(),
()()(),()()(),
()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ==== 则称事件C B A ,,相互独立.
对n 个事件的独立性, 可类似写出其定义:
定义 设n A A A ,,,21 是n 个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称n A A A ,,,21 两两独立.
相互独立性的性质
性质1 若事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则其中任意)1(n k k ≤<个事件也相互独
立;
由独立性定义可直接推出.
性质2 若n 个事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则将n A A A ,,,21 中任意)1(n m m ≤≤个事件换成它们的对立事件, 所得的n 个事件仍相互独立;
对2=n 时，定理2已作证明, 一般情况可利用数学归纳法证之，此处略.
性质3设n A A A ,,,21 是n )2(≥n 个随机事件，则
n A A A ,,,21 相互独立 ←/→
n A A A ,,,21 两两独立.
即相互独立性是比两两独立性更强的性质,
三、伯努利概型
设随机试验只有两种可能的结果: 事件A 发生(记为A ) 或 事件A 不发生(记为A ), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设
),10(,1)(,)(<<-==p p A P p A P
将伯努利试验独立地重复进行n 次, 称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验, 或简称为伯努利概型.
注: n 重伯努利试验是一种很重要的数学模型, 在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件A 在每次试验中发生的概率均为p ,且不受其他各次试验中A 是否发生的影响.
定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为
).,,1,0(,)1(}{n k p p C k X P k n k k n =-==-
推论 设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中, 事件A 在第k 次试验中的才首次发生的概率为
).,,1,0(,)1(1n k p p k =--
注意到“事件A 第k 次试验才首次发生”等价于在前k 次试验组成的k 重伯努利试验中“事件A 在前1-k 次试验中均不发生而第k 次试验中事件A 发生”,再由伯努利定理即推得.
例题选讲
两个事件的独立性
例1 (E01) 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记=A {抽到K }, =B {抽到的 牌是黑色的}, 问事件A 、B 是否独立?
注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.
解一 利用定义判断. 由,131524)(==
A P ,215226)(==
B P ,26
1522)(==AB P
),()()(B P A P AB P = 故事件、A B 独立.
解二 利用条件概率判断. 由,131)(=A P ,13
1262)|(==B A P
),|()(B A P A P = 故事件、A B 独立.
注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.
相互独立性的性质
例2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4的四个球. 今从甲、乙两袋中各取出一球, 设=A {从甲袋中取出的是偶数号球}, =B {从乙袋中取出的是奇数号球}, =C {从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球}, 试证C B A ,,两两独立但不相互独立.
证明 由题意知, .2/1)()()(===C P B P A P 以,i j 分别表示从甲、乙两袋中取出球的号数， 则样本空间为}.4,3,2,1;4,3,2,1|),{(===j j i S
由于S 包含16个样本点, 事件AB 包含4个样本点:),3,4(),1,4(),3,2(),1,2( 而BC AC ,都各包含4个样本点,所以.4/116/4)()()(====BC P AC P AB P
于是有),()()(B P A P AB P =),()()(C P A P AC P =),()()(B P A P AB P =因此C B A ,,两两独立. 又因为,∅=ABC 所以,0)(=ABC P 而,8/1)()()(=C P B P A P 因),()()()(C P B P A P ABC P ≠故C B A ,,不是相互独立的.
例3 加工某一零件共需经过四道工序, 设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%, 3%, 5%, 3%, 假定各道工序是互不影响的, 求加工出来的零件的次品率.
解 本题应先计算合格品率, 这样可以使计算简便.
设4321,,,A A A A 为四道工序发生次品事件, D 为加工出来的零件为次品的事件, 则D 为产品合格的事件, 故有,4321A A A A D =
)()()()()(4321A P A P A P A P D P =%)31%)(51%)(31%)(21(----=%;60.87%59779.87≈= )(1)(D P D P -=%.40.12%60.871=-=
例4 (E02) 如图是一个串并联电路系统.H G F E D C B A ,,,,,,,都是电路中的元件. 它 们下方的数字是它们各自正常工作的概率. 求电路系统的可靠性.
解 以W 表示电路系统正常工作, 因各元件独立工作, 故有
),()()()()()(H P G F P E D C P B P A P W P =
其中 ,973.0)()()(1)(=-=E P D P C P E D C P .9375.0)()(1)(=-=G P F P G F P 代入得 .782.0)(≈W P
例5 (E03) 甲, 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p , p ≥1/2. 问对甲而言,采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利, 设各局胜负相互独立.
解 采用三局二胜制, 甲最终获胜, 其胜局的情况是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.
而这三种结局互不相容, 于是由独立性得甲最终获胜的概率为).1(2221p p p p -+=
采用五局三胜制, 甲最终获胜, 至少需比赛3局(可能赛3局, 也可能赛4局或5局), 且最后一局必需是甲胜, 而前面甲需胜二局. 例如, 共赛4局, 则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”,
“乙甲甲甲”,
“甲甲乙甲”, 且这三种结局互不相容. 由独立性得甲最终获胜的概率为
232432332)1()1(p p C p p C p p -+-+= 于是)312156(23212-+-=-p p p p p p ).12()1(322--=p p p
当2/1>p 时, ,12P P >即对甲来说采用五局三胜制较为有利; 当2/1=p 时,,2/112==p p 即两种赛制甲,乙最终获胜的概率相同.
