概率论课件条件概率与事件的独立性

P( A)
对于古典概型，条件概率可以如下计算：
P(A
B)
AB中的样本点个数 B 中的样本点个数
缩减样本空间法
即把B作为新的样本空间.
4
例2 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次 ，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球
的概率; （2）求第二次取到红球的概率； （3）求两次均取到红球的概率。
第三章 条件概率与事件的独立性 第一节 条件概率
1
例１：一个家庭有两个小孩，求下列事件的概率。 (1)事件A＝“至少有一个女孩”发生的概率。 (2)在事件B＝“至少有一个男孩”发生的条件下，事件A发生的
概率。
解：(1) (b,b),(b, g),( g,b),( g, g), A (b, g),(g,b),(g, g),
P( A)
P(BA) P(B)P( A B) 0.0004 0.99
P( A) 全P(概B)率P(公A式B) P(B)P( A B)
0.0004 0.99 0.9996 0.001
P(B
A)
P ( BA) P( A)
P(B)P( A B) P(B)P( A B) P(B)P( A
B)
注：①全概率公式解决的问题是，由A的条件概率 求A的概率（部分 → 整体）。
②常用形式 P( A) P(B)P( A B) P(B)P( A B)
③条件可减弱为
n
B1, B2 , , Bn两两互不相容，且A Bi . 12 i 1
例2 某工厂两个车间生产相同型号的的产品,生产的产品 混合放在一个仓库里。第一车间产品的次品率为0.15；第 二车间产品的次品率为0.12；且两个车间产品的数量比是 2：3。现从仓库里任取出一件产品，求它是次品的概率。
解：记 Ai 表示第i 人摸到中奖券. 方法一：全概率公式
P( A2 ) P( A1 )P( A2 A1 ) P( A1 )P( A2 A1 ) k k1 nk k k. n n1 n n1 n
类似可求出第3, 4…人摸到中奖券的概率 .
方法二：古典概率
P( A2 )
Ck1Cn11 Pn2
15
第三节 贝叶斯公式(逆概率公式)
例1 某地区居民的肝癌发病率为0.0004,现用甲胎 蛋白法进行普检查,医学研究表明,化验结果是存 在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99％呈 阳性(有病),而没有患肝癌的人其化验结果99.9 ％呈阴性(无病)。现某人的检查结果呈阳性,问 他真的患肝癌的概率是多大？
0.284
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补充说明
若对首次检查结果呈阳性的人再次复查，这时， P(B)＝0.284,代入上式计算可得:第二次检查又呈 阳性的人患肝癌的概率则为0.997，说明此检查方法 的有效性。把B“患病”看作“原因”,把 A“阳性” 看作“结果”。
这里所求的条件概率P(B A)称为后验概率；
由产生的结果对原因重新认识〔修正〕.
利用乘法公式可以计算： P( AB), P( AB).
即有
P(B) P(B) P(BA B A)
P( A) 2 , 5
又 BA, B A 互斥, P(B) P( A)P(B A) P( A)P(B A)
= 2 5 3 4 = 22 . 5 7 5 7 35
P( A) 3 , 5
P(B A) 5 , 7 4
80 20
12
12
12
100 100
20
80
100
P(C), P(C A), P(A B), P(AC)
40
32
12
32
100
80
80
100
8
某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的 概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概 率。
解 设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁”
A、B独立 A、B独立 A、B独立 A、B独立. 下面证明：A、B独立 A、B独立.
证：P( AB) P( A( B))
P( A AB) P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B)
P( A)[1 P(B)] P( A)P(B)
A、B独立.
27
一些特殊情形：
则 P(A) 0.7, P(B) 0.56 所求概率为 P(B A) P( AB) P(B) 0.8
P( A) P( A)
9
第二节 全概率公式
例1 设有两个口袋，甲袋装有2个白球、3个红球；乙袋装有 4个白球、2个红球。现从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋取 出一球。求从乙袋取出白球的概率。
P(B A) . 711
全概率公式
设备定B事义1 ,件：B2组如,…)果,,则BB1n对,为B任2样, 一本,事B空n件两间A两的,有互一：不个相分容 割(，或且称in划1 B分i 、完. 则称B1, B2, , Bn为n 的一个完备事件组，
或称B1, B2,P(,AB)n为 i1的P(一B个 i )P分( A割B(i划) 分).
