概率论课件条件概率与事件的独立性

利用乘法公式可以计算： P( AB), P( AB).
即有
P(B) P(B) P(BA B A)
P( A) 2 , 5
又 BA, B A 互斥, P(B) P( A)P(B A) P( A)P(B A)
= 2 5 3 4 = 22 . 5 7 5 7 35
P( A) 3 , 5
P(B A) 5 , 7 4
而把P ( B )称为先验概率.
18
贝叶斯公式(逆概率公式)
设B1, B2, , Bn为的一个分割,且P( A) 0, P(Bi ) 0
则有： P(Bi A)
P(Bi )P( A Bi )
n
.
P(Bj)P(A Bj)
j1
n
注：(1) 其中， P(Bj )P( A Bj ) P( A)， 全概率公式；
2、定义 设A、B是两事件，若满足 P(AB)＝P(A)P(B)
则称事件A与B相互独立。
注：当P( A) 0时，A, B独立 P(B A) P(B); 当P(B) 0时，A, B独立 P( A B) P( A).
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例1 在52张扑克牌中任取一张，记A为“取到黑 桃”，B为“取到爱司”，A、B是否独立？
解：记 Ai 表示第i 人摸到中奖券. 方法一：全概率公式
P( A2 ) P( A1 )P( A2 A1 ) P( A1 )P( A2 A1 ) k k1 nk k k. n n1 n n1 n
类似可求出第3, 4…人摸到中奖券的概率 .
方法二：古典概率
P( A2 )
Ck1Cn11 Pn2
6
例3 一批零件共有100个,其中10个不合格品,从中一个一个 取出,求第三次才取到不合格品的概率。
解：记 Ai 表示“第 i 次取出的为不合格品”，则所求概 率为
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
90 89 10 100 99 98
0.0826
那么在小孩说谎一次之后，村民相信他的概率为
P(B A) P( AB)
P(B)P(A B)
P( A) P(B)P( A B) P(B)P( A B)
0.8 0.1
0.444
0.8 0.1 0.2 0.5
20
补充说明
这里， P(B) 0.8称为先验概率，即原来村民
对他的印象。 P(B A)＝0.4称44为后验概率，
第三章 条件概率与事件的独立性 第一节 条件概率
1
例１：一个家庭有两个小孩，求下列事件的概率。 (1)事件A＝“至少有一个女孩”发生的概率。 (2)在事件B＝“至少有一个男孩”发生的条件下，事件A发生的
概率。
解：(1) (b,b),(b, g),( g,b),( g, g), A (b, g),(g,b),(g, g),
P( A) 6 , P(B) 4 ,
8
8
P( AB) 3 8
P( AB) P( A)P(B), 即A、B独立.
若把条件中的“三个小孩”改为“两个小孩”，
则有： P( A) 2 , P(B) 3 , P( AB) 2
4
4
4
P( AB) P( A)P(B), 即A、B不独立。
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独立性的性质：
80 20
12
12
12
100 100
20
80
100
P(C), P(C A), P(A B), P(AC)
40
32
12
32
100
80
80
100
8
某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的 概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概 率。
解 设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁”
设A—第一次取到红球,B—第二次取到红球
(1) P(B | A) 14; (2) P(B) P( AB
21 (3)P( AB) P52
AB) 1. 10
21 3 P52
2
2; 5
思考：任一次取到红球的概率都相同吗？
5
二、概率乘法公式
（1）若P(B) 0， 则P( AB) P(B)P( A B)
P( A) 1 , P(B) 1 , P( AB) 1
4
13
52
P( AB) P( A)P(B), 即A、B独立.
例2 在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”， 多一个女孩”， A、B是否独立？
B为“至
P( A) 6 , 8
P(B) 4 , 8
P( AB) 3 8
P( AB) P( A)P(B), 即A、B独立. 24
另解：P920 C110 P3
100
7
全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人， 女生20人； 来自北京的（以事件B表示）有20人，其 中男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示）4 0人中，有32名男生，8名女生。求
P(A), P(B), P(A B), P(B A), P(AB),
j 1
(2) 公式中的P(Bi )称为先验概率，
P(Bi A)称为后验概率；
(3) 注意已知与所求的条件概率的区别.
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例2〔狼来了的寓言〕通过计算说明为什么村民 后来不再相信小孩呢？
记 A—“小孩说谎”， B—“小孩可信”，
假设 P(B) 0.8， P( A B) 0.1, P( A B) 0.5 .
0.284
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补充说明
若对首次检查结果呈阳性的人再次复查，这时， P(B)＝0.284,代入上式计算可得:第二次检查又呈 阳性的人患肝癌的概率则为0.997，说明此检查方法 的有效性。把B“患病”看作“原因”,把 A“阳性” 看作“结果”。
这里所求的条件概率P(B A)称为后验概率；
由产生的结果对原因重新认识〔修正〕.
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第三节 贝叶斯公式(逆概率公式)
例1 某地区居民的肝癌发病率为0.0004,现用甲胎 蛋白法进行普检查,医学研究表明,化验结果是存 在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99％呈 阳性(有病),而没有患肝癌的人其化验结果99.9 ％呈阴性(无病)。现某人的检查结果呈阳性,问 他真的患肝癌的概率是多大？
分析：对于较复杂事件概率的计算，首先要选择适当的符号把 已知、所求事件表示出来；再根据概率法则、性质进行计算。
解：设A—从甲袋取出白球；B—从乙袋取出白球；
A—从甲袋取出红球；B—从乙袋取出红球.
Leabharlann Baidu
所求问题是什么？ P(B)
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P(B)的取值显然与P(A)有关系，且P(A) =2/5.