伯努利概型
例6 某种小数移栽后的成活率为90%, 一居民小区移栽了20棵, 求能成活18的概率. 解 观察一棵小树是否成活是随机试验,E 每棵小树只有“成活”)(A 或“没成活”)(A 两种可能结果, 且.9.0)(=A P 可以认为, 小树成活与否是彼此独立的, 因此观察20 棵小树是否成活可以看成是9.0=P 的20重伯努利试验.
设所求概率为),(B P 则由伯努利公式可得
.285.01.09.0)(2181820=⨯⨯=C B P
例7 一条自动生产线上的产品, 次品率为4%, 求:
(1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的概率;
(2) 一次取1件, 无放回地抽取, 求当取到第二件次品时, 之前已取到8件正品的概率. 解 (1) 由于一条自动生产线上的产品很多, 当抽取的件数相对较少时, 可将无放回抽取近似看成是有放回抽取, 每抽1件产品看成是一次试验,抽10件产品相当于做10次重复独立试验, 且每次试验只有 “次品” 或 “正品” 两种可能结果,所以可以看成10重伯努利试验.
设A 表示 “任取 1 件是次品”, 则,04.0)(==A P p .96.0)(==A P q
设B 表示 “10件中至少有两件次品”, 由伯努利公式有
)1()0(1)()(101010210P P k P
B P k --==∑=91101096.004.096.01⨯⨯--=
C .0582
.0= (2) 由题意, 至第二次抽到次品时, 共抽取了10次, 前9次中抽得8件正品1件次品. 设C 表示 “前9次中抽到8件正品1件次品”, D 表示 “第十次抽到次品”, 则由独立性和伯努利公式, 所求的概率为
.0104.004.096.004.0)()()(891=⨯⨯⨯==C D P C P CD P
例8 一个袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，每次从中随意取出一球，取后放回.
(1) 如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.
(2) 如果未取到黑球就一直取下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次的概率及至少
要取3次的概率.
解 记i A 为事件 “第i 次取到的是黑球”, 则 ,2,1,10/3)(==i A P i
(1) 记B 为事件 “10次中能取到黑球”, k B 为事件 “10次中恰好取到k 次黑球” ),10,1,0( =K 则有
,)10/7(1)(1)(1)(100-=-=-=B P B P B P
(2) 记C 为“恰好要取 3 次”,D 为“至少要取 3 次”,则),10/3()10/7()(2⋅=C P
.)10/7()()()()(22121===A P A P A A P D P
例9 一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第i 站停车的概率以及在第i 站不停车的条件下第j 站的概率，并判断“第i 站停车”与“第j 站停车”两个事件是否独立.
解 记k A 为 “第k 位乘客在第i 站下车”, k .25,,2,1 = 考察每一位乘客在第i 站是否下车, 可视为一个25重的伯努利试验, 记B 为 “第i 站停车”, C 为 “第j 站停车”, 则C B ,分别等价于 “第i 站有人下车” 和 “第j 站有人下车”, 于是有
,)9/8(1)(25-=B P .)9/8(1)(25-=C P
在B 不发生(即B 发生)的条件下, 每位乘客均等可能地在第i 站以外的8站中任意一站下车, 于是每位乘客在第j 站下车的概率为1/8, 故有
.)8/7(1)|(25-=C P 因),()|(C P C P ≠故B 与C 不独立, 从而B 与C 不独立.
例10 (E04) 某型号高炮, 每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6, 现若干门炮同时 各射一发,
(1) 问: 欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮?
(2) 现有3门炮, 欲以99%的把握击中一架来犯的敌机, 问:每门炮的命中率应提高到多少?
解 (1) 设需配置n 门炮. 因为n 门炮是各自独立发射的, 因此该问题可以看作n 重伯努利试验. 设A 表示 “高炮击中飞机”, ,6.0)(=A P B 表示“敌机被击落”, 问题归结为求满足下面不等式的.n
99.04.06.0)(1≥=-=∑k n k n k k n C
B P 由,99.04.01)(1)(≥-=-=n B P B P 或,01.04.0≤n 解得,03.54
.0lg 01.0lg ≈≥
n 故至少应配置6门炮才能达到要求.
(2) 设命中率为,p 由,99.0)(3313≥=-=∑k k k k q p C
B P 得.99.013≥-q
解此不等式得,215.0≤q 从而得,785.0≥p 即每门炮的命中率至少应为0.785.
注: 对于给定一事件的概率求某个参数的逆问题, 应先求出事件的概率(含所求参数),
从而得到所求参数满足的方程或不等式, 再解之.
课堂练习
某工人一天出废品的概率为0.2, 求在4天中:
(1) 都不出废品的概率;
(2) 至少有一天出废品的概率;
(3) 仅有一天出废品的概率;
(4) 最多有一天出废品的概率;
(5) 第一天出废品, 其余各天不出废品的概率.。