解：设B为“被检查者患有肝癌”，A为“检查结果呈阳性”， 则由题意知
P(B) 0.0004, P( A B) 0.99, P( A B) 0.999.
所求问题是？ P(B A)
16
已知 P(B) 0.0004, P( A B) 0.99, P( A B) 0.999.
求P(B A). P(B A) P(BA)
(2) 若P( A1 A2…An－1 ) 0， 则 P( A1 A2…An－1 P( A3 A1A2 )
P( An A1A2…An－1 )
注：（1）由条件概率定义直接可推出，
（2）由（1）可推出。
如果P( A) 0, P(B) 0,则有
P( AB) P(B)P( A B) P( A)P(B A)
k n
14
例3〔摸彩模型或抽签问题〕设 n 张彩票中有 k 张 中奖券,求第二人(任一人)摸到中奖券的概率。
方法二：古典概率
P( A2 )
Ck1Cn11 Pn2
k n
一般地，第i 人摸中的概率为
P( Ai )
C P1 i1 k n1 Pni
k. n
任一人摸中概率都相同
注：对于摸彩、抽签等问题中全概率的计算， 直接利用古典概率方法，可以简化计算.
那么在小孩说谎一次之后，村民相信他的概率为
P(B A) P( AB)
P(B)P(A B)
P( A) P(B)P( A B) P(B)P( A B)
0.8 0.1
0.444
0.8 0.1 0.2 0.5
20
补充说明
这里， P(B) 0.8称为先验概率，即原来村民
对他的印象。 P(B A)＝0.4称44为后验概率，
P( A) 1 , P(B) 1 , P( AB) 1
4
13
52
P( AB) P( A)P(B), 即A、B独立.
例2 在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”， 多一个女孩”， A、B是否独立？
B为“至
P( A) 6 , 8
P(B) 4 , 8
P( AB) 3 8
P( AB) P( A)P(B), 即A、B独立. 24
设A—第一次取到红球,B—第二次取到红球
(1) P(B | A) 14; (2) P(B) P( AB
21 (3)P( AB) P52
AB) 1. 10
21 3 P52
2
2; 5
思考：任一次取到红球的概率都相同吗？
5
二、概率乘法公式
（1）若P(B) 0， 则P( AB) P(B)P( A B)
解：记Ａ—取出的一件是次品；
B1 第一车间生产的； B2 第二车间生产的；
P( A) P(B1)P( A B1) P(B2 )P( A B2 )
2 0.15 3 0.12 0.132 .
5
5
13
例3〔摸彩模型或抽签问题〕设 n 张彩票中有 k 张 中奖券,求第二人(任一人)摸到中奖券的概率。
记作：P( A B).
对于古典概型，如图所示 ，有
P(A
B)
AB中的样本点个数 B 中的样本点个数
B AB A
AB中的样本点个数
中的样本点个数 B 中的样本点个数
P( AB) . P(B)
中的样本点个数
3
条件概率的定义：
如果P(B) 0,则称 P( A B) P( AB) P(B)
为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率. 同样可以定义：P(B A) P( AB) (P( A) 0) .
P( A) 6 , P(B) 4 ,
8
8
P( AB) 3 8
P( AB) P( A)P(B), 即A、B独立.
若把条件中的“三个小孩”改为“两个小孩”，
则有： P( A) 2 , P(B) 3 , P( AB) 2
4
4
4
P( AB) P( A)P(B), 即A、B不独立。
26
独立性的性质：
6
例3 一批零件共有100个,其中10个不合格品,从中一个一个 取出,求第三次才取到不合格品的概率。
解：记 Ai 表示“第 i 次取出的为不合格品”，则所求概 率为
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
90 89 10 100 99 98
0.0826
P( A) 3 ； 4
(2) ' (b,b),(b, g),( g,b), 所求的概率p 2 .
3
思考：(1)、(2)中两个概率、 '与有什么区别？
p与P( A)、P(B)、P( AB)有怎样的联系？ 2
一、条件概率的概念