例1 设有两个口袋，甲袋装有2个白球、3个红球；乙袋装有 4另个外白,球在、A发2个生红与球否。的现条从件甲下袋,B发任生取的一条球件放概入率乙可袋求，。再从乙袋取 出一球。求从乙袋取出白球的概率。
P(B A) . 711
全概率公式
设备定B事义1 ,件：B2组如,…)果,,则BB1n对,为B任2样, 一本,事B空n件两间A两的,有互一：不个相分容 割(，或且称in划1 B分i 、完. 则称B1, B2, , Bn为n 的一个完备事件组，
或称B1, B2,P(,AB)n为 i1的P(一B个 i )P分( A割B(i划) 分).
解：设B为“被检查者患有肝癌”，A为“检查结果呈阳性”， 则由题意知
P(B) 0.0004, P( A B) 0.99, P( A B) 0.999.
所求问题是？ P(B A)
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已知 P(B) 0.0004, P( A B) 0.99, P( A B) 0.999.
求P(B A). P(B A) P(BA)
P( A)
P(BA) P(B)P( A B) 0.0004 0.99
P( A) 全P(概B)率P(公A式B) P(B)P( A B)
0.0004 0.99 0.9996 0.001
P(B
A)
P ( BA) P( A)
P(B)P( A B) P(B)P( A B) P(B)P( A
B)
解：记Ａ—取出的一件是次品；
B1 第一车间生产的； B2 第二车间生产的；
P( A) P(B1)P( A B1) P(B2 )P( A B2 )
2 0.15 3 0.12 0.132 .
5
5
13
例3〔摸彩模型或抽签问题〕设 n 张彩票中有 k 张 中奖券,求第二人(任一人)摸到中奖券的概率。
P( A) 3 ； 4
(2) ' (b,b),(b, g),( g,b), 所求的概率p 2 .
3
思考：(1)、(2)中两个概率、 '与有什么区别？
p与P( A)、P(B)、P( AB)有怎样的联系？ 2
一、条件概率的概念
含义: 在事件B发生的条件下,另一事件A发生的概率, 称为在事件B发生条件下事件A的条件概率，
P( A)
对于古典概型，条件概率可以如下计算：
P(A
B)
AB中的样本点个数 B 中的样本点个数
缩减样本空间法
即把B作为新的样本空间.
4
例2 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次 ，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球
的概率; （2）求第二次取到红球的概率； （3）求两次均取到红球的概率。
A、B独立 A、B独立 A、B独立 A、B独立. 下面证明：A、B独立 A、B独立.
证：P( AB) P( A( B))
P( A AB) P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B)
P( A)[1 P(B)] P( A)P(B)
A、B独立.
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一些特殊情形：
即小孩撒谎一次后，村民对他的新印象。
若小孩再次撒谎，则以 P(B A)＝0替.4换44
作为先验概率，代入上述计算公式，从而得到
P(B) 0.8
P(B A)＝0.138. 在实际生活中，人们总是根据
已发生的结果，不断地用后验概率去修正先验概率。
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第四节 事件的独立性
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一、两个事件的独立性
1、独立性的一般含义 事件A与事件B发生的概率没有关系、影响。
(2) 若P( A1 A2…An－1 ) 0， 则 P( A1 A2…An－1 An ) P( A1 )P( A2 A1 ) P( A3 A1A2 )
P( An A1A2…An－1 )
注：（1）由条件概率定义直接可推出，
（2）由（1）可推出。
如果P( A) 0, P(B) 0,则有
P( AB) P(B)P( A B) P( A)P(B A)
补充说明
（1）独立性的判定必须严格按定义来确定,而不能 凭主观想像和猜测，也不能与互不相容的概念混淆。
（2）具有类似关系的事件在不同条件下是否独立 也是有区别的。把例2中的三个小孩改为两个小孩， 则A、B不相互独立。
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例2 在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”， B为“至多一个女孩”， A、B是否独立？
k n
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例3〔摸彩模型或抽签问题〕设 n 张彩票中有 k 张 中奖券,求第二人(任一人)摸到中奖券的概率。
方法二：古典概率
P( A2 )
Ck1Cn11 Pn2
k n
一般地，第i 人摸中的概率为
P( Ai )
C P1 i1 k n1 Pni
k. n
任一人摸中概率都相同
注：对于摸彩、抽签等问题中全概率的计算， 直接利用古典概率方法，可以简化计算.
注：①全概率公式解决的问题是，由A的条件概率 求A的概率（部分 → 整体）。
②常用形式 P( A) P(B)P( A B) P(B)P( A B)
③条件可减弱为
n
B1, B2 , , Bn两两互不相容，且A Bi . 12 i 1
例2 某工厂两个车间生产相同型号的的产品,生产的产品 混合放在一个仓库里。第一车间产品的次品率为0.15；第 二车间产品的次品率为0.12；且两个车间产品的数量比是 2：3。现从仓库里任取出一件产品，求它是次品的概率。
记作：P( A B).
对于古典概型，如图所示 ，有
P(A
B)
AB中的样本点个数 B 中的样本点个数
B AB A
AB中的样本点个数
中的样本点个数 B 中的样本点个数
P( AB) . P(B)
中的样本点个数
3
条件概率的定义：
如果P(B) 0,则称 P( A B) P( AB) P(B)
为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率. 同样可以定义：P(B A) P( AB) (P( A) 0) .
则 P(A) 0.7, P(B) 0.56 所求概率为 P(B A) P( AB) P(B) 0.8
P( A) P( A)
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第二节 全概率公式
例1 设有两个口袋，甲袋装有2个白球、3个红球；乙袋装有 4个白球、2个红球。现从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋取 出一球。求从乙袋取出白球的概